Aussagenlogik - Mathematik, TU Dortmund

Aussagenlogik und Beweistechniken
Aussagenlogik und Beweistechniken
6. Aussagenlogik
Die neuen Aussagen, die sich aus den Operationen ergeben, werden streng
durch Wahrheitstabellen definiert.
A B
w w
w f
f w
f f
Definition 6.1 (Aussage, Wahrheitswerte)
Eine Aussage ist ein feststellender Satz, dem genau einer der beiden
Wahrheitswerte wahr” (w) oder falsch” (f ) zugeordnet werden kann.
”
”
Statt wahr” sagt man auch richtig“ oder gilt“ oder tri↵t zu“.
”
”
”
”
Beispiele vgl. Vorlesung.
Aufgabe: Die letzte Spalte lässt sich aus denen davor herleiten, wenn man
die oben gegebene Definition des Folgebegri↵es Äquivalenz“ mittels
”
Implikation und Konjunktion verwendet. Man vollziehe dies nach!
Es gibt eine Reihe von Operationen für Aussagen.
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I
nicht A
Symbol:
Konjunktion:
A und B
Symbol:
I
Disjunktion:
A oder B
Symbol:
I
Implikation: Aus A folgt B
Symbol:
I
I
¬A.
A ^ B.
I
A ) B.
I
A _ B.
A die Voraussetzung (auch Prämisse) des Satzes bezeichnet,
aus der man
I
Äquivalenz: A ist äquivalent (zu) B
Symbol:
Dieser ist definiert als (A ) B) ^ (A ( B).
A , B.
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die Behauptung (auch Konklusion) B
folgern kann.
I
Die Symbole werden oft nicht benutzt. Stattdessen drückt man die
Zusammenhänge sprachlich aus.
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Z.B. ist A oder B“ wahr, wenn zumindest eine der Aussagen A, B
”
wahr ist, und es ist falsch, wenn beide Aussagen A, B falsch sind.
Das Oder“ meint hier insb. nicht entweder . . . oder“ (lat.: aut“),
”
”
”
sondern ist ein einschließendes Oder (lat.: vel“ - daher das Symbol!)
”
Das Und“ zwischen Aussagen wird zuweilen nur als Komma
”
geschrieben.
Fast jeder Satz der Mathematik hat die Struktur A ) B“, wobei
”
I
Ein Folgebegri↵ ist die
I
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Bemerkungen:
Für Aussagen A, B kennt man folgende Operationen, die zu neuen
zusammengesetzten“ Aussagen führen:
”
Negation:
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Definition 6.2 (Operationen auf Aussagen: Junktoren)
I
¬A A ^ B A _ B A ) B A , B
f
w
w
w
w
f
f
w
f
f
w
f
w
w
f
w
f
f
w
w
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Eine Implikation A ) B ist nur dann falsch, wenn A wahr, aber B
falsch ist. Zum Beweis der Richtigkeit eine Satzes“ A ) B“ darf
”
”
man daher voraussetzen, dass A wahr ist und muss nun mit logischen
Schlüssen die Richtigkeit von B folgern (Direkter Beweis).
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I
Für A ) B“ gibt es neben Aus A folgt B“ weitere Sprechweisen:
”
”
I
I
I
I
I
I
B gilt, wenn A gilt,
A ist hinreichend für B,
B ist notwendig für A.
I
A gilt dann und nur dann, wenn B gilt,
A ist notwendig und hinreichend für B.
I
Anfängerfehler: Logische Operatoren zwischen ausrechenbaren
Termen oder algebraischen Ausdrücken:
Unsinnig:
x2 + x , x(x + 1),
Unsinnig:
x2 + x = 0 , 0 _ 1,
Sinnig:
x2 + x = 0 , x = 0 _ x = 1.
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[ korrespondiert mit _,
\ korrespondiert mit ^:
Di↵erenzbildung gegenüber einer Obermenge N korrespondiert mit ¬:
M [N
= {x | x 2 M _ x 2 N }
N \M
= {x 2 N | ¬(x 2 M )}
M \N
Anfängerfehler: Aus der Tatsache, dass A ) B“ und B richtig ist,
”
wird geschlossen, dass A richtig ist. Ein Beispiel dazu in der
Vorlesung, ein anderes in den Übungen.
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Man beachte dabei die komplette Analogie von 1. bis 4. zu Satz 1.3 über
Mengenoperationen die auch nicht verwundert, denn:
I
Für A , B“ gibt es neben A äquivalent B“ weitere
”
”
Sprechweisen:
I
I
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= {x | x 2 M ^ x 2 N }
1.3 ist richtig, weil 5.3. und diese Korrespondenzen gelten. 5.3. beweist
man mit Wahrheitstabellen (teilweise in Vorlesung).
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Satz 6.3
Es seien A, B, C Aussagen. Dann gilt:
An sich benötigt man für Aussagenlogik nur zwei Operatoren _ und ¬,
denn die anderen lassen sich emulieren“, d.h. nachbilden:
”
Satz 6.4
Es seien A, B Aussagen. Dann gilt:
1. Kommutativität von Konjunktion und Disjunktion:
A _ B () B _ A
A ^ B () B ^ A
2. Assoziativität von Konjunktion und Disjunktion:
(A _ B) _ C () A _ (B _ C)
(A ^ B) ^ C () A ^ (B ^ C)
3. Distributivität:
A ^ (B _ C) ()
A _ (B ^ C) ()
1. (A ) B)
2. (A ^ B)
(A ^ B) _ (A ^ C)
(A _ B) ^ (A _ C)
()
(¬A _ B)
¬(¬A _ ¬B)
Zweiteres folgt sofort mit der zweiten der de Morganschen Regeln und
¬¬A , A,
4. de Morgansche Regeln:
¬(A ^ B) () ¬A _ ¬B
¬(A _ B) () ¬A ^ ¬B
5. ¬(¬A)
()
Ersteres prüft man z.B. mit einer Wahrheitstafel.
