Musterlösung zur Klausur vom März 2009

LOTSE
Musterlösungen zur Klausur zum
Modul 2 im B.Sc.-Studiengang „Psychologie“
Termin: 9. März 2009, 14.00 - 18.00 Uhr
Prüfer bei Block 1 (Kurse 03607 und 33209): apl. Prof. Dr. H.-J. Mittag
Prüfer bei Block 2 (Kurse 33254 und 33208): Prof. Dr. K.-H. Renner
© 2009 FernUniversität in Hagen
Fakultät für Kultur- und Sozialwissenschaften
Alle Rechte vorbehalten.
Multiple-Choice-Aufgaben zu Block 1
Aufgabe 1 (Messen / Verfahren der Datenerhebung )
Welche der folgenden Aussagen sind richtig ?
(5 Punkte)
(x aus 5)
A) Die Validität eines Messinstruments charakterisiert, inwieweit ein Messinstrument
bei wiederholter Messung die gleichen Messwerte liefert.
B) Wenn man allgemeine Bevölkerungsumfragen als offene Online-Befragungen organisiert, ist mit erheblichen Verzerrungen zu rechnen.
C) Die Randomized Response Technik ist ein Verfahren der Datenerhebung, bei dem
in Interviews vollständige Anonymität der Befragten gewährleistet werden kann.
D) Die „Total-Design-Methode“ ist ein Ansatz der Datenerhebung, der vor allem darauf abzielt, die Rücklaufquote bei schriftlichen Befragungen zu erhöhen.
E) Das Quotenauswahlverfahren ist ein Verfahren der Zufallsauswahl, das Kostenvorteile gegenüber anderen Verfahren der Datenerhebung bietet.
Lösung: B, C, D.
Zu A: Schnell / Hill / Esser, Abschnitt 4.3. Wenn man in der Aussage „Validität
(Gültigkeit)“ durch „Reliabilität (Zuverlässigkeit“ ersetzte, wäre sie richtig - vgl. auch
Kromrey, Abschnitt 5.7.
zu B: Diekmann, Kapitel X, Abschnitt 11;
zu C: Diekmann, Kapitel X, Abschnitt 7;
zu D: Diekmann, Kapitel X, Abschnitt 10;
zu E: Kromrey, Abschnitte 6.3 - 6.4.
Anmerkung: Aussage E besteht aus den Teilausaussagen „Das Quotenauswahlverfahren ist ein Verfahren der Zufallsauswahl“ und „Das Quotenauswahlverfahren bietet
gegenüber anderen Datenerhebungsverfahren Kostenvorteile“. Die Gesamtaussage ist nur
dann richtig, wenn beide Teilaussagen gleichzeitig zutreffen. Die erste Teilaussage ist aber
unzutreffend (s. die Übersicht am Ende von Abschnitt 6.3 im Kurs von Kromrey), so
dass der Wahrheitsgehalt der Gesamtaussage eindeutig beurteilbar ist. Dennoch wurde
bei dieser Aussage generell ein Punkt vergeben, weil der Wahrheitsgehalt der zweiten
Teilaussage aus der Pflichtlektüre nur schwer zu erschließen ist.
2
Aufgabe 2 (Befragungen)
Welche der folgenden Aussagen sind richtig ?
(5 Punkte)
(x aus 5)
A) Bei einem Telefoninterview ist der Einfluss von Einflüssen, die in der Person des
Interviewers liegen, geringer als bei einem persönlichen Interview (Face-to-FaceInterview).
B) Bei Befragungen wird manchmal die Methode der Klumpenauswahl herangezogen.
Diese stellt ein zweistufiges Auswahlverfahren dar, bei dem auf der ersten Stufe eine
Zufallsauswahl von Teilmengen einer Grundgesamtheit erfolgt und auf der zweiten
Stufe eine Untersuchung aller Elemente der zufällig ausgewählten Teilmengen.
C) Das narrative Interview ist ein Beispiel für eine strukturierte Befragung.
D) Bei Interviews sind Antwortverzerrungen möglich, die z. B. in der Art der Frageformulierung begründet sein können.
E) Non-Response, also Antwortausfälle durch Antwortverweigerung oder Nichterreichbarkeit bei Befragungen, kann die Repräsentativität einer Stichprobe stark beeinträchtigen, also zu verzerrten Stichproben führen.
Lösung: A, B, D, E.
Zu A: Diekmann, Kapitel X, Abschnitt 9;
zu B: Kurs 33209, Abschnitt 3.2, und Kromrey, Abschnitt 6.3.2;
zu C: Diekmann, Kapitel X, Abschnitt 12;
zu D: Diekmann, Kapitel X, Abschnitt 4;
zu E: Diekmann, Kapitel X, Abschnitt 11.
3
Aufgabe 3 (Merkmalsklassifikationen)
(5 Punkte)
Ein Konzern will im Rahmen von Neubauplanungen auch Informationen über den
Bedarf an Parkplätzen und Kinderbetreuungsplätzen für seine Mitarbeiter gewinnen. Hierfür werden alle Beschäftigten gebeten, Angaben zu folgenden Merkmalen
zu machen:
1 Anzahl der im Haushalt lebenden Kinder
2 Alter der im Haushalt lebenden Kinder
3 Verkehrsmittel, das für die Fahrt zur Arbeitsstätte überwiegend genutzt wird
(z. B. eigener PKW, Fahrrad, Bus, ...)
