11315 - Mathe-CD

Programmierter Text
Frage-Antwort-System
Training in 60 Schritten
Geometrie
De
mo
: M
ath
e-C
D
Klassenstufe 8/9
Satz des Pythagoras
mit Anwendungen
Ein Lernprogramm in 60 Schritten
zum Nachlernen und Wiederholen
mit abschließendem Fitnesstest
Datei Nr. 11315
Friedrich Buckel
23. Januar 2009
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
www.mathe-cd.de
!!! Arbeitsanweisung !!!
De
mo
: M
ath
e-C
D
Dieser Text ist etwas ganz Besonderes. Hier wird ein großes Thema in 60 Lern- und Trainingseinheiten aufgeteilt, so dass sich Erklärung mit Aufgabe und Lösung fortwährend abwechseln. Damit
bleibt die zu lösende Aufgabenstellung überschaubar klein. Wichtig ist, dass man hier eine sorgfältige
Heftführung durchzieht: Man schreibe sich die Nummer des Lernschrittes auf, dann die Formel oder
was wichtiges erklärt wird. Dann löse man die kleine Aufgabe. ERST DANN geht man zum nächsten
Abschnitt, der auf der Folgeseite steht. Dort vergleicht man seine Lösung. Musste man nachsehen,
weil man nicht wusste, wie man vorgehen sollte, dann sollte man nach dem Anschauen der Lösung
diese unbedingt nochmals alleine versuchen und ins Heft schreiben. Ich empfehle auch, den ganzen
Text vor dem Bearbeiten auszudrucken!
Achtung: Damit man nicht gleich die Lösung vor Augen hat, arbeite man zuerst die oberen
Abschnitte 1, 2, 3 usw. durch bis 20, dann fängt man wieder vorne bei 21 an usw.
Wer diese Abschnitte nur durchliest, hat wenig Nutzen davon, denn Lernen geschieht durch aktives
Betätigen des Gehirns, und Schreiben steht da an oberster Stelle!
Man kann oder sollte vielleicht einige Abschnitte im Zusammenhang wiederholen, wenn der Stoff
schwer war. Jeder hat sein eigenes Niveau und daher kann ich dieses Thema nicht für jeden gleich
gut gestalten.
Am Ende folgt eine Zusammenstellung der Methoden und Formeln sowie ein Fitnesstest. Dieser zeigt
dann, wie gut man gearbeitet bzw. wiederholt hat, und ob man ggf. nochmals einige Abschnitte
durcharbeiten sollte.
Die Erfahrung zeigt, dass diese Form des programmierten Lernens am effektivsten sein kann.
Vorausgesetzt, man geht sinnvoll damit um. Daher ist der erste Absatz dieser Anweisung unbedingt
einzuhalten.
Es gibt einige Texte, die zu Teilen dieses Texte passen:
11311
11312
11313
11321
11710
11512
Geometrie – Pythagoras
Geometrie – Kathetensatz
Geometrie – Höhensatz
Tetraeder
Koordinatengeometrie
Kreisteile
Inhalt
Grundlagen:
Übungen zur einfachen Handhabung
des Satzes von Pythagoras:
1 bis
18
Diagonale im Rechteck
z. B.: Diagonale im Quadrat
18 bis
20 bis
20
23
Das gleichschenklige Dreieck
z. B. Das gleichseitige Dreieck
23 bis
27 bis
27
31
31 bis
32 bis
32
34
34 bis
44
45 bis
49 bis
48
50
Spezielle Pyramidenaufgabe (!)
47 bis
50
Kreissegment
51 bis
55
56 bis
60
Quadratische Pyramiden
Ma
th
Kathetensatz
Höhensatz
e-C
Raumdiagonale im Quader
z. B. Raumdiagonale im Würfel
D
Anwendungen:
mo
:
Längenberechnung im Koordinatensystem
Nachwort
Seite 21
Seite 22
Fitnesstest
Seite 24
De
Lernblatt zum Satz des Pythagoras
(Ergebnisse aus diesem Heft!)
Lösungen dazu
Seite 26 - 33
11315
1
Lernprogramm zum Satz des Pythagoras
1 Die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks haben besondere Namen:
Die den rechten Winkel gegenüber liegende Seite
heißt Hypotenuse.
Kathete
Die beiden Schenkel des rechten Winkels heißen
Katheten.
Kathete
Hypotenuse
a
⌦
Schreibe auf, welches
die Katheten und wer die
Hypotenuse ist !
s
c
t
b
r
D
21 Für die Länge einer Diagonale eines Quadrats folgt aus dem Satz des
d2 = a2 + a2 also d2 = 2a2
Daraus zieht man die Wurzel: d =
2a2
d=a 2
a
a
Ma
th
Und dies ergibt
d
e-C
Pythagoras:
⌦ Wie lang ist also die Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge 8 cm ?
