CLUB APOLLO 13, 12. Wettbewerb Aufgabe 1

CLUB APOLLO 13, 12. Wettbewerb
Aufgabe 1
Wie hoch ist der Turm und wo bin ich?
Diese Apollo-Aufgabe wird vom Fachbereich Geodäsie und Geoinformatik der Leibniz Universität
Hannover gestellt.
Ihr wollt mehr über den Studiengang Geodäsie und Geoinformatik erfahren? Dann besucht uns im
Internet unter www.gug.uni-hannover.de oder auf Facebook unter
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Die Vermessung der Welt ist eine moderne Wissenschaft; neben klassischen Messwerkzeugen
benutzen Geodätinnen, Geodäten, Geoinformatikerinnen und Geoinformatiker moderne Satellitentechnologien zur Fernerkundung und Positionsbestimmung. Sie entwickeln automatische, computergestützte Verfahren zur Erfassung, Verarbeitung, Analyse und Visualisierung raumbezogener
Informationen. Die Geodäsie und Geoinformatik umfasst dabei Fragestellungen der Raumplanung
und Stadtentwicklung und die Erstellung von Geoinformationssystemen inklusive der Datenbeschaffung, dem Datenmanagement und der Visualisierung der Daten, um sie vielfältig nutzbar zu machen. Die Wissenschaftler/innen aus diesen Fachbereichen sind an der Entwicklung von Navigationssystemen für Fahrzeuge beteiligt, sie messen die Verformung von Staudämmen oder die Verschiebung der Kontinentalplatten und den Meeresspiegelanstieg. Geodäsie und Geoinformatik
beinhalten eine Mischung aus mathematisch-physikalisch geprägter Ingenieur- und Geowissenschaft mit engen Bezügen zu den Rechts-, Umwelt- und Gesellschaftswissenschaften.
Die Aufgaben
a) Wie hoch ist der Turm? (10 Punkte)
Eine klassische Aufgabe der Geodäsie und Geoinformatik besteht
darin, Objekte geometrisch zu erfassen, also deren Lage und Form
zu bestimmen. In vielen Fällen sind diese Objekte nur schwer oder
gar nicht zugänglich, was die Vorgehensweise bei der Vermessung
bestimmt.
Vor einem solchen Problem standen z. B. die alten Griechen, als sie
versuchten die Höhe der ägyptischen Pyramiden zu bestimmen. Sie
nutzten die Strahlen der Sonne und wendeten dann den Strahlensatz an.
Aufgabe a.1
Verwendet dieses elementare geometrische Verhältnis der Strecken, um die Höhe eines Turmes oder eines sonstigen hohen Gebäudes in eurer Nähe zu bestimmen. Dokumentiert euer Experiment. Wiederholt eure Messung für unterschiedliche Sonnenstände Abbildung 1: Strahlensatz zur Höhenmessung.
und vergleicht die Ergebnisse.
Aufgabe a.2
In der Geodäsie werden für derartige Aufgaben üblicherweise Tachymeter verwendet. Man spricht
dann von einer trigonometrischen Höhenbestimmung, da man die Winkelbeziehungen im Dreieck
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ausnutzt. Mit einem Tachymeter lassen sich vertikale und horizontale Winkel sowie Strecken zwischen Punkten sehr schnell und genau bestimmen, daher auch der Name, der dem Griechischen
entspringt (tachýs = schnell, métron = Maß).
Im Folgenden soll ein/e Ingenieur/in die Höhe (HR) eines Windrades gegenüber einer für geodätische Anwendungen einheitlichen Bezugsfläche (Höhe über Normalnull HNN) bestimmen. Die MessR
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anordnung ist in Abbildung 2 dargestellt. Von dem Standpunkt A wurden die Zenitwinkel zA (von
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2
Horizontalwinkel sind Winkel, die in einer waagerechten Ebene, Vertikalwinkel solche, die in einer lotrechten Ebene gemessen werden.
Zenitwinkel sind an der Lotrichtung ausgerichtete Winkel (gezählt von der Richtung zum Zenit).