4 Entfernung zwischen Wohnung und Arbeitsstätte
5 Einschätzung des vom Arbeitgeber aktuell vorgehaltenen Kinderbetreuungsangebots (1 = sehr gut, ... , 6 = völlig unzureichend).
Welche der folgenden Aussagen sind richtig ?
(x aus 5)
A) Die Merkmale 1, 2 und 4 sind metrisch skaliert.
B) Das Merkmal 3 ist nominalskaliert, Merkmal 5 hingegen ordinalskaliert.
C) Metrisch skalierte Merkmale lassen sich – unter Informationsverlust – auch
auf einer Ordinalskala messen.
D) Bei ordinalskalierten Merkmalen ist die Differenzenbildung zulässig, nicht
aber bei nominalskalierten Merkmalen.
E) Merkmal 1 ist ein Beispiel für ein diskretes Merkmal, Merkmal 4 für ein
stetiges Merkmal.
Hinweis: Der Begriff „metrische Skala“ wird als Oberbegriff für „Intervallskala“,
„Verhältnisskala“ und „Absolutskala“ verwendet.
Lösung: A, B, C, E.
Zu D: Vgl. Kurs 33209, Tabelle 2.1.
4
Aufgabe 4 (Häufigkeitsverteilungen)
(5 Punkte)
Die nachstehende Abbildung zeigt im oberen Teil die relative Häufigkeitsverteilung
anhand eines Stabdiagramms und im unteren Teil die relative kumulierte Häufigkeitsverteilung für einen 20 Werte umfassenden Datensatz, der durch ein Würfelexperiment zustande kam (20-maliges Würfeln mit einem Würfel). Die relativen
Häufigkeiten sind im Stabdiagramm auch numerisch ausgewiesen.
Welche der folgenden Aussagen sind richtig ?
(x aus 5)
A) Bei den 20 Würfen trat 6-mal die Augenzahl 5 auf.
B) Von den 20 Würfen führten 12 zu Augenzahlen, die unter 5 lagen.
C) Von den 20 Würfen führten 14 zu Augenzahlen, die unter 5 lagen.
D) Durch Angabe der relativen Häufigkeiten oder der kumulierten relativen Häufigkeiten ist die empirische Verteilung des Merkmals „Augenzahl X“ eindeutig
bestimmt.
E) Die relativen Häufigkeiten gehen aus den absoluten Häufigkeiten hervor, indem man letztere durch den Umfang n des Datensatzes dividiert.
Lösung: A, B, D, E.
Zu E: vgl. Kurs 33209, Formel (4.2).
5
Aufgabe 5 (Kenngrößen empirischer Verteilungen)
(5 Punkte)
Bei 20 Arbeitnehmern eines mittelständischen Betriebes mit 150 Beschäftigten
wurde die Zeit gemessen, die sie täglich am Bildschirm verbringen (Angaben in
vollen Stunden). Es ergab sich der nachstehende Datensatz:
3, 4, 1, 2, 2, 6, 5, 4, 3, 5, 2, 2, 5, 2, 5, 4, 1, 2, 5, 5.
Welche der folgenden Aussagen sind richtig ?
(x aus 5)
A) Der Datensatz besitzt zwei Modalwerte.
B) Der Mittelwert des Datensatzes ist durch 3, 4 gegeben.
C) Der Median des Datensatzes hat den Wert 3, 0.
D) Streicht man bei obigem Datensatz den ersten Wert (also die erste 3), bleibt
der Median unverändert.
E) Die Spannweite des Datensatzes hat den Wert 6.
Lösung: A, B.
Zu A: Sowohl 2 als auch 5 treten je 6-mal auf (beides Modalwerte).
Zu B: Der Mittelwert hat den Wert 3,4 (n = 20).
Zu C und D: Der Median hat im Falle n = 20 den Wert 3,5, im Falle n = 19 den
Wert 4,0.
Zu E: Die Spannweite hat den Wert R = 6 − 1 = 5.
6
Aufgabe 6 (Visualisierung empirischer Verteilungen)
(5 Punkte)
Es sei erneut der 20 Werte umfassende Datensatz aus Aufgabe 5 betrachtet. Welche
der folgenden Aussagen sind richtig ?
(x aus 5)
A) Die durch obigen Datensatz definierte empirische Verteilung lässt sich z. B.
anhand eines Stabdiagramms für absolute Häufigkeiten oder relative Häufigkeiten visualisieren. Beim Übergang von der einen zur anderen Darstellungsform ändert sich nur die Skalierung der Ordinatenachse.
B) Die empirische Verteilung des Datensatzes lässt sich ohne Informationsverlust
auch anhand eines Boxplots veranschaulichen.
C) Ein Boxplot (einfachste Variante) veranschaulicht 5 Charakteristika des Datensatzes. Der Median ist genau in der Mitte der Box eingezeichnet.
D) Anfang und Ende der Box sind durch das untere resp. das obere Quartil des
Datensatzes bestimmt.
E) Wenn man die Zeitangaben für alle 150 Beschäftigten hätte und zwar mit
höherer Genauigkeit (Angaben in Minuten statt in vollen Stunden), könnte
man die Daten zu Klassen zusammenfassen (z. B. Gruppierung der Daten zu
1-Stunden-Bereichen) und die Klassenbesetzungshäufigkeiten anhand eines
Histogramms darstellen.
