4.2 Testaufgaben zum schulformenübergreifenden Teil A11

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Praxishandbuch Angewandte Mathematik BHS
4.2 Testaufgaben zum schulformenübergreifenden Teil A11
4.2.1 Bergbahn
Eine geradlinig ansteigende Trasse einer Bergbahn hat eine Streckenlänge von L = 6 km. Sie
startet in der Talstation (a = 570 m über dem Meeresspiegel) und erreicht die Bergstation, die
sich c = 104 m unter der Bergspitze befindet. Die Spitze liegt b = 1 792 m über dem Meeresspiegel (siehe Skizze).
Abb. 17: Bergbahn
a) Erstellen Sie eine allgemeine Formel mit L, a, b und c, mit deren Hilfe man die Steigung der Bahntrasse berechnen kann. (2-A)
b) 1 000 m über dem Meeresspiegel soll eine Mittelstation errichtet werden. Berechnen Sie die Länge der Strecke vom Start bis zur Mittelstation. (2-B)
c) Die Bahn fährt mit einer gleichmäßigen Geschwindigkeit von v = 5 m/s. Berechnen Sie, wie weit sich die Bahn von der Talstation nach sechs Minuten entfernt hat, und geben Sie das Ergebnis in Kilometern an. (1-B)
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Die jeweiligen Lösungserwartungen finden sich im Anhang (Abschnitt 5.2).
Überprüfung der Kompetenzentwicklung mittels Testaufgaben
4.2.2 Geschwindigkeitsmessung
Im Normalabstand von zwei Metern (s =
) von der Mitte der rechten Fahrspur entfernt
steht an der Stelle B ein Gerät zur optischen Geschwindigkeitsmessung von herankommenden Fahrzeugen. Es registriert Fahrzeuge, wenn sie die Positionen A und D passieren. Die
Sichtlinie
schließt mit der Fahrbahnsenkrechten den Winkel α = 82° ein, die Linie
den
Winkel β = 8° (vgl. Skizze).
Abb. 18: Geschwindigkeitsmessung
a) Leiten Sie aus der vorliegenden Skizze eine allgemeine Formel her, wie Sie die Länge der Strecke
aus den in der Angabe gegebenen Größen s, α und β berechnen können. (2-A)
b) Erklären Sie, was durch den Term a =
berechnet werden kann. (2-D)
c) Ein Auto durchfährt die Messstrecke
in 0.5 Sekunden. Die Messstrecke wird
mit 13 m angenommen. Berechnen Sie, um wie viele Kilometer pro Stunde (km/h)
das Auto die Geschwindigkeitsbegrenzung von 50 km/h überschritten hat. (1,2-B)
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5.2 Lösungen der Testaufgaben
In den Lösungen wird nur ein möglicher Lösungsweg angegeben. In vielen Fällen sind auch
andere Vorgangsweisen möglich und richtig.
ad 4.2.1 Bergbahn (Teil A)
a)
Abb. 33: Bergbahn (Lösung)
Aus dem obenstehenden Dreieck lässt sich k als das Verhältnis der beiden Katheten
berechnen:
k=
b) Man kann den Strahlensatz anwenden, aber auch mit den Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck rechnen.
X ... gesuchte Strecke bis zur Mittelstation
x : 6 000 = 430 : 1 118
x = 2 307.69 m
Die Strecke von der Talstation bis zur Mittelstation beträgt 2 307.69 m.
c) s = v ∙ t; Umrechnung von Minuten in Sekunden, weil v in m/s angegeben ist
s = 5 ∙ 60 ∙ 6 = 1 800 m = 1.8 km
Nach sechs Minuten hat die Bahn einen Weg von 1.8 km zurückgelegt.
Anhang
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ad 4.2.2 Geschwindigkeitsmessung (Teil A)
a)
= tana =
= s ∙ (tana – tanβ)
Der gegebene Term a ermöglicht die Berechnung des Weges, den der erste Lichtstrahl
bis zum ankommenden Auto zurücklegt.
c) v =
–
... Weg des Strahls
b)
tanβ
= 26 m/s = 93.6 km/h
Das Auto fährt um 43.6 km/h zu schnell.
ad 4.2.3 Temperaturanstieg einer Lösung (Teil A)
a) Abbildung 19 ist korrekt.
Mögliche Argumentation: Die Temperaturzunahme beginnt bei 2 °C. Wenn der Temperatur­
unterschied durch die allmähliche Erwärmung geringer wird, dann ist anzunehmen, dass
der Vorgang langsamer wird. Die Temperatur der Lösung wird sich allmählich an die Umgebungstemperatur von 22 °C annähern. (Zusätzlich kann die Kurve auch grafisch überprüft werden.)
b) 22 – 20 · 0.951t = 12; daraus folgt: t =
= 13.80
Nach t ≈ 13.80 Minuten = 13 Minuten und 48 Sekunden ist die gewünschte Temperatur
erreicht.
ad 4.2.4 Golfball (Teil A)
a) Im ersten Schritt wird die 1. Ableitung der Funktion berechnet und gleich null gesetzt, um
den x-Wert des Maximums zu erhalten.
Im zweiten Schritt wird der spezielle Punkt (xmax|h = 3) in die Funktionsgleichung eingesetzt und a berechnet. (Rechnerisch würde man a = 0.336 erhalten.)
b) 0.5x – 0.007x² = 0
x1 = 0 und x2 = 71.43
Der Ball kommt an der Stelle (71.23|0), d. h. nach 71.43 m, wieder am Boden auf.