41
Gegeben ist eine senkrechte quadratische Pyramide durch
a = 14,3 cm und k = 25,0 cm.
S
S
k
1. Schritt: Berechnung der Pyramidenhöhe h.
h
mo
:
Im Dreieck MCS gilt nach Pythagoras:
k = h + ( 21 d) = h + 41 d
2
2
2
2
2
d2 = 2a2 (denn d ist ja nicht bekannt)
k 2 = h2 + 41 ⋅ 2a2 = h2 + 21 a2
De
Ersetzen:
Umstellen nach h (was ja gesucht ist): h = k −
Einsetzen: h =
2
2
1
4
D
k
h
M
M
1
2
d
C
A
Nach Pythagoras folgt k = hD + ( 21 a) = hD +
Umstellen nach hD: hD = k −
Einsetzen:
⌦
2
2
2
E
a
B
d2 = k 2 − 41 ⋅ 2a2 = k 2 − 21 a2
S
2. Schritt: Berechnung der Dachhöhe hD im Dreieck ECS
2
C
(252 − 21 ⋅ 14,32 ) cm ≈ 22,9 cm .
k 2 − 21 a2 =
2
hD
1
4
a
2
2
1
4
a2
⇒ hD = k − a
2
1
4
2
hD = 252 − 41 ⋅ 14,32 cm = 23,9557...cm ≈ 24,0 cm
k
hD
E
1
2
a
C
Vielleicht hast du die Dachhöhe hD aus dem Dreieck MES berechnet.
Das geht natürlich auch.
Wenn nicht, dann versuche dies jetzt noch.
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11315
2
Lernprogramm zum Satz des Pythagoras
a
2
s
c
t
b
r
Hier ist s die Hypotenuse, r und t sind Katheten.
Hier ist b die Hypotenuse, a und c sind Katheten.
C
Die häufigste Darstellung sieht so aus:
b
Dann ist c die Hypotenuse und a und b sind
die Katheten.
a
A
Doch ACHTUNG das muss nicht so sein!
B
c
22
e-C
D
⌦ Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit diesen Maßen:
c = 8 cm, a = 5 cm und γ = 90O
Miss die Länge der konstruierten Seite b!
Wenn a = 8 cm ist, folgt aus d = a 2 die Länge der Diagonalen zu d = 8 cm ⋅ 2 ≈ 11,3 cm .
⌦ Ein Quadrat hat eine Diagonale der Länge
S
Wir kennen a = 14,3 cm und k = 25,0 cm und haben schon
berechnet: h = 22,9 cm.
S
k
mo
:
Nun sollte die Dachhöhe hD aus dem
Dreieck MES neu bestimmt werden.
Nach Pythagoras folgt
hD 2 = h2 + ( 21 a) = h2 + 41 a2
2
hD = h + a
2
1
4
2
Eingesetzt: hD =
h
D
hD
h
M
1
2
a
hD
M
E
A
a
C
E
B
De
42
Ma
th
a) d = 3, 6 cm , b) d = 18 cm
Berechne die zugehörige Quadratseite.
22,92 + 41 ⋅ 14,32 cm
Rechts das Display des GTR.
Ergebnis:
hD ≈ 24,0 cm
Die untere Berechnung war aus dem Abschnitt 41 , die neue Berechnung zeigt davon eine
Abweichung. Sie beruht auf der Verwendung von h ≈ 22,9 cm . Diese Zahl ist bereits gerundet
und erzeugt somit die Abweichung.
⌦
Eine neue Aufgabe!
Von einer anderen quadratischen Pyramide kennt man die Höhe h = 50 cm und die
Dachhöhe hD = 70 cm. Berechne der Reihe nach die Grundkante a und die Dachkante k.
Baue die Lösung genau so auf wie es in 41 gezeigt worden ist!
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3
3
Lernprogramm zum Satz des Pythagoras
Konstruktion des Dreiecks aus c = 8 cm, a = 5 cm und γ = 90 :
C
O
γ
Konstruktionsbeschreibung:
Zeichne BC = a. Lege an BC in C einen rechten Winkel
γ
an.
b
Der Kreis um B mit Radius c schneidet den freien Schenkel
von γ in A.
Die Abmessung der so
konstruierten Strecke sollte
etwa 6,2 cm oder 6,3 cm ergeben.
a
c
A
B
Ich habe diese Länge berechnet. Ihr exakter Wert ist b =
Wir werden dies schon bald selbst berechnen lernen.
