Ordnung und Betrag - Mathematik, TU Dortmund

Vorkurs Mathematik B
Dr. Thorsten Camps
Fakultät für Mathematik
TU Dortmund
7. September 2011
Ordnung und Betrag
Einschub:
Im folgenden wollen wir logische Zeichen für Implikationen (= Schlüsse,
Folgerungen) und Äquivalenzen verwenden, um Aussagen kürzer zu
formulieren:
A ⇒ B“ bedeutet: A impliziert B, d.h. wenn Aussage A richtig ist,
”
dann auch Aussage B.
Entsprechend kann man A ⇐ B“ als Wenn B, dann auch A“ verstehen.
”
”
A ⇔ B“ bedeutet: A, B sind äquivalent, d.h.
”
und 2.) aus B folgt A.
1.) Aus A folgt B
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Beispiel
1
2
Es ist neblig ⇒ Die Sicht ist schlecht. (Gilt auch ⇐“ ?)
”
x = 2 ⇒ x 2 = 4. (wie kann man hieraus durch eine Ergänzung links
eine Äquivalenz machen?)
Mathematische Fragestellungen löst man oft dadurch, dass sie durch
Äquivalenzumformungen zu Aussagen umgeformt werden, denen man die
Lösung leicht entnimmt.
Beispiel: 3x + 15 = 6 ⇔ x + 5 = 2 ⇔ x = −3
Unbeispiel: x(x + 2) = x ⇔ x + 2 = 1 ⇔ x = −1 liefert eine falsche
Lösungsgesamtheit. Das erste Äquivalenzzeichen ist falsch!
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Die reellen Zahlen sind durch das Ordnungszeichen <“ (gesprochen:
”
kleiner“) angeordnet, d.h.
”
Regel (Ordnungszeichen)
Für a, b ∈ R gilt genau einer der drei Fälle:
a < b,
a = b,
b<a
Weitere Schreib- und Sprechweisen:
a ≤ b bedeutet: a < b oder a = b ( a kleiner gleich b“).
”
Entsprechend definiert man die Ordnungszeichen >“ und ≥“.
”
”
a > b bedeutet: b < a; und a ≥ b ist gleichbedeutend mit b ≤ a.
a positiv bedeutet: a > 0, a negativ bedeutet: a < 0.
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Regel (Ordnungsregeln)
Seien a, b, c ∈ R. Dann gelten:
1
Transitivität: a < b und b < c ⇒ a < c
2
Monotonie der Addition: a < b ⇒ a + c < b + c
3
Monotonie der Multiplikation: Für a > 0 gilt:
b < c ⇒ ab < ac.
Folgerung (Rechnen mit Ungleichungen)
1
Gleichsinnige Ungleichungen darf man addieren:
a < b und c < d ⇒ a + c < b + d
2
Multiplikation mit einer negativen Zahl dreht den Ungleichungssinn:
Für a < 0 gilt: b < c ⇒ ab > ac.
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Folgerung (Weitere Eigenschaften)
1
a>0
⇔
−a < 0,
2
a 6= 0
⇔
a2 > 0.
Satz (Vorzeichen von Produkten)
Seien a, b ∈ R. Dann gilt:
1
a·b =0
2
a · b > 0 ⇔ a, b sind ungleich 0 und haben das gleiche Vorzeichen
(sind also beide positiv oder beide negativ).
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⇔
a = 0 oder b = 0.
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Die Rechenregeln bedeuten für das Rechnen mit Ungleichungen:
Satz
Die Lösungsmenge einer Ungleichung ändert sich nicht, wenn man auf
beiden Seiten
1
eine Zahl addiert,
2
mit einer positiven Zahl multipliziert,
3
allgemein: eine streng monoton wachsende Funktion anwendet (siehe
Abschnitt 4 ).
Beispiele für streng monoton wachsende Funktionen sind:
1
die Wurzelfunktion auf [0, ∞),
2
Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten,
3
die Quadratfunktion auf [0, ∞),
4
die Exponentialfunktion und der Logarithmus.
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Definition (Intervalle)
Es seien a, b ∈ R mit a < b.
Beschränkte Intervalle:
Abgeschlossene Intervalle: [a, b] := { x ∈ R | a ≤ x ≤ b }
Offene Intervalle: ]a, b[ = (a, b) := { x ∈ R | a < x < b }
Halboffene Intervalle:
]a, b] = (a, b] := { x ∈ R | a < x ≤ b }
[a, b[ = [a, b) := { x ∈ R | a ≤ x < b }
Unbeschränkte Intervalle:
[a, ∞[ = [a, ∞) := { x ∈ R | x ≥ a }
]a, ∞[ = (a, ∞) := { x ∈ R | x > a }
]−∞, a] = (−∞, a] := { x ∈ R | x ≤ a }
]−∞, a[ = (−∞, a) := { x ∈ R | x < a }
]−∞, ∞[ = (−∞, ∞) := R
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Definition (Betrag)
Der Betrag einer reellen Zahl x ist der Abstand zu 0, d.h.
(
x für x ≥ 0,
|x| :=
−x für x < 0.
Für x, y ∈ R ist |x − y | der Abstand von x und y .
Satz (Eigenschaften des Betrags)
1
|x| ≥ 0,
2
|x| = 0 ⇐⇒ x = 0
3
|x| = | − x|
4
−|x| ≤ x ≤ |x|
5
|xy | = |x||y |
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Satz (Eigenschaften des Betrags — Fortsetzung)
5
Dreiecksungleichung: |x + y | ≤ |x| + |y |
6
||x| − |y || ≤ |x − y |
√
x 2 = |x|
7
Satz (Quadratische Ungleichungen) r p 2
p
x 2 + px + q < 0 ⇐⇒ x + <
−q
2
2
Ist die Diskriminante negativ, so besitzt die Ungleichung keine Lösung.
r p 2
p 2
x + px + q > 0 ⇐⇒ x + >
−q
2
2
Ist die Diskriminante negativ, so ist die Lösungsmenge der Ungleichung
ganz R.
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