Anordnung - Mathematik, TU Dortmund

Ordnung und Betrag
Ordnung und Betrag
3. Anordnung
Wir haben die Zeichen >“ und <“ zwar bereits benutzt, wollen sie aber
”
”
nun noch formal einführen.
Reelle Zahlen sind Eigenschaften mitgegeben“, die nicht etwa beweisbar
”
sind, sondern eher eine beschreibende, eine Definition gebende Funktion
haben: Solche Eigenschaften nennen sich Axiome. Die reellen Zahlen sind
eindeutig durch folgende Axiome beschrieben:
I
I
I
Körperaxiome (Rechnen mit +, · und Umkehrungen, vgl. 2.2.),
Anordnungsaxiome (Größenvergleiche durch < etc.),
Vollständigkeitsaxiom (Reichhaltigkeit der reellen Zahlen, vgl. An. I).
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)
a2 > 0
1
a
2. a > 0 ,
>0
n
Q
3.
ai > 0 , Eine gerade Anzahl der ai ist negativ.
i=1
Zur Erinnerung:
0  a < b
4.
0  c < d
5. 0  a < b
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Wann steht hier = 0“?
”
) (0 ) ac < bd.
)
)
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Ordnung und Betrag
Für reelle Zahlen gelten die folgende vier Anordnungsaxiome (1. bis 4.):
Für a, b 2 R definiert man:
I
1. Für a, b 2 R gilt stets genau einer der Fälle
2. a < b und b < c
3. a < b
4. a < b
a > b,
a < b oder a = b
)
a < c,
)
ac < bc,
)
I
a = b.
I
usw..
I
a + c < b + c,
)
falls c > 0.
I
I
ac > bc,
I
falls c < 0.
2. bis 5. bleiben richtig, wenn man < durch  und > durch ersetzt
(allerdings muss in 4. und 5. weiterhin c > 0 bzw. c < 0 gelten).
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Mathematischer Vorkurs
[a, b] := {t 2 R | a  t  b}
(abgeschlossenes Intervall)
]a, b] := {t 2 R | a < t  b}
(halbo↵en)
]a, b[ := {t 2 R | a < t < b}
(o↵enes Intervall)
[a, b[ := {t 2 R | a  t < b}
(halbo↵en)
Unbeschränkte Intervalle:
Daraus kann man folgern (! beweisen)
5. a < b
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Ordnung und Betrag
Definition 3.2 (Intervalle)
a  b“ bedeutet:
”
an < bn für alle n 2 N.
p
p
a < b.
Mathematischer Vorkurs
Definition 3.1 (Anordnungsaxiome)
a < b,
(insb. also 1 · 1 = 1 > 0)
Neue Mengen, nämlich Zahlenstrahlabschnitte (= Intervalle) beschreibt
man mittels der eben eingeführten Anordnungszeichen.
Z.B. fehlt Q die Vollständigkeitseigenschaft, C die Anordnung.
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1. a 6= 0
6. 0  a < b
Es kann bewiesen werden, dass kein anderes Zahlengebilde diese drei
Eigenschaften besitzt:
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Wir verwenden natürlich weiterhin die üblichen Sprechweisen größer“
”
kleiner“, positiv“, negativ“.
”
”
”
Beispiel
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[a, 1[
]a, 1[
]
I
]
I
]
:= {t 2 R | t
a}
:= {t 2 R | t > a}
1, a] := {t 2 R | t  a}
1, a[ := {t 2 R | t < a}
1, 1[ := {t | t 2 R} = R
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Ordnung und Betrag
Ordnung und Betrag
Beispiel
1. [2, 3[ und ]4, 1[ haben folgende graphische Darstellung auf dem
Zahlenstrahl:
0
[
2
1
[
3
Satz 3.5 (Eigenschaften des Betrages)
]
4
Für a, b 2 R gilt
1.
2. Stelle die Lösungsmenge als Vereinigung von Intervallen dar:
2
<5,
x
2.
x+5
5
<
20
x+5
3.
4.
Wie bei der Wurzel benötigt man bei der Betragsdefinition die Anordnung.
5.
Definition 3.3 (Betrag)
6.
Für a 2 R ist
|a| :=
⇢
|a| = 0
,
|a| = |
a|,
|a|  b
,
a = 0,
|a|  a  |a|,
|ab| = |a||b|,
b  a  b,
|a + b|  |a| + |b|,
a , falls a 0
a , falls a < 0
der Betrag von a. |a| 0 und geometrisch gesprochen der Abstand der
Zahl a vom Nullpunkt bzw. |a b| der Abstand von a zu b.