39 cm ≈ 6, 24 cm .
d
Für die Diagonale im Quadrat gilt d = a 2 . Daraus folgt a =
d = 3, 6 cm ergibt daher a =
a)
3, 6
2
d=
b)
18 cm ergibt a =
Neues Thema:
18
2
.
2
cm ≈ 2,5 cm
C
Ma
th
23
e-C
D
⌦ Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit diesen Maßen:
b = 3 cm, c = 4 cm und α = 90O
Miss die Länge der konstruierten Seite a!
cm =
18
cm = 9 cm = 3 cm .
2
Das gleichschenklige Dreieck.
a
b=a
Ein gleichschenkliges Dreieck hat diese Eigenschaften:
mo
:
(1) Zwei Seiten sind gleich lang (hier b = a),
(2) Zwei Winkel sind gleich groß,
(3) Die Höhe zur Basis (hier c) halbiert die Basis.
A
h
c
2
B
c
2
F
Damit zerlegt h das Dreieck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke.
43
Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Seiten a = 8 cm und c = 6 cm.
Berechne die Höhe h.
De
⌦
Gegeben sind h = 50 cm und hD = 70 cm.
S
S
(1) Berechnung von a:
Im Dreieck MES gilt:
hD2 = ( 21 a ) + h2 = 41 a2 + h2
2
h
M
Umgestellt nach a:
1
4
k
hD
h
D
1
2
a
a2 = hD 2 − h2 | ⋅ 4 ⇒ a2 = 4 (hD 2 − h2 )
hD
M
E
A
a
C
E
B
a = 2 hD 2 − h2 = 2 ⋅ 702 − 502 cm ≈ 98,0 cm
Wenn dies nicht geklappt hat, bitte nochmals üben.
Solche Rechnungen muss ein Schüler durchführen können!
⌦
Wenn noch nicht geschehen, berechne jetzt auf ähnliche Weise k. Es gibt 2 Möglichkeiten!
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4
4
Lernprogramm zum Satz des Pythagoras
α = 90O
Konstruktion des Dreiecks aus b = 3 cm, c = 4 cm und
C
Konstruktionsbeschreibung:
Zeichne AB = c. Lege an AB in A einen rechten Winkel
Trage auf dem freien Schenkel von
(Verbinde B mit C)
α
α
a
b
an.
b ab bis C.
A
Die Abmessung der so konstruierten Strecke a sollte
genau 5 cm ergeben !
α
B
c
Nun zur Berechnungsmethode. Sie wird dem altgriechischen Mathematiker Pythagoras
zugeschrieben und heißt SATZ des PYTHAGORAS..
⌦ Bitte umblättern!
2
Mit a = 8 cm und c = 6 cm erhält man dann
ACHTUNG:
2
( )
c
2
C
2
⇒ h = a2 − ( c2 ) = 64 − 9 cm = 55 cm ≈ 7,4 cm
2
Statt
( c2 )
2
kann man auch
c2
4
FALSCH ist jedoch diese Schreibweise
c2
2
statt
( c2 )
2
a
b=a
h
schreiben.
Ma
th
h2 = a2 − ( c2 )
2
D
Im Dreieck AFC (oder in BFC) gilt nach Pythagoras: a = h +
e-C
24
. Es muss nämlich der ganze
A
c
2
B
c
2
F
Bruch quadriert werden und nicht nur der Zähler!
⌦ Nun sei h = 12 cm und a = 15 cm gegeben. Berechne die Grundseite c!
(2) Berechnung von k:
S
De
1. Möglichkeit:
mo
:
44
k
h
M
Im Dreieck MCS gilt: k =
2
( 21 d)
2
+h
1
2
d
S
2. Möglichkeit:
k
hD
C
2
E
1
2
C
a
Im Dreieck ECS gilt:
Für die Diagonale im Quadrat gilt
k = EC + hD = ( 21 a ) + hD = 41 a + hD
d = a 2 bzw. d2 = 2a2
Also erhält man
. Also folgt
k 2 = 41 d2 + h2 = 21 a2 + h2 ⇒ k =
2
2
1
2
a 2 + h2 .
k=
⋅ 982 + 502 cm = 85,5 cm .
1
4
2
2
2
2
a2 + hD 2
k=
1
2
⌦
Wenn du diese Pyramidengeschichte nochmals üben willst, dann beginne bitte nochmals
=
1
4
2
⋅ 982 + 70 2 cm ≈ 85,4 cm
im Abschnitt 34 . Dann geht es in 45 weiter.