Lösung: A, D, E
Zu B: Die Aggregation von 20 Werten der Urliste auf nur 5 Kenngrößen ist natürlich mit Informationsverlust verbunden.
Zu C: Der Median ist nur bei einer symmetrischen empirischen Verteilung in der
Mitte der Box (vgl. auch Abbildung 5.4 in Kurs 33209).
Anmerkung:
Aussage C war als allgemeine Aussage konzipiert, deren Wahrheitsgehalt unabhängig von einem konkreten Datensatz beurteilt werden sollte. Die Aussage konnte aber auch so interpretiert werden, dass sie in Verbindung mit dem Datensatz
aus Aufgabe 5 bewertet werden sollte – bei der Visualisierung dieses Datensatzes
anhand eines Boxplots liegt der Median genau in der Mitte der Box. Aufgrund
dieser Unschärfe wurde für Aufgabenteil C generell ein Punkt vergeben.
7
Aufgabe 7 (Zusammenhangsmessung)
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
(5 Punkte)
(x aus 5)
A) Der Korrelationskoeffizient r nach Bravais-Pearson misst die Stärke eines linearen Zusammenhangs zwischen zwei Merkmalen X und Y .
B) Wenn r = 1 ist, bedeutet dies, dass die Datenpaare (x1 , y1 ), ..., (xn , yn ) alle
auf einer steigenden oder fallenden Geraden liegen.
C) Im Falle r = 0 ist noch nicht ausgeschlossen, dass zwischen den Merkmalen
X und Y ein nicht-linearer Zusammenhang besteht.
D) Der Rangkorrelationskoeffizient rSP nach Spearman ist ein für ordinalskalierte
Merkmale anwendbares Zusammenhangsmaß, das – wie der Korrelationskoeffizient r nach Bravais-Pearson – stets Werte zwischen −1 und +1 annimmt.
E) Der Rangkorrelationskoeffizient rSP lässt sich auch auf metrisch skalierte
Merkmale anwenden. Die in den Daten enthaltene Information wird dann
aber nicht ausgeschöpft, weil bei der Berechnung von rSP nur die Rangpositionen der Werte für X resp. für Y verarbeitet werden.
Lösung: A, C, D, E.
Zu B: Wenn alle Punkte auf einer fallenden Geraden liegen, gilt r = −1 (vgl. auch
Abbildung 9.2 im Kurs 33209).
8
Aufgabe 8 (Kombinatorik)
(5 Punkte)
Eine „faire“ Münze, also eine Münze mit gleichen Eintrittswahrscheinlichkeiten für
„Kopf“ und „Zahl“, wird n-mal geworfen und die Anzahl X der Ausgänge mit „Zahl“
festgestellt. Welche der folgenden Aussagen sind richtig ?
(x aus 5)
A) Die Wahrscheinlichkeit dafür, im Falle n = 3 höchstens einmal „Zahl“ zu
erhalten, ist 0, 5.
B) Die Wahrscheinlichkeit dafür, im Falle n = 3 genau einmal „Zahl“ zu erhalten,
ist 0, 375.
C) Die Wahrscheinlichkeit dafür, im Falle n = 4 mindestens einmal „Zahl“ zu
erhalten, ist kleiner als 0, 9.
D) Die Wahrscheinlichkeit dafür, im Falle n = 4 mindestens einmal „Zahl“ zu erhalten, ist genau so groß wie die Wahrscheinlichkeit höchstens dreimal „Zahl“
zu erzielen.
E) Die Anzahl X der Ausgänge mit „Zahl“ lässt sich durch eine Binomialverteilung mit den Parametern n und p = 0, 5 modellieren.
Lösung: A, B, D, E.
Zu A: Die Verteilungsfunktion F (x) der Binomialverteilung mit n = 3 und p = 0, 5
nimmt für x = 1 den Wert F (1) = 0, 500 an (s. Tabelle 19.1).
Zu B: Die Differenz der Werte F (1) und F (0) der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung mit n = 3 und p = 0, 5 ist gegeben durch F (1)−F (0) = 0, 500−0, 125 =
0, 375 (vgl. wieder Tabelle 19.1).
Zu C: Die Wahrscheinlichkeit bei 4 Würfen 0-mal „Zahl“ zu erhalten, ist durch den
Wert F (0) = 0, 0625 der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung mit n = 4
und p = 0, 5 gegeben. Gesucht ist hier die Gegenwahrscheinlichkeit 1 − F (0) =
1 − 0, 0625 = 0, 9375.
9
Aufgabe 9 (Konfidenzintervalle)
(5 Punkte)
Welche der folgenden Aussagen, die sich auf Konfidenzintervalle für den Erwartungswert µ = E(X) eines normalverteilten Merkmals X mit bekannter Varianz
σ 2 beziehen, sind richtig ?
(x aus 5)
A) Das Konfidenzintervall für µ zum Konfidenzniveau 1 − α wird schmaler, wenn
der Stichprobenumfang n erhöht wird.
B) Das Konfidenzintervall für µ zum Konfidenzniveau 1 − α wird schmaler, wenn
1 − α erhöht, also die Irrtumswahrscheinlichkeit α verkleinert wird.
C) Der unbekannte Parameter µ kann auch außerhalb des Konfidenzintervalls
liegen.