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Abbildungen und Funktionen
4. Abbildungen und Funktionen
Wo taucht der Betrag am häufigsten auf? Beim Auflösen von Quadraten
bzw. quadratischen (Un-)Gleichungen.
Satz 3.4
Für a 2 R gilt
p
Definition 4.1 (Abbildung, Funktion)
D, Z seien Mengen. Eine Abbildung (auch: Funktion) von D nach Z,
geschrieben als
f :D!Z
a2 = |a|.
ordnet
Einer der häufigsten Fehler bei der Gleichungsumformung ist, dass aus
a2 = b2 (durch Wurzelziehen) vorschnell a = b gefolgert wird. Richtig ist:
a2 = b2 , |a| = |b| .
jedem Element
genau ein Element
p
aus der Definitionsmenge D
f (p) aus der Zielmenge Z zu.
f (p) heißt Bild von p unter f oder Wert von f an der Stelle p (bzw. für
das Argument p).
Ist D ⇢ Rn , so heißt f Funktion in n reellen Veränderlichen.
Ist Z ⇢ R, so heißt f reellwertig.
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Abbildungen und Funktionen
Abbildungen und Funktionen
Beispiel 4.2 (Schreibweisen)
Wenn wir eine spezielle Abbildung definieren, können wir dies so schreiben:
f : D ! Z,
f : R \ {2} ! R,
Z.B.
x 7!
p 7! f (p).
1
x 2
oder namenlos
x 2.
x 7!
1
x 2
Für f : D ! Z definiert man den Graph von f als
Graph f := {(p, f (p)) | p 2 D}
1
Oft reichen Kurzschreibweisen. Definitionsmenge ist dann die im Kontext
maximal mögliche Menge:
f (x) :=
Definition 4.4 (Graph)
⇢ D ⇥ Z.
Er veranschaulicht die Abbildung f als auf dem Papier skizzierbares
Objekt, die sog. Funktionskurve, falls f reellwertige Funktion in einer
Veränderlichen.
ist auf R \ {2} definiert.
y
(a,f(a))
Nachteil der Schreibweisen:
x
Im ersten Fall unterscheidet man nicht mehr sauber zwischen einer
Funktion f und ihrem Wert f (x) für das Argument x.
a
In beiden Fällen wird der Zielbereich schon gar nicht mehr erwähnt.
Auch der Definitionsbereich ist kontextabhängig. Im Beispiel oben wäre
auch C \ {2} denkbar. Zumeist bezeichnet man das Argument dann aber
mit z und nicht mit x.
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Abbildungen und Funktionen
Klar: Jede Parallele zur y-Achse schneidet den Graphen höchstens einmal
(sonst würden ja einem a 2 D mehrere Funktionswerte zugeordnet).
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Abbildungen und Funktionen
Definition 4.5 (Polynom)
Definition 4.3
Sei f : D ! Z und V eine beliebige Menge.
1. f (D)
2. f
1 (V
p : R ! R heißt Polynom, falls
:= {f (p) 2 Z | p 2 D}
⇢Z
heißt Bild von f ,
) := {p 2 D | f (p) 2 V }
⇢D
Urbild von V unter f .
p(x) := an xn + an
3. Zwei Abbildungen f, g heißen gleich,
wenn sie die gleiche Definitionsmenge D haben und f (p) = g(p) für
alle p 2 D gilt.
4. idD : D ! D, p 7! p
heißt identische Abb. oder Identität auf D.
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+ · · · + a1 x + a0 =
n
X
ak xk
k=0
mit gewissen Koeffizienten a0 , . . . , an 2 R, wobei an 6= 0. a0 heißt speziell
Absolutglied, an Leitkoeffizient. n heißt Grad von p, geschrieben grad p.
Auch die 0-Funktion wird als Polynom bezeichnet. Ihr Grad wird aus
gewissen Gründen als 1 definiert.
3 ist mitunter
Satz 4.6
Ist a eine Nullstelle eines Polynoms p, so existiert ein Polynom q mit
grad q = grad p 1 und p(x) = (x a) · q(x).
5. Für f : D ! R heißt a 2 D mit f (a) = 0 eine Nullstelle von f .
Mathematischer Vorkurs
1
Die Suche nach Nullstellen bei Polynomen vom Grad
schwierig. Dennoch gibt es einige Hilfen.