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5
5
Lernprogramm zum Satz des Pythagoras
Der SATZ des PYTHAGORAS ist eine verbale Gleichung, in der die Längen der drei
Dreiecksseiten eines rechtwinkligen Dreiecks stehen: Er lautet in Worten:
Das Hypotenusenquadrat ist gleich groß wie die Summe der Kathetenquadrate
Schauen wir uns das bei drei Dreiecken an:
a
b
a
D2
D1
s
c
t
b
D3
r
c
Im Dreieck D1 ist c die Hypotenuse, also gilt
für dieses Dreieck:
⌦
Wie lauten diese Formeln
c 2 = a2 + b2
e-C
D
für die Dreiecke D2 und D3 ?
25
Im Dreieck AFC (oder in BFC) gilt nach Pythagoras: a = h +
2
2
( c2 )
2
C
Wir müssen jetzt nach c umstellen, denn c ist zu berechnen. Dazu ersetzt man
2
=
c2 !! Es folgt:
4
c2
4
Nun die Wurzel ziehen: c =
(
= a2 − h2 | ⋅4 ergibt c 2 = 4 a2 − h2
(
Ma
th
( c2 )
)
)
4 a 2 − h2 = 2 a 2 − h2 .
(
die Formel für c so aus: c = 4 a − h
2
2
2
) = 4a
2
a
b=a
Man kann aber auch die Klammer mit der 4 ausmultiplizieren, dann sieht
h
− 4h2 ⇒ c = 4a2 − 4h2
Setzen wir h = 12 cm und a = 15 cm ein, dann folgt
c = 2 ⋅ 152 − 122 cm = 2 225 − 144 cm = 2 81 cm = 2 ⋅ 9 cm = 18 cm
A
c
2
2
2
mo
:
Bzw. c = 4 ⋅ 15 − 4 ⋅ 12 cm = 18 cm (Taschenrechner!).
Dies ist schwere Formelarbeit, die geübt werden muss.
c
2
F
⌦ Bitte wiederhole diese Rechnung und verwende a = 6,8 cm und h = 2,5 cm.
De
45
Der Kathetensatz (im rechtwinkligen Dreieck:)
Die Abbildung zeigt eine Darstellung für den Satz des
Pythagoras und für den Kathetensatz:
Nach Pythagoras ist a2 + b2 = c 2 .
a2 und b2 sind die Inhalte der oberen beiden Quadrate,
c2 ist der Inhalt des unteren großen Quadrats.
Die Flächeninhalte der oberen Quadrate ergeben
zusammen den Flächeninhalt des unteren Quadrats.
Der Kathetensatz betrachtet nur die Inhalte der oberen
Quadrate für sich all ein. Zeichnet man die Höhe von C
auf AB ein, entstehen die Hypotenusenabschnitte p und q.
b2
C
a2
q
p
A
c
B
q⋅ c
p ⋅c
Und es gilt: a2 = p ⋅ c und b2 = q ⋅ c .
⌦ Es sei a = 6 cm, p = 2 cm. Berechne c, q und b.
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B
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Lernprogramm zum Satz des Pythagoras
6
a
b
a
D2
D1
s
c
t
b
D3
r
c
Im Dreieck D1 ist c die Hypotenuse,
also gilt für dieses Dreieck:
In D2 ist b die Hypotenuse
also gilt für dieses Dreieck:
In D3 ist s die Hypotenuse
also gilt für dieses Dreieck:
b2 = a2 + c 2
s2 = r 2 + t2
c 2 = a2 + b2
C
⌦ Das nächste Dreieck wurde durch die Höhe h in zwei
rechtwinklige Dreiecke zerlegt.
Schreibe für beide die Formel auf, die nach dem
Satz des Pythagoras gilt!
A
: M
ath
e-C
D
26
Musterlösung: Im Teildreieck FBC gilt
c2
4
Es folgt:
(
b
a 2 = h2 +
(
q
( c2 )
= a2 − h2 | ⋅4 ergibt c 2 = 4 a2 − h2
)
2
= h2 +
)
a
h
F
C
c2
4
c = 4 a2 − h2 = 2 a2 − h2 = 2 6,82 − 2,52 cm ≈ 12,6 cm .
(für a = 6,8 cm und h = 2,5 cm. )
h
b=c
a
F
mo
A
A
c
2
F
c
2
h
c
B
De
46
a
b=a
C
⌦ Im neuen gleichschenkligen
Dreieck sei c = 24 cm gegeben
und h = 20 cm.
Berechne a.
B
p
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7
mo
:
Ma
th
e-C
D
Usw.
De
7
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