Mathematischer Vorkurs NAT-ING1

Willkommen an der TU Dortmund
Mathematischer Vorkurs
NAT-ING1
(02.09.–20.09.2013)
Organisatorisches
Dr. Robert Strehl
WS 2013-2014
Mathematischer Vorkurs – TU Dortmund
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Willkommen an der TU Dortmund
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Willkommen an der TU Dortmund
Vorkurs Mathematik für Natur- und Ingenieurwissenschaften I
für die Studiengänge
Übungsbetrieb und Vorlesungen
Physik
Medizinphysik
Elektro- und Informationstechnik
Informations- und Kommunikationstechnik
Angewandte Informatik
Informatik
Bioingenieurwesen
Chemieingenieurwesen
Es besteht keine Anwesenheitspflicht
Jeder angemeldete Vorkursteilnehmer hat seine
Übungsgruppennummer per Email bekommen (Nachmeldungen heute
noch mgl.)
Das Übungs- und Vorlesungsmaterial wird pro Kapitel online zur
Verfügung gestellt
Einen Lageplan der Übungsräume findet ihr auf der Vorkursseite
Studiengang nicht dabei → allg. Vorkursseite
Neben den Übungen wird auch eine Einweisung in die Nutzung der
Universitätsbibliothek angeboten → Näheres dazu in den Übungsgruppen
Zeitraum 2.–20. September 2013
Vorlesung ab heute täglich 8-10 Uhr,
Übungen ab morgen 10-12 oder 12-14 Uhr
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Willkommen an der TU Dortmund
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Weitere Informationen
Verschiedenes
Allgemeine Informationen finden sich auf der allg. Vorkursseite und
am schwarzen Brett vor dem Hörsaal E29
Vorkursbescheinigungen (bitte ausfüllen) vom AStA gibt es nach der
Vorlesung
Speziell für diesen Vorkurs (Folien, Übungsmaterial, Pinnwand) gibt
es zusätzlich die Internetseite
Mit dieser Bescheinigung gibt es Vergünstigungen in der Mensa und
beim Kauf von Bahntickets in Dortmund
http://www.mathematik.uni-dortmund.de/sites/
vorkurs-mathematik-fuer-natur-und-ingenieurwissenschaften-i
Die Orientierungsphasen der einzelnen Fachschaften sind zu
empfehlen (s. allg. Vorkursseite)
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Bei noch offenen Fragen bietet sich unsere Vorkurs-Email Adresse an
[email protected]
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Themenübersicht
Themenübersicht (korrigiert)
1.
2.
3.
4.
5.
Mengen
Zahlen
Relationen, Ordnung und Betrag
Abbildungen und Funktionen
Trigonometrie
12.
13.
14.
15.
16.
6.
Folgen und Stetigkeit
17.
7.
8.
Differenzierbarkeit
Anwendungen der Differentialrechnung
Integralrechnung
Logarithmus- und Exponentialfunktion
Aussagenlogik
18.
19.
Aussageformen
Vollständige Induktion
Beweisführung
Komplexe Zahlen
Gleichungen mit komplexen Zahlen
Komplexe Polarkoordinaten und
Wurzeln
Lineare Gleichungssysteme
Vektoren
20.
21.
Skalar- und Vektorprodukt
Geraden und Ebenen
9.
10.
11.
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1.
Mengen
10.
2.
3.
4.
Zahlen
Relationen, Ordnung und Betrag
Abbildungen und Funktionen
11.
12.
13.
5.
Trigonometrie
14.
6.
7.
8.
Folgen und Stetigkeit
Differenzierbarkeit
Anwendungen der Differentialrechnung
Integralrechnung
15.
16.
17.
9.
22.
Logarithmus- und Exponentialfunktion
Vollständige Induktion
Komplexe Zahlen
Gleichungen mit komplexen Zahlen
Komplexe Polarkoordinaten und
Wurzeln
Vektoren
Skalar- und Vektorprodukt
Geraden und Ebenen
Partialbruchzerlegung
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Kapitel 1 — Mengen
Kapitel 1 — Mengen
Definition 1.1 (Menge)
Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu
einem Ganzen.
Diese Objekte heißen dann Elemente der Menge.
Kapitel 1 — Mengen
Beschreibung von Mengen durch ...
... Aufzählen aller Elemente mit Mengenklammern {. . .}.
... Angabe einer Eigenschaft E, die die Elemente beschreibt:
{x | x hat die Eigenschaft E}
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Kapitel 1 — Mengen
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Kapitel 1 — Mengen
Beispiele:
Die Menge der natürlichen Zahlen
N := {0, 1, 2, 3, . . .}. (Bei uns ist 0 eine natürliche Zahl).
Für alle natürlichen Zahlen k > 0 definieren wir
≥k := {k, k + 1, k + 2, . . .} und wir schreiben
natürlichen Zahlen ohne Null.
N
Die Menge der ganzen Zahlen:
N+ := N≥1 für die
Z := {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
Die Menge dernrationalen Zahlen als Menge
o der (gekürzten)
a Brüche: :=
a, b ganze Zahlen und b > 0 .
b
Die Menge der reellen Zahlen: .
Q
R
Die Menge der komplexen Zahlen:
Schreibweisen:
Ist a ein Element der Menge M , so schreiben wir kurz a ∈ M .
Ist a kein Element der Menge M , so schreiben wir kurz a 6∈ M .
Beispiel: 1 ∈
N, 2 ∈ Z aber −3 6∈ N.
C.
Die leere Menge, ∅. Die Menge, die kein Element enthält.
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Kapitel 1 — Mengen
Kapitel 1 — Mengen
3
Definition 1.2 (Mengenoperationen)
Beispiele: Die korrekte Verneinung von: dieses Schaf ist schwarz und mager“ lautet: dieses
”
”
Schaf
ist nichtM
schwarz
nicht mager“. Die korrekte Verneinung von: dieses Schaf ist
Es seien
und oder
N Mengen.
”
weiß oder fett“ lautet: dieses Schaf ist nicht weiß und nicht fett“ (also weder weiß noch fett).
”
Man1.werfe
Verneinung nicht in einen Topf mit
Gegensätzen.
Eine
DiedieVereinigungsmenge
Mumgangssprachlichen
∪ N ist die Menge
der Elemente,
die in
unkorrekte Verneinung von diese Kuh ist mager“ wäre: diese Kuh ist fett“: Mager und fett
”enthalten sind. Also ”M ∪ N = {x | x ∈ M oder x ∈ N }.
M
oder
in
N
mögen als Gegensätze empfunden werden, sie sind aber nicht die Verneinungen voneinander
(schließlich gibt es auch ganz normalgewichtige Kühe).
Bemerkung 1.3
Es gilt in jedem Fall ∅ ⊂ M ⊂ M .
2. Die Schnittmenge M ∩ N ist die Menge der Elemente, die in M
und in N enthalten sind. Also M ∩ N = {x | x ∈ M und x ∈ N }.
Mengen
3. M heißt Teilmenge von N , wenn alle Elemente die in M enthalten
Cantors Definition lautet:
sind auch in N enthalten sind. Wir schreiben dann M ⊂ N oder
Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten
”
N ⊃unserer
M . Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.“
(Elementen)
In 4. muss M keine Teilmenge von N sein. Ist zum Beispiel
M ∩ N = ∅, so ist N \ M = N und M \ N = M .
Ist aber M ⊂ N so ist N \ M = M c und M \ N = ∅.
Zwei Mengen M und N sind gleich, wenn die eine jeweils eine
Teilmenge der anderen ist. Also M = N genau dann, wenn M ⊂ N
und N ⊂ M .
Symbole:
4. Die Differenzmenge
N
a∈M
: a ist Element von M
!
/
{a}
\ M ist die Menge der Elemente, die in N
enthalten
sind,
aber
nicht
in M , also
: leere Menge (sie enthält kein Element)
N \M
{x |mit
x∈
N einem
und Element
x 6∈ Ma}.
: die:=
Menge
genau
(einelementige Menge)
!
M5.⊆ N
Ist M: M
⊂ ist
NTeilmenge
so ist das
Komplement von M (bezüglich
von N : für jedes x ∈ M ist auch x ∈ N
N ⊇M c
N ) durch
M := {x | x ∈ N und x 6∈ M } definiert.
M =N
M ⊂N
N ⊃M
!
: M ⊆ N und N ⊆ M
: M ist echte Teilmenge von N (M ⊆ N, M &= N).
Operationen für Mengen M, N, . . .:
"
Kapitel
1 — Mengen
• Durchschnitt:
M ∩ N := {x " x ∈ M und x ∈ N}
"
• Vereinigung:
M ∪ N := {x " x ∈ M oder x ∈ N}
"
• Differenz:
M \ N := {x " x ∈ M und x ∈
/ N}.
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Graphisch kann man die Mengenoperationen gut mit Hilfe von
Venn-Diagrammen darstellen:
Satz 1.4 (Rechenregeln für Mengenoperationen)
Veranschaulichung durch sog. Venn-Diagramme:
1
2
N
M
3
M
N
⊃
M
M
∪
N
4
5
6
N
N
7
M
M
M
∩
N
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Kapitel 1 — Mengen
Ist M ⊇ N, so heißt M \ N auch das Komplement von N (in M).
N
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8
M \ N
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M ∪ N = N ∪ M und M ∩ N = N ∩ M .
(M ∪ N ) ∪ P = M ∪ (N ∪ P ) und (M ∩ N ) ∩ P = M ∩ (N ∩ P ).
M ∪ (N ∩ P ) = (M ∪ N ) ∩ (M ∪ P ).
M ∩ (N ∪ P ) = (M ∩ N ) ∪ (M ∩ P ).
(M c )c = M .
(M ∪ N )c = M c ∩ N c und (M ∩ N )c = M c ∪ N c .
M ∩ N = M ∪ N \ (M \ N ) ∪ (N \ M ) .
(M \ N ) ∪ (N \ M ) = (M ∪ N ) \ (M ∩ N ).
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Kapitel 1 — Mengen
Kapitel 1 — Mengen
Definition 1.5 (Kartesisches Produkt)
1. Das kartesische Produkt zweier Mengen M und N wird mit
M × N bezeichnet und enthält als Elemente die geordneten Paare
(m, n) mit m ∈ M und n ∈ N . Also:
M × N = {(m, n) | m ∈ M und n ∈ N } .
Ist M ⊂ G1 und N ⊂ G2 so kann man das kartesische Produkt wie
folgt darstellen:
Definition 1.5 [cont.]
2. Das kartesische Produkt mehrere Mengen M1 , . . . , Mk wird analog
mit Hilfe geordneter k-Tupel definiert:
M 1 × M 2 × . . . × Mk
= {(m1 , m2 , . . . , mk ) | m1 ∈ M1 und m2 ∈ M2
und . . . und mk ∈ Mk }.
3. Stimmen die Mengen überein so schreiben wir auch M 2 = M × M ,
M 3 = M × M × M , usw.
Bemerkung 1.6
Als Mengen stimmen M × N und N × M nicht überein.
Als Mengen stimmen (M × N ) × P und M × N × P und
M × (N × P ) nicht überein.
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Kapitel 1 — Mengen
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Kapitel 2 — Zahlen
Definition 1.7 (Quantoren)
Ist A eine Eigenschaft, die für die Elemente einer Menge M sinnvoll ist
(vgl. Kap. 12), so schreiben wir
∀x ∈ M : A(x) ,
wenn jedes Element aus M die Eigenschaft A hat – in Worten: für alle
x ∈ M gilt A(x) – und
∃x ∈ M : A(x) ,
Kapitel 2 — Zahlen
wenn es mindestens ein Element aus M gibt, das die Eigenschaft A hat –
in Worten: es gibt ein x ∈ M mit A(x).
Beispiel: Das kartesische Produkt von k Mengen lässt sich wie folgt
schreiben:
M1 × . . . × Mk = (m1 , . . . , mk ) | ∀i ∈ {1, . . . , k} : mi ∈ Mi .
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Kapitel 2 — Zahlen
Kapitel 2 — Zahlen
Uns bisher bekannte Zahlenbereiche sind
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R |(⊂{zC}) .
Beispiele irrationaler Zahlen:
später
Die Länge der Diagonale eines
√ Quadrates der Seitenlänge 1 ist
irrational. Diese Länge ist 2 = 1, 414213562 . . .
Der Umfang eines Kreises mit Durchmesser 1 ist irrational. Diese
Länge ist π = 3, 141592654 . . .
Definition 2.1 (Rationale und irrationale Zahlen)
1
2
R ist die Menge der Dezimalbrüche.
Q ist die Menge der abbrechenden oder periodischen Dezimalbrüche.
Dabei wird allerdings die Periode 9 ausgeschlossen, indem man die
Zahl n, a1 a2 . . . ak−1 ak 9 mit der Zahl n, a1 a2 . . . ak−1 bk identifiziert
mit bk = ak + 1. Dabei ist n ∈ , a1 , a2 , . . . , ak−1 ∈ {0, 1, . . . , 9},
ak ∈ {0, 1, . . . , 8}.
N
3
R Q
Die Eulersche Zahl e = 2, 718281828 . . . ist irrational.
Definition 2.2 (Rechenoperationen)
Sind x, y ∈
y 6= 0 auch
R so sind die Rechenoperationen x + y, x − y, xy und für
x
y
erklärt.
Die Elemente der Menge \ , also die nicht-abbrechenden und
nicht-periodischen Dezimalbrüche, heißen irrationale Zahlen.
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Kapitel 2 — Zahlen
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Kapitel 2 — Zahlen
Definition 2.4 (Kurzschreibweisen für Summen und Produkte)
Sind m, n ∈
1.
Satz 2.3 (Rechenregeln)