Für D = R wird gerne x als Symbol für die identische Abbildung
verwendet. Oft bezeichnet also x : R ! R die Identität auf R .
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n
1x
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Abbildungen und Funktionen
Abbildungen und Funktionen
Wie kommt man an Nullstellen, wenn es sich nicht um ein Polynom mit
Grad  2 handelt? Ein von Gauß stammender Satz erlaubt oft, Nullstellen
von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten zu raten:
Satz 4.7
Bei einem Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten a0 , . . . , an 2 Z, a0 6= 0,
p(x) = an xn + an
gilt für jede rationale Nullstelle x0 =
1x
a
b
n 1
+ . . . + a1 x + a0
(in voll gekürzter Darstellung):
1. a ist (pos. o. neg.) Teiler von a0 ,
(dem konstanten Glied)
2. b ist (pos. o. neg.) Teiler von an
(dem Leitkoeffizienten).
Für an = 1 sind alle rationalen Nullstellen sogar ganzzahlig und teilen a0 .
also insb. p(a) = c 1 . Ist a eine Nullstelle des Polynoms p, so hat man
eine Polynomdivision durchgeführt:
p(x) = (x
a)q(x) mit q(x) = cn
1x
Beispiel:
Ermittle die rat. Nullstellen von p(x) = 3x3 + 2x2
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2, 1/3, 1
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+ cn
2x
n 2
+ · · · c1 x + c0 .
Kennt man gleich mehrere Nullstellen, ist manchmal eine Abspaltung per
herkömmlicher direkter“ Polynomdivsion sinnvoller:
”
Beispiel
Die rationalen Nullstellen von p(x) := x4 2x3 6x2 + 6x + 9 können nur
unter diesen Zahlen sein: ±1, ±3, ±9. Durch Einsetzen zu sehen: Genau
x1 := 1 und x2 := 3 sind wirklich Nullstellen. Eine Polynomdivision von
p(x) durch (x + 1)(x 3) = x2 2x 3 ergibt (vgl. Vorles.):
3) (x + 1) x2
p(x) = (x
Damit lassen sich also bei solchen Polynomen alle rationale Nullstellen
durch Probieren bzw. Raten finden. Der letzte Satz erlaubt dann eine
faktorielle Zerlegung in Linearfaktoren und Polynome mit kleinerem Grad.
n 1
3
Nun sofort zu sehen: Die Gleichung x4 2x3 6x2 p
+ 6x + 9 = 0phat
genau die vier Lösungen x1 = 1, x2 = 3, x3 = 3, x4 =
3.
7x + 2.
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Diese geschieht z.B. mit Polynomdivision per Hornerschema.
Definition 4.8 (Komposition)
Beschreibung des Hornerschemas:
Für zwei Abbildungen f, g mit Definitionsmengen Df , Dg definiert man die
Komposition oder Verkettung von f und g durch
P
Schreibe die Koeffizienten von p(x) = nk=0 ak xk in die erste Zeile
einer Tabelle und den Wert 0 unter an . Führe nun für ein a 2 R von links
nach rechts in der Tabelle immer wieder zwei Schritte durch:
1. Addiere die Zahlen der ersten und zweiten Zeile und schreibe sie in
die dritte Zeile.
2. Der zuletzt berechnete Wert wird mit a multipliziert und in die zweite
Zeile der nächsten Spalte eingetragen.
an
+
0
=
cn
1
an 1
an 2
···
a1
a0
+
+
+
+
cn 1 · a
cn 2 · a
···
c1 · a
c0 · a
%
=
%
=
%
%
=
%
=
cn 2
cn 3
...
c0
c 1
Dann ist p(x) = (x
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a)(cn
1x
n 1
+ cn
2x
n 2
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+ · · · c1 x + c0 ) + c
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(g f )(p) := g(f (p))
für
p2f
1
(Dg ) ⇢ Df
Andere Sprechweise: Komposition von g nach f .
Die Zielmenge (z.B. Z) erbt g f von g: g f : f
Situation:
f
g
f 1 (Dg ) ! Dg ! Z
O↵ensichtlich gilt Assoziativität:
1 (D
g)
! Z.
(h g) f = h (g f ).
Beispiel 4.9
Die Komposition von Polynomen ergibt wieder Polynome, die rationaler
Funktionen wieder rationale Funktionen. Als Beispiele:
a) f (x) = x3 + 1,
1.
g(x) = x2
x + 1.
(g f )(x) = g(f (x)) = (x3 + 1)2
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Dann
(x3 + 1) + 1 = x6 + x3 + 1.
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