Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – Lösungen
1. Bestimme rechnerisch und grafisch die Lösungsmenge L der folgenden Gleichungssysteme.
a)
b)
I.
5y 3(x 2)
25
II.
2x 3y
11
I. 5y 3(x 2)
25
II.
11
2x 3y
I.
y
II.
y
c)
1
x y
2
3
x y
4
I.
II.
I.
3
1
x 6
5
5
2
2
x 3
3
3
II.
1
x y
2
3
x y
4
I.
y
III.
31
5
x
2
11
x
3
3
2
y
5
L
{( 2 / 5)}
2
II. x
2
I.
1
x 3
2
II.
y
L
II. x
I.
3
3
x 2
4
3
1
III.
x 2
x 3
4
2
x 4
y 1
II.
3
x
5
I.
3
{(4 /1)}
III.
x : 2y
1
y
2
2
x : 2y
1
y
2
y
y
2
x
3
x
y
L
3:4
3:4
2
2
x
3
2x 4
2x 4
3
2
1
3
/ 1
2
2. Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungssysteme. Welche Bedingungen müssen gelten, damit die Nenner der Brüche nicht den Wert 0 annehmen und damit bei den Äquivalenzumformungen nicht durch Null dividiert wird?
a)
b)
c)
I.
3ax 2by 4ab
I.
x y 2b
x 2y
I.
1
II. ax by a² b²
II.
ax by 3ab
a b
2x
y 2b
II.
1
a
b
L {(x / y) | x 2b y a}
Lösung a)
a 0 b 0
Lösung b)
Lösung c)
L {(x / y) | x
a b 0 (b
a b y a b}
0 a 0)
L
{(x / y) | x
a
a
0 b
0
y
b}
3. Addiert man zum Zähler eines Bruches die Zahl 1 und zum Nenner die Zahl 3,
3
. Subtrahiert man jedoch vom Zähler des ursprünglichen
4
5
Bruches die Zahl 5 und von seinem Nenner die Zahl 3, so ist sein Wert . Wie
7
heißt der Bruch?
x
sei der ursprüngliche Bruch
y
so ist sein Wert
x 1 3
y 3 4
x 5 5
II.
y 3 7
L {(35 / 45)}
35
ist der ursprüngliche Bruch.
45
I.
4. Bei einem Vergleich verhalten sich die Forderungen zweier Gläubiger A und B
2
7
: 1 . Nachdem bei A 200 € und bei B 600 € gestrichen wurden, ver5 10
halten sich die Forderungen wie 2 : 1. Wie hoch waren die ursprünglichen Forderungen?
Forderung A: x
Forderung B: y
12 17
I.
x:y
:
5 10
II.
(x 200) : (y 600) 2 : 1
wie 2
x 2400 €
y 1700 €
A hatte eine Forderung über 2400 €, B hatte eine Forderung über 1700 €.
5. Ein Kaufmann mischt 50 kg Jamaikakaffee mit 30 kg Guatemalakaffee und verkauft die Mischung mit einem Zuschlag von 57,50 € zum Kilopreis von
8,50 €. Ein anderes Mal mischt er 20 kg Jamaikakaffee und 40 kg Guatemalakaffee und verkauft die Mischung mit einem Zuschlag von 60 € zum Kilopreis
von 9 €. Wie viel bezahlte er beim Einkauf für 1 kg Jamaikakaffee und für 1 kg
Guatemalakaffee?
Einkaufspreis je kg Jamaikakaffee: x
Einkaufspreis je kg Guatemalakaffee: y
I. 50x 30y 80 8,50 57,50
II. 20x 40y 60 9 60
L = { (7,5/8,25) }
7,5 € pro kg für Jamaikakaffee, 8,25 kg pro kg für Guatemalakaffee.
6. Ein Kaufmann bestellte 60 Flaschen Apfelsaft und 40 Flaschen Traubensaft
zum Gesamtpreis von 78 €. Da der Preis für eine Flasche um 0,10 € und für
eine Flasche Traubensaft um 0,20 € gesenkt wurde, erhielt er für den gleichen
Betrag 70 Flaschen Apfelsaft und 50 Flaschen Traubensaft geliefert. Wie viel
kostete ursprünglich eine Flasche Apfelsaft und wie viel eine Flasche Traubensaft?
ursprünglicher Preis je Flasche A: x
ursprünglicher Preis je Flasche T: y
I.
60x 40y 78
II. 70(x 0,1) 50(y 0,2) 78
L {(0,5 /1,2)}
ursprünglicher Preis je Flasche Apfelsaft: 0,50 €
ursprünglicher Preis je Flasche Traubensaft: 1,20 €
7. Ein Antiquitätenhändler ersteigert aus einem Nachlass zwei antike Schränke.
Er bezahlt für beide zusammen 3 800 €. Den einen Schrank verkauft er mit
45% Preisaufschlag, den anderen mit 35% Aufschlag. Der Verkaufspreis ist für
beide Schränke zusammen 1 468 € als der Einkaufspreis. Wie viele hat der
Händler für jeden der beiden Schränke bezahlt?