D) Die Grenzen eines Konfidenzintervalls lassen sich als Ausprägungen von Stichprobenfunktionen interpretieren, also als Realisationen von Zufallsvariablen.
E) Keine der vorstehenden Aussagen ist richtig.
Lösung: A, C, D.
Zu A: Vgl. hierzu in Kurs 33209 die Formel (14.15) sowie die Abbildungen 14.2
und 14.3.
Zu B: Wenn in Formel (14.15) der Wert α verkleinert wird, bedeutet dies, dass
p := 1 − α2 etwas größer wird und damit auch das Quantil zp (vgl. Tabelle 19.3 in
Kurs 33209).
Zu C und D: Die Abbildungen 14.2 und 14.3 des Kurses 33209 liefern Beispiele für
die Korrektheit der Aussage.
10
Aufgabe 10 (Normalverteilung; Standardnormalverteilung)
Welche der folgenden Aussagen sind richtig ?
(5 Punkte)
(x aus 5)
A) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine normalverteilte Zufallsvariable eine
Ausprägung x mit x ≤ 0 annimmt, beträgt 0, 5.
B) Jede normalverteilte Zufallsvariable kann anhand einer Lineartransformation
in eine standardnormalverteilte Zufallsvariable überführt werden.
C) Der Wert der Verteilungsfunktion einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen an der Stelle 1 stimmt mit dem Wert der Verteilungsfunktion an der
Stelle −1 überein.
D) Die Wahrscheinlichkeit P (X ≤ a) dafür, dass eine normalverteilte Variable
X eine Ausprägung hat, die nicht größer als a ist, entspricht dem Wert der
Verteilungsfunktion F (x) der betreffenden Normalverteilung an der Stelle x =
a.
E) Ist Z eine standardnormalverteilte Zufallsvariable, so ist für diese die Bedingung P (Z ≤ a) = 0, 975 erfüllt, wenn man für a den Wert a = 1, 96 wählt.
Lösung: B, D, E.
Zu A: Die Aussage gilt nur für die Standardnormalverteilung.
Zu B: Vgl. in Kurs 33209 den Text vor der Tabelle 19.2.
Zu C: Die Aussage wäre für die Dichtefunktion zutreffend, nicht aber für die Verteilungsfunktion Φ(z) (vgl. die obere Hälfte von Abbildung 12.2 in Kurs 33209).
Für Φ(z) gilt gemäß (12.20) vielmehr Φ(1) = 1 − Φ(−1).
Zu E: Der Wert a ist das 0, 975-Quantil der Standardnormalverteilung (s. Tabelle
19.2).
11
Aufgabe 11 (Testen, Fehler beim Testen)
(5 Punkte)
Es seien n Beobachtungen für ein Merkmal gegeben. Die Werte werden als Realisationen unabhängig identisch normalverteilter Stichprobenvariablen X1 , ..., Xn
aufgefasst (Normalverteilung mit unbekanntem Erwartungswert µ und Varianz
σ 2 ). Getestet werden soll
H0 : µ = µ0
gegen
H1 : µ 6= µ0
und zwar zum Signifikanzniveau α (zweiseitiger Test).
Welche der folgenden Aussagen sind richtig ?
(x aus 5)
A) Wenn man die Varianz σ 2 als bekannt annimmt, kann man den standardisierten Stichprobenmittelwert Z = (X − µ0 )/σX als Prüfgröße für den Test
heranziehen (Gauß-Test). Die Dichte dieser Prüfgröße ist symmetrisch bezüglich des Nullpunkts.
B) Die Nullhypothese wird verworfen, wenn die Prüfgröße einen Wert annimmt,
der innerhalb des Ablehnungsbereichs liegt. Die Grenzen des Ablehnungsbereichs hängen vom Signifikanzniveau α ab.
C) Die fälschliche Verwerfung der Nullhypothese H0 wird als Fehler 1. Art bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Fehlers 1. Art hat beim
hier betrachteten Test den Wert α.
D) Wenn die Prüfgröße im Annahmebereich liegt, kann die Nullhypothese als
statistisch „bewiesen“ angesehen werden, in dem Sinne, dass ihre Gültigkeit
mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α als gesichert angenommen werden
kann.
E) Wenn man bei obigem Test die Varianz σ 2 resp. die Standardabweichung σ
nicht als bekannt voraussetzen kann und eine Schätzung σ
b heranzieht (Schätzung von σ durch die korrigierte Stichprobenstandardabweichung), ist die resultierende Prüfgröße t-verteilt. Die Grenzen des Ablehnungsbereichs für die
Nullhypothese liegen dann – bei unverändertem Signifikanzniveau α – enger
zusammen.
Beachten Sie auch Aufgabe 43, die an die vorstehende Aufgabe direkt anknüpft.
Lösung: A, B, C.
Zu C: Vgl. auch Tabelle 15.1 in Kurs 33209.
Zu D: Wenn die Prüfgröße im Ablehnungsbereich liegt, kann die Alternativhypothese H1 (nicht aber die Nullhypothese) als statistisch „bewiesen“ angesehen
werden, in dem Sinne, dass ihre Gültigkeit mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit
von α als gesichert angenommen werden kann.
Zu E: Die Grenzen des Ablehnungsbereichs rücken etwas weiter auseinander (s.
Abbildung 15.2 in Kurs 33209).