1. x + y = y + x und xy = yx (Kommutativgesetze)
2. x + (y + z) = (x + y) + z und x(yz) = (xy)z (Assoziativgesetze)
2.
3. x(y + z) = xy + xz (Distributivgesetz)
n
X
k=m
n
Y
k=m
N mit m ≤ n und am, am+1, . . . , an ∈ R so schreiben wir
ak = am + am+1 + . . . + an und
ak = am · am+1 · . . . · an
Dabei kann der Laufindex eine beliebige Variable sein, etwa
n
n
X
X
ak =
aj .
Als direkte Konsequenz erhalten wir die drei Binomischen Formeln
4. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 und
(a + b)(a − b) = a2 − b2 .
k=m
j=m
Es gelten die folgenden Vereinbarungen wenn m > n ist
n
X
k=m
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ak = 0
und
n
Y
ak = 1
k=m
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Kapitel 2 — Zahlen
Kapitel 2 — Zahlen
Rechenregeln und Beispiele:
a·
n
X
ak =
k=m
n
X
ak +
k=m
n
Y
k=m
ak ·
n
X
Definition 2.5 (Potenzen)
(aak )
k=m
n
X
bk =
k=m
n
Y
k=m
bk =
n
X
Für a ∈
R
(ak bk ).
k=m
Indexverschiebung:
n
X
ak =
k=m
n+t
X
Arithmetische Summenformel:
k=0
n
X
qk =
R
Für n, m ∈
n(n + 1)
k=
.
2
k=0
Zahl q 6= 1.
a.
k=1
N
Z
Satz 2.6 (Potenzregeln)
ak−t .
k=m+t
n
X
geometrische Summenformel:
n
Y
Insbesondere gilt also a0 = 1 und 00 = 1 aber 0n = 0 für n > 0.
1
Für a ∈ \ {0} und n ∈ setzen wir a−n := n .
a
a ∈ heißt die Basis und n ∈ der Exponent der Potenz an .
(ak + bk ) und
k=m
n
Y
R und n ∈ N setzen wir an :=
q n+1 − 1
für eine reelle
q−1
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Z gilt:
1
am an = an+m und an bn = (ab)n sowie
2
(am )n = amn
falls die Ausdrücke definiert sind.
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Kapitel 2 — Zahlen
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Kapitel 2 — Zahlen
Definition 2.7 (Quadratwurzel)
Sind a, b ∈
R und b2 = a so definieren wir
Der Satz 2.8 lässt sich noch verallgemeinern:
(
√
b
falls b ≥ 0
a :=
−b falls b < 0
Die stets nicht-negative Zahl
√
Satz 2.9 (Höhere Wurzeln)
1
a heißt Quadratwurzel von a.
2
Satz 2.8 (Existenz der Quadratwurzel)
Die Gleichung
x2
= a besitzt ...
... für a < 0 keine reelle Lösung,
... für a = 0 die eindeutige (reelle) Lösung x = 0 und
√
√
... für a > 0 die zwei (reellen) Lösungen x1 = a und x2 = − a.
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Ist n eine natürliche ungerade Zahl, dann hat die Gleichung xn = a
√
genau eine reelle Lösung und diese bezeichnen wir mit x = n a.
Ist n 6= 0 eine natürliche gerade Zahl, dann hat die Gleichung xn = a
...
... für a < 0 keine reelle Lösung,
... für a = 0 die eindeutige (reelle) Lösung x = 0 und
√
... für a √
> 0 die zwei reellen Lösungen, die wir mit x1 = n a und
x2 = − n a bezeichnen.
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Kapitel 2 — Zahlen
Kapitel 2 — Zahlen
Satz 2.11 (pq-Formel)
Bemerkung 2.10
√
1
Wir setzen nun a n := n a für n 6= 0, a ≥ 0, und definieren(!)
m
1 m
a n := a n . Dann kann man zeigen, dass die Rechenregeln aus Satz 2.6
weiterhin gültig bleiben.
Somit haben wir das Potenzieren von ganzen auf rationale Exponenten
erweitert.
Es sei D := p2 − 4q. Dann besitzt die quadratische Gleichung
x2 + px + q = 0 ...
p
... die eindeutige (reelle) Lösung x = − falls D = 0,
2 √
√
p+ D
p− D
... die zwei (reellen) Lösungen x1 = −
und x2 = −
2
2
falls D > 0, und
... keine reelle Lösung falls D < 0.
Die Zahl D heißt Diskriminante der quadratischen Gleichung.
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Kapitel 2 — Zahlen
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Kapitel 2 — Zahlen
Definition 2.12 (Fakultät und Binominalkoeffizient)
1
Für natürliche Zahlen n ∈
N ist die Fakultät definiert als
n! :=
n
Y
Satz 2.13 (Eigenschaften der B.K.)
n
n
n
n
1
=
= 1 und
=
.
0
n
k
n−k
n
n
n+1
2
+
=
(Additionstheorem).
k
k+1
k+1
k.
k=1
Also gilt insbesondere 0! = 1 und (n + 1)! = n!(n + 1).
2
N
Für zwei natürliche Zahlen k, n ∈ mit k ≤ n ist der
Binomialkoeffizient definiert als
n
n!
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
:=
=
k
k!(n − k)!
k!
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Begründung zu 2: (s. Vorlesung)
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Kapitel 2 — Zahlen
Kapitel 3 — Relationen, Ordnung und Betrag
Wegen des Additiontheorems lassen sich die Binomialkoeffizienten im
Pascalschen Dreieck anordnen:
n
n
k
1
0
1
1
1
1
2
1
2
3
1
3
3
1
1
4
6
4
1 4
..
.
Kapitel 3 — Relationen, Ordnung und Betrag
Satz 2.14 (Binomischer Lehrsatz)
Für x, y ∈
R und n ∈ N gilt
n X
n k n−k
(x + y) =
x y
k
n
k=0
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Kapitel 3 — Relationen, Ordnung und Betrag
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Kapitel 3 — Relationen, Ordnung und Betrag
Definition 3.1 (Relationen)
Es seien M und N Mengen. Eine Relation zwischen M und N ist
eine Teilmenge R ⊂ M × N . Ist (a, b) ∈ R ⊂ M × N ein Element der
Relation R, so sagen wir a steht in Relation zu b und wir schreiben
a ∼R b.
Definition 3.2 (Relationen auf einer Menge)
Eine Relation auf einer Menge M ist eine Relation R ⊂ M × M .
Eine Relation auf einer Menge M heißt ...
R1) ... reflexiv, wenn a ∼R a für alle a ∈ M ist .
R2) ... transitiv, wenn mit a ∼R b und b ∼R c auch a ∼R c ist.
Beispiele
Es sei M die Menge aller Autos, und N die Menge aller Farben.
Durch (c, f ) ∈ R ⊂ M × N , wenn ein Teil des Autos c in der Farbe f
lackiert ist, wird eine Relation definiert.
Es sei M die Menge aller Bundesligapaarungen und N die Menge
aller Spielergebnisse. Die Definition (p, e) ∈ R ⊂ M × N , wenn die
Paarung p das Ergebnis e erspielt, liefert eine Relation.
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R3) ... symmetrisch, wenn mit a ∼R b auch b ∼R a ist.
R4) ... antisymmetrisch, wenn, falls a ∼R b und b ∼R a, schon a = b
ist.
R5) ... total, wenn für alle a, b ∈ M a ∼R b oder b ∼R a ist
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Kapitel 3 — Relationen, Ordnung und Betrag
Kapitel 3 — Relationen, Ordnung und Betrag
Beispiele [cont.]:
Definition 3.3 (Ordnungs-, und Äquivalenzrelation)
R R
Die Ordnungsrelation auf O ⊂ × ist definiert durch (a, b) ∈ O,
wenn a ≤ b (also ≤ statt ∼O ). Die Ordnungsrelation ist eine
Totalordnung auf .
Eine Relation heißt ...
1
... Totalordnung, wenn sie R1, R2, R4, und R5 erfüllt.
2
... Halbordnung, wenn sie R1, R2 und R4 erfüllt.
3
... Äquivalenzrelation, wenn sie R1, R2, und R3 erfüllt.
R
Beispiele:
N
N
Die Teilbarkeitsrelation T ⊂ + × + ist definiert durch (a, b) ∈ T,
wenn a|b (also | statt ∼T ). Die Teilbarkeitsrelation ist eine
Halbordnung.
Die Gleichheit G ⊂ M × M ist definiert durch (a, b) ∈ G, wenn a = b
(also = statt ∼G ). Die Gleichheit ist eine Äquivalenzrelation.
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Es sei M eine Menge und P(M ) die Menge aller Teilmenge von M .
Diese Menge nennt man Potenzmenge von M . Die
Teilmengenrelation τ ⊂ P(M ) × P(M ) ist definiert durch (U, V ) ∈ τ ,
wenn U ⊂ V (⊂ statt ∼τ ). Die Teilmengenrelation ist eine
Halbordnung.
Es sei M die Menge der Bundesligisten der letzten Saison, und
R ⊂ M × M die Relation die durch folgende Vorschrift gegeben ist;
a ∼R b, wenn beide Bundesligisten zum Saisonende die gleiche
Punktanzahl haben. Dies ist eine Äquivalenzrelation.
Bemerkung: Ist eine Relation – wie in den obigen Beispielen – durch eine
Vorschrift gegeben, so identifizieren wir Relation und Vorschrift.
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Kapitel 3 — Relationen, Ordnung und Betrag
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Kapitel 3 — Relationen, Ordnung und Betrag
Mit Hilfe der Ordnungszeichen definieren wir spezielle Teilmengen von
Seien dazu a, b ∈ mit a < b.
R
Definition 3.4 (Ordnungszeichen)
Definition 3.5 (Intervalle)
Da ≤ eine Totalordnung auf
definiert, gilt also x ≤ y oder y ≤ x für
alle x, y ∈ . Statt x ≤ y schreiben wir auch y ≥ x.
Weiter schreiben wir x < y, wenn x ≤ y aber nicht x ≥ y gilt, und ebenso
y > x für x < y.
Damit gilt für alle x, y ∈ entweder(!) x < y oder x = y oder x > y.
Die Zeichen ≤, ≥, <, > und = heißen Ordnungszeichen.
Beschränkte Intervalle
R
R
R
R.
R | a ≤ x ≤ b} (Abgeschlossenes Intervall).
]a, b[ := {x ∈ R | a < x < b} (Offenes Intervall).
[a, b[ := {x ∈ R | a ≤ x < b} oder ]a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b}
[a, b] := {x ∈
(Halboffene Intervalle).
Unbeschränkte Intervalle:
R | a ≤ x} und ] − ∞, b] := {x ∈ R | x ≤ b}
]a, ∞[ := {x ∈ R | a < x} und ] − ∞, b[ := {x ∈ R | x < b}
] − ∞, ∞[ := R
[a, ∞[ := {x ∈
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Kapitel 3 — Relationen, Ordnung und Betrag
Kapitel 3 — Relationen, Ordnung und Betrag
Satz 3.6 (Rechenregeln)
Aus den Rechenregeln 3.6 folgt:
Es seien x, y, z ∈
Satz 3.7 (Vorzeichen von Produkten)
R. Dann gilt
1
Ist x < y und y < z, dann gilt x < z.
2
Ist x ≤ y und y ≤ x, so ist x = y.
3
R
Es seien x1 , . . . , xn ∈ . Dann gilt:
n
Y
xi = 0 ist gleichbedeutend damit, dass es mindestens ein
Ist x < y dann ist x + z < y + z.
4
Ist x > 0 und y > 0, so ist auch xy > 0.
5
Ist z > 0 und x < y, so ist xz < yz.
6
Ist z < 0 und x < y, so ist xz > yz.
7
Ist 0 < x < y, so gilt
1
x
>
1
y
i=1
j ∈ {1, . . . , n} gibt mit xj = 0.
n
Y
xi > 0 ist gleichbedeutend damit, dass nur eine gerade Anzahl der
i=1
> 0.
Faktoren xj negativ ist.
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Kapitel 3 — Relationen, Ordnung und Betrag
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Kapitel 3 — Relationen, Ordnung und Betrag
Die Rechenregeln 3.6 liefern für das Rechnen mit Ungleichungen das
Folgende:
Bemerkung 3.8
Die Lösungsmenge einer Ungleichung ändert sich nicht, wenn wir auf
beiden Seiten ...
1) ... eine Zahl addieren.
2) ... mit einer positiven Zahl multiplizieren.
3) ... eine streng monoton steigende Funktion anwenden. (Genaueres
dazu folgt später.)
Beispiele streng monotoner Funktionen:
Die Wurzelfunktion auf [0, ∞[.
Potenzfunktion mit ungeradem Exponenten auf
und mit geradem
Exponenten auf [0, ∞[.
Die Exponentialfunktion auf
und die Logarithmusfunktion auf
]0, ∞[.
R
R
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Definiton 3.9 (Betrag)
Der Betrag einer reellen Zahl x ist definiert als der Abstand zu 0 und
wird mit |x| bezeichnet. Also
(
x
falls x ≥ 0
|x| :=
−x falls x < 0
Für x, y ∈
R ist |x − y| der Abstand von x und y.
Satz 3.10 (Eigenschaften des Betrags für x, y ∈
1.
2.
3.
4.
|x| = 0 ist gleichbedeutend mit x = 0.
|x| = | − x|.
−|x| ≤ x ≤ |x| mit Gleichheit an genau einer Stelle, wenn x 6= 0.
|xy| = |x||y|.
5.
6.
7.
R)
|x + y| ≤ |x| + |y|.
|√|x| − |y| | ≤ |x − y|.
x2 = |x|.
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Kapitel 3 — Relationen, Ordnung und Betrag
Kapitel 4 — Abbildungen und Funktionen
Satz 3.11 (Quadratische Ungleichungen)
Es gilt
x + px + q < 0 ⇔ x +
2
√
p D
,
<
2
2
Kapitel 4 — Abbildungen und Funktionen
wobei D = p2 − 4q die Diskriminante ist. Ist D < 0 so hat die
Ungleichung keine reelle Lösung. Außerdem gilt
√
p D
2
