Rohstoffe und Rohstoffderivate

Technische Universität Wien
Seminararbeit
Rohstoffe und Rohstoffderivate
Von:
Katrin Vybiral
Betreuer:
Dr. Stefan Gerhold
29. Juli 2015
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Geschichte . . . . . . . . . . . . .
1.2 Welthandel und Politik . . . . . .
1.3 Handelsplätze und Rohstoffindizes
1.4 Rohstoffe als Anlageklasse . . . .
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3
3
3
4
4
2 Begriffsbildung
2.1 Grundlegende Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
3 Forward und Futures Kontrakte
3.1 Forward Geschäft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Futures Geschäft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Vorteile von Futures-Kontrakten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
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4 Gleichgewicht zwischen Spot- und Forward Preisen
4.1 Theory of Storage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Spot-Forward Zusammenhang in Rohstoffmärkten . . .
4.2.1 Lineare Raten und die Forward-Curve . . . . .
4.3 Zusammenhang zwischen Forward und Futures Preisen
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5 Stochastisches Modellieren von Rohstoffpreisprozessen
13
5.1 Die Verteilung von Rohstoffpreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
5.2 Die geometrische Brown’sche Bewegung als zentrales Modell im Finanzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
5.3 Mittelwertsannäherung in Finanzmodellen: Von Zinsraten zu Commodities 15
5.4 Stochastische Volatilität und Sprünge in Preistrajektorien . . . . . . . . .
17
6 Plain-Vanilla Optionen: Von Stocks zu Commodities
6.1 Klassische Strategien für Rohstoffinvestments . . . . .
6.2 Call-Put-Parität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Black-Scholes-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Merton-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Optionen auf Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Besonderheiten einiger Rohstoffmärkte
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23
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Profit and Loss: Long und Short Forward-Kontrakt . . . .
Inventar-Preis-Zusammenhang am Beispiel Nickel . . . . .
Backwardation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mean Reversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trajektorie eines Prozess nach dem ”jump-diffusion”Modell
Profit and Loss: Short und Long Call-Option . . . . . . .
Profit and Loss: Short und Long Put-Option . . . . . . . .
Profit and Loss einer Straddle-Strategie . . . . . . . . . .
Profit and Loss einer Strangle-Strategie . . . . . . . . . .
Profit and Loss einer Spread-Strategie . . . . . . . . . . .
Karte des weltweiten Ölhandels . . . . . . . . . . . . . .
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20
20
24
Portfolio für Stock ohne Dividenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Portfolio für einen Stock der Dividenden abwirft . . . . . . . . . . . . . .
Beispielhaftes Portfolio: Call-Put-Parität . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
10
21
Tabellenverzeichnis
1
2
3
1
Einleitung
3
In folgendem Abschnitt werde ich zunächst einen Einblick in die Thematik schaffen und
grundlegendes Wissen für die weiteren Kapitel erläutern.
1.1
Geschichte
Definition 1.1.1. Unter Rohstoffen versteht man natürliche, grundsätzlich unverarbeitete Ressourcen.
Rohstoffe können grob in mehrere Gruppen unterteilt werden:
• Getreide: Reis, Weizen, Mais...
• Nahrungsmittel: Zucker, Kaffee, Kakao, Vieh...
• Textilien: Baumwolle, Seide...
• Metalle: Gold, Silber, Platinum, Aluminium...
• Energie: Öl, Gas, Holz, Elektrizität...
Rohstoffe werden schon seit Menschen gedenken gehandelt, gewonnen und genutzt.