,A
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Satz 6.5 (Indirekter oder Widerspruchsbeweis)
Beweis: Sei die Zahl der Primzahlen endlich. D.h. die Primzahlmenge
besteht aus n Zahlen p1 , . . . , pn . Betrachte die Zahl
m := p1 · p2 · . . . · pn + 1. Diese Zahl ist durch keine Primzahl pi
teilbar, denn bei der Teilung ergibt sich stets der Rest 1. Damit ist sie
selbst eine Primzahl, also gleich einem pk im Widerspruch dazu, dass
sie, wie festgestellt, nicht durch pk teilbar ist. ⇤
Für Aussagen A, B gilt
(A ) B)
()
(¬B ) ¬A)
()
¬(¬B ^ A)
Um einen Satz der Art A ) B“ zu beweisen, kann man damit
”
gleichwertig . . .
I
(¬B ) ¬A)“ prüfen. Man nimmt also an, dass B nicht richtig wäre
”
und versucht daraus abzuleiten, dass dann auch A nicht richtig ist.
Diese Beweisform heißt indirekt oder Beweis durch Kontraposition.
I
annehmen, dass B nicht richtig und A richtig ist, um dies zu einem
Widerspruch zu einer dieser beiden Annahmen oder einer (ggfs.
hieraus abgeleiteten) wahren Aussage zu führen. Diese Beweisform
heißt Widerspruchsbeweis.
I
Hat man einfach einen Beweis einer Aussage A und nicht einer
Implikation A ) B zu erbringen, dann kann man auch ¬A annehmen
und dies zu einem Widerspruch zu ¬A oder einer wahren Aussage
führen. Auch dies ist ein Widerspruchsbeweis.
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Wie zu sehen ist, gibt man Beweisen gerne eine Verpackung mit:
Am Anfang steht z.B. eine einleitende Floskel, wie Beweis:“ oder einfach
”
Denn:“ etc. Am Ende zeigt man an, dass die Beweisführung nun komplett
”
ist. Dazu schreibt man gerne ein Quadrat oder aber q.e.d.“ (lat.: quod
”
erat demonstrandum = was zu zeigen war).
Sinnvoller Weise sollte man bei nicht direkten Beweisen zu Beginn auch
die Beweisform beim Namen nennen (hier nicht durchgeführt, weil sie
immer schon in der Überschrift“ des Beispiels erwähnt wurde.
”
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I
Indirekt:
Aussage: (p Primzahl und p > 2 ) ) p ungerade.
Beweis: Sei p gerade, d.h. 2|p. Dann ist p keine Primzahl oder gleich
2, und somit auch kleiner gleich 2. Also ist die Negation der Aussage
(p Primzahl und p > 2 ) richtig. ⇤
Widerspruch: Aussage: a2 = 2 ) a nicht rational.
Beweis: Sei a rational mit a2 = 2 Dann setze a = p/q, wobei man
bekanntlich p, q 2 Z so wählen kann, dass nicht beide gerade sind
. . . (vgl. Vorlesung). Es folgt, dass sowohl p als auch q gerade sind.
Widerspruch! ⇤
Widerspruch: Aussage: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Hier handelt es sich um eine nicht als Implikation formulierte Aussage.
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Definition 6.6 (Aussageform, Operationen auf Aussageformen: Quantoren)
Beispiel
I Direkt:
Aussage: 10| n ) 5|n.
Beweis: Gelte 10|n. Dann ist n = 10 · m mit einem gewissen m 2 N.
Hieraus folgt n = 5 · (2m). Mit m 2 N auch 2m 2 N, also: 5|n ⇤
I
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Wir geben für alle eben genannten Beweisformen sowie den nach 6.2.
erwähnten direkten Beweis ein Beispiel:
I
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Eine Aussageform ist auf einer Menge M definierte Abbildung, die jedem
x 2 A eine Aussage A(x) zuordnet (die in Abhängigkeit von x wahr oder
falsch sein kann). Es gibt zwei Operationen 8“, den Allquantor und 9“,
”
”
den Existenzquantor, die Aussageformen zu Aussagen machen:
I
I
Für alle x 2 M gilt A(x).
Es gibt ein x 2 M , so dass A(x) gilt.
Symbol:
Symbol:
8 x 2 M : A(x),
9 x 2 M : A(x).
Sprechweisen und Bemerkungen:
I
I
I
I
I
Erinnerung: gilt“ ist ein Synonym für ist wahr“.
”
”
Statt für alle“ kann man auch für jedes“ sagen.
”
”
Statt es gibt ein“ kann man auch es existiert ein“ sagen. Man
”
”
meint damit: es gibt mindestens ein“.
”
Will man ausdrücken, dass es genau ein x“ gibt, so dass A(x) richtig
”
ist, so schreibt man: 9! x 2 M : A(x).
Statt 8 x 2 M : A(x) ) B(x) schreibt man oft abkürzend
A(x) ) B(x), wenn kein Zweifel darüber besteht, wie M aussieht.
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