x + px + q > 0 ⇔ x + >
,
2
2
wobei im Fall D < 0 die Lösungsmenge ganz
R ist.
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Kapitel 4 — Abbildungen und Funktionen
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Kapitel 4 — Abbildungen und Funktionen
Definition 4.1 (Abbildungen)
Definition 4.1 [cont.]
Es seien D und W Mengen. Eine Abbildung von D nach W ist eine
Relation zwischen D und W mit den folgenden zusätzlichen
Eigenschaften:
Ist nun f : D → W eine Abbildung, so heißt die Menge der Elemente in
W , die von f getroffen wird, die Bildmenge von f und wird mit f (D)
bezeichnet. Es gilt
1. Für alle x ∈ D gibt es ein y ∈ W , so dass (x, y) in der Relation liegt.
2. Sind (x, y1 ) und (x, y2 ) beide in der Relation enthalten, so gilt
y1 = y2 .
Ist nun umgekehrt U ⊂ W eine Teilmenge, so nennt man die Menge aller
Elemente von D deren Bild in U liegt, das Urbild von U . Dies wird mit
f −1 (U ) bezeichnet. Es gilt
D heißt der Definitions- und W der Wertebereich.
Bemerkung/Schreibweise 4.2
Ist eine Abbildung zwischen D und W gegeben, so gibt es zu jedem x ∈ D
genau(!) ein y ∈ W so dass (x, y) in der Relation enthalten ist.
Diese eindeutige Zuordnung bezeichnen wir mit f und schreiben
f : D → W . Für x ∈ D bezeichnet f (x) ∈ W das Bild.
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f (D) := {y ∈ W | ∃x ∈ D : y = f (x)} = {f (x) | x ∈ D} ⊂ W .
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f −1 (U ) := {x ∈ D | f (x) ∈ U } ⊂ D .
Die Abbildung als Relation selbst, also die Teilmenge
{(x, f (x)) | x ∈ D} ⊂ D × W , bezeichnet man auch als Graphen der
Abbildung f .
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Kapitel 4 — Abbildungen und Funktionen
Kapitel 4 — Abbildungen und Funktionen
Bemerkung 4.3
Zwei Abbildungen f1 : D1 → W1 und f2 : D2 → W2 sind genau dann
gleich, wenn D1 = D2 und f1 (x) = f2 (x) für alle x ∈ D1 .
Definition/Bemerkung 4.4 (identische Abbildung)
Es sei f : D → D mit f (x) := x für alle x ∈ D. Diese Abbildung heißt
identische Abbildung oder Identität auf D und wird hier mit idD
bezeichnet.
Die Identität entspricht als Relation der Gleichheit auf D.
Sprechweisen:
Oft wird in der Literatur der Begriff Funktion parallel zum Begriff
Abbildung benutzt. Bei uns sind Funktionen jedoch spezielle Abbildungen,
nämlich die, deren Wertebereich eine Teilmenge der reellen Zahlen ist.
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Definition 4.5 (Polynome)
N
R R
Es sei n ∈ und a0 , a1 , . . . , an ∈
p : → mit
p(x) =
n
X
R mit an 6= 0. Dann heißt die Funktion
ak xk = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
k=0
ein Polynom.
Die Zahl grad(p) := n heißt der Grad, die ak heißen die
Koeffizienten und speziell an der Leitkoeffizient von p.
Eine Zahl x0 ∈ mit p(x0 ) = 0 heißt Nullstelle von p.
R
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Kapitel 4 — Abbildungen und Funktionen
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Kapitel 4 — Abbildungen und Funktionen
Satz 4.6 (Faktorisierung)
Es sei p ein Polynom und x0 eine Nullstelle. Dann gibt es ein Polynom q
mit grad(q) = grad(p) − 1, so dass p(x) = (x − x0 )q(x).
Damit rechnen wir nun weiter
Beispiel:
xn
cn
Es sei p(x) =
−
das Polynom n-ten Grades mit den Koeffizienten
an = 1 und a0 = −cn (alle anderen Koeeffizienten sind 0). Dieses
Polynom hat die Nullstelle x0 = c und wir wollen nun das Polynom q
bestimmen. Es gilt
xn − cn = cn
x n
c
x
n−1
X x k
−1
− 1 = cn
c
c
k=0
n−1
X
xk cn−1−k .
k=0
Also ist das gesuchte Polynom:
n−1
X
xk cn−1−k = xn−1 + cxn−2 + . . . + cn−2 x + cn−1
k=0
wobei die letzte Gleichheit gerade die geometrische Summenformel für
q = xc ist.
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n
= (x − c)
q(x) =
k=0
x
n−1
X x k
n−1
x −c =c
−1 c
c
c
n
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Kapitel 4 — Abbildungen und Funktionen
Kapitel 4 — Abbildungen und Funktionen
Die Koeffizienten des Polynoms q aus der Faktorisierung lassen sich durch
Polynomdivision oder mit Hilfe des Hornerschemas bestimmen.
Hornerschema 4.7
Das Hornerschema kann dazu benutzt werden, den Funktionswert eines
Polynoms p an einer beliebigen Stelle x0 zu bestimmen.
Man erhält zusätzlich die Koeffizienten eines Polynoms q, dessen Grad um
Eins kleiner ist, als der von p, und das
Beschreibung des Hornerschemas:
Zunächst schreiben wir die Koeffizienten von p in die erste Zeile einer
Tabelle und führen dann von links nach rechts in der Tabelle immer wieder
zwei Schritte durch.
Schließlich gelangt man zu folgendem Abschlußschema:
an
+
0
=
p(x) = (x − x0 )q(x) + p(x0 )
erfüllt.
cn−1
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Kapitel 4 — Abbildungen und Funktionen
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Kapitel 4 — Abbildungen und Funktionen
Die zwei Schritte die man macht sind:
Weitere Bemerkungen zu den Nullstellen von Polynomen
1. Addiere die Zahlen der ersten und zweiten Zeile und schreibe sie in
die dritte Zeile.
2. Der zuletzt berechnete Wert wird mit x0 multipliziert und in die
zweite Zeile der nächsten Spalte eingetragen.
1. Man kann nun 4.6 auf q anwenden und so nach und nach Nullstellen
von p abspalten.
Es gilt sogar
Fundamentalsatz der Algebra 4.8
Jedes Polynom n-ten Grades hat eine Faktorisierung der Form
Es ist dann
cn−1 = an
an−1
an−2
...
a1
a0
+
+
+
+
cn−1 x0
cn−2 x0
...
c1 x0
c0 x0
%
=
%
=
%
% = % =
cn−2
cn−3
...
c0
c−1
und
ck−1 = ak + ck x0 für k = 0, . . . , n − 1
p(x) = an (x − x1 )k1 · · · (x − xr )kr (x2 + d1 x + e1 )m1 · · · (x2 + ds x + es )ms
Hornerschema 4.7 [cont.]
Mit dem Hornerschema erhalten wir
1. p(x0 ) = c−1
und
2. q(x) =
n−1
X
mit
ck x
k
j=1
kj + 2
s
X
mi = n.
i=1
Die auftretenden Faktoren sind also entweder (1) Linearfaktoren aus der
Abspaltung von Nullstellen oder (2) quadratische Faktoren ohne weitere
Nullstellen. Gibt es keine quadratischen Faktoren, so sagt man: p zerfällt in
Linearfaktoren.
k=0
Ist x0 eine Nullstelle von p, also c−1 = 0, so ist das Ergebnis die
Faktorisierung aus 4.6.
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r
X
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Kapitel 4 — Abbildungen und Funktionen
Kapitel 4 — Abbildungen und Funktionen
Zum Faktorisieren muss man allerdings die Nullstellen ausrechnen, bzw.
finden. Das geht jedoch in der Regel nicht. Aber es gilt zum Beispiel
2. Hat p nur ganzzahlige Koeffizienten, und ist der Leitkoeffizient
an = 1, so sind alle rationalen Nullstellen sogar ganz und sie sind
Teiler des Koeffizienten a0 .
3. Ist in 2. der Leitkoeffizient an 6= 1 so gilt folgende Verallgemeinerung:
Ist rs eine (gekürzte) rationale Nullstelle so gilt s|an und r|a0 .
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Manchmal interessiert einen nur die Existenz oder die ungefähre Lage einer
Nullstelle. Dann kann man folgendes ausnutzen:
R
4. Hat man zwei Werte x1 , x2 ∈ mit p(x1 ) > 0 und p(x2 ) < 0 so gibt
es einen Wert x0 zwischen x1 und x2 für den p(x0 ) = 0 ist. Kann
man nun x1 und x2 dicht zusammenbringen, ohne dass die
Vorzeicheneigenschaft verloren geht, so hat man eine Näherung für x0
gefunden.
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Kapitel 4 — Abbildungen und Funktionen
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Kapitel 4 — Abbildungen und Funktionen
In anderen Fällen interessiert gegebenenfalls nur die Anzahl der positiven
und negativen Nullstellen. Dann kann man folgendes ausnutzen:
5. Wissen wir, dass das Polynom p in Linearfaktoren zerfällt und 0 keine
Nullstelle ist, so gilt folgende Regel:
Die Anzahl der positiven Nullstellen entspricht der Anzahl der
Vorzeichenwechsel in der Folge (an , an−1 , . . . , a1 , a0 )
Die Anzahl der negativen Nullstellen entspricht der Anzahl der
Vorzeichenerhaltungen in der Folge (an , an−1 , . . . , a1 , a0 )
Es seien p und q Polynome. Dann heißt die Funktion f mit f (x) :=
p(x)
q(x)
rationale Funktion. Ihr Definitionsbereich ist
D = {x ∈ | q(x) 6= 0}.
R
Definition 4.10 (Potenzfunktion)
Dabei ordnet man den Nullkoeffizienten ein beliebiges (aber
einheitliches) Vorzeichen zu.
Das Resultat kann man so modifizieren, dass auch 0 als Nullstelle
erlaubt ist.
Achtung: Die Voraussetzung, dass das Polynom zerfällt, ist notwendig!
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Definition 4.9 (Rationale Funktionen)
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Q
Es sei q ∈ eine rationale Zahl. Dann ist die Potenzfunktion
fq :]0, ∞[ → [0, ∞[ durch fq (x) = xq definiert.
Bemerkung: Später werden wir die Potenzfunktionen auch für irrationale
Exponenten erklären.
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Kapitel 4 — Abbildungen und Funktionen
Kapitel 4 — Abbildungen und Funktionen
Definition 4.11 (Einschränkung und Fortsetzung)
Es seien D1 ⊂ D2 und f1 : D1 → W , f2 : D2 → W zwei Abbildungen mit
f1 (x) = f2 (x) für alle x ∈ D1 .
Dann heißt f1 Einschränkung von f2 und f2 Fortsetzung von f1 .
Man schreibt auch f1 = f2 |D1 .
Definition 4.12 (Verkettung von Abbildungen)
Es seien f : D → U und g : V → W Abbildungen und es gelte U ⊂ V .
Dann ist die Verkettung g ◦ f : D → W definiert durch
(g ◦ f )(x) := g(f (x)) .
R
R
Es seien f : D → und g : D → Funktionen mit dem gleichen
Definitionsbereich. Dann sind die Addition f + g : D → und die
Multiplikation f · g : D → punktweise definiert. Das heißt, dass für
alle x ∈ D gilt:
R
R
(f + g)(x) := f (x) + g(x)
(f · g)(x) := f (x)g(x) .
und
Bemerkung:
Für allgemeine Abbildungen kann man in der Regel keine Addition und
Multiplikation erklären. Hier spielt der Wertebereich
eine große Rolle.
R
Statt Verkettung sagt man auch Hintereinanderausführung oder
Komposition und man liest g ◦ f als “g nach f ”.
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Definition 4.12 [cont.] (Addition Multiplikation)
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Kapitel 4 — Abbildungen und Funktionen
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Kapitel 4 — Abbildungen und Funktionen
Definition 4.14 (Injektiv, Surjektiv, Bijektiv)
Eine Abbildung f : D → W heißt ...
Definition 4.13 (Umkehrabbildung)
1
Es seien f : D → W und g : W → D Abbildungen mit den Eigenschaften
(1) g ◦ f = idD und (2) f ◦ g = idW .
Dann heißen f und g Umkehrabbildungen voneinander und wir
schreiben g = f −1 bzw. f = g −1 . Man sagt dann auch f (und natürlich
auch g) ist invertierbar.
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2
3
... injektiv, wenn für alle x1 , x2 ∈ D mit x1 6= x2 für die Bilder
f (x1 ) 6= f (x2 ) gilt.
... surjektiv, wenn f (D) = W .
... bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist.
Satz 4.15
Eine Abbildung f : D → W ist injektiv, wenn die Gleichung f (x1 ) = f (x2 )
schon x1 = x2 liefert.
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Seite 64 / 211
Kapitel 4 — Abbildungen und Funktionen
Kapitel 4 — Abbildungen und Funktionen
Satz 4.16