Die Nachfrage nach bestimmten Rohstoffen wird im wesentlichen vom jeweiligen technologischen Entwicklungsstand bestimmt. Ein Umbruch der Technologie führt immer zu
neuen Bedürfnissen. Es werden neue Quellen erschlossen und Alte versiegelt. Seit der industriellen Revolution ist der Bedarf an natürlichen Ressourcen enorm gestiegen, was zur
Folge hat, dass nicht nur mehr Mittel gebraucht werden sondern auch verschiedene Rohstoffe auf unterschiedlichste Weise genutzt werden. In Hinsicht darauf wird der Aspekt
der Nachhaltigkeit und Umweltfreundlichkeit immer bedeutender. Die Ölkrise der 70er
Jahre hat zwar das Bewusstsein geschärft, dass kein Rohstoff unbegrenzt ist, trotzdem
wächst der Bedarf stetig. Heute werden circa 70 Milliarden Tonnen Rohstoffe gewonnen
und abgebaut. Deutschland gilt mit 200 Kilogramm pro Tag und Kopf als weltweiter
Spitzenreiter.
1.2
Welthandel und Politik
Rohstoffe stellen mehr als ein Drittel der Güter des Welthandels dar. Die Preisbildung
wird großteils dadurch bestimmt, dass eine große Nachfrage auf kleines Angebot stößt.
Der Rohstoffkauf und -verkauf erstreckt sich dabei über die ganze Welt; die Rolle Chinas
hat in den letzten Jahren immens an Bedeutung gewonnen. Die Gegensätze zwischen
exportierenden und importierenden Ländern, lässt Rohstoffe zum Gegenstand politischen
Interesses und zum Spielball zwischen großen Machthabern werden.
Rohstoffe und Rohstoffderivate
K. Vybiral
1.3
Handelsplätze und Rohstoffindizes
4
Es folgen einige der wichtigsten Handelsplätze weltweit.
• New York Mercantile Exchange (NYMEX):
Weltweit größte Börse an der Metalle, Energieprodukte und Agrarrohstoffe gehandelt werden.
• Chicago Broad of Trade (CBOT):
Älteste noch bestehende Terminbörse; bietet mehr als 50 verschiedene Termingeschäfte an.
• Chicago Metal Exchange (CME):
Hier werden unter anderem Futures und Optionen gehandelt.
• London Metal Exchange (LME):
Zuständig für Industriemetalle wie Aluminium, Blei und Kupfer. Sie verfügt nahezu
über eine Monopolstellung.
• London Bullion Markt (LBM):
Wichtigster Handelsplatz außerhalb der Börse für Gold und Silber
Definition 1.3.1. Wird ein Gut nicht auf der Börse gehandelt, so spricht man von einem
Over-the-counter Geschäft.
Die Preisentwicklung der 19, für den Welthandel am wichtigsten Rohstoffe, misst der
Thomas-Reutters/Jeffries CRB Index. Dieser wurde erstmals 1958 in den USA
berechnet und 2005 aktualisiert. Nun heißt dieser CRB Index und der Alte Continuous
Commodity Index. Weitere Indizes sind:
• Dow Jones- UBS Commodity Index
• Rogers International Commodity Index
• S&P GSCI (früher hieß Dieser Godman Sachs Commodity Index)
• FAO Food Price Index: Dieser erfasst die Entwicklung des Weltmarktpreises
von Agrarstoffen und Nahrungsmitteln.
1.4
Rohstoffe als Anlageklasse
Es gibt 5 Anlageklassen, zu ihnen zählen:
• Aktien
• Renten, festverzinsliche Wertpapiere
• Immobilien
• Liquide Mittel
• Rohstoffe
Diese sind häufig Gegenstand spekulativer Investments. Investitionen in Rohstoffe, wobei
man meist von Commodities spricht, erfolgt meist nicht in physischen Beständen, sondern
in Termingeschäften oder börsengehandelten Exchange- traded Commodities.
Rohstoffe und Rohstoffderivate
K. Vybiral
2
Begriffsbildung
5
Nun erläutern wir einige Begriffe, die in folgendem oft benutzt werden und dem grundlegenden Verständnis dienen.
2.1
Grundlegende Definitionen
Definition 2.1.1 (Hedgen). Hedgen ist ein Finanzgeschäft zur Absicherung des Käufers
oder Verkäufers gegen Risiken, wie Wechselkurs- oder Preisschwankungen.