12
Numerische Aufgaben zu Block 1
Aufgabe 41 (Konzentrationsmessung)
(4 Punkte)
In einer Region konkurrieren fünf Energieversorgungsunternehmen. Es seien x1 =
10, x2 = 30, x3 = 40, x4 = 50 und x5 = 70 die Umsätze dieser Firmen im letzten
Geschäftsjahr (Umsätze jeweils in Millionen Euro). Die nachstehende Abbildung
zeigt die auf der Basis dieser Umsatzdaten errechnete Lorenzkurve (Polygonzug).
Die Stützpunkte (ui , vi ) der Lorenzkurve sind auf der Lorenzkurve betont. In der
Tabelle neben der Grafik sind die Abszissenwerte ui der Lorenzkurve schon eingetragen.
i
0
1
2
3
4
5
ui
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
vi
0
v1
v2
v3
v4
1
Geben Sie den Flächeninhalt A an, der in der Abbildung dunkel markiert ist.
Gemeint ist also der Inhalt der Fläche, die von der Lorenzkurve und der Strecke
gebildet wird, die den Nullpunkt (0; 0) mit dem Punkt (1; 1) verbindet. Geben Sie
Ihre Antwort mit drei Nachkommastellen rechtsbündig in das Antwortfeld ein. Verwenden Sie für das Dezimalkomma unbedingt ein eigenes Feld. Falls Sie also z.
B. „0,36“ errechnen, tragen Sie in die letzten fünf Felder „0,360“ ein. Vergessen Sie
nicht, Ihre Antwort rechtzeitig vor Ende der Klausur auf den Markierungsbogen
zu übertragen.
(numerisch)
A=
Lösung: Der unnormierte Gini-Koeffizient errechnet sich zu G = 0, 28 – vgl. auch
Formel (6.5) in Kurs 33209. Die veranschaulichte Fläche entspricht G2 = 0, 14.
Anmerkung: Wenn anstelle von 0, 14 der Wert 0, 28, also G statt G2 , eingetragen
wurde, wurde nur ein Punkt abgezogen (Vergabe von 3 Punkten). Wenn der Wert
0, 56 angegeben wurde, der Wert G also versehentlich verdoppelt statt halbiert
wurde, wurden 2 Punkte vergeben.
13
Aufgabe 42 (Kombinatorik)
(4 Punkte)
Bei der Deutschen Meisterschaft in der Disziplin 100-m-Lauf (Herren) treten im
Endlauf sechs Kandidaten K1, K2, ...K6 gegeneinander an. Wieviele Möglichkeiten
für die Verteilung der ersten drei Plätze gibt es? Tragen Sie Ihr Ergebnis rechtsbündig in das Antwortfeld ein. Übertragen Sie Ihr Ergebnis rechtzeitig vor Ende
der Klausur auf den Markierungsbogen.
(numerisch)
Lösung:
6!
6 · 4 · ... · 1
=
= 6 · 5 · 4 = 120.
(6 − 3)!
3·2·1
Kommentar : In der Terminologie des Urnenmodells werden n = 3 Kugeln aus einer
Urne mit N = 6 nummerierten Kugeln ohne Zurücklegen gezogen und mit Berücksichtigung der Anordnung. Es ist also die erste der in der ersten Zeile von Tabelle
10.1 des Kurs 33209 wiedergegebenen Formeln mit n = 3 und N = 6 anzuwenden.
Anmerkung: Falls fälschlich die zweite Formel in der ersten Zeile von Tabelle 10.1
mit n = 3 und N = 6 angewendet wurde (das Ergebnis lautet dann 63 = 216), die
sich auf den Fall des Ziehens mit Zurücklegen gezogen und mit Berücksichtigung
der Anordnung bezieht, wurde ein Punkt vergeben, weil hier zumindest der Fall
“Ziehen mit Zurücklegen“ erkannt wurde. Wenn versehentlich die erste Formel aus
der zweiten Zeile von Tabelle 10.1 angewendet wurde, die beim Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Anordnung zutrifft, gab es nur deswegen
die volle Punktzahl, weil hier – zufällig – ebenfalls der Wert 120 als Ergebnis resultiert.
Aufgabe 43 (Gauß-Test)
(4 Punkte)
Berechnen Sie für den Gauß-Test aus Aufgabe 11 (s. dort die Aufgabenteile A-B)
für den Fall α = 0, 05 zunächst die Grenzen des Annahmebereichs für die Nullhypothese und tragen Sie dann in das Antwortfeld ein, wie weit diese beiden Werte
auseinander liegen. Es ist also die Länge des Annahmebereichs gesucht. Geben Sie
ihre Antwort auf vier Dezimalstellen nach dem Komma genau an. Falls Sie für den
Annahmebereich das Intervall [a; b] errechnen mit irgendwelchen Werten a und b
und für die Länge b − a des Intervalls z. B. 4, 523, wäre 4, 5230 in die sechs Felder einzutragen. Das Dezimalkomma muss also auch hier unbedingt ein eigenes
Feld belegen.
14
(numerisch)
Lösung: Die Grenzen des Annahmebereichs sind durch die Quantile zα/2 = −z1−α/2
und z1−α/2 der Standardnormalverteilung gegeben (s. Abbildung 15.1), also durch
−z0,975 und z0,975 . Nach Tabelle 19.2 ist z0,975 = 1, 96. Der Annahmebereich [−1, 96; 1, 96]
ist also ein Intervall der Länge 3, 92.