Einkaufspreis 1. Schrank: x
Einkaufspreis 2. Schrank: y
I.
x y 3800
II. (x 0,45x) (y 0,35y) 3800 1468
x 1380
y 2420
Der erste Schrank kostete 1 380 €, der zweite 2 420 €.
8. Zwei Darlehen verhalten sich wie 4 : 3. Das erste Darlehen wird zu 7%, das
zweite zu 6% ausgeliehen. Wie groß sind die Darlehen, wenn die vierteljährlichen Zinsen insgesamt 460 € betragen?
Erstes Darlehen: x
Zweites Darlehen: y
I.
x:y 4:3
II.
x 7
100 4
y 6
100 4
460
L {(16000 /12000)}
16 000 € erstes Darlehen
12 000 € zweites Darlehen
9. Ein Kaufmann erhält für ein von ihm gewährtes Darlehen jährlich 2 880 € Zinsen. Hätte er den Darlehensvertrag um 3 000 € erhöht, würden ihm jährlich
270 € Zinsen mehr zufließen.
a) Welcher Darlehensvertrag war gewährt worden?
b) Wie hoch war der Zinssatz?
ursprüngliches Darlehen: x
Zinsfuß: y
x y
I.
2880
100
(x 3000) y
II.
2880 270
100
L {(32000 / 9)
Das ursprüngliche Darlehen war 32 000 €; der Zinsfuß betrug 9%.
10. Ein Kapital brachte in 135 Tagen 189 € Zinsen. Wäre der Zinssatz 1% niedriger
gewesen, so hätten die Zinsen in der gleichen Zeit 27 € weniger betragen. Berechne das Kapital und den ursprünglichen Zinssatz.
Kapital: x
ursprünglicher Zinsfuß: y%
x y 135
I.
189
100 360
x (y 1) 135
II.
189 27
100 360
Kapital: 7 200 €, 7% ursprünglicher Zinsfuß
11. Frau Behrend hat 3 Kapitalien zu 4%, 5% und 6% ausgeliehen. Die Jahreszinsen des ersten und zweiten betragen zusammen 410 €, die des zweiten und
dritten zusammen 370 € und die des ersten und dritten zusammen 280 €. Wie
groß sind die Kapitalien?
Erstes Kapital: x
Zweites Kapital: y
Drittes Kapital: z
x 4 y 5
I.
410
100 100
y 5 z 6
II.
370
100 100
x 4 z 6
III.
280
100 100
L {(4000 / 5000 / 2000)}
Erstes Kapital: 4000 €; zweites Kapital: 5000 €; drittes Kapital: 2000 €.
12. Ein Bauherr nimmt für die Erstellung eines Reihenhauses bei seiner Hausbank
ein Darlehen von 65 000 € und bei seiner Bausparkasse ein Darlehen von
60 000 € auf und zahlt im ersten Jahr insgesamt 7 875 € Zinsen. Am Ende des
Jahres muss er für die Anlage seines Gartens bei seiner Bank noch ein Darlehen von 5 000 € aufnehmen, so dass er im nächsten Jahr trotz einer Senkung
des Zinssatzes um 0,25% bei seiner Bank und gleichbleibendem Zinssatz bei
der Bausparkasse 8 075 € Zinsen zahlen muss. Welche Zinssätze fordern
Hausbank und Bausparkasse?
Zinsfuß bei H: x
Zinsfuß bei B: y
65000 x 60000 y
I.
7875
100
100
70000 (x 0,25) 60000 y
II.
8075
100
100
L {(7,5 / 5)}
Im ersten Jahr: 7,5% bei H und 5% bei B.
Im zweiten Jahr: 7,25% bei H und 5% bei B.
13. Eine Autovermietung hat für die Bereitstellung eines Personenwagens der Mittelklasse folgende 2 Tarife zur Auswahl:
Tarif I: 45 € tägliche Grundgebühr und 0,45 € je km.
Tarif II: 30 € tägliche Grundgebühr und 0,60 € je km.
a) Stelle für jeden Tarif die Funktionsgleichung auf, wobei die Fahrtstrecke mit
x km und die täglichen Kosten mit y € angesetzt werden.
b) Zeichne den Grafen beider Funktionen in ein Achsenkreuz
(1 cm  10 km Fahrtstrecke; 1 cm  10 € Kosten).
c) Lies aus der Zeichnung ab, bei welcher Fahrtstrecke beide Tarife gleiche
Kosten ergeben. In welchem Bereich ist Tarif I bzw. Tarif II günstiger?
d) Wie hängt die Preisdifferenz k der beiden Tarife von der Fahrtstrecke x ab?