Definition 2.1.2 (Termingeschäft/Kassegeschäft). Termingeschäfte sind der Kauf,
Verkauf oder Tausch von Optionsgeschäften, die zeitlich verzögert zu erfüllen sind. Anders beim Kassageschäft, wo die vertraglichen Zusagen sofort bzw. innerhalb eines vorher
festgesetzten Spielraums erfüllt werden müssen.
Definition 2.1.3 (Spot Markt und Spot Preis). Ist der ökonomische Ort, an dem
Kassageschäfte gehandelt werden. Der Spot-Preis ist der Preis einer Commodity auf diesem Markt.
Definition 2.1.4 (Exchange-traded Option). Ist eine Option, die von einer Organisation geregelt und standardisiert wird.
Definition 2.1.5 (Liquidität). Ein Markt heißt liquid, wenn er einen hohen Level von
Handelsaktivitäten hat und große Mengen sehr schnell gehandelt werden können.
Definition 2.1.6 (Volatilität). Ist ein Maß für die Variabilität eines bestimmten Faktors, meistens der Preis des zugrundeliegenden Assets.
Definition 2.1.7 (Arbitragefrei). Ein Markt heißt arbitragefrei, wenn für den Vermögenswertprozess
V (ψ) = ψ T · S keine Handelsstrategie ψ existiert für die gilt:
• V0 (ψ) = 0
• VN (ψ) ≥ 0
• P (VN (ψ) > 0) > 0
In Worten: Es existieren keine Möglichkeiten, risikolos Gewinn zu erwirtschaften,
wenn der anfängliche Wert des Portfolios, Vermögenswertprozesses, etc. gleich 0 ist.
Definition 2.1.8 (Convenience Yield). Ist der Ertrag, der dem Besitzer eines Rohstoffes zugute kommt, nicht aber dem Halter einer Option auf zukünftigen Erhaltvon diesem. Er steht für den Vorteil, den man hat, wenn man ein physisches Produkt sofort zur
Verfügung hat bzw. einen Bestand einen Produktes hält.
Rohstoffe und Rohstoffderivate
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2.2
Notation
6
Im Folgenden werden wir diese Notation führen:
• T . . . Maturität
• S(t). . . Spot-Preis zum Zeitpunkt t mit t ∈ [0; T ]
• F T (0). . . Forward-Preis
• f T (t). . . Preis des Forwards zum Zeitpunkt t mit Maturität T
• F T (t). . . Futures-Preis zum Zeitpunkt t mit Maturität T
• Long . . . Kauf
• Short . . . Verkauf
3
3.1
Forward und Futures Kontrakte
Forward Geschäft
Bei einem Forward-Geschäft wird vertraglich vereinbart, eine festgelegte Menge eines
Rohstoffes zu einem festgelegten Zeitpunkt und zu einem festgelegten Preis zu kaufen.
Beschreibung der Situation: Zwei Parteien A und B schließen einen Forward-Kontrakt
zum Zeitpunkt 0 ab, laut dem A zum Zeitpunkt T liefert und B zum Zeitpunkt T zahlt,
wobei der Preis zum Zeitpunkt 0 festgelegt wurde. Wenn die Ware in einem liquiden
Markt gehandelt wird, impliziert die Arbitragefreiheit S(T ) = F T (T ). Wenn der Wert
des Forward-Kotraktes veschieden vom Spotpreis wäre, dann könnte man sofort in dem
einem Markt kaufen und in dem Anderem verkaufen.
Abbildung 1: Profit and Loss: Long und Short Forward-Kontrakt
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3.2
7
Futures Geschäft
Futures-Kontrakte haben die selben Voraussetzungen, wie ein Forward-Kontrakt, mit
zwei Unterschieden:
1. Das Geschäft wird zwischen zwei Parteien und dem Clearing House getätigt. Es
wird demnach börsengehandelt.
2. Es müssen Sicherheitsdepots hinterlegt werden. Diese werden gebraucht und mögliche
margin calls zu bezahlen. Man betrachte dabei den Wert F T (0).