Anmerkung: Für die Standardisierung des Stichprobenmittelwerts und die mit
ihr einhergehende Berechnung einer Realisation der Prüfstatistik Z (Formel 15.2
im Kurs) werden noch Informationen benötigt, die in der obigen Aufgabe fehlten
– z. B. die Angabe des Stichprobenumfangs n. Erst mit Kenntnis des Werts der
Prüfgröße kann eine Testentscheidung getroffen werden. Hier war allerdings nur
die Berechnung der Länge des Annahmebereichs verlangt, für deren Berechnung
bei diesem Test die Angabe eines Werts für die Irrtumswahrscheinlichkeit α genügt.
Für diese Aufgabe wurde generell die volle Punktzahl gegeben (Ausnahmeregelung), weil es an einem Klausurort mit dieser Aufgabe ein Problem gab.
Aufgabe 44 (Wahrscheinlichkeiten bei Normalverteilung)
(4 Punkte)
Bei der Serienfertigung eines bestimmten Schraubentyps ist aus der Auswertung
eines Produktionsvorlaufs bekannt, dass der Durchmesser X des Schraubenkopfs
normalverteilt ist mit Erwartungswert µ = 6, 0 (Zielwert) und einer Standardabweichung σ = 0, 01 (Angaben in mm), also X ∼ N (6; 0, 012 ). Weicht der Schraubenkopfdurchmesser bei einer Schraube um mehr als 0, 02 (mm) nach oben oder
nach unten vom Zielwert ab, d. h. liegt eine beobachtete Realisation x von X nicht
im Intervall [5, 98; 6, 02], so ist die Schraube für den vorgesehenen Einsatzzweck
nicht brauchbar. Sie gilt dann als Ausschuss.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P dafür, dass der Durchmesser einer Schraube
im Intervall [5, 98; 6, 02] liegt, die Schraube also kein Ausschuss ist? Geben Sie das
Ergebnis auf vier Stellen nach dem Dezimalkomma genau an. Verwenden Sie für
das Dezimalkomma ein eigenes Feld. Falls Sie also z. B. „0,8934“ errechnen,
tragen Sie in die letzten sechs Felder „0,8934“ ein. Vergessen Sie nicht, Ihre Antwort
rechtzeitig vor dem Ende der Klausur auf den Markierungsbogen zu übertragen.
(numerisch)
P =
Lösung: 0, 9544
15
Herleitung:
P (5, 98 ≤ X ≤ 6, 02) = P (−0, 02 ≤ X − 6 ≤ 0, 02) = P (−2 ≤ Z ≤ 2) = Φ(2) − Φ(−2).
Nach Tabelle 19.2 ist Φ(2) = 0, 9772. Ferner gilt Φ(−2) = 1 − 0, 9772 = 0, 0228.
Damit ist Φ(2) − Φ(−2) = 0, 9544.
Anmerkung: Bei der maschinellen Auswertung wurden Werte von 0, 95 bis 0, 96
als richtig anerkannt. Bei Eintragung des Wertes 0, 9772, also Φ(2) statt Φ(2) −
Φ(−2), wurde ein Punkt vergeben, weil hier zumindest der Wert Φ(2) korrekt ermittelt wurde.
Aufgabe 45 (Kleinst-Quadrat-Schätzung)
(4 Punkte)
Für zwei Merkmale X und Y stehen 6 Beobachtungswerte (x1 , y1 ), ..., (x6 , y6 ) zur
Verfügung, nämlich die Werte (6, 0; 3, 0), (5, 0; 3, 2), (7, 0; 2, 5), (7, 0; 2, 3), (8, 0; 2, 0)
und (9, 0; 2, 0). Für diesen Datensatz wurde nach der Methode der kleinsten Quadrate eine Regressionsgerade
b
yb = α
b + βx.
bestimmt, wobei sich für βb aus den Daten der Wert βb = −0, 34 ergab. Errechnen
Sie auch den Wert α
b, der sich nach der Kleinst-Quadrat-Methode ergibt. Tragen
Sie Ihr Ergebnis rechtsbündig und auf zwei Stellen nach dem Dezimalstellen genau
in das Antwortfeld ein. Sie würden also vier Felder benötigen, wenn etwa „5,43“
Ihre Lösung wäre, denn das Dezimalkomma muss auch hier wieder ein eigenes Feld belegen. Vergessen Sie nicht, Ihre Antwort rechtzeitig vor dem Ende der
Klausur auf den Markierungsbogen zu übertragen.
(numerisch)
α
b=
Lösung: Es ist α
b = y − βb · x. Aus den Daten erhält man x = 7 und y = 2, 5 und
folglich α
b = 2, 5 − (−0, 34) · 7 = 2, 5 + 2, 38 = 4, 88.
Anmerkung: Bei der maschinellen Auswertung wurden Werte von 4, 87 bis 4, 89
als richtig anerkannt. Wenn allerdings anstelle von 4, 88 der Wert 0, 12 als Lösung
eingetragen wurde, wurde nur ein Punkt abgezogen (Vergabe von 3 Punkten), weil
hier offenbar nur ein Vorzeichen übersehen wurde und fälschlich α
b = 2, 5−0, 34·7 =
2, 5 − 2, 38 gerechnet wurde.