 injektiv 
surjektiv
Eine Abbildung f : D → W ist
genau dann, wenn die


bijektiv


 höchstens 
mindestens
eine Lösung x ∈ D
Gleichung f (x) = y für jedes y ∈ W


genau
hat.
Folgerung 4.17


 injektiv 
surjektiv
Eine Funktion f : → ist
genau dann, wenn der Graph


bijektiv


 höchstens 
mindestens
von f jede Parallele zur x-Achse
einmal schneidet.


genau
R R
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Satz 4.18 (Umkehrabbildung)
Eine Abbildung ist genau dann invertierbar, wenn sie bijektiv ist.
Bemerkung 4.19 (Graph der Umkehrfunktion)
R
Es seien D, W ⊂ und f : D → W eine bijektive Funktion. Den Graphen
der Umkehrfunktion f −1 : W → D erhält man, indem man den Graphen
von f an der Winkelhalbierenden spiegelt.
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Kapitel 4 — Abbildungen und Funktionen
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Seite 66 / 211
Kapitel 4 — Abbildungen und Funktionen
Definition 4.20 (Monotonie)
Es sei I ⊂
1
R und f : I → R eine Funktion. Dann heißt f ...
... monoton wachsend, wenn für alle x1 , x2 ∈ I mit x1 < x2 gilt
f (x1 ) ≤ f (x2 ).
2
... streng monoton wachsend, wenn für alle x1 , x2 ∈ I mit
x1 < x2 gilt f (x1 ) < f (x2 ).
3
... monoton fallend, wenn für alle x1 , x2 ∈ I mit x1 < x2 gilt
f (x1 ) ≥ f (x2 ).
4
Satz 4.21
Es sei I ⊂ und f : I → eine streng monotone Funktion. Dann ist f
injektiv.
Wenn man den Wertebereich auf f (I) ⊂ einschränkt, dann ist
f : I → f (I) sogar invertierbar.
R
R
R
... streng monoton fallend, wenn für alle x1 , x2 ∈ I mit
x1 < x2 gilt f (x1 ) > f (x2 ).
Beispiel: Die Potenzfunktionen fq : [0, ∞[ → [0, ∞[ sind streng monoton
steigend.
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Seite 67 / 211
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Kapitel 5 — Trigonometrie
Kapitel 5 — Trigonometrie
Winkel werden in Grad oder im
Bogenmaß (auch Rad) angegeben:
360◦ =2π
b
0◦
0
Deg
Rad
y
Kapitel 5 — Trigonometrie
30◦
π/6
45◦
π/4
60◦
π/3
Schenkel
Scheitel S
90◦
π/2
180◦
π
Winkelbereich
α
270◦
3π/2
360◦
2π
cot α
1
r=1
sin α
Durch diese Betrachtungen am Einheitskreis werden vier Funktionen definiert.
tan α
α
1
cos α
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x
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Kapitel 5 — Trigonometrie
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Kapitel 5 — Trigonometrie
Definition 5.1 (Winkelfunktionen)
Name
Sinus
sin
Cosinus
cos
Tangens
tan
Cotangens
cot
D
R
R
W
[−1, 1]
R \ { 2k+1
2 π | k ∈ Z}
R \ {kπ | k ∈ Z}
Satz 5.2 (Interpretation am rechtwinkligen Dreieck)
[−1, 1]
C
R
R
b
y
y
y = sin x
A
y = tan x
y = cos x
α
c
Mit diesen Bezeichnungen gilt dann
a
sin α =
a
,
b
cos α =
c
,
b
tan α =
a
,
c
cot α =
c
a
B
y = cot x
1
π
2π x
π
4
π
2
3π
4
π
5π
4
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3π
2
x
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Kapitel 5 — Trigonometrie
Kapitel 5 — Trigonometrie
Satz 5.5 (Eigenschaften der Winkelfunktionen)
Definition 5.3 (Periodische Funktionen)
1. sin sowie cos sind 2π- und tan sowie cot sind π- periodisch.
Es sei T > 0. Eine Funktion f : →
f (x + T ) = f (x) für alle x ∈ .
2. sin(x + π) = − sin x und cos(x + π) = − cos x.
R
R R heißt T -periodisch, wenn
Definition 5.4 (Symmetrie von Funktionen)
3. sin(x + π2 ) = cos x und cos(x + π2 ) = − sin x.
sin x
1
4. tan x =
und cotx =
.
cos x
tan x
5. cos ist eine gerade Funktion und sin, tan und cot sind ungerade
Funktionen.
Es sei I ⊂
heißt ...
6. Für alle x ∈
R ein um 0 symmetrisches Intervall. Eine Funktion f : I → R
7.
1. ... gerade, wenn f (−x) = f (x) für alle x ∈ I.
cos(x) = 0 genau dann, wenn x =
2. ... ungerade, wenn f (−x) = −f (x) für alle x ∈ I.
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2
8. sin x +
]0,π[
:]0, π[ →
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Kapitel 5 — Trigonometrie
Wegen Satz 4.18 und Satz 4.21 können wir von diesen Einschränkungen
aus Satz 5.6 die Umkehrfunktionen angeben.
Die folgenden Einschränkungen der Winkelfunktionen sind streng monoton
und wegen Satz 4.20 damit bijektiv auf das jeweilige Bild.
: − π , π → [−1, 1] ist streng monoton wachsend.
1 sin π π
2
2
− ,
2 2
2 cos : [0, π] → [−1, 1] ist streng monoton fallend.
[0,π]
: − π , π → ist streng monoton wachsend.
3 tan 4
Z
mit k ∈ .
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Satz 5.6 (Einschränkungen der Winkelfunktionen)
cot
cos2 x
2k+1
2 π
= 1 der Trigonometrische Pythagoras.
1
1
9. cos2 x =
und sin2 x =
.
2
1 + tan x
1 + cot2 x
Kapitel 5 — Trigonometrie
− π2 , π2
R gilt | sin x| ≤ 1 und | cos x| ≤ 1.
sin(x) = 0 genau dann, wenn x = kπ mit k ∈ Z.
2
2
R
R ist streng monoton fallend.
Definition 5.7 (Arcusfunktionen)
Die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen werden Arcusfunktionen
genannt und sind
1. arcsin : [−1, 1] → − π2 , π2
2. arccos : [−1, 1] → [0, π]
3. arctan : → − π2 , π2
4. arccot : → 0, π[
R
R
Die Graphen der Arcusfunktionen sehen wie folgt aus (siehe Bemerkung
4.19):
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Kapitel 5 — Trigonometrie
Kapitel 5 — Trigonometrie
Beim Rechnen mit den Winkelfunktionen sind folgende Additionstheoreme
sehr nützlich:
y
y
π
2
Satz 5.8 (Additionstheoreme)
y = arccos x
A1) sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x
π
y = arcsin x
A2) cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y
tan x ± tan y
A3) tan(x ± y) =
1 ∓ tan x tan y
y = arccot x
π
2
π
4
Daraus erhält man dann
x
y = arctan x
1
x
Folgerung 5.9 (Doppelte Winkel)
1. sin 2x = 2 sin x cos x
− π2
2. cos 2x = cos2 x − sin2 x
2 tan x
3. tan 2x =
1 − tan2 x
1
2
4. cos x = 2 (1 + cos 2x) und sin2 x = 12 (1 − cos 2x)
− π2
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Seite 77 / 211
Kapitel 5 — Trigonometrie
sin x cos y
Und nun noch ein paar spezielle Werte der Winkelfunktionen (und mit 5.5,
5.8 und 5.9 dann natürlich weitere)
cos x sin y
x
cos y
x y
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Kapitel 5 — Trigonometrie
Eine kleine Beweisskizze für die Additionstheoreme:
cos x cos y
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sin x sin y
sin y
1
x+y
0
30◦
45◦
60◦
90◦
x in Rad
0
π
6
π
4
π
3
π
2
sin x
0
1
2
1
√
1
tan x
0
√
1
cotx
−
cos x
cos(x + y)
sin(x + y)
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x in Grad
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2
3
3
3
√
√
2
√
1
2
1
2
3
2
1
1
1
2
√
3
1
1
2
0
3
√
1
3 3
−
√
0
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Kapitel 6 — Folgen und Stetigkeit
Kapitel 6 — Folgen und Stetigkeit
Definition 6.1 (Zahlenfolgen)
N R
Eine Zahlenfolge (oder kurz: Folge) ist eine Funktion f : → .
Statt f (n) schreiben wir xn und schreiben abkürzend
(xn ) := (x0 , x1 , . . . , xk , . . .) für die Sammlung aller Bilder. xn heißt n-tes
Folgenglied.
Kapitel 6 — Folgen und Stetigkeit
Beispiele:
N
N
(n) hat den Definitionsbereich .
1
hat den Definitionsbereich + .
n
1
(n+1)(n−4) hat den Definitionsbereich
N≥5.
Bemerkung: Manchmal macht es Sinn den Definitionsbereich
einzuschränken, dieser sollte allerdings dann keine “Lücken” haben.
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Kapitel 6 — Folgen und Stetigkeit
Mathematischer Vorkurs – TU Dortmund
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Kapitel 6 — Folgen und Stetigkeit
Was bedeutet “Eine Folge läuft gegen einen festen Wert”?
Definition 6.3 (Konvergenz von Zahlenfolgen)
Eine Folge (xn ) heißt konvergent gegen den Grenzwert a, wenn gilt
Technisches Hilfsmittel zur Beschreibung des Verhaltens von Zahlenfolgen:
Definition 6.2 (-Umgebung)
R
Für a ∈ und > 0 heißt das offene Intervall
]a − , a + [= {x ∈ | |x − a| < } die -Umgebung von a und wird mit
U (a) bezeichnet.
R
∀ > 0 ∃n0 ∈
N ∀n ≥ n0 : |xn − a| < .
Wir schreiben: lim xn = a oder manchmal auch xn → a (n → ∞) und
n→∞
sagen: (xn ) geht gegen a für n gegen unendlich, oder auch: (xn )
konvergiert gegen a.
Satz 6.4
1 Eine konvergente Folge besitzt einen eindeutigen Grenzwert.
2
lim xn = a ist gleichbedeutend mit lim |xn − a| = 0.
n→∞
3
Ist lim yn = 0 und 0 ≤ xn ≤ yn für alle n, so gilt lim xn = 0.
n→∞
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n→∞
n→∞
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Kapitel 6 — Folgen und Stetigkeit
Kapitel 6 — Folgen und Stetigkeit
Und nun halten wir noch fest, was es bedeutet, wenn eine Folge nicht
konvergiert. Von “Nicht-Konvergenz” gibt es verschiedene Abstufungen.
Beispiele 6.6:
1
Definition 6.5 (Divergenz)
1. Eine Folge, die nicht konvergent ist, heißt divergent.
2. Eine Folge (xn ) heißt uneigentlich konvergent, wenn gilt
∀M ∈
R ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 : xn > M
3
Wir schreiben in diesem Fall lim xn = ∞ oder xn → ∞ (n → ∞).
n→∞
Analog macht man das für −∞.
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2
4
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Kapitel 6 — Folgen und Stetigkeit
Satz 6.9 (Rechenregeln für konvergente Folgen)
Definition 6.7 (Teilfolge)
Eine Teilfolge einer Folge erhält man, indem man aus ihr eine beliebige
Anzahl von Gliedern weg lässt, wobei aber unendlich viele Glieder
übrigbleiben müssen.
Es seien (xn ) bzw. (yn ) konvergente Folgen und außerdem sei c ∈
Dann gilt
1
3
Ist eine Folge konvergent gegen a, so konvergiert jede Teilfolge
ebenfalls gegen a.
Hat eine Folge zwei Teilfolgen, die gegen unterschiedliche Grenzwerte
konvergieren, dann ist die Folge divergent.
n→∞
n→∞
lim (xn yn ) = lim xn lim yn .
n→∞
4
n→∞
lim (cxn ) = c lim xn .
n→∞
Satz 6.8 (Eigenschaften von Teilfolgen)
n→∞
n→∞
lim xn
xn
= n→∞
(hierbei sei natürlich yn 6= 0 und lim yn 6= 0).
n→∞ yn
n→∞
lim yn
lim
n→∞
5
Ist xn ≤ yn oder xn < yn , dann gilt lim xn ≤ lim yn .
n→∞
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R.
lim (xn ± yn ) = lim xn ± lim yn .
n→∞
2
2
Ist die Folge (xn ) uneigentlich
konvergent und ist xn 6= 0 für alle n,
1
so konvergiert die Folge xn gegen 0.
Die Folge (−1)n ist divergent.
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Kapitel 6 — Folgen und Stetigkeit
1
N
Jede Folge, die konstant wird (dh. es gibt eine Zahl m ∈ , so dass
xn = xm für alle n ≥ m) ist konvergent.
Die Folge n1 = 1, 21 , 13 , . . . konvergiert gegen 0. Genauso auch die
Folge n1k (falls k > 0).
n→∞
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Kapitel 6 — Folgen und Stetigkeit
Kapitel 6 — Folgen und Stetigkeit
Definition 6.11 (Stetigkeit)
Definition 6.10 (Grenzwert einer Funktion)
R
R eine
Es sei D ⊂ eine Teilmenge und x̂ ∈ D. Weiter sei f : D \ {x̂} →
Funktion. f hat in x̂ den Grenzwert ŷ wenn gilt:
... stetig, wenn f in jedem Punkt aus D stetig ist.
1. Die Identität und die Betragsfunktion sind stetig.
Bemerkung:
2. Die Signum-Funktion σ :
Linksseitiger (xn < x̂) und rechtsseitiger (xn > x̂) Grenzwert müssen
übereinstimmen.
Der Grenzwertbegriff ist explizit auch für Definitionslücken von f
sinnvoll (und anwendbar).
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R→R
ist nicht stetig.
3. Die Funktion f mit f (x) =
D = \ {0}.
R
4. Die Wurzelfunktionen f :
1
x
(
1
mit σ(x) :=
−1
falls x ≥ 0
falls x < 0
ist stetig auf ihrem Definitionsbereich
R≥0 → R≥0 mit f (x) = √x sind stetig.
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Kapitel 6 — Folgen und Stetigkeit
n
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Kapitel 6 — Folgen und Stetigkeit
Satz 6.14
1 Es seien f, g : D →
stetig in x0 ∈ D und c ∈ . Dann sind auch
f
f ± g, cf , f g und g stetig (wobei im letzten Fall g(x) 6= 0 für alle
x ∈ D vorausgesetzt werden muss).
Satz 6.13 (Rechenregeln für Grenzwerte)
R
R Funktionen mit x→x
lim f (x) = a und
lim g(x) = b, sowie c ∈ R. Dann gilt
x→x
0
0
2
lim (f (x) ± g(x)) = a ± b.
x→x0
2
... stetig in x0 ∈ D, wenn lim f (x) = f (x0 )
Beispiele 6.12:
x→x̂
x̂ = ±∞ oder ŷ = ±∞ erweitern.
1
2
n→∞
Man schreibt dann lim f (x) = ŷ. Die Definition lässt sich auch auf
Es seien f, g : D \ {x0 } →
1
R eine Funktion auf der Teilmenge D ⊂ R. Dann heißt ...
x→x0
Für jede Folge (xn ) in D \ {x̂} mit lim xn = x̂ gilt lim f (xn ) = ŷ.
n→∞
Es sei f : D →
lim (cf (x)) = ca.
R
R
Ist f : D → stetig in x0 ∈ D und g : D̂ →
in f (x0 ) ∈ D̂, so ist g ◦ f stetig in x0 .
R mit f (D) ⊂ D̂ stetig
x→x0
3
Satz 6.15
Die Winkelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen sind stetig auf ihren
Definitionsbereichen.
lim (f (x)g(x)) = ab.
x→x0
4
lim
x→x0
a
f (x)
= (falls b 6= 0).
g(x)
b
Beispiele 6.11 [cont.]:
Beispiele 6.12 [cont.]:
5. Die Potenzfunktionen sind stetig und die Polynome sind stetig.
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6. f : x 7→
√
x2 + 1 ist stetig.
7. x 7→ arctan(sin(x)) ist stetig.
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Kapitel 6 — Folgen und Stetigkeit
Kapitel 7 — Differenzierbarkeit
Satz 6.16 (Nullstellensatz)
R
Ist f : [a, b] → eine stetige Funktion mit f (a)f (b) < 0, so gibt es ein
x ∈ [a, b] mit f (x) = 0.
Beispiel: Das Polynom f mit f (x) = x3 + 2x2 − x − 2 erfüllt
f (−3) = −8 < 0 und f (2) = 12, hat also eine Nullstelle in [−3, 2] (sogar
drei: −2, −1 und 1).
Kapitel 7 — Differenzierbarkeit
Satz 6.17 (Zwischenwertsatz)
R
Es sei f : [a, b] → eine stetige Funktion und es gelte f (a) 6= f (b). Dann
gibt es zu jedem y zwischen f (a) und f (b) ein x ∈ [a, b], so dass f (x) = y.
Beispiel [cont.]: Das Polynom f mit f (x) = x3 + 2x2 − x − 2 nimmt sogar
jeden Wert in [−8, 12] im Intervall [−3, 2] an.
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Kapitel 7 — Differenzierbarkeit
R eine Funktion auf dem offenen(!) Intervall I ⊂ R. f
1. ... differenzierbar in dem Punkt x0 ∈ I, wenn der Grenzwert
des Differenzenquotienten
lim
x→x0
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Kapitel 7 — Differenzierbarkeit
Definition 7.1 (Differenzierbarkeit)
Es sei f : I →
heißt ...
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f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
= lim
∈
h→0
x − x0
h
existiert. Dieser Wert wird dann mit
Ableitung von f an der Stelle x0 .
f 0 (x
0)
R
bezeichnet und heißt die
2. ...differenzierbar auf I, wenn f an jeder Stelle x ∈ I
differenzierbar ist.
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Grundlegende Beispiele 7.2:
f (x)
f 0 (x)
c
0
x
1
x2
2x
xn
nxn−1 , n ∈
f (x)
1
x
1
xn
N
f 0 (x)
−
−
1
x2
n
xn+1
sin x
cos x
cos x
− sin x
, n∈
Wichtige Beobachtung: In der rechten Spalte taucht
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N
1
x
= x−1 nie auf!
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Kapitel 7 — Differenzierbarkeit
Kapitel 7 — Differenzierbarkeit
Die Ableitung einer Funktion f kann man auch geometrisch interpretieren.
y
T
a
Die Steigung der Tangente T im Punkt