Club Apollo 13
Aufgabe 1 / 24.09.2012
B
Punkt A zum Rotor R) sowie zA (von Punkt A nach Punkt B) gemessen und auch die entsprechenA
R
den Zenitwinkel zB und zB . Ebenfalls wurde die Schrägstrecke sAB zwischen A und B sehr genau
bestimmt. Die Instrumentenhöhen HA und HB wurden mit einem Zollstock bestimmt. Ebenfalls liegen
A
B
genaue Höhen über NN für die Messpunkte A (HN ) und B (HN ) vor. Die Messelemente sind in
Tabelle 1 noch einmal zusammengefasst.
Hinweis: Geodäten geben Winkel oft in der Einheit [gon] an (von griechisch: „gonia“ = Winkel). Ein
Vollkreis hat danach 400 gon und 1 gon entspricht also 0.9 °.
Abbildung 2: Messanordnung zur Bestimmung der Turmhöhe im vertikalen
Hilfsdreieck.
sAB
sBA
B
zA
A
zB
R
zB
R
zA
HA
HB
A
HN
B
HN
52,4571 [m]
52,4568 [m]
99,0462 [gon]
100,9723 [gon]
67,9033 [gon]
78,1358 [gon]
1,575 [m]
1,514 [m]
49,6245[m]
50,4728 [m]
Tabelle 1: Zusammenstellung der Messelemente im vertikalen Hilfsdreieck.
Aufgaben zu a.2
i. Berechnet aus den gegebenen Daten die Höhe der Rotorachse über der Bezugsfläche NN mithilfe des Standpunktes A sowie mit dem Standpunkt B.
Hinweis: Denkt an die Winkel- und Streckenbeziehungen in Dreiecken.
ii. Erklärt euren Lösungsweg mithilfe von Skizzen.
iii. Welche Ursache könnten unterschiedlich bestimmte Höhen haben?
Club Apollo 13
Aufgabe 1 / 24.09.2012
b) Ein Turm auf der Erdkugel (10 Punkte)
In der Abbildung 2 ist eine ebene (planare) Bezugsfläche
angegeben. Da unsere Erde aber annähernd eine Kugel
ist, können wir immer nur bis zum Horizont sehen. Es stellt
sich die Frage, wie weit der Horizont für eine/n 1,78 m
große/n Monteur/in (Augenhöhe) ist, die/der auf einer
Plattform in Höhe des Rotorblattes aus Aufgabe a) steht.
Hierzu ist zunächst der Radius der Erde notwendig, der
wieder durch Messungen bestimmt wird. An dieser Stelle
greifen wir auf die historischen Messungen vom Begründer der wissenschaftlichen Geodäsie, Eratosthenes (276 –
195 v. Chr.) zurück. Seine Messungen fanden zwischen
Alexandria und Syrene (Assuan) statt, zwei Städte, die
annähernd auf einem Meridianbogen liegen. Während die
Sonne zur Sonnenwende in Syrene genau senkrecht stand, Abbildung 3: Querschnitt zur Bestimmung des Erdradius
nach Eratosthenes.
wurde in Alexandria mit Schattenstäben der Zenitwinkel der
Sonne gemessen (vgl. Abbildung 3). Mit den damals zur
Verfügung stehenden Mitteln wurde die Entfernung der beiden Städte auf ∆G =925.000 m bestimmt. Der gemessene Winkel in Alexandria betrug γ =7° 12' (sieben Grad, zwölf Minuten) bzw.
7,20° (oder 8,0 gon).
Aufgabe b.1
Vervollständigt die Abbildung 3 und bestimmt den historischen Erdradius R. Um wie viel Prozent
weicht dieser Wert von dem aktuellen Wert R = 6378 km ab?
Aufgabe b.2
Berechnet die Entfernung zum Horizont („letzter sichtbarer Punkt“) für eine/n 1,78 m große/n Monteur/in (Augenhöhe), die/der auf der Höhe des Rotorblattes auf einer Plattform steht. Geht davon
aus, dass die/der Monteur/in horizontal, also geradeaus, schaut.