Ist der Wert zum Zeitpunkt 1 F T (1) kleiner als F T (0) müssen die Käufer des
Futures-Kontraktes die Differenz F T (1) − F T (0) nachzahlen, damit ihre Position
nicht geschlossen wird.
Dabei gilt:
F T (T ) − F T (0) = F T (T ) − F T (tn−1 ) + . . . +
|
{z
}
margin call am letzten T ag
F T (t1 ) − F T (0)
|
{z
}
(1)
margin call am ersten T ag
Nun gibt es zwei Ausrichtungen:
1. physikalische Lieferung
2. Barausgleich: Statt dem Rohstoff wird der zum Lieferzeitpunkt gültige Marktwert
erstattet. Oft wird diese Variante gewählt, wenn es sich um schwer zu transportierende oder zu lagernde Rohstoffen handelt.
3.2.1
Vorteile von Futures-Kontrakten
• Sie erleichtern das Handeln von verschiedensten Rohstoffen als Finanzinstrument.
• In allen Märkten von Rohstoffen werden Futures statt Spot Märkten herangezogen, weil es den Aufwand des Spot Handels kompensiert und die Flexibilität von
short und long Positionen erlaubt. Damit hat man die Möglichkeit auf positive und
negative Entwicklungen zu setzen.
4
4.1
Gleichgewicht zwischen Spot- und Forward Preisen
Theory of Storage
Die Theory of Storage ist ein zentraler Teil der Beziehung zwischen Spot und Futures
Preisen. Sie versucht zu analysieren warum Rohstoffproduzenten Inventar lagern und
welche Vor- und Nachteile sich daraus entwickeln. Dabei hat der Begriff convenience
yield zentrale Bedeutung. Er ist der Erlös, der dem Eigentümer eines Rohstoffes zufließt,
nicht jedoch dem Halter einer Option auf eben Diesen. Er ist mit den Dividenden auf
eine Aktie zu vergleichen. Brennan und Teslar haben in den 50er Jahren den convenience
yield als eine Art Option bezeichnet, die es dem Eigentümer erlaubt, die Rohstoffe auf
Rohstoffe und Rohstoffderivate
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den Markt zu setzen, wenn der Preis hoch genug ist und sie zu halten, wenn der Preis8
niedrig ist. Außerdem ist er als eine Art Absicherung gegen Produktionsausfälle zu sehen.
Um die Definitionen analog zu jenen des Stock Marktes und der Optionsformel zu
halten definieren wir:
I y ist eine Rate, es gilt: S(t)·y·dt ist der Erlös des Halters über das Intervall (d, t+dt)
I y ist definiert als die Differenz des Erlöses durch das Halten des Rohstoffes und
den Lagerkosten. Demnach kann der conveniece yield positiv oder negativ sein, was
einen deutlichen Einfluss auf die Form der Foward-Kurve hat.
Letzte Forschungen ergaben, das der convenience yield als Zufallsgröße modelliert
werden sollte.
I Gibson und Schwartz haben den convenience yield als eine exogene Zufallsvariable
beschrieben, also eine, die von äußeren Einflüssen abhängt.
I Routledge hingegen beschriebt ihn im Zusammenhang mit einem Modell für lagerbare Rohstoffe, als eine inventar-abhängige endogene Zufallsvariable, die es einem
erlaubt Prognosen über die Volatilität des Forward Preises mit verschiedenen Horizonten zu treffen.
I Eine dritte Herangehensweise ist, die Rolle des Inventars im Hinblick auf die CommoditiyPreis Volatilität zu analysieren. Eine Studie aus den 80er Jahren bezüglich Commodity Futures auf Metall, Holz und Vieh hat gezeigt, dass die Varianz des Preises
mit dem Inventarlevel abnimmt.
I Geman hat eine Statistik (2002) über 10 Jahre veröffentlicht, die die Volatilität
als eine entgegengesetzte Funktion des Inventars beschriebt.