a ist der Grenzwert der Sekantensteigungen.
Satz 7.4 (Lineare Approximation)
R
Es sei f : I → eine Funktion auf dem offenen Intervall I ⊂
x0 ∈ I. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
x
R und
1. f ist differenzierbar in x0 .
Definition 7.3 (Tangente)
2. Es gibt eine Zahl c ∈
lim φ(x) = 0 und
Die Gerade mit der Gleichung
Txf0 (x) = y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )
R und eine Funktion φ : I → R mit
x→x0
heißt Tangente an den Graphen von f im Punkt x0 , f (x0 ) (kurz auch
Txf0 : Tangente an f in x0 ).
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f (x) = f (x0 ) + c(x − x0 ) + φ(x)(x − x0 ) .
In diesem Fall ist c = f 0 (x0 ).
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Kapitel 7 — Differenzierbarkeit
Satz 7.5
Ist f : I →
Bemerkung: Differenzierbarkeit in x0 bedeutet also anschaulich, dass sich
die Funktionswerte von f in einer “kleinen Umgebung von x0 ” gut durch
die Werte der Tangente annähern lassen. Man sagt auch: f ist linear
approximierbar. Genauer:
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Kapitel 7 — Differenzierbarkeit
R differenzierbar in x0 ∈ I, so ist f auch stetig in x0.
Definition 7.6 (Höhere Ableitungen)
1. Ist f auf I differenzierbar, so heißt die Funktion
x 7→ f 0 (x) die Ableitung von f .
f0
:I→
R mit
2. Ist f differenzierbar, und f 0 stetig auf I so nennt man f stetig
differenzierbar.
3. Sind f und f 0 differenzierbar auf I, dann nennt man die Funktion
f 00 := (f 0 )0 die zweite Ableitung von f .
4. Ebenso definiert man höhere Ableitungen
f 000 ,
f (4) ,
...
Satz 7.7 (Differentiationsregeln)
1.
Summenregel
(f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x)
2.
Produktregel
3.
Quotientenregel
4.
Kettenregel
(f g)0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
0
f
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
(x) =
g
g 2 (x)
(f ◦ g)0 (x) = f 0 (g(x))g 0 (x)
5. f heißt k-mal stetig differenzierbar, wenn f (k) existiert und
stetig ist.
6. f heißt glatt, wenn für alle k ∈
stetig ist.
N die Ableitung f (k) existiert und
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Seite 100 / 211
Kapitel 7 — Differenzierbarkeit
Kapitel 7 — Differenzierbarkeit
Satz 7.8 (Ableitung der Umkehrfunktion)
Grundlegende Beispiele 7.2 [cont.]
Es sei f auf dem Intervall I streng monoton und differenzierbar und es
gelte f 0 6= 0. Dann ist die Umkehrfunktion f −1 differenzierbar auf
J := f (I). Für y = f (x) ∈ J, also x = f −1 (y), gilt dann
(f −1 )0 (y) =
1
f 0 (x)
.
f (x)
f 0 (x)
√
x
1
√
√
n
Beispiel: Wir berechnen die Ableitung von f −1 (y) = arcsin(y). Dann ist
f (x) = sin x und wegen Satz 7.8 gilt
x
tan x
arcsin x
arcsin0 (y) =
1
1
1
p
=
=
,
(sin x)0
cos x
1 − sin2 x
arccos x
1
mit y = sin x also schließlich arcsin0 (y) = p
.
1 − y2
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arctan x
2 x
1
√
n
n xn−1
1 + tan2 x =
N+ = N \ {0}
1
cos2 x
1
1 − x2
1
−√
1 − x2
1
1 + x2
√
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Kapitel 7 — Differenzierbarkeit
n∈
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Seite 102 / 211
Kapitel 8 — Anwendungen der Differentialrechnung
Folgerungen 7.9
Aus der Kettenregel lässt sich folgendes herleiten (innere Funktion ist
jeweils f ):
1. (f 2 )0 (x) = 2f (x)f 0 (x).
2. (f n )0 (x) = nf n−1 (x)f 0 (x).
0
f 0 (x)
1
3.
(x) = − 2
.
f
f (x)
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Seite 103 / 211
Kapitel 8 — Anwendungen der
Differentialrechnung
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Seite 104 / 211
Kapitel 8 — Anwendungen der Differentialrechnung
Kapitel 8 — Anwendungen der Differentialrechnung
Satz 8.1 (Mittelwertsatz der Differentialrechnung)
Es sei f auf [a, b] stetig und auf ]a, b[ differenzierbar. Dann gibt es ein
x0 ∈]a, b[ mit
f (b) − f (a)
.
f 0 (x0 ) =
b−a
Folgerung 8.2
2
3
Ist f 0 (x) ≥ 0(> 0) für alle x ∈]a, b[, so ist f auf [a, b] (streng)
monoton steigend.
Ist f 0 (x) ≤ 0(< 0) für alle x ∈]a, b[, so ist f auf [a, b] (streng)
monoton fallend.
Ist f 0 (x) = 0 für alle x ∈]a, b[, so ist f auf [a, b] konstant.
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Es sei D ∈ eine beliebige Teilmenge, f : D →
Graph von) f hat in x0 ein ...
2
3
4
R zweimal differenzierbar. Dann heißt (der Graph von) f ...
1. ... linksgekrümmt, falls f 00 > 0 auf ganz I.
Definition 8.4 (Wendestelle, Wendepunkt)
R
Es sei f : I → zweimal differenzierbar und f 00 (x0 ) = 0 für x0 ∈ I. Dann
heißt x0 eine Wendestelle und der Punkt (x0 , f (x0 )) ein
Wendepunkt (des Graphen) von f .
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Seite 106 / 211
Kapitel 8 — Anwendungen der Differentialrechnung
Definition 8.5 (Extremum)
1
Es sei f : I →
Seite 105 / 211
Kapitel 8 — Anwendungen der Differentialrechnung
R
Satz 8.3 (Krümmung)
2. ... rechtsgekrümmt, falls f 00 < 0 auf ganz I.
Sei f auf [a, b] stetig und auf ]a, b[ differenzierbar. Dann gilt:
1
Wenn nicht anders angegeben, sind im Folgenden die Intervalle stets offen
(diese werden dann mit I bezeichnet).
R und x0 ∈ D. (Der
R
Es sei f : I → differenzierbar in x0 ∈ I. Hat f in x0 ein lokales
Extremum, so ist f 0 (x0 ) = 0.
...globales Maximum, wenn f (x) ≤ f (x0 ) für alle x ∈ D.
...globales Minimum, wenn f (x) ≥ f (x0 ) für alle x ∈ D.
...lokales Maximum, wenn es eine Umgebung U (x0 ) gibt, so dass
f (x) ≤ f (x0 ) für alle x ∈ U (x0 ) ∩ D.
...lokales Minimum, wenn es eine Umgebung U (x0 ) gibt, so dass
f (x) ≥ f (x0 für alle x ∈ U (x0 ) ∩ D.
Maxima und Minima fassen wir auch unter dem Namen Extrema
zusammen. Wir nennen x0 eine Extremalstelle, f (x0 ) ein
Extremum und (x0 , f (x0 )) einen Extrempunkt (des Graphen) von f .
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Satz 8.6 (Notwendiges Kriterium für Extrema)
Seite 107 / 211
Bemerkung 8.7
Die Umkehrung von Satz 8.6 ist in der Regel nicht richtig. Das zeigt schon
das Beispiel f (x) = x3 und x0 = 0.
Das Phänomen des letzten Beispiels werden wir nun näher beleuchten.
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Seite 108 / 211
Kapitel 8 — Anwendungen der Differentialrechnung
Kapitel 8 — Anwendungen der Differentialrechnung
Satz 8.8 (Hinreichendes Kriterium für Extrema)
R
Beispiel: Wir betrachten f :
Es sei f : I → hinreichend oft differenzierbar und x0 ∈ I mit
f 0 (x0 ) = 0. Dann gilt
<0
lokales Maximum
00
1. Ist f (x0 )
, so hat f in x0 ein
.
>0
lokales Minimum
R → R mit f (x) = 2 +sincosx x . Da die
Funktion 2π-periodisch ist, schauen wir sie uns nur auf einem Teilintervall
an, nämlich auf [0, 2π]. (genauer auf ] − δ, 2π + δ[, da wir ein offenes
Intervall brauchen).
2. Ist f 00 (x0 ) = 0 und f 000 (x0 ) 6= 0 so hat f in x0 eine Wendestelle. In
diesem Fall spricht man von einem Sattelpunkt.
f (x)
y
f 0 (x)
Allgemeiner gilt:
3. Ist f 00 (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0 und f (n) 6= 0, dann gilt
f 00 (x)
Ist n gerade, so hat f in x0 ein
(
lokales Maximum, falls f (n) (x0 ) < 0
lokales Minimum, falls f (n) (x0 ) > 0.
2π
x
Ist n ungerade, so hat f in x0 einen Wendepunkt.
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Seite 109 / 211
Kapitel 8 — Anwendungen der Differentialrechnung
Seite 110 / 211
Kapitel 9 — Integralrechnung
Mit Hilfe der Differentialrechnung lassen sich bestimmte Grenzwerte
ausrechnen, die man ohne deren Hilfe nur schwer bekommt.
Satz 8.9 (Satz von l’Hospital)
R
Es sei a ein Randpunkt des offenen Intervalls I ∈ (dabei ist a = ±∞
ausdrücklich zugelassen), und f und g stetig differenzierbar auf I. Dann
gilt:
1
Ist lim f (x) = lim g(x) = 0 und existiert der Grenzwert
x→a
f 0 (x)
lim
x→a
2
3
Kapitel 9 — Integralrechnung
g 0 (x)
x→a
= C, so gilt ebenfalls lim
x→a
f (x)
=C
g(x)
∞
.
∞
Mit leichten Modifikationen kann man auch Ausdrücke der Form
0 · ∞ und ∞ − ∞ behandeln.
Analog gilt der Satz auch für Ausdrücke der Form
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Seite 111 / 211
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Seite 112 / 211
Kapitel 9 — Integralrechnung
Kapitel 9 — Integralrechnung
Definition 9.1 (Stammfunktion)
Definition 9.3 (unbestimmtes Integral)
Es seien f, F : I → Funktionen. F heißt Stammfunktion von f auf
I, wenn F auf I differenzierbar ist und F 0 (x) = f (x) für alle x ∈ I.
Wenn wir für f eine Stammfunktion suchen, so sagen wir auch: wir
integrieren f .
Wenn wir eine Stammfunktion gefunden haben, so nennen wir f
integrierbar.
Die Menge aller Stammfunktionen
Z von f heißt unbestimmtes
Integral von f und wird mit f (x)dx bezeichnet.
R
Satz 9.2
1 Ist F eine Stammfunktion zu f , so ist auch G = F + c mit einer
Konstanten c ∈ eine Stammfunktion von f .
R
2
Alle Stammfunktionen zu f sind von dieser Form.
Sind also G und F zwei Stammfunktionen, so gibt es eine Konstante
c ∈ mit G(x) = F (x) + c.
R
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Ist F eine Stammfunktion zu f so schreiben wir auch
Z
f (x)dx = F (x) + c .
Satz 9.4 (erste Eigenschaften: Linearität)
Z
Z
Z
1. (f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx.
Z
Z
2. (cf (x))dx = c f (x)dx für c ∈ .
R
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Kapitel 9 — Integralrechnung
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Seite 114 / 211
Kapitel 9 — Integralrechnung
Nun folgen zwei wichtige Eigenschaften des Integrals, die sich auf
Produkte und Verkettungen von Funktionen beziehen. Sie folgen direkt
aus den Rechenregeln für das Differenzieren (Satz 7.7).
Satz 9.5 (Partielle Integration)
Z
Z
0
f (x)g (x)dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x)dx.
Satz 9.6 (Substitution)
Ist F eine Stammfunktion zu f und ist g differenzierbar, so gilt
Z
f (g(x))g 0 (x)dx = F (g(x)) + c.
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Seite 115 / 211
Folgerungen 9.7
Es sei F eine Stammfunktion zu f . Dann ist
Z
1.
f (x + a) dx = F (x + a) + c
Z
1
2.
f (ax) dx = F (ax) + c
a
Z
1
3.
g(x) g 0 (x) dx = (g(x))2 + c
2
Z
1
4.
xf (x2 ) dx = F (x2 ) + c
2
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Seite 116 / 211
Kapitel 9 — Integralrechnung
Kapitel 9 — Integralrechnung
Beispiele 9.8
1. Wir bekommen grundlegende Beispiele für Stammfunktionen, wenn
wir die Tabellen zu Beispiel 7.2 von rechts nach links lesen.
2. Insbesondere können wir alle Polynome integrieren und bekommen für
n
X
p(x) =
ak xk
Definition 9.9 (bestimmtes Integral)
R
Es sei f : [a, b] → eine Funktion. Dann hat der Wert F (b) − F (a) für
jede Stammfunktion F von f den gleichen Wert. Dieser Wert heißt
bestimmtes Integral von f in den Grenzen a und b und wird mit
Z
k=0
Z
p(x)dx = c +
n+1
X
k=1
ak−1 k
x
k
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a
Seite 118 / 211
y
y = f (x)
a
Ist F eine Stammfunktion zu f und ist g differenzierbar, so gilt
Z b
Z g(b)
g(b)
0
f (g(x))g (x)dx =
f (t)dt = F (t) .
a
6
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Kapitel 9 — Integralrechnung
a
g −1 (a)
Ist f (x) ≤ g(x) so ist
Z
a
b
f (x)dx ≤
a
Af (a, b)
b
x
g(a)
g(a)
Ist g differenzierbar und bijektiv, so gilt
Z b
Z g−1 (b)
f (x)dx =
f (g(t))g 0 (t)dt.
a
a
Seite 117 / 211
Satz 9.10 (Eigenschaften des bestimmten Integrals)
Z a
Z b
Z a
1
f (x)dx = 0 und
f (x)dx = −
f (x)dx.
a
a
b
Z b
Z c
Z b
2
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx.
a
a
c
Z b
b Z b
0
3
f (x)g(x)dx = f (x)g(x) −
f (x)g 0 (x).
5
b
f (x)dx = F (x) := F (b) − F (a).
bezeichnet. f heißt Integrand und a bzw. b untere bzw. obere
Integrationsgrenze sowie [a, b] das Integrationsintervall.
Kapitel 9 — Integralrechnung
4
a
b
Z
b
Folgerung 9.12 (Integral und Flächeninhalt)
Rb
Das Integral a f (x) dx lässt sich als der orientierte Inhalt der Fläche unter
dem Graphen der Funktion f im Intervall [a, b] deuten.
g(x)dx.
a
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Kapitel 9 — Integralrechnung
Kapitel 9 — Integralrechnung
Definition/Satz 9.13 (geometrischer Flächeninhalt)
Es sei f integrierbar. Der geometrische Flächeninhalt Af (a, b) von
f auf dem Intervall [a, b] ist definiert als Inhalt der Fläche, die der Graph
von f mit der x-Achse einschließt.
Z b
Dieser lässt sich gemäß Af (a, b) =
|f (x)|dx berechnen.
a
Beispiel 9.14:
1. Für f (x) = x3 ist F (x) = 14 x4 eine Stammfunktion. Damit gilt also
Z 1
1
f (x)dx = F (x) = 0, aber
−1
−1
Z 1
Z 1
1 1
f (x)dx = F (x) = .
Af (−1, 1) =
|f (x)|dx = 2
2
0
0
−1
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Beispiel 9.14 [cont.]:
−1
Dass F wirklich eine Stammfunktion zu f ist, zeigt man, indem man
F 0 = f nachweist oder indem man Satz 9.5 geschickt ausnutzt.
Seite 121 / 211
Kapitel 9 — Integralrechnung
√
R mit f (x)Z=1
1 − x2 . Diese Funktion
p
1 − x2 .
ist positiv, und deshalb gilt Af (−1, 1) =
−1
1 p
Eine Stammfunktion von f ist durch F (x) = x 1 − x2 + arcsin x
2
1
π
gegeben, also folgt Af (−1, 1) = F (x) = 2 .
2. Wir betrachten f : [−1, 1] →
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Kapitel 10 — Logarithmus- und Exponentialfunktion
Wir haben schon gesehen, dass Integration in einem gewissen Sinne die
Umkehrung der Differentiation ist. Zum Abschluß dieses Kapitels zitieren
wir noch den Satz, der diesen Sachverhalt mathematisch formuliert. Dieser
heißt
Satz 9.15 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI)
Kapitel 10 — Logarithmus- und
Exponentialfunktion
Jede auf einem Intervall [a, b] stetige Funktion f besitzt eine
Stammfunktion F .
Genauer gilt: Definiert man für x ∈ [a, b]
Z x
F (x) :=
f (t)dt
a
so ist diese Funktion auf [a, b] stetig, auf ]a, b[ stetig differenzierbar und es
gilt F 0 (x) = f (x).
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Kapitel 10 — Logarithmus- und Exponentialfunktion
Kapitel 10 — Logarithmus- und Exponentialfunktion
Wir können laut des HDI alle stetigen Funktionen integrieren. Die Funktion
f (x) = x1 tauchte allerdings in unseren Beispielen zur Differentiation nie
als Ergebnis auf. (vgl. Tabellen aus Beispiel 7.2). Ihre Stammfunktion
kennen wir also bisher nicht und wir definieren deshalb wie folgt:
Definition 10.1 (Logarithmusfunktion)
R
Die Logarithmusfunktion (oder der Logarithmus) ln : + →
ist definiert über eine Stammfunktion der auf + stetigen Funktion
x 7→ x1 . Genauer:
Z x
1
ln x :=
dt .
1 t
R
Nach dem HDI gilt zudem, dass ln stetig und differenzierbar in
R
R+ ist.
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Satz 10.2 (Eigenschaften des Logarithmus)
1. ln0 (x) = x1 .
2. ln 1 = 0.
3. ln x1 = − ln x.
4. ln(xy) = ln x + ln y.
5. ln ist streng monoton steigend.
6. lim ln x = ∞ und lim ln x = −∞
x→∞
x→0+
Zusammen mit der Stetigkeit von ln folgt aus 5) und 6) zudem die
Existenz der Umkehrfunktion.
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Seite 125 / 211