Hinweis: Sofern ihr Schwierigkeiten bei der Lösung der vorherigen Aufgabe a.2 hattet, verwendet bitte den
aktuellen Wert für den Erdradius R (R=6378 km) und/oder die Höhe der Plattform (H = 100m).
c) Indirekte Positionsbestimmung (10 Punkte) – Für Profis
In der Geodäsie und Geoinformatik können die Positionen von Objekten oftmals nur indirekt bestimmt werden. Für die Bestimmung der Koordinaten solcher Objekte werden Objekte verwendet,
deren Positionen bekannt sind und mithilfe derer dann die gesuchte Koordinate abgeleitet werden
kann. In der klassischen terrestrischen Vermessung werden als bekannte Objekte oftmals Koordinatenpunkte des sogenannten amtlichen Landesbezugssystems genutzt, deren Koordinaten in
Datenbanken vorgehalten werden (je nach Koordinatensystem kartesische oder geografische Koordinaten). Die bekannten Punkte können dann im Folgenden beispielsweise genutzt werden, um
neue Objekte zu vermessen und deren Koordinaten in einem bekannten System darzustellen, topographische Aufnahmen durchzuführen oder die sogenannten Netze des Landesbezugssystems zu
verdichten. Aus den bekannten Punkten wird sozusagen rückwärts die gesuchte Position abgeleitet.
Aufgabe c.1
Ähnlich verhält es sich im folgenden Beispiel der X-Y-Ebene (Abbildung 4). Von einem Standpunkt
S werden die Winkel αn zu mehreren Punkten Pn gemessen. Außerdem ist die Lage der Punkte Pn
bekannt.
Bestimmt die Koordinaten des Punktes S .
Club Apollo 13
Aufgabe 1 / 24.09.2012
Punkte
X [m]
2250,00
Y [m]
3250,00
P2
3550,00
3600,00
P3
2850,00
2700,00
P1
Winkel
α1
116,9501 gon
α2
164,1382 gon
α3
118,9117 gon
Abbildung 4: Indirekte Positionsbestimmung - Messanordnung.
Aufgabe c.2
Sind von einem Standpunkt die räumlichen Distanzen zu drei Punkten bekannter Position bekannt,
kann daraus die Lage des eigenen Standpunktes bestimmt werden.
Berechnet die Koordinaten des eigenen Standpunktes O.
Punkte
A
B
C
Strecken
AO
BO
CO
X [m]
3888806.888
3880220.736
3892694.551
Y [m]
696452.798
701216.040
716297.039
Z [m]
4990808.120
4996997.005
4985590.542
16188.809 m
11562.454 m
12747.290 m
Viel Erfolg bei der ersten Aufgabe!
Club Apollo 13
Aufgabe 1 / 24.09.2012
Allgemeine Hinweise
Einsendeschluss: Sonntag, 21. Oktober 2012, 19:59 Uhr.
Gebt eure Lösungen über das Portal von uniKIK ab: http://www.unikik-portal.de/portal
Zulässige Dateiformate sind: PDF für die zusammengeschriebene Lösung (mit eingebetteten Bildern), sowie unter Windows gängige Videoformate, die sich ohne Installation von zusätzlicher Software abspielen lassen. (Denkt bitte an die Korrektoren/innen und deren Rechner.)
Die Dateien sollten nicht größer als 7,5 MB sein (Die Dateien können gezippt sein)! Bitte gebt auch
euren Teamnamen, die Namen der Gruppenmitglieder sowie deren Schulen an. Bitte benennt eure
angehängten Dateien nach dem Gruppennamen.
ACHTUNG bei Zip-Dateien! Um sicher zu gehen, dass eure Dateien wirklich fehlerfrei, und für die
Korrektoren/innen zu öffnen sind, solltet ihr eure Zip-Dateien etc. noch mal von eurem Account
runterladen und öffnen. Dateien die sich nicht öffnen lassen, können nicht bewertet werden!
Ihr könnt und solltet eure Lösung auch dann abgeben, wenn ihr nicht alle Fragen beantworten konntet, insbesondere die letzte Teilaufgabe (die Profi-Aufgabe) nicht gelöst habt! Vielleicht gelingt euch
das ja bei den kommenden Aufgaben.
Die Teilnahmebedingungen und weitere Informationen findet ihr unter: http://www.unikik.de/apollo13
Der Rechtsweg ist ausgeschlossen.
Club Apollo 13
Aufgabe 1 / 24.09.2012