I In fast allen Fällen geht niedriges Inventar Hand in Hand mit hohen Preisen. Preis
und Volatilität eines Rohstoffes sind positiv korreliert und beide sind negativ korreliert zum Inventarlevel. in der unter stehenden Abbildung, erkennt man den zuvor
beschriebenen Zusammenhand zwischen Inventar und Preis.
Abbildung 2: Inventar-Preis-Zusammenhang am Beispiel Nickel
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4.2
9
Spot-Forward Zusammenhang in Rohstoffmärkten
In diesem Abschnitt wird gezeigt, dass der Forward Preis auf fundamentale Art und Weise
in Zusammenhang zum Spot-Preis steht.
Satz 4.2.1. Betrachte man den Forward-Preis zu einer Maturität T , f T (t). Seien r der
Zinssatz und g der convenience yield und sei vorausgesetzt, dass jene konstant sind und
die Existenz von y Sinn macht. Dann gilt:
f T (t) = S(t) · e(r−y)(T −t)
Beweis
(A) Zunächst betrachten wir den Spot-Forward Zusammenhang für einen dividendenlosen Stock. Wir zeigen die Beziehung:
f T (t) = S(t) · er(T −t)
(2)
Der Beweis erfolgt unter der Annahme der Arbitragefreiheit und mit der Wahl eines
geeigneten Portfolios. Betrachten wir dafür folgende Tabelle:
Kaufen den Stock S
Darlehn über die Mittel
Verkaufen einen Forward-Kontrakt auf S mit Maturität T
t
T
−S(t)
+S(t)
/
Lief erung
−S(t)er(T −t)
+f T (t)
Tabelle 1: Portfolio für Stock ohne Dividenden
Man kann leicht erkennen, dass der Wert des Portfolios zum Zeitpunkt t 0 ist.
Unter der Annahme der Arbitragefreiheit muss nun auch der Wert des Portfolios
zur Maturität T 0 sein. Die Einträge in der rechten Spalte sind ebenfalls einsichtig,
denn für das Darlehn muss man dessen Wert und Zinsen zurückzahlen und bekommt
die Zahlung für den Forward-Kontrakt. Damit sei die obige Formel (2) gezeigt.
(B) Erweitern wir unseren Beweis nun und zeigen den Zusammenhang für einen Dividenden abwerfenden Stock. Betrachte man den kontinuierliche Dividenden g: Der
Halter des Stocks erhält über das Intervall (t, t + dt): g · S(t) · dt. Wir gehen ähnlich
vor wie im Beweisteil (A), nur werden wir die Dividenden gleich in den Erwerb von
g · dt- Anteilen des Stocks reinvestieren.
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t
Kaufen
e−g(T −t) -Teile
−e−g(T −t) S(t)
von S
Darlehn über die Mittel
Verkaufen einen Forward-Kontrakt
auf S mit MaturitätT
10
T
Reinvestieren der Bekommen einen Teil
Dividenen in S
von S
−e−g(T −t) S(t)
−e(r−g)(T −t) S(t)
+f T (t)
Tabelle 2: Portfolio für einen Stock der Dividenden abwirft
Hier folgt die Erklärung des Portfolios analog zum Teil (A). Aus der Annahme der
Arbitragefreiheit folgt, dass die Summer der letzten Spalte ebenfalls 0 sein muss
uns so folgt Formel (3).
So erhalten wir die Gleichung:
f T (t) = S(t)e(r−g)(T −t)
(3)
(C) Im letzten Schritt betrachten wir den Zusammenhang für lagerbare Rohstoffe. Dabei
spielt der convenience yield y die Rolle der Dividenden g und wir erhalten:
f T (t) = S(t) · e(r−y)(T −t)
(4)
4.2.1
Lineare Raten und die Forward-Curve
Im Falle von linearen Raten ergibt sich:
f T (t) = S(t)(1 + (r − y)(T − t))
(5)
Wir können y in zwei Komponenten zerlegen:
y = y1 − c
mit y1 . . . Nutzen des physischen Bestandes des Rohstoffs
und c. . . Lagerkosten
⇒ f T (t) = S(t) · (1 + r(T − T ) + c(T − t) − y1 (T − t))
| {z } | {z } | {z }
(a)
(b)
(6)
(c)
(a) Kosten des Kaufs von S
(b) Kosten der Lagerung im Intervall (t, T )
(c) Reiner Nutzen durch das Halten des Rohstoffes
Kennen wir nun S(t) und y ergibt sich eine sogenannte ”Forward Curve”, in Abhängigkeit
zur Maturität T .