Kapitel 10 — Logarithmus- und Exponentialfunktion
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Kapitel 10 — Logarithmus- und Exponentialfunktion
Defnition 10.3 (Exponentialfunktion)
R R
Die Exponentialfunktion exp : → + ist die Umkehrfunktion des
Logarithmus ln : + → .
Die Zahl e := exp(1) = ln−1 (1) ≈ 2, 718281828 . . . heißt Eulersche
Zahl.
Bemerkung 10.5
Satz 10.4 (Eigenschaften der Exponentialfunktion)
Deshalb schreiben wir exp(x) = ex sogar für x ∈
R
R
1. exp(ln x) = ln(exp x) = x.
Aus Satz 10.4 Punkt 4) folgt exp(q) = eq für alle q ∈
R.
Q.
Sinn bekommt die Schreibweise aus der vorigen Bemerkung durch
2. exp0 (x) = exp(x).
Definition 10.6 (allgemeine Potenz)
3. exp(0) = 1 und exp(x) > 0.
Für a, b ∈
4. exp(x) exp(y) = exp(x + y),
insbesondere gilt für n ∈ damit
exp(nx) = (exp(x))n .
N
R mit a > 0 definieren wir die allgemeine Potenz ab durch
ab := exp(b ln a) .
5. lim exp(x) = ∞ und
x→∞
lim exp(x) = 0
x→−∞
6. exp ist streng monoton wachsend.
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Kapitel 10 — Logarithmus- und Exponentialfunktion
Kapitel 11 — Vollständige Induktion
Mit Hilfe des Logarithmus können wir unsere Integralregeln weiter
ergänzen:
Satz 10.6
Z
1
1
dx = ln |x| + c.
x
Z 0
f (x)
2
dx = ln |f (x)| + c.
f (x)
Kapitel 11 — Vollständige Induktion
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Kapitel 11 — Vollständige Induktion
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Kapitel 11 — Vollständige Induktion
Definition 11.2 (Operatoren über Aussagen)
Definition 11.1 (Aussageformen)
Eine Aussageform A über einer Grundmenge G ist ein Satz in Form einer
Aussage, der eine Variable enthält, die ihre Werte in G annimmt.
Wird die Variable durch einen konkreten Wert aus x ∈ G ersetzt, so liegt
eine Aussage A(x) vor.
Beispiele:
Ist G die Menge der Fußball Bundesligisten ohne den BVB, so ist
“BVB besiegte in dieser Saison Eintracht Frankfurt bereits einmal”
eine Aussageform auf der Grundmenge G. Für jeden Bundesligisten in
G erhält man eine Aussage, der man dann einen Wahrheitswert
zuordnen kann.
N
Ist G = , so ist “2 + x = 3” eine Aussageform auf der Grundmenge
der natürlichen Zahlen.
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Ist A eine Aussage, so bezeichnet ¬A
die Negation.
Sind A und B Aussagen, so bezeichnet
A ∧ B die Konjunktion.
Sind A und B Aussagen, so bezeichnet
A ∨ B die Disjunktion.
A B
w w
w f
f w
f f
¬A
f
f
w
w
A∧B
w
f
f
f
A∨B
w
w
w
f
Definition 11.3 (Verknüpfen von Aussageformen)
Sind A und B Aussageformen auf der gleichen Grundmenge G so sind die
Aussageformen ¬A, A ∧ B und A ∨ B punktweise definiert. Dh.
(¬A)(x) := ¬(A(x)),
(A ∧ B)(x) := A(x) ∧ B(x) und
(A ∨ B)(x) := A(x) ∨ B(x).
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Kapitel 11 — Vollständige Induktion
Kapitel 11 — Vollständige Induktion
Wiederholung 11.4 (Allquantor, Existenzquantor)
Es sei A eine Aussageform über der Grundmenge G.
∀x ∈ G : A(x) bedeutet, dass die Aussageform A allgemeingültig ist —
Für jedes x ∈ G ist A(x) wahr.
∃x ∈ G : A(x) bedeutet, dass die Aussageform A erfüllbar ist — Es gibt
ein x ∈ G, so dass A(x) wahr ist.
2
3
4
A ist erfüllbar
⇐⇒
∃x ∈ G : A(x).
A ist allgemeingültig
⇐⇒
∀x ∈ G : A(x).
A ist nicht erfüllbar
⇐⇒
N ist A(n) eine
N : A(n)
N
Bemerkung: Manchmal ist es sinnvoll oder notwendig statt ganz
nur
≥k zu betrachten. Zum Beispiel gilt die Allaussage für die Aussageform
A(n) :⇐⇒ n − 2 > 0 nur für ≥3 .
N
∀x ∈ G : ¬A(x).
A ist nicht allgemeingültig ⇐⇒
N
Ist nun A eine Aussageform über , d.h. für alle n ∈
Aussage, so ist die zugehörige All-Aussage
∀n ∈
Bemerkung 11.5
Es sei A eine Aussageform über G. Dann gilt
1
Die Vollständige Induktion ist ein Beweisverfahren, mit dem man
Allaussagen für Aussageformen beweisen kann, deren Grundbereich die
natürlichen Zahlen sind.
N
∃x ∈ G : ¬A(x).
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Kapitel 11 — Vollständige Induktion
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Kapitel 11 — Vollständige Induktion
Die folgenden Aussagen sind typisch für einen Induktionsbeweis.
Bevor wir zu einigen Beispielen und Anwendungen kommen formulieren wir
zuerst einmal das Induktionsprinzip
Satz 11.6 (Vollständige Induktion)
Es sei A eine Aussageform über
N
≥k
und es gelte
(IA) A(k) ist wahr.
sowie
(IS) Ist A(n) wahr, so ist auch A(n + 1) wahr
(oder kurz: A(n) −→ A(n + 1)).
Dann ist A(n) für alle n ∈
N
≥k
wahr.
Beispiele 11.7 (Summen, Gleichungen)
1. Für alle n ∈
N gilt
2. Für alle n ∈
N gilt
3. Für alle n ∈
N gilt
4. Für alle n ∈
N gilt
n
X
k=0
n
X
k=0
n
X
k=0
n
X
k=0
k=
n(n + 1)
.
2
qk =
q n+1 − 1
.
q−1
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
k3 =
n2 (n + 1)2
.
4
n X
n k n−k
n
5. Es gilt (x + y) =
x y
für alle n ∈
k
(IA) nennt man auch den Induktionsanfang und (IS) den
Induktionsschluss.
N.
k=0
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Kapitel 11 — Vollständige Induktion
Kapitel 11 — Vollständige Induktion
Beispiele 11.8 (Ungleichungen)
6. Es sei x > −1 eine feste reelle Zahl. Dann gilt: Für alle n ∈
(1 +
x)n
≥ 1 + nx
7. Ist x 6= 0 so gilt 6. mit “>” für alle n ∈
N ist
N≥2.
10.
11.
N+.
3 teilt 22n+1 + 1 für alle n ∈ N.
6 teilt n3 − n für alle n ∈ N.
12. 3 teilt 13n + 2 für alle n ∈
N+ ist pn ≥ n.
Es sei p ≥ 3. Dann gilt: Für alle n ∈ N+ ist pn ≥ n2 .
Für alle n ∈ N≥5 gilt 2n > n2 .
√ 1
Für alle n ∈ N+ ist 21 34 56 · · · 2n−1
2n ≤ 3n+1 .
13.
8. Es sei p ≥ 2. Dann gilt: Für alle n ∈
9.
Beispiele 11.9 (Teilbarkeit)
14.
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Kapitel 11 — Vollständige Induktion
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Kapitel 12 — Komplexe Zahlen
Beispiele 11.10 (Ableitungen)
15. Es ist f (x) =
16. Für alle n ∈
x
1−x .
N gilt: Ist f (x) =
2
n!
für alle n ∈
(1−x)n+1
xn , dann ist f 0 (x) = nxn−1 .
Dann ist f (n) (x) =
N+.
N
17. Es sei f (x) = e−x . Dann gilt: Für alle n ∈ gibt es ein Polynom pn
2
vom Grad n, so dass f (n) (x) = pn (x)e−x .
1
(−1)n n!an
18. Es sei f (x) :=
. Dann ist f (n) (x) =
für alle
ax + b
(ax + b)n+1
n∈ .
N
Kapitel 12 — Komplexe Zahlen
N
19. Es sei f (x) = sin(ax) + cos(bx).
Dann ist für alle n ∈
f (n) (x) = an sin ax + n π2 + bn cos bx + n π2 .
Z
x
n
20. Es sei fn (x) = x . Dann ist fn (x)dx =
fn (x) + c für alle
n+1
n∈ .
N
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Kapitel 12 — Komplexe Zahlen
Kapitel 12 — Komplexe Zahlen
Die Zahlen mit denen wir bisher gerechnet haben, waren die reellen Zahlen
(und Teilmengen davon).
Wenn man sich die Konstruktion der reellen Zahlen genauer anschaut, so
sieht man, dass man mit ihnen alle Punkte auf der Zahlengerade erreicht.
Also: Wozu neue Zahlen?
Wir erinnern uns, dass sich jedes Polynom in Linearfaktoren und
quadratische Faktoren zerlegen läßt (vgl. Satz 4.8). Schöner wäre eine
Zerlegbarkeit nur in Linearfaktoren.
Problem: Es gibt quadratische Polynome ohne Nullstellen und das
Standardbeispiel ist p(x) = x2 + 1. Eine Nullstelle von p wäre eine Wurzel
von −1, die es bekanntlich im Reellen nicht gibt. (vgl. Satz 2.8)
Wir brauchen also mehr Zahlen, aber wie? Versuchen wir es einfach mit
2 . Wie aber kann man die Addition und Multiplikation ”vernünftig“
definieren?
R
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Definition 12.1 (Rechenoperationen auf
R
R2)
Auf 2 führen wir eine Addition und eine Multiplikation auf die folgende
Art ein:
1
(a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)
2
(a, b)(c, d) := (ac − bd, ad + bc)
Bemerkung: Die Addition, ist die gleiche, die wir auch schon in der
Vektorrechnung benutzt haben. Nur die Multiplikation ist wirklich neu.
Definition 12.2 (Komplexe Zahlen)
Die Elemente der Ebene zusammen mit der in Definition 12.1 definierten
Addition und Multiplikation nennt man die Menge der komplexen
Zahlen und wir bezeichnen diese mit . Ein Element z = (a, b) heißt
dann komplexe Zahl. nennt man auch die Gaußsche
Zahlenebene.
C
C
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Kapitel 12 — Komplexe Zahlen
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Kapitel 12 — Komplexe Zahlen
Das Rechnen mit komplexen Zahlen erfüllt alle gängigen Rechenregeln:
Weiter gilt ebenfalls:
Satz 12.3 (Rechenregeln für komplexe Zahlen)
Satz 12.3 [cont.]
Sind z1 = (a1 , b1 ), z2 = (a2 , b2 ) und z3 = (a3 , b3 ) komplexe Zahlen, so
gilt:
1. z1 + z2 = z2 + z1 (Kommutativgesetz)
C
C.
7. Ist z = (a, b) ∈ eine komplexe Zahl, so erfüllt die komplexe Zahl
−z := (−a, −b) die Gleichung z + (−z) = (0, 0).
8. Die komplexe Zahl (1, 0) erfüllt (1, 0)z = z für jedes z ∈
2. z1 z2 = z2 z1 (Kommutativgesetz)
C
C.
9. Ist z = (a, b) ∈ eine komplexe Zahl
so erfüllt die
mit (a, b) 6= (0, 0),
a
−b
−1
−1
komplexe Zahl z := a2 +b2 , a2 +b2 die Gleichung zz = (1, 0).
(Statt z −1 schreiben wir auch z1 )
3. (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) (Assoziativgesetz)
4. (z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 ) (Assoziativgesetz)
5. z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 (Distributivgesetz)
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6. Die komplexe Zahl (0, 0) erfüllt (0, 0) + z = z für jedes z ∈
10. Es gilt (0, 0)z = (0, 0) für jedes z ∈
Seite 143 / 211
C.
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Seite 144 / 211
Kapitel 12 — Komplexe Zahlen
Kapitel 12 — Komplexe Zahlen
Satz 12.4
Wenn wir uns auf die komplexen Zahlen beschränken, deren zweite
Komponente verschwindet, so sehen wir:
1. (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) sowie
(a, 0)(b, 0) = (ab, 0) und
insbesondere (a, 0)−1 = a1 , 0 .
Das heißt, die Rechenvorschriften nehmen in diesem Fall keine Notiz
von dem zweiten Eintrag.
2. Für alle (c, d) ∈
C ist (a, 0)(c, d) = (ac, ad).
Wegen Satz 12.4 und der anschließenden Bemerkungen liegt die folgende
Definition und Vereinbarung nahe:
Definition 12.5 (Real- und Imaginärteil)
Wir identifizieren die reelle Zahl a und die komplexe Zahl (a, 0) ∈
wird
eine Teilmenge von .
R
C
C
C. So
Für z = (a, b) ∈ heißt Re(z) := a der Realteil und Im(z) := b der
Imaginärteil von z.
Satz 12.4 sagt uns:
zu 1. Wegen 1. kann man mit den komplexen Zahlen der Form (a, 0) wie
mit den reellen Zahlen rechnen. Und zwar entspricht (a, 0) dann der
Zahl a.
R
C
Die Gerade {(x, 0) | x ∈ } ⊂ heißt die reelle Achse und wir
schreiben . Die Gerade {(0, y) | y ∈ } ⊂ heißt die imaginäre
Achse und wir schreiben i .
R
R
R
C
zu 2. Dieser Punkt begründet diese Interpretation weiter, denn die
Multiplikation komplexer Zahlen mit welchen der Form (a, 0)
entspricht so der skalaren Multiplikation der Vektorrechnung.
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Kapitel 12 — Komplexe Zahlen
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Seite 146 / 211
Kapitel 12 — Komplexe Zahlen
Satz 12.8 (Wurzel aus -1)
Die Identifizierung aus Definition 12.4 liefert
Die imaginäre Einheit erfüllt
Folgerung 12.6 (Zerlegung komplexer Zahlen)
i2 = −1 .
Jede komplexe Zahl z = (a, b) besitzt die Zerlegung
(a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + b(0, 1) .
In der alten Schreibweise ist das (0, 1)(0, 1) = (−1, 0).
i und damit natürlich auch −i sind Lösungen der (über
Gleichung z 2 = −1.
Diese Folgerung motiviert nun die folgende Definition
Definition 12.7 (imaginäre Einheit)
R nicht lösbaren)
Achtung:
Die komplexe Zahl i := (0, 1) heißt imaginäre Einheit. Sie erlaubt es,
jede komplexe Zahl (a, b) ∈ in der Form z = a + ib darzustellen.
C
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Seite 147 / 211
C
Auf gibt es keine Ordnung. Deshalb macht es auch keinen Sinn i der
Zahl −i als Wurzel aus −1 vorzuziehen!
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Seite 148 / 211
Kapitel 12 — Komplexe Zahlen
Kapitel 12 — Komplexe Zahlen
Definition 12.9 (Konjugation und Betrag)
Ist z = x + iy ∈
C so bezeichnet ...
1. ... z := x − iy die zu z komplex konjugierte Zahl.
p
2. ... |z| := x2 + y 2 ∈ den Betrag der komplexen Zahl z.
R
Bemerkung:
zu 1. Geometrisch entspricht die komplexe Konjugation der Spiegelung an
der reellen Achse.
zu 2. Der Betrag der komplexen Zahl entspricht der Norm des
entsprechenden Vektors im 2 , bzw. dem Abstand des Punktes im
2 vom Ursprung.
R
R
1. z = z.
2. z ± w = z ± w.
3. zw = z w und
z
w
=
z
w
(falls w 6= 0).
4. z = z genau dann, wenn z ∈
z∈i .
R
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R und z = −z genau dann, wenn
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Kapitel 12 — Komplexe Zahlen
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Kapitel 12 — Komplexe Zahlen
Satz 12.10 [cont.]
z+z
z−z
5. Re(z) =
und Im(z) =
.
2
2i
6. Insbesondere ist i = −i = 1i .
Satz 12.11 [cont.]
4. |Re(z)| ≤ |z| und |Im(z)| ≤ |z|.
Auch wegen der Bemerkung zu 2. aus Satz 12.9 (der Verwandschaft
zwischen Betrag und Norm) haben wir
1. Es ist |z| ≥ 0 und |z| = 0 genau dann, wenn z = 0.
2. |zw| = |z||w| und z = |z| (falls w 6= 0).
w
5. Es gelten die Dreiecksungleichungen, das heißt
|z + w| ≤ |z| + |w| und |z| − |w| ≤ |z − w|.
Zwei wichtige Eigenschaften sind noch
6. z z = |z|2 .
1
z
= 2 (falls z 6= 0).
7.
z
|z|
Satz 12.11 (Rechenregeln für den Betrag)
3. Für a ∈
Satz 12.10 (Rechnenregeln für die Konjugation)
|w|
R ⊂ C ist |a| der gewöhnliche Betrag und es gilt |z| = |z|.
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Kapitel 13 — Gleichungen mit komplexen Zahlen
Kapitel 13 — Gleichungen mit komplexen Zahlen
13.1 Betragsgleichungen:
C
R
Es sei z0 ∈ eine komplexe und r ∈ eine reelle Zahl. Finden Sie alle
komplexen Zahlen, für die
|z − z0 | = r .
Kapitel 13 — Gleichungen mit komplexen Zahlen
In der Zahlenebene läßt sich das auch geometrisch interpretieren: Finden
Sie die Menge aller Punkte z, die von z0 einen Abstand r haben. (Genauso
klappt das natürlich auch mit <, ≤, > und ≥).
Man kann die Gleichung aber auch in eine rein reelle Gleichung
umschreiben: Ist z0 = (a, b) und schreiben wir z = (x, y) und quadrieren
wir die Gleichung, so gilt
(x − a)2 + (y − b)2 = r2 .
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Kapitel 13 — Gleichungen mit komplexen Zahlen
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Kapitel 13 — Gleichungen mit komplexen Zahlen
Wir haben hier die Fälle z0 = 2 + i und r = 32 (also die Menge
{z ∈ | |z − 2 − i| = 1, 5}) sowie z0 = 0 und r = 1 (also die Menge
{z ∈ | |z| = 1}, den Einheitskreis) in die Gaußsche Zahlenebene
eingezeichnet:
C
C
Eine weitere Form der Gleichung ist die quadratische Gleichung und mit
der Möglichkeit aus negativen Zahlen die Wurzel zu ziehen erhalten wir
den folgenden Satz.
Satz 13.2 (Quadratische Gleichungen)
R
h
r
d
l
o