16
Aufgaben zu Statistik 2
Aufgabe 12 (Moderator- und Mediatorvariablen)
In der Psychologie werden häufig multivariate Zusammenhänge untersucht. Dabei werden
u.a. sogenannte Moderator- und Mediatorvariablen berücksichtigt. Bei der statistischen
Analyse solcher Zusammenhänge erhält man beispielsweise die nachfolgenden SPSSTabellen.
Tabelle 1: Koeffizientena
Standardisierte
Nicht standardisierte Koeffizienten
Koeffizienten
Regressionskoeffizient
Modell
1
B
Standardfehler
(Konstante)
X1
-1,121
,855
1,644
,374
T
Beta
,566
Sig.
-1,311
,197
4,401
,000
a. Abhängige Variable: X2
Tabelle 2: Koeffizientena
Standardisierte
Nicht standardisierte Koeffizienten
Koeffizienten
Regressionskoeffizient
Modell
1
B
Standardfehler
(Konstante)
X1
2,932
,399
,446
,175
T
Beta
,371
Sig.
7,341
,000
2,554
,014
a. Abhängige Variable: Y
Tabelle 3: Koeffizientena
Standardisierte
Nicht standardisierte Koeffizienten
Koeffizienten
Regressionskoeffizient
Modell
1
B
(Konstante)
Standardfehler
3,012
,408
X1
,329
,212
X2
,071
,073
T
Beta
Sig.
7,382
,000
,274
1,554
,128
,171
,971
,338
a. Abhängige Variable: Y
1
Welche der nachfolgenden Aussagen zu Moderatoren und Mediatoren sind richtig?
A Grundsätzlich, d.h. unabhängig von den oben abgebildeten SPSS-Tabellen, liegt ein
Moderatoreffekt vor, wenn die Enge des Zusammenhangs zwischen einer
Prädiktorvariable (erklärende Variable, Regressor) und einem Response von der
Ausprägung einer anderen erklärenden Variable abhängt.
B Grundsätzlich, d.h. unabhängig von den oben abgebildeten SPSS-Tabellen, liegt ein
Mediatoreffekt vor, wenn die Interaktion einer Prädiktorvariable mit einer anderen
erklärenden Variable einen Response „beeinflusst“.
C Aus den SPSS-Tabellen geht ein vollständiger Mediationseffekt von X2 hervor.
D Aus den SPSS-Tabellen geht ein Moderatoreffekt von X2 hervor.
E Aus der ersten SPSS-Tabelle geht hervor, dass der Prädiktor X1 mit dem potentiellen
Mediator X2 korreliert ist.
Lösung: A, E (vgl. Statistik 2, S. 81f sowie SPSS-Outputs mit Erläuterungen)
Aufgabe 13: (Multiple Regression)
Welche Aussagen zum Konzept der Multikollinearität sind richtig?
A Multikollinearität liegt vor, wenn zwischen den Prädiktorvariablen in einem multiplen
Regressionsmodell lineare Abhängigkeiten bestehen.
B Multikollinearität liegt vor, wenn die Prädiktorvariablen in einem multiplen
Regressionsmodell linear unabhängig sind.
C Die Toleranz einer Prädiktorvariablen sei 0,852; dies weist auf starke
Multikollinearität hin.
D Konditionsindizes zwischen 10 und 30 indizieren mäßige Multikollinearität.
E Multikollinearität beeinträchtigt die Interpretation der Regressionskoeffizienten.
Lösung: A, D, E (Erläuterungen zu Kapitel 3 sowie SPSS-Outputs)
2
Aufgabe 14 (Varianzanalyse)
Welche der nachfolgenden Aussagen sind richtig?
A Einfaktorielle Varianzanalysen mit festen Effekten und einfaktorielle Varianzanalysen
mit zufälligen Effekten basieren auf derselben Modellgleichung.
B Der Scheffé-Test wird angewendet, um a priori festgelegte Unterschiede zwischen den
Treatmentgruppen in einer Varianzanalyse zu prüfen.
C In einer zweifaktoriellen Varianzanalyse können 3 voneinander unabhängige
Nullhypothesen geprüft werden.
D Bei der Zerlegung der totalen Quadratsumme SQTotal im Rahmen einer einfaktoriellen
Varianzanalyse ist SQinnerhalb die Treatmentquadratsumme, die den Behandlungseffekt
repräsentiert, und SQzwischen die Fehlerquadratsumme.
E Die Kontrastkoeffizienten in der nachfolgenden SPSS-Tabelle zeigen, dass die zu den
Behandlungen X1 – X4 konstruierten Kontraste 1 und 2 orthogonal sind.
Kontrast-Koeffizienten
Behandlung
Kontrast
X1
X2
X3
X4
1
1
-1
0
0
2
0
0
1
-1
Lösung: A, C, E (vgl. Statistik 2, S. 159 (Lösung A); S. 149f (falsche Antwort B), S. 206ff
(Lösung C); S. 129 (falsche Antwort D), S. 138f (Lösung E)
Aufgabe 15 (Rangvarianzanalyse)
Welche Aussagen zur Rangvarianzanalyse sind richtig?
A In der Rangvarianzanalyse müssen die Responsewerte normalverteilt sein.