- Gilt: (r − y) ≤ 0, so ist die Kurve fallen ⇒ Backwardation
- Gilt: (r − y) ≥ 0, so ist die Kurve steigend ⇒ Contango
Rohstoffe und Rohstoffderivate
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11
Abbildung 3: Backwardation
Abbildung 4: Contango
Es ergibt sich die logische Schlussfolgerung, dass wenn Veränderungen der Kurve
erwartet werden, die Marktteilnehmer ihre Bestände an short und long Positionen auf
Langzeit-Maturitäten ändern.
4.3
Zusammenhang zwischen Forward und Futures Preisen
Wir halten nun ein einleuchtendes, aber dennoch wichtiges Ergebnis fest.
Satz 4.3.1. Unter der Annahme von nicht stochastischen Zinsraten und Forward bzw.
Futures-Kontrakten auf dasselbe Underlying mit gleicher Maturität, ist der Forward-Preis
gleich dem Futures Preis.
Beweis Einfachheit halber betrachten wir einen Stock ohne Dividenden. Wir können
die Spot-Forward Beziehung wie folgt anschreiben:
f T (t) =
S(t)
B(t, T )
(7)
wobei B(t, T ) der Preis eines Zero-Coupon Bonds zum Zeitpunkt t mit Maturität T ist.
Die Beweisidee basiert auf zwei Teilen:
Rohstoffe und Rohstoffderivate
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12
(1) Wir analysieren die Futures Situation indem wir das Intervall [t, T ] in tägliche
Intervalle zerlegen und zum Zeitpunkt t eine long Position von der Menge
1
B(t, t + 1)
Futures mit Maturität T eingehen. Die Position wird am nächsten Tag geschlossen
und der Profit
1
· (F T (t + 1) − F T (t))
B(t, t + 1)
wird auf täglicher Basis bis T investiert, was zu
1
1
1
· (F T (t + 1) − F T (t)) ·
· ... ·
B(t, t + 1)
B(t + 1, t + 2)
B(T − 1, T )
1
Futuresführt. Zum Zeitpunkt t + 1 wird eine Long Position aus B(t,t+1)B(t+1,t+2)
Kontrakten eingegangen, diese wird ebenfalls am nächsten Tag geschlossen und
reinvestiert. Das führt zu
1
1
1
[F T (t + 2) − F T (t + 1)] ·
···
B(t, t + 1)B(t + 1, t + 2)
B(t + 2, t + 3)
B(T − 1, T )
führt. Diese Strategie wird bis zu T − 1 jeden Tag weitergeführt, bis wir
F T (T ) − F T (t)
1
·(F T (T )−F T (T −1)+. . .−F T (t)) =
B(t, t + 1) · . . . · B(T − 1, T )
B(t, t + 1) · . . . · B(T − 1, T )
erhalten. Zuletzt werden F T (t) Dollar investiert, mit einem Wert von
was zu
1
F T (T ) =: p1
B(t, t + 1) · . . . · B(T − 1, T )
1
F T (t),
B(t,t+1)···B(T −1,T )
führt. Im Falle von deterministischen Zinsraten gilt:
B(t, T ) = B(t, t + 1) · . . . · B(T − 1, T )
Da, wie bereits erwähnt, F T (T ) = S(T ) gilt, folgt p1 =
Investment von F T (t) erforderte.