m
Y
l
r hpn

o
m r d9Y

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C
Sind p, q ∈ dann ist jede Gleichung z 2 + pz + q = 0 ist in lösbar. Ist
D := p2 − 4q die Diskriminante, so besitzt die quadratische Gleichung ...
p
1. ... die eindeutige reelle Lösung z = − falls D = 0,
2 √
−p + D
2. ... die zwei reellen Lösungen z1,2 =
falls D > 0, und
2
√
−p ± i −D
3. ... die zwei komplexen Lösungen z1,2 =
falls D < 0.
2
Insbesondere gilt im dritten Fall z1 = z̄2 .

r
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Kapitel 13 — Gleichungen mit komplexen Zahlen
Kapitel 13 — Gleichungen mit komplexen Zahlen
Satz 13.4 (Fundamentalsatz der Algebra)
Bemerkung zu Satz 13.3:
Sind p und q komplexe Zahlen, so stimmt die pq-Formel immer noch und
liefert die Lösungen der (komplexen) quadratischen Gleichung. (Die
Lösungen sind dann aber nicht komplex konjugiert zueinander!)
Dafür müssen wir allerdings die Wurzel aus einer komplexen Zahl ziehen.
Wie man das macht, erfahren wir im nächsten Kapitel.
Jedes nicht-konstante Polynom p hat über
Nullstelle.
C mindestens eine
Jedes nicht-konstante Polynom läßt sich über
Linearfaktoren zerlegen.
C vollständig in
(Hierbei sind als Koeffizienten ausdrücklich auch komplexe Zahlen
zugelassen)
Bemerkung zu Satz 13.4:
Mit Satz 13.3 haben wir die folgende Erweiterung der reellen Variante des
Fundamentalsatzes der Algebra (Satz 4.8).
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Sind die Koeffizienten des Polynoms alle reell, so tauchen die komplexen
Nullstellen immer in Paaren aus komplexer Zahl und deren komplex
konjugierter Zahl auf.
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Kapitel 14 — Komplexe Polarkoordinaten und Wurzeln
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Seite 158 / 211
Kapitel 14 — Komplexe Polarkoordinaten und Wurzeln
Wir wenden uns nun den komplexen Zahlen als Elemente der Gaußschen
Zahlenebene zu.
Kapitel 14 — Komplexe Polarkoordinaten und
Wurzeln
hdnipoVc
cOdfebg*h
rh
m
m
r
q
l
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i#dfjk/h
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Seite 160 / 211
Kapitel 14 — Komplexe Polarkoordinaten und Wurzeln
Kapitel 14 — Komplexe Polarkoordinaten und Wurzeln
Satz 14.3 (Umrechnung)
Satz 14.1 (Polarkoordinatendarstellung)
C
Sei z ∈ \ {0} eine komplexe Zahl, die wir als Punkt in der Zahlenebene
betrachten. Dann gibt es einen Winkel α ∈ ] − π, π] und eine reelle Zahl
r > 0, so dass z die folgende Darstellung hat
Um auch z = 0 behandeln zu können beschreiben wir diese Zahl durch
r = 0 und einen beliebigen Winkel.
Definition 14.2 (Polarkoordinaten)
Die Darstellung aus Satz 14.1 heißt Polarkoordinatendarstellung
der Zahl z und der Winkel α heißt ihr Argument und wird mit arg(z)
bezeichnet.
5
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Seite 162 / 211
Kapitel 14 — Komplexe Polarkoordinaten und Wurzeln
Damit können wir nun einige der einer Zahl z zugeordneten Zahlen in die
Ebene einzeichnen:
Satz 14.4 (Rechnen mit Polarkoordinaten)
a>0
1 Für alle reellen Zahlen gilt:
genau dann, wenn
a<0
arg(a) = 0
arg(a) = π
2 arg(z) = − arg(z), und |z| = |z|
4
und b = r sin α .
√
Ist z = a + ib, so ist r = |z| = a2 + b2 und für z 6= 0 ist

b


arctan − π falls a < 0, b < 0


a


π


falls a = 0, b < 0
−

 2
b
arg(z) = arctan
falls a > 0

a


π

falls a = 0, b > 0


2


b

arctan + π falls a < 0, b ≥ 0.
a
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Kapitel 14 — Komplexe Polarkoordinaten und Wurzeln
3
Ist z = r(cos α + i sin α), so ist z = a + ib mit
a = r cos α
2
z = r(cos α + i sin α)
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1
ebg*h
arg(wz) = arg(w) + arg(z), und |wz| = |w| |z|
1
1
1
arg
= − arg(z), und =
z
z
|z|
(
arg(z) + π falls arg(z) ≤ 0
arg(−z) =
.
arg(z) − π falls arg(z) > 0
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rh
r d
h
l
h
l
h
h
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§
l
jk/h
h
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Seite 164 / 211
Kapitel 14 — Komplexe Polarkoordinaten und Wurzeln
Kapitel 14 — Komplexe Polarkoordinaten und Wurzeln
Beispiel:
1
Löse die Gleichung w3 = √ (−1 − i) = z.
2
Das Bild für z 2 haben wir wegen der folgenden Feststellung:
Folgerung 14.5 (Potenzen)
Es gilt arg(z n ) = n arg(z) und |z n | = |z|n .
Satz 14.6 (Wurzeln)
A
Jede komplexe Zahl w 6= 0 hat n n-te Wurzeln.
Mit anderen Worten: Die Gleichung z n = w hat genau n verschiedene
Lösungen w1 , w2 , . . . , wn (die Wurzeln von w).
Ist |w| = r und arg w = α, so sind diese Wurzeln für k = 1, . . . , n
α 2π α 2π √
n
wk = r cos
+
k + i sin
+
k
.
n
n
n
n
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§
A
h
A
A
ç Xð ç §
ð ç «
ÏÇ ç Ï Ç ç °
«y0 Ï Ç ç ^« s
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Kapitel 14 — Komplexe Polarkoordinaten und Wurzeln
qÿ«
ÏÇ 
Seite 166 / 211
Kapitel 14 — Komplexe Polarkoordinaten und Wurzeln
Definition 14.7 (komplexe Exponentialfunktion)
Für z = a + ib ∈
C definieren wir
Satz 14.8
1. Die so definierte komplexe Exponentialfunktion hat die gleichen
Eigenschaften wie die reelle Exponentialfunktion.
exp(z) := ea (cos b + i sin b) ,
2. Es gilt die Formel von Moivre
insbesondere also eib = cos b + i sin b.
Damit schreibt sich die Polarkoordinatendarstellung z = r(cos α + i sin α)
kürzer als
z = reiα .
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(cos α + i sin α)n = cos(nα) + i sin(nα) .
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Einschub: Beispielübungen zu den komplexen Zahlen
Einschub: Beispielübungen zu den komplexen Zahlen
Aufgabe 5
Bestimmen Sie alle z mit z 2 = 5 + 12i(=: w).
Einschub: Übungen zu ”Komplexe Zahlen”
Lösungsansatz: (ohne komplexe Wurzeln)
Sei z = a + bi, betrachtet das Quadrat:
z 2 = a2 + 2abi + (bi)2
= a2 + 2abi − b2
= (a2 − b2 ) + 2abi .
...
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Einschub: Beispielübungen zu den komplexen Zahlen
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Einschub: Beispielübungen zu den komplexen Zahlen
90
Aufgabe 6
Lösen Sie durch quadratische Ergänzung die quadratische Gleichung:
15
120
60
10
1
w
150
30
2
5
z1
180
z2
1
330
2
240
mit α, β ∈
R
C mit
z 2 − 4z + 7 = (z − z1 )(z − z2 )
z 2 − 2αz + α2 + β 2 = (z − z1 )(z − z2 )
Beachtet hierbei, dass wegen der Koeffizienten tatsächlich z2 = z¯1 gilt
(vgl. Satz 13.2).
...
300
270
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z 2 − 2αz + α2 + β 2 = 0 ,
Lösungsansatz:
Wir suchen z1 , z2 ∈
0
210
z 2 − 4z + 7 = 0
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Einschub: Beispielübungen zu den komplexen Zahlen
Einschub: Beispielübungen zu den komplexen Zahlen
Aufgabe 3
Bestimmen Sie die Polarkoordinaten und die Real- und Imaginärteile
folgender komplexen Zahlen:
π
(a) 2e± 6 i ,
Einschub: Übungen zu ”Gleichungen mit
komplexen Zahlen”
π
(b) e(1+i) 6 ,
(c) 1 +
√ −πi
3i e 6 ,
(d) cos
π
π
− i sin
6
6
Lösungsansatz:
Überführt die geg. komplexen Zahlen in die kartesische/Polarkoordinaten
Darstellung.
Hilfreich ist/sind hierfür u.A. ...
die Tabelle für die explizite Auswertung von sin und cos (vgl. Ende
Kap. 5)
die Regeln zum Rechnen mit der Exponentialfunktion (Satz 10.4)
explizites Ausmultiplizieren
...
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Einschub: Beispielübungen zu den komplexen Zahlen
Seite 174 / 211
Einschub: Beispielübungen zu den komplexen Zahlen
Und nun noch ein paar spezielle Werte der Winkelfunktionen (und mit 5.5,
5.8 und 5.9 dann natürlich weitere)
0
30◦
45◦
60◦
90◦
x in Rad
0
π
6
π
4
π
3
π
2
sin x
0
1
2
cos x
1
x in Grad
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tan x
0
cotx
−
1
2
√
√
1
3
√
1
2
3
3
3
1
2
√
2
√
2
1
1
1
2
√
3
0
3
√
1
3 3
−
√
(a) z = −3 ,
(c) z = 1 − i ,
(d) z = −1 + i ,
Lösungsansatz:
Benutzt geometrische Überlegungen, um die jeweiligen Beträge und
Argumente zu bestimmen.
...
0
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(b) z = −3i ,
(e) z = |1 + i|
1
1
2
Aufgabe 5
Tragen Sie die Zahlen z als Punkte in die komplexe Ebene ein, und geben
Sie den Betrag, das Argument und die Polarkoordinatendarstellung an:
Seite 175 / 211
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Einschub: Beispielübungen zu den komplexen Zahlen
Kapitel 15 — Vektoren
Aufgabe 6
Lösen Sie die Ungleichungen, und skizzieren Sie die Lösungsmenge in der
komplexen Ebene:
z − i
≤ 1 , (b) | arg((1 + i)z)| ≤ π , (c) arg z < π
(a) z + i
4
i
4
Kapitel 15 — Vektoren
Lösungsansatz:
Benutzt die Eigenschaft des komplexen Betrags (Satz 12.11) und die
entsprechende geometrische Bedeutung.
Zudem sind die Rechenregeln der Polarkoordinaten (Satz 14.4) nötig.
...
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Seite 177 / 211
Kapitel 15 — Vektoren
Seite 178 / 211
Kapitel 15 — Vektoren
Mit Vektoren kann man auch rechnen:
In Kapitel 1 haben wir das Kreuzprodukt von Mengen eingeführt. Und
zwar sind für eine Menge M die Elemente aus M n := |M × .{z
. . × M} genau
n-mal
die n-Tupel (m1 , m2 , . . . , mn ) mit mj ∈ M . (vgl. Definition 1.5). Das
nutzen wir aus und definieren:
Definition 15.1 (Vektoren im Zahlenraum)
Ein Vektor (im Zahlenraum) mit n Komponenten ist ein n-Tupel reeller
Zahlen, also ein Element aus n . Wir schreiben die Komponenten eines
Vektors in eine Spalte:
 
v1
(Manchmal benutzen wir die platzsparende
 v2 
Schreibweise ~v = (v1 , v2 , . . . , vn )T , wobei das T
 
~v =  . 
andeutet, dass wir eigentlich einen Spaltenvektor
 .. 
meinen).
vn
R
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Definition 15.2 (Rechnen mit Vektoren)
 
 
v1
w1
 .. 
 .. 
1. Man kann zwei Vektoren ~v =  .  und w
~ =  .  miteinander
vn
wn


v 1 + w1


..
addieren, gemäß ~v + w
~ =
.
.
v n + wn
 
v1
 .. 
2. Man kann einen Vektor ~v =  .  und eine reelle Zahl α ∈
vn


αv1


miteinander multiplizieren, gemäß α · ~v =  ... .
αvn
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R
Seite 180 / 211
Kapitel 15 — Vektoren
Kapitel 15 — Vektoren
Wir beschränken uns in der kommenden Betrachtung auf
auch im Höherdimensionalen richtig bleibt).
R2 (obwohl alles
Bemerkung 15.3 (Vektoren und Geometrie)
Wir identifizieren einen Vektor ~a =
a1
a2
−→
mit dem Pfeil OA, der den
Ursprung O der Ebene mit den Punkt A = (a1 , a2 ) verbindet. Sei ~b ein
weiterer Vektor mit zugehörigem Punkt B = (b1 , b2 ) und α ∈ .
R
−→
Die Addition ~a + ~b entspricht dem Pfeil OC, wobei der Punkt C wie
folgt konstruiert wird:
−→
Verschiebe den Pfeil OB so, dass sein Anfang in A liegt. Dann zeigt
das Ende dieses verschobenen Pfeils auf den Punkt C.
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Kapitel 15 — Vektoren
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Kapitel 15 — Vektoren
Satz 15.4 (Rechenregeln für Vektoren)
Es seien ~u, ~v und w
~ Vektoren und α und β seien reelle Zahlen, dann gilt:
1. ~v + w
~ =w
~ + ~v . (Kommutativgesetz)
Bemerkung 15.3 [cont.]
−→
Die Multiplikation α~a entspricht dem Pfeil OD, wobei der Punkt D
wie folgt konstruiert wird:
−→
−→
Ist α ≥ 0, so entspricht die Richtung des Pfeils OD der von OA und
−→
−→
die Länge des Pfeils OD ist gegeben durch die Länge des Pfeils OA
multipliziert mit α. Ist α < 0 so kehrt sich die Richtung um, aber die
Länge ist die gleiche wie im ersten Fall.
2. ~u + (~v + w)
~ = (~u + ~v ) + w.
~ (Assoziativgesetz)
3. Es gibt einen Nullvektor ~0 mit ~v + ~0 = ~0 + ~v = ~v .
4. Zu ~v gibt es einen Vektor −~v mit ~v + (−~v ) = ~0.
5. α · (β · ~v ) = (αβ) · ~v .
6. 1 · ~v = ~v .
7. (α + β) · ~v = α · ~v + β · ~v .
8. α · (~v + w)
~ = α · ~v + α · w.
~
Bemerkung zu 3.: ... nämlich ~0 := (0, 0, . . . , 0)T , ~0 6= 0.
Bemerkung zu 4.: ... nämlich −~v := (−1) · ~v = (−v1 , . . . , −vn )T .
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Kapitel 15 — Vektoren
Kapitel 15 — Vektoren
Satz 15.6 (Beispiele für Vektorräumen)
Das Ergebnis aus Satz 15.4 verallgemeinern wir nun und definieren:
1
Definition 15.5 (Vektorraum)
2
Ein (reeller) Vektorraum ist eine Menge V 6= ∅ mit einer Addition und
einer Multiplikation mit reellen Zahlen (skalare Multiplikation), die
die Eigenschaften 1. bis 8. aus dem vorigen Satz 15.4 haben.
Bemerkung: Einem Vektorraum liegt immer ein bestimmter anderer Raum
zugrunde, ein sog. Körper. Wir sprechen dann immer von einem
Vektorraum V über einem Körper K. Die Elemente von diesem Körper
werden für die skalare Multiplikation benötigt. Meist stimmt dieser Körper
mit den reellen oder komplexen Zahlen überein (K = oder K = ).
R
C
3
Rn ist ein Vektorraum.
R
Es sei M eine Menge und Abb(M, ) die Menge aller Abbildungen
von M nach . Durch geeignete (nämlich punktweise) Addition und
skalare Multiplikation wird Abb(M, ) zu einem Vektorraum.
R
R
R
Es bezeichne n [x] die Menge der Polynome mit Grad kleiner oder
gleich n. Dann ist dies mit geeigneter Addition und skalarer
Multiplikation ein Vektorraum.
Bemerkung:
1
2
Rn[x] ⊂ Abb(R, R) ist 3. ein Unterbeispiel von 2.
Da man Vektoren im Rn als Abbildungen von {1, . . . , n} nach R
Wegen
interpretiern kann, ist auch 1. ein Unterbeispiel von 2.
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Kapitel 15 — Vektoren
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Kapitel 15 — Vektoren
Definition 15.7 (Linearkombination)
Es seien ~v1 , . . . , ~vn Elemente des Vektorraums V . Eine Summe der Form
α1~v1 + α2~v2 + . . . + αn~vn ∈ V
heißt Linearkombination und die Zahlen αj ∈
Koeffizienten der Linearkombination.
Die Vektoren ~v1 , . . . , ~vn des Vektorraums V heißen linear abhängig,
wenn es Zahlen α1 , . . . , αn ∈ gibt, die nicht alle Null sind, so dass aber
die Linearkombination α1~v1 + α2~v2 + . . . + αn~vn = ~0 ist.
R
R heißen
Sie heißen linear unabhängig, wenn sie nicht linear abhängig sind.
Beispiele:
1
2
Folgerung 15.9
Es ist 3x5 + 4x3 + 12x eine Linearkombination der “Vektoren”
x5 , x3 , x ∈ 5 [x] mit den Koeffizienten 3, 4 und 12.
!
R
Der Vektor
!
1
0
0
Definition 15.8 (Lineare Abhängigkeit)
,
0
1
0
!
6
4
2
und
∈
0
0
1
R3 ist eine Linearkombination der Vektoren
!
mit Koeffizienten 6, 4 und 2.
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Die Vektoren ~v1 , . . . ~vn sind genau dann linear unabhängig, wenn die
Gleichung
α1~v1 + α2~v2 + . . . + αn~vn = ~0
(als Gleichung für die Zahlen α1 , . . . , αn ) nur die Lösung
α1 = . . . = αn = 0 hat.
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Kapitel 15 — Vektoren
Kapitel 15 — Vektoren
Beispiele 15.10:
 