Bestimme die Funktionsgleichung.
Lösung a)
I. y 0,45x 45
II. y 0,60x 30
Lösung b)
y = 0,45x + 45
y = 0,60x + 30
x
y
y
0
45
30
100
90
90
150
112,5
120
S(100/90)
Lösung c)
Bei 100 km Fahrtstrecke sind die Kosten nach beiden Tarifen gleich groß, nämlich 90 €.
Unter 100 km ist Tarif II günstiger, über 100 km Tarif I.
Lösung d)
k = –0,15x + 15 (für Differenz Tarif I – Tarif II)
14. Ein Reisender hat die Wahl zwischen zwei Verträgen:
Vertrag A: 1 000 € festes Gehalt + 8% Provision vom Umsatz
Vertrag B: 1 600 € festes Gehalt + 5% Provision vom Umsatz
a) Stelle die zugehörigen Funktionsgleichungen auf, wenn der Umsatz mit x €
und das Einkommen des Reisenden mit y € angesetzt wird.
b) Zeichne die Funktionsgrafen in ein Koordinatensystem (I. Quadrant), dessen positive x–Achse mindestens 15 cm und dessen positive
y–Achse mindestens 13 cm lang sein soll.
(1 cm  2000 € Umsatz; 1 cm  200 € Einkommen)
c) Bei welchem Umsatz sind beide Verträge gleich günstig? In welchem Bereich ist Vertrag A günstiger, in welchem Vertrag B?
Lösung a)
I. y 0,08x 1000
II. y 0,05x 1600
Lösung b)
x
0
20 000
30 000
y = 0,8x + 1000
y
1 000
2 600
3 400
y = 0,05x + 1600
y
1 600
2 600
3 100
S(20 000/2 600)
Lösung c)
Bei 20 000 € Umsatz beträgt nach beiden Verträgen das Einkommen 2 600 €.
Vertrag A ist bei mehr als 20 000 € Umsatz günstiger, Vertrag B bei weniger als
20 000 € Umsatz
15. Eine Maschine I wird für 15 000 € angeschafft. Sie soll jährlich mit 16 2 % vom
3
Anschaffungswert abgeschrieben werden. Eine Maschine II wird für 10 000 €
angeschafft und soll jährlich mit 12,5% abgeschrieben werden.
a) Stelle die Funktionsgleichungen (y € Buchwert nach x Jahren) auf und
zeichne den Grafen des Gleichungssystems
(1 Jahr  1 cm; 2000 €  1 cm).
b) Nach wie vielen Jahren haben die beiden Maschinen denselben Buchwert?
c) Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems rechnerisch.
d) Nach wie vielen Jahren hätten die beiden Maschinen denselben Buchwert,
2
wenn Maschine II nicht mit 12,5%, sondern auch mit 16 % vom Anschaf3
fungswert (10 000 €) abgeschrieben worden wäre?
I. y
2500x 15000
a)
II. y
1250x 10000
x
0
4
6
y = –2500x + 15000
y
15000
5000
0
y = –1250x + 10000
y
10000
5000
2500
b) Nach 4 Jahren haben beide Maschinen den Buchwert 5 000 €.
c) –2500x + 15000 = –1250x + 10000
L = {(4/5000)}
Nach 6 Jahren haben beide
5000
2500x 15000
x 10000
Maschinen den Buchwert
d)
3
0 €.
x 6
y 0
L {(6 / 0)}
16. Die fixen Kosten eines Industriebetriebes betragen monatlich 360 000 €. Die
variablen Kosten von 80 € je Stück verlaufen proportional. Die Erzeugnisse
können zu 120 € je Stück abgesetzt werden.
a) Bestimme die Funktionsgleichungen für die Kosten– und Ertragsgeraden.
b) Ermittle rechnerisch und zeichnerisch, bei welcher Fertigungsmenge der
Gesamtertrag die Gesamtkosten übersteigt.
c) Berechne, wie viele Stück mindestens produziert werden müssen, damit der
Gesamtgewinn 100 000 € übersteigt.
Maßstab: 100 000 €  1 cm; 1 000 Stück  1 cm
I.
y 80x 360000
a)
II.
y 120x
b)
x
0
9000
15000
y = 80x + 360000
y
360000
1 080 000
1 560 000
y = 120x
y
0
1 080 000
1 800 000
120x 80x 360000
x 9000
y 1080000
Bei mehr als 9 000 Stück Fertigungsmenge übersteigt der Gesamtertrag die
Gesamtkosten.
c)
120x (80x 360000) 100000
x 11500
Bei einer Produktionsmenge von mehr als 11 500 Stück übersteigt der Gesamtgewinn 100 000 €.