Lösung des Problems des Monats Februar 2016 Die Randzahlen im Eingangsbeispiel wurden so gewählt, dass sich in den inneren Feldern lauter verschiedene Summen ergeben; das muss nicht sein, lenkt aber ein bisschen ab… Schauen wir uns eine Tabelle mit verschiedenen Symbolen an. In den neun inneren Feldern stehen jeweils die Symbole, die am Rand in derselben Zeile bzw. Spalte stehen. ☺ ☺ ☺ ☺ Wenn das erste Feld ausgewählt und eingekreist wird, dann enthält es zwei bestimmte Symbole. In der folgenden Abbildung haben wir ein Feld ausgewählt und grau unterlegt (die Randfelder lassen wir ab jetzt einfach weg): ☺ ☺ Wenn dann von den restlichen vier Feldern eines ausgewählt wird (in der Abbildung grau unterlegt), dann sind in diesem Feld zwei andere Symbole enthalten als in dem ersten ausgewählten Feld: ☺ Wenn dann die restlichen Felder in derselben Zeile und Spalte gelöscht werden, sind die beiden Symbole immer noch erhalten, allerdings nur noch einmal ☺ Streicht man jetzt wieder die restlichen Felder in derselben Zeile und Spalte, dann bleibt ein Feld übrig, in dem die restlichen beiden Symbole enthalten sind: ☺ ☺ Insgesamt bleiben so alle sechs Symbole erhalten. www.mathematik-ist-schoen.de © Heinz Klaus Strick Leverkusen 2016 ERLÄUTERUNGEN ZU THEMEN AUS DEN KALENDERN „MATHEMATIK IST SCHÖN“ Die Sammlung der 12 Erläuterungen, die 2015 auf der Homepage veröffentlicht wurden, gibt es in gedruckter Form zu kaufen (125 Seiten DIN A4 mit Spiralbindung). 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Wenn dann das „Spiel“ beginnt und nacheinander Felder gestrichen werden, bleiben alle ursprünglich am Rand stehenden Zahlen erhalten Durch das oben beschriebene Auswahlverfahren erreicht man also, dass jede der sechs Randzahlen genau einmal berücksichtigt wird, also die Summe von drei ausgewählten Feldern immer die Summe der Randzahlen ergibt. Man kann nun die Zeilen und Spalten der Ausgangstabelle beliebig vertauschen, z. B. die erste Zeile und die zweite Zeile + 0 1 2 4 4 5 6 1 1 2 3 7 7 8 9 und dann die zweite und die dritte Spalte + 5 4 6 8 7 9 2 1 3 Damit diese Tabelle entsteht, muss man die erste und die zweite Spalte vertauschen: + 1 0 2 1 2 1 3 4 5 4 6 7 8 7 9 8 10 6 11 13 9 5 7 3 + 0 2 1 4 4 6 5 1 1 3 2 7 7 9 8 Das Ganze sieht jetzt ganz anders aus (mit denselben neun inneren Zahlen) und an den Randzahlen hat sich bis auf die Reihenfolge nicht geändert. und dann die erste Zeile nach unten schieben, sodass die zweite Zeile zur ersten wird und die dritte zur zweiten: + 1 0 2 4 5 4 6 7 8 7 9 1 2 1 3 Man kann auch zuerst die Zeilen und dann die Spalten vertauschen. + Die magische Zahl ist hier 24. Wenn man in dieser Tabelle die Zeilen und Spalten so vertauscht, dass im oberen linken Feld der inneren Felder die kleinste Zahl steht, fällt es leichter, die Randzahlen herauszufinden, z. B. so: www.mathematik-ist-schoen.de © Heinz Klaus Strick Leverkusen 2016 + + 5 7 3 3 5 7 8 10 6 6 8 10 11 13 9 9 11 13 und dann Man sieht jetzt, dass die Zahlen in den inneren Feldern von links nach rechts jeweils um 2 größer werden und von oben nach unten jeweils um 3. Z. B. könnte oben 1, 3, 5 stehen, dann ergibt sich für die linke Randspalte 2, 5, 8. Es könnte aber auch oben 2, 4, 6 stehen und dann links 1, 4, 7 – wie wir sehen, ist das nicht eindeutig! + 1 3 5 + 2 4 6 2 3 5 7 1 3 5 7 5 6 8 10 4 6 8 10 8 9 11 13 7 9 11 13 Man kann jetzt wieder die Spalten und Zeilen so zurück-vertauschen, dass die Ausgangstabelle entsteht. Aus der ersten Lösung ergibt sich dann und aus der zweiten entsprechend + 3 5 1 + 4 6 2 5 8 10 6 4 8 10 6 8 11 13 9 7 11 13 9 2 5 7 3 1 5 7 3 Um eine Tabelle mit magischer Summe 20 zu finden, muss man nur 6 Zahlen auswählen, die als Summe 20 ergeben. Da die Summe der ersten 6 natürlichen Zahlen 1+2+3+4+5+6 größer ist als 20, ist es nicht möglich, lauter verschiedene Randzahlen zu finden (es sei denn, man nimmt 0 mit zu den Randzahlen), aber das war bei dem zuletzt betrachteten Beispiel auch nicht der Fall. Beispiel für magische Summe 20 + 2 4 6 1 3 5 7 3 5 7 9 4 6 8 10 www.mathematik-ist-schoen.de © Heinz Klaus Strick Leverkusen 2016 Eine 4x4-Tabelle mit den natürlichen Zahlen 1,2 3, …, 16 könnte wie folgt aussehen. Hierbei beginnt man mit dem oberen Rand 0, 1, 2, 3 und einer 1 im Randfeld der 1. Zeile. Damit dann eine 5 am Anfang der inneren Felder der nächsten Zeile steht, muss auch vorne am Rand eine 5 stehen usw. + 0 1 2 3 1 1 2 3 4 5 5 6 7 8 9 9 10 11 12 13 13 14 15 16 www.mathematik-ist-schoen.de © Heinz Klaus Strick Leverkusen 2016