 
 
1
2
1





1. Die Vektoren ~u = 2 , ~v = 8 , w
~ = 0 ∈ 3 sind linear
3
6
3
abhängig, denn es gilt 4~u + (−1)~v + (−2)w
~ = ~0.
1
2
2. Die Vektoren ~v =
,w
~=
∈ 2 sind linear unabhängig, denn
2
1
α+
2β
=
0
α~v + β w
~ = ~0 ist gleichbedeutend mit dem
und dies
2α+ β = 0
hat die eindeutige Lösung α = β = 0.
R
R
R
3. Die “Vektoren” 2x3 + 6 und 3x3 + 9 in 3 [x] sind linear abhängig
und die “Vektoren” x3 und x2 in 3 [x] sind linear unabhängig.
R
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Bemerkung 15.11
1
2
3
~v ∈ V ist genau dann linear abhängig, wenn ~v = ~0.
R
Die lineare Abhängigkeit zweier Vektoren ~v , w
~ ∈ 3 ist
gleichbedeutend mit jeweils
a) ~v und w
~ liegen auf einer Geraden durch den Nullpunkt, und
b) je einer der Vektoren ist ein Vielfaches des anderen.
R
Die lineare Abhängigkeit dreier Vektoren ~u, ~v , w
~ ∈ 3 ist
gleichbedeutend mit jeweils
a) ~u, ~v und w
~ liegen in einer Ebene durch den Nullpunkt, und
b) mindestens einer der Vektoren ist eine Linearkombination der
anderen beiden.
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Seite 189 / 211
Kapitel 15 — Vektoren
Seite 190 / 211
Kapitel 15 — Vektoren
Speziell für das Rechnen im
Weitere wichtige Begriffe und Bemerkungen 15.12
1. Das Erzeugendensystem der Vektoren ~v1 , . . . , ~vk ∈ V ist die
Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren. (Das ist auch für
eine beliebige Menge von Vektoren erklärt).
2. Das Erzeugendensystem erfüllt die Punkte 1.-8. die einen Vektorraum
definieren, ist also selber einer (vgl. Definition 15.4 und Satz 15.3).
3. Läßt sich jedes Element von V eindeutig(!) als Linearkombination
der
Vektoren ~v1 , . . . , ~vk ∈ V darstellen, dann nennt man ~v1 , . . . , ~vk
eine Basis von V .
4. Die Elemente einer Basis sind linear unabhängig.
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5. n Vektoren des
Basis bilden.
Rn heißt das
Rn sind genau dann linear unabhängig, wenn sie eine
R
6. Die Standardbasis des n besteht aus den kanonischen
Einheitsvektoren
 
 
 
1
0
0
0
1
0
 
 
 
0
0
0
 
 
 
~e1 =  .  , ~e2 =  .  , . . . , ~en =  .  .
 .. 
 .. 
 .. 
 
 
 
0
0
0
0
0
1
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Seite 192 / 211
Kapitel 16 — Skalar- und Vektorprodukt
Kapitel 16 — Skalar- und Vektorprodukt
Bisher hatten wir die Möglichkeit Vektoren des
Vektoren mit rellen Zahlen zu multiplizieren.
Kapitel 16 — Skalar- und Vektorprodukt
Rn zu addieren und
Man kann aber auch Vektoren miteinander multiplizieren, nur ist das
Ergebnis kein Vektor, sondern eine Zahl.
Im Spezialfall n = 3 gibt es auch ein Produkt, dass für zwei Vektoren
einen Vektor liefert.
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Kapitel 16 — Skalar- und Vektorprodukt
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Kapitel 16 — Skalar- und Vektorprodukt
Definition 16.1 (Skalarprodukt, Norm und Winkel)
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ~v , w
~∈
Geometrische Situation:
Rn ist definiert durch
~v · w
~ := v1 w1 + v2 w2 + . . . + vn wn .
Die Norm (oder der Betrag) eines Vektors ist definiert durch
p
√
k~v k := ~v · ~v = v12 + v22 + . . . + vn2 .
Der Winkel ψ ∈ [0, π] zwischen zwei Vektoren ~v , w
~∈
definiert durch
~v · w
~
ψ :=
.
k~v kkwk
~
Rn ist
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w
~
kwk
~
α
k~uk
~u
k~uk = kwk
~ cos α
~v
Der Wert des Skalarproduktes entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks,
das von ~v und der um 90◦ gedrehten Projektion von w
~ auf ~v aufgespannt
wird.
Seite 195 / 211
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Seite 196 / 211
Kapitel 16 — Skalar- und Vektorprodukt
Kapitel 16 — Skalar- und Vektorprodukt
Satz 16.2 (Eigenschaften des Skalarproduktes und der Norm)
Satz 16.2 [cont.]
1. ~v · w
~ =w
~ · ~v .
2. ~v · αw
~ + β~u = α(~v · w)
~ + β(~v · ~u .
3. Für ~v 6= ~0 ist k~v1k ~v = 1.
7. k~v k ≥ 0.
8. k~v k = 0 genau dann, wenn ~v = ~0.
4. ~v · w
~ = 0 genau dann, wenn ~v und w
~ senkrecht aufeinander stehen.
−b
a
5. Der Vektor
steht senkrecht auf dem Vektor
.
a
b
6. k~v k ≥ 0.
7. k~v k = 0 genau dann, wenn ~v = ~0.
8. kα~v k = |α|k~v k.
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9. kα~v k = |α|k~v k.
Satz 16.3 (Cauchy-Schwarz-Ungleichung)
Für Vektoren ~v und w
~ gilt
|~v · w|
~ ≤ k~v kkwk.
~
Die Gleichheit tritt genau dann auf, wenn ~v und w
~ linear abhängig sind.
Seite 197 / 211
Kapitel 16 — Skalar- und Vektorprodukt
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Seite 198 / 211
Kapitel 16 — Skalar- und Vektorprodukt
Satz 16.4 (Dreiecksungleichung)
R
Wie schon zu Beginn des Kapitels angedeutet gibt es im Fall des 3 noch
ein Produkt zwischen Vektoren, dass als Ergebnis wieder einen Vektor
liefert.
Für Vektoren ~v und w
~ gilt
k~v + wk
~ ≤ k~v k + kwk
~
und
Definition 16.6 (Kreuzprodukt)
 
 
v1
w1



Es seien ~v = v2 , w
~ = w2  ∈ 3 . Dann ist das Kreuzprodukt
v3
w3
(oder Vektorprodukt) ~v × w
~ definiert durch


v2 w3 − v3 w2
~v × w
~ := v3 w1 − v1 w3  .
v1 w2 − v2 w1
|k~v k − kwk|
~ ≤ k~v − wk,
~
R
sowie damit dann
k~v − wk
~ ≤ k~v − ~uk + k~u − wk.
~
Satz 16.5 (Parallelogrammgleichung)
Für Vektoren ~v und w
~ gilt
k~v + wk
~ 2 + k~v − wk
~ 2 = 2k~v k2 + 2kwk
~ 2.
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Seite 199 / 211
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Seite 200 / 211
Kapitel 16 — Skalar- und Vektorprodukt
Kapitel 16 — Skalar- und Vektorprodukt
Satz 16.7 [cont.]
Geometrische Eigenschaften:
5. k~v × wk
~ entspricht dem Flächeninhalt des von ~v und w
~
aufgespannten Parallelogramms.
Satz 16.7 (Eigenschaften des Kreuzproduktes)
1. ~v × w
~ = −w
~ × ~v .
2. ~v × αw
~ + β~u = α(~v × w)
~ + β(~v × ~u .
6. ~v , w
~ und ~v × w
~ bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.
3. Ist α der Winkel zwischen ~v und w
~ so ist k~v × wk
~ = k~v kkwk
~ sin α.
5. ~v × w
~ = ~0 genau dann, wenn ~v und w
~ linear abhängig sind.
~v × w
~
Mittelfinger
Rechte-HandRegel
4. (~v × w)
~ · ~v = (~v × w)
~ ·w
~ = ~0. D.h. ~v × w
~ steht sowohl senkrecht auf
~v als auch auf w.
~
w
~
Zeigefinger
~v
Daumen
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Kapitel 17 — Geraden und Ebenen
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Kapitel 17 — Geraden und Ebenen
Definition 17.1 (Gerade und Ebene)
R
Es seien ~v , w
~ ∈ 3 linear unabhängige Vektoren und ~a ein weiterer Vektor.
Eine Gerade g ist eine Menge der Form
g = {~x = ~a + t~v | t ∈
R}.
Eine Ebene E ist eine Menge der Form
Kapitel 17 — Geraden und Ebenen
E = {~x = ~a + t~v + sw
~ | t, s ∈
R}
Dabei heißen ~a Aufpunktvektor und ~v bzw. ~v , w
~
Richtungsvektoren der Geraden bzw. Ebene. Diese Darstellungen
nennt man Parameterdarstellungen der Geraden bzw. Ebene.
Bemerkung: Geraden kann man analog im
n ≥ 2 definieren.
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Rn für n ≥ 1 und Ebenen für
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Kapitel 17 — Geraden und Ebenen
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Bemerkung 17.2
Die Richtungsvektoren sind nicht eindeutig.
Definition 17.4 (Normalenvektor einer Ebene)
Im Fall der Gerade ist mit ~v auch jeder Vektor α~v für α 6= 0 ein
Richtungsvektor der gleichen Geraden.
Im Fall der Ebene läßt sich jeder der Richtungsvektoren ~v und w
~
durch eine Linearkombinaton α~v + β w
~ ersetzen, ohne die Ebene zu
ändern (man muss nur die lineare Unabhängigkeit erhalten).
Definition 17.3 (Parallelität)
R
Zwei Geraden im 3 heißen parallel, wenn ihre Richtungsvektoren
linear abhängig sind.
R
Zwei Ebenen im 3 heißen parallel, wenn die Richtungsvektoren
der einen Ebene jeweils als Linearkombination der Richtungsvektoren
der anderen Ebene dargestellt werden können.
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Satz 17.5
1 Sind ~
v und w
~ Richtungsvektoren einer Ebene, so ist
1
~n :=
(~v × w)
~ ein Einheitsnormalenvektor der Ebene.
k~v × wk
~
2 Der Einheitsnormalenvektor einer Ebene ist bis auf das Vorzeichen
eindeutig.
3
Zwei Ebenen sind genau dann parallel, wenn die
Einheitsnormalenvektoren (bis auf das Vorzeichen) übereinstimmen.
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Kapitel 17 — Geraden und Ebenen
Geraden sind bereits durch die Angabe zweier unterschiedlicher Punkte
eindeutig festgelegt, eine Ebene durch die Angabe dreier Punkte, die nicht
auf einer Geraden liegen.
Satz 17.6
−→
−→
Es seien P und Q zwei Punkte im Raum und p~ = OP und ~q = OQ die
zugehörigen Ortsvektoren. Dann gibt es genau eine Gerade durch P und
Q. Diese ist gegeben durch
gP Q = {~
p + t(~
p − ~q) | t ∈
Ein Vektor ~n heißt Normalenvektor der Ebene E, wenn ~n auf allen
Richtungsvektoren der Ebene senkrecht steht.
Gilt zusätzlich noch k~nk = 1, so nennt man ~n einen
Einheitsnormalenvektor.
R}.
Es sei R ein weiterer Punkt, der nicht auf der Geraden gP Q liegt und
−→
~r = OR sein Ortsvektor. Dann gibt es genau eine Ebene, die die Punkte
P , Q und R enthält. Diese ist gegeben durch
EP QR = {~
p + t(~
p − ~q) + s(~
p − ~r) | t, s ∈
R}.
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Satz 17.7 (Hessesche Normalenform)
R3 und ~a ein beliebiger Aufpunktvektor. Dann lässt
1. Eine Ebene E im
sich E in der Form
E = {~x | ~n · (~x − ~a) = 0},
darstellen, wobei ~n ein Normalenvektor der Ebene ist.
Ist ~n ein Einheitsnormalvektor der Ebene, so ist d0 := ~n · ~a
unabhängig von der Wahl des Aufpunktes.
Wählt man den Einheitsnormalenvektor ~n so, dass d0 ≥ 0, so nennt
man die Darstellung
E = {~x | ~n · ~x = d0 }
Hessesche Normalenform (HNF) der Ebene.
3. Ist d0 > 0, so ist die HNF eindeutig.
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Kapitel 17 — Geraden und Ebenen
Ende
Mit Hilfe der HNF kann man den Abstand eines Punktes von einer Ebene
bestimmen
Satz 17.7 (Abstand Punkt↔Ebene)
Es sei {~x | ~n · ~x = d0 } die HNF der Ebene E und ~a ein beliebiger
Aufpunktvektor. Ferner sei P ein Punkt im Raum und p~ sein Ortsvektor.
Dann misst d(P ) := |~n · (~a − p~)| den Abstand des Punktes P von der
Ebene E.
Insbesondere gilt für den Nullpunkt d(O) = d0 .
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Ende
Viel Erfolg in Eurem Studium!
Nun“, antwortete der Pelikan bereitwillig, man
”
”
begreift es am besten, indem man es macht.“
L. Carroll, Alice im Wunderland
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... das war’s ...
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