B Die Testgröße H des der Rangvarianzanalyse zugrunde liegenden Tests (KruskalWallis-Test) ist ein Maß für die Varianz der Stichprobenmittelwerte
C Beim Kruskal-Wallis-Test aus Aufgabenteil B beinhaltet die Nullhypothese H0, dass
alle Stichproben aus derselben Population stammen.
D Beim Kruskal-Wallis-Test aus Aufgabenteil B beinhaltet die Alternativhypothese H1,
dass alle Stichproben aus unterschiedlichen Population stammen.
3
E In der nachfolgenden Tabelle sind Fremdeinschätzungen der sozialen Kompetenz, die
in Auswahlgesprächen mit Studierenden der Fächer A, B und C auf einer Skala von
1- 10 vorgenommen wurden, aufgelistet. Aus den Daten geht hervor, dass in der
Rangvarianzanalyse Hkorr anstelle von H als Teststatistik bestimmt werden muss
(Lösungshinweis: Hkorr bezeichnet eine bei Auftreten von Bindungen zu verwendende
korrigierte Fassung von H).
Einschätzungen der sozialen Kompetenz
Studierende Fach A
Studierende Fach B
Studierende Fach C
2
4
1
5
10
9
4
8
3
6
6
3
8
9
2
4
4
6
3
5
2
Lösung: C, E: S. 162f (falsche Antwort A), S. 164 (falsche Antwort B, es geht um
Rangmittelwerte! Und falsche Antwort D, mindestens 2, aber nicht unbedingt alle
Stichproben stammen aus unterschiedlichen Populationen ), S. 164, 165 (richtige
Antworten C und E),
4
Aufgabe 16 (Varianzanalyse mit Messwiederholungen)
Es werden 2 Trainingsprogramme zur Verbesserung der sozialen Kompetenz über p = 3
Messzeitpunkte (A, B, C) mit jeweils n1 = n2 = 8 Probanden verglichen. Beim ersten
Messzeitpunkt A wird die soziale Kompetenz vor dem jeweiligen Trainingsprogramm
erfasst, beim zweiten Messzeitpunkt B nach der Durchführung der jeweiligen
Trainingsprogramme und beim dritten Messzeitpunkt C einen Monat nach dem
Trainingsende. Eine mit SPSS durchgeführte Varianzanalyse mit Messwiederholungen
liefert die folgenden Tabellen.
Deskriptive Statistiken
Standardabweich
Training
A
B
C
Mittelwert
ung
N
1
7,00
2,726
8
2
8,50
2,204
8
Gesamt
7,75
2,517
16
1
12,00
5,071
8
2
21,25
4,979
8
Gesamt
16,63
6,811
16
1
15,00
4,899
8
2
25,25
4,166
8
Gesamt
20,13
6,879
16
Mauchly-Test auf Sphärizitätb
Maß:MASS_1
Epsilona
Approximiertes
Innersubjekteffekt Mauchly-W
Messzeitpunkte
,809
Chi-Quadrat
2,750
Greenhousedf
Sig.
2
,253
Geisser
,840
Huynh-Feldt Untergrenze
1,000
,500
5
Tests der Innersubjekteffekte
Maß:MASS_1
Quadratsumme
Quelle
Messzeitpunkte
vom Typ III
Sphärizität
Mittel der
df
Quadrate
F
Sig.
1302,167
2
651,083
62,220
,000
Greenhouse-Geisser
1302,167
1,680
775,206
62,220
,000
Huynh-Feldt
1302,167
2,000
651,083
62,220
,000
Untergrenze
1302,167
1,000
1302,167
62,220
,000
183,500
2
91,750
8,768
,001
Greenhouse-Geisser
183,500
1,680
109,241
8,768
,002
Huynh-Feldt
183,500
2,000
91,750
8,768
,001
Untergrenze
183,500
1,000
183,500
8,768
,010
293,000
28
10,464
Greenhouse-Geisser
293,000
23,517
12,459
Huynh-Feldt
293,000
28,000
10,464
Untergrenze
293,000
14,000
20,929
angenommen
Messzeitpunkte *
Sphärizität
Training
angenommen
Fehler(Messzeitpunkte) Sphärizität
angenommen
Tests der Zwischensubjekteffekte
Maß:MASS_1
Transformierte Variable:Mittel
Quadratsumme
Quelle
Konstanter Term
vom Typ III
Mittel der
df
Quadrate
F
Sig.
10561,333
1
10561,333
339,125
,000
Training
588,000
1
588,000
18,881
,001
Fehler
436,000
14
31,143
6
Welche der nachfolgenden Aussagen zu der mit SPSS durchgeführten Varianzanalyse mit
Messwiederholungen sind richtig?
A Der Mauchly-Test lehnt Sphericity ab.
B Die soziale Kompetenz nimmt über die 3 Messzeitpunkte signifikant zu.
C Die beiden Trainingsprogramme unterscheiden sich nicht signifikant im Hinblick auf
die Verbesserung der sozialen Kompetenz.
D Die soziale Kompetenz verbessert sich über die 3 Messzeitpunkte und die beiden
Trainingsprogramme signifikant unterschiedlich.
E Bei der Prüfung der Innersubjekteffekte können die unkorrigierten F-Werte
herangezogen werden.
Lösung: B, D, E: S. 246ff (richtige Antwort E und falsche Antwort A), Beispiel 8.1, S. 251,
restliche Alternativen (vgl. auch die eingestellte MC-Aufgabe zu Kapitel 8)
7