Mathematischer Vorkurs - Mathematik, TU Dortmund

Zahlen
2. Zahlen
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R (⊂ C) .
| {z }
Uns bisher bekannte Zahlenbereiche:
später
Schreibweisen von rationalen/reellen Zahlen als
unendliche Dezimalbrüche = Dezimalentwicklungen.
Beispiel (Rationale Zahlen)
1
10
= 0.1,
11
5
=
22
10
2
25
= 2.2,
=
8
100
= 0.08
Merke: Enthält Nenner des gekürzten Bruches nur Primfaktoren 2 und 5,
so ist die Dezimalentwicklung abbrechend bzw. hat die Periode 0̄:
1
5
=
2
10
= 0.2 = 0.20̄,
Andere Situation:
2
3
= 0.6̄ = 0.666 . . . =
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6
10
+
6
100
+
6
1000
+ ...
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Sprechweisen:
I
x hat die unendliche Dezimalbruchdarstellung“ oder einfach
”
Dezimalentwicklung
±n, a1 a2 . . .
mit n ∈ N und den Ziffern ai ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}, wenn
x = ±n + a1 · 10−1 + a2 · 10−2 + . . .
I
Periodisch heißt die Dezimalentwicklung, wenn die Ziffernfolge ab
einen gewissen ak+1 durch Hintereinanderkopieren eines gewissen
Abschnittes entsteht:
±n, a1 a2 . . . ak ak+1 . . . ak+l ak+1 . . . ak+l . . .
Wir schreiben stattdessen
±n, a1 a2 . . . ak ak+1 . . . ak+l
I
Abbrechend heißt eine Dezimalentwickung mit Periode 0̄.
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Wie wandelt man um?
Bruch → Dezimalentwicklung: Schriftliches Dividieren liefert
periodischen Dezimalbruch!
Dezimalentwicklung → Bruch: Nutze Tricks wie
763
und 0.763 = 763
0.763 = 1000
999
I
I
Es gibt aber auch reell“
vorkommende nicht rationale Zahlen.
” √
Prominentes Beispiel: 2 (vgl. Vorl.)
Diese irrationalen Zahlen lassen ebenfalls - nun aber nicht mehr
periodische - Dezimalentwicklungen zu.
Beispiel (Irrationale Zahlen)
√
2
= 1.4142135623730950 . . .
(Diagonallänge des Einheitsquadrats)
e = 2.7182818284590452 . . .
(Eulersche Zahl)
π = 3.1415926535897932 . . .
(Fläche des Einheitskreises)
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Definition 2.1 (Reelle Zahlen)
R := { x | x ist unendlicher Dezimalbruch}.
Als Teilmengen liegen darin die Menge der rationalen Zahlen
Q = { x | x ist unendlicher periodischer Dezimalbruch}
und der irrationalen Zahlen
R\Q = { x | x ist unendlicher nichtperiodischer Dezimalbruch}
Man kann zeigen, dass die Dezimalentwicklung einer reellen Zahl eindeutig
ist, wenn man auf Dezimalentwicklungen verzichtet, die auf Periode 9̄
enden.
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zur Darstellung der reellen Zahlen dient die Zahlengerade
Mathematik ist für viele Arithmetik, d.h. die Erfassung von Quantitäten
durch Zahlen (i.d.R. der reellen Zahlen) und das Rechnen mit diesen.
Auf den reellen Zahlen sind die Rechenoperationen der Addition und
Multiplikation erklärt und als Folge hiervon die Operationen der
Subtraktion und Division:
Definition 2.2 (Die Körperaxiome der reellen Zahlen)
Sind a, b ∈ R, so liefern die Rechenoperationen a + b (Addition) und
a · b =: ab (Multiplikation) von a und b wiederum reelle Zahlen. Dabei
gelten folgende Regeln ( a, b, c ∈ R):
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1. (a + b) + c = a + (b + c),
(Assoziativität der Addition)
2. a + b = b + a,
(Kommutativität der Addition)
3. Es gibt genau ein Element in R, nämlich 0, so dass für alle a ∈ R gilt:
a+0=a
(Neutrales Element)
4. Für jedes a ∈ R gibt es genau ein Element, genannt −a , mit
a + (−a) = 0.
Wir schreiben
a − b := a + (−b) .
5. (a · b) · c = a · (b · c)
6. a · b = b · a,
(Subtraktion).
(Assoziativität der Multiplikation)
(Kommutativität der Addition)
7. Es gibt genau ein Element in R, nämlich 1, so dass für alle a ∈ R gilt:
a·1=a
(Neutrales Element)
8. Für jedes a ∈ R\{ 0} gibt es genau ein Element, genannt a−1 , mit
a · a−1 = 1.
Wir schreiben a ÷ b := ab := a · b−1 .
(Division).
9. a(b + c) = ab + ac
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(Distributivgesetz)
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Hieraus ergeben sich viele Folgerungen. Eine kleine Auswahl:
Satz 2.3
1. a · 0 = 0,
2. ab = 0
3. (a ±
b)2
⇒
=
a2
a = 0 oder b = 0,
(Nullteilerfreiheit)
± 2ab +
b2 ,
(1./2. Binomische Formel)
a2
b2 .