(2) Betrachten wir nun eine Postion p2 , die aus
S(T )
B(t,T )
1
-Teilen
B(t,T )
was ein anfängliches
eines dividendenlosen
Stocks besteht bis zum Zeitpunkt T. Diese Position hat eine Investition von
S(t)
B(t,T )
S(T )
. Also haben die Positionen p1 und p2
gebraucht und hat am Ende den Wert B(t,T
)
den selben Wert und unter der Annahmen der Arbitragefreiheit für alle t folgt:
f T (t) = F T (t)
(8)
Rohstoffe und Rohstoffderivate
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5
13
Stochastisches Modellieren von Rohstoffpreisprozessen
Dabei geht es um das Modellieren der Dynamik von Commodity Spot-Preisen und ForwardKurven.
Wir haben folgenden Situation: Der Spot Preis eines Rohstoffes bis zum Zeitpunkt t ist
bekannt, genauso wie die Forward-Kurve von einem Monat über mehrere Jahre. Dies kann
zur Bewertung des Wertes eines Books, die Zusammensetzung von mehreren Kontrakten,
genutzt werden.
Aber: Die heutigen Zahlen sind nicht ausreichend um Entscheidungen über zukünftige
Entwicklungen zu treffen. Die Futures, Spot und Foward-Preise sind zufällig und müssen
modelliert werden. Nehmen wir o.B.d.A einen einzelnen Rohstoff-Spot-Preis S, dessen
Werte S(t) einem stochastischen Prozess folgen.
Dabei stellen sich einige Fragen:
• Wir müssen eine mathematische Struktur für S(t) finden für die gilt:
→ Sie führt zu einer Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsvariable S(t)
→ Sie ist konsistent mit der bisherigen Dynamik, also den Beobachtungen zwischen
den Zeitpunkten t1 und t2
• Wenn wir ein Modell gewählt haben, hängt dieses von bestimmten Parametern ab,
de aus den bisherigen Daten geschätzt wurden. Dafür muss der Markt liquid sein
und die Daten unverfälscht.
5.1
Die Verteilung von Rohstoffpreisen
Im Gegensatz zu Stock-Preisen, die im Durchschnitt steigen (da die Investoren für ihr
Geld, das mit der Zeit durch eine Risikoprämie vergrößert wird, belohnt werden), folgen
Rohstoffpreise im Allgemeinen über lange Zeiträume gesehen keinen Trends. Dabei sind
kurzzeitige Entwicklungen wie z.B. die Öl-Situation der letzten Jahre, ausgeschlossen.
Man kann sich dabei die Märkte von verschiedensten Rohstoffen ansehen und vergleichen. Sie verhalten sich über lange Zeit sehr ähnlich.
Auch wenn es starke Höhenflüge und Stürze gibt, die meistens von Klimaextremen oder
politischen Situationen abhängen, neigen Rohstoffpreise dazu immer zu einem ”normalen”Level zurückzukehren.
Dies scheint nicht sehr überraschend, wenn man den Markt auf den ’Angebot und Nachfrage’ Standpunkt hin betrachtet. Bleibt die Nachfrage über lange Zeit gesehen gleich,
oder steigt nur langsam, wie z.B. am Kaffemarkt, so bleibt auch der Preis in etwa gleich.
Rohstoffe und Rohstoffderivate
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5.2
14
Die geometrische Brown’sche Bewegung als zentrales Modell im Finanzbereich
(A) Arithmetische Brown’sche Bewegung:
Definition 5.2.1. Der Prozess X bezeichnet eine arithmetische Brown’sche Bewegung oder eine Brown’sche Bewegung mit Drift, wenn er die stochastische Differentialgleichung
dXt = µdt + σdWt
mit µ, σ ∈ R, σ ≥ 0
(9)
erfüllt.
• dXt bezeichnet die Veränderung von X über einem kleinen Intervall dt, in der Praxis
ist es meistens ein Tag. dXt kann auch folgendermaßen geschrieben werden:
dXt = X(t + dt) − X(t)
• dWt ist das