(3. Binomische Formel)
4. (a + b)(a − b) =
−
Definition 2.4 (Summen- und Produktzeichen)
Sind m, n ∈ N0 mit m ≤ n und am , am+1 , . . . , an ∈ R, so schreiben wir
1.
n
X
ak := am + am+1 + . . . + an
und
k=m
n
Y
ak := am · am+1 · . . . · an .
n
X
Für m > n vereinbart man
ak := 0
2.
k=m
k=m
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und
n
Y
ak := 1.
k=m
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In solchen Schreibweisen kann der Laufindex (oben jeweils k) eine beliebige
n
n
X
X
freie Variable sein, z.B.
ak =
aj .
k=m
j=m
Rechenregeln
I
a·
n
X
ak =
k=m
I
I
I
n
X
k=m
n
Y
k=m
n
X
k=m
(a · ak )
k=m
ak +
ak ·
n
X
n
X
bk =
k=m
n
Y
bk
k=m
n+t
X
=
ak =
n
X
(ak + bk )
und
k=m
n
Y
(ak · bk ).
k=m
ak−t .
(Indexverschiebung)
k=m+t
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Beispiel (Anwendung)
I
Arithmetische Summenformel:
n
X
k=
k=1
I
n(n + 1)
.
2
Geometrische Summenformel:
n
X
k=0
qk =
1 − q n+1
1−q
für eine reelle Zahl q 6= 1.
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Definition 2.5 (Potenzen)
Für a ∈ R und n ∈ N0 setzen wir
an :=
n
Y
a.
k=1
Insbesondere gilt also a0 = 1 und so 00 = 1, aber 0n = 0 für n > 0.
1
Für a ∈ R \ {0} und n ∈ N0 setzen wir a−n := n .
a
a ∈ R heißt die Basis und n ∈ Z der Exponent der Potenz an .
Satz 2.6 (Potenzregeln)
Für m, n ∈ Z gilt:
1. am an = an+m und an bn = (ab)n sowie
2. (am )n = amn
falls die Ausdrücke definiert sind.
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Definition 2.7 (Quadratwurzel)
Sind a, b ∈ R und b2 = a, so definieren wir
(
√
b
falls b ≥ 0
a :=
−b falls b < 0
√
a ist also die nicht negative Zahl, deren Quadrat a ist und heißt
Quadratwurzel von a.
Gibt es zu jeder reellen Zahl eine Quadratwurzel?
Satz 2.8 (Existenz der Quadratwurzel)
1. Genau die reellen Zahlen a ≥ 0 besitzen Quadratwurzeln.
2. Die Gleichung x2 = a besitzt ...
I
I
I
... für a < 0 keine reelle Lösung,
... für a = 0 die eindeutige Lösung x = 0√und
√
... für a > 0 genau zwei Lösungen x1 = a und x2 = − a.
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Satz 2.9 (Quadratische Gleichung: pq-Formel)
Zu der quadratischen Gleichung
Diskriminante D := p2 − 4q.
x2 + px + q = 0
definiert man die
x2 + px + q = 0 . . .
p
für D = 0 die eindeutige Lösung x = − ,
2√
p+ D
für D > 0 die zwei Lösungen x1 = −
und
2
√
p− D
=−
und
2
für D < 0 keine reelle Lösung.
Dann besitzt die Gleichung
I
...
I
...
x2
I
...
Der Beweis ist hier selbst konstruktive Lösungsmethode für quadratische
Gleichungen (sog. quadratische Ergänzung, vgl. Vorlesung) und erlaubt
eigentlich auch gleich wieder, die Formeln zu vergessen.
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Definition 2.10
1. Für n ∈ N0 ist die Fakultät definiert als
n! :=
n
Y
k.
k=1
Also gilt insbesondere 0! = 1 und (n + 1)! = n! · (n + 1).
2. Für k, n ∈ N0 mit k ≤ n ist der Binomialkoeffizient nk , gesprochen n
über k, definiert als
n!
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
n
=
:=
k!(n − k)!
k!
k
Satz 2.11 (Eigenschaften)
n
n
n
n
=
.
1.
=
= 1 und
k
n−k
0
n
n
n
n+1
2.
+
=
, 1≤k≤n
k−1
k
k
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(Additionstheorem).
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Das Additionstheorem ist wie eine Rekursionsformel. Kennt man alle nk
für ein gewisses n, so kann man damit alle n+1
berechnen. Das Vorgehen
k
entspricht dabei dem im Pascalschen Dreieck. Dieses liefert daher die
Binomialkoeffizienten, die insbesondere natürliche Zahlen sind!
n
n
k
1
0
1
1
1
2
1
2
1
1
3
3
1 3
k=0%
k=1%
k=2%
...
Beispiel (Anzahl von k-elementigen Teilmengen n-elementiger Mengen)
Die Anzahl A(n, k) der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen
Menge hat ebenfalls die in 1.13 formulierten Eigenschaften und kann daher
auch aus dem gleichen Pascalschen Dreieck
gewonnen werden. Daher:
n
Eine n-elementige Menge hat genau k Teilmengen mit k Elementen.
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Satz 2.12 (Binomischer Lehrsatz)
Für a, b ∈ R und n ∈ N0 gilt
(a + b)
n
=
n X
n
k=0
k
ak bn−k
Einen Beweis gelingt einfach mittels vollständiger Induktion (vgl. später).
Hier verwenden wir stattdessen die Aussage des letzten Beispiels um die
die Formel zu erhellen.
Beispiel (Wieviel Teilmengen besitzt eine n-elementige Menge?)
Eine einfache Folgerung des Binomischen Lehrsatzes ist: eine n-elementige
Menge besitzt 2n unterschiedliche Teilmengen. Setze dort a = b = 1 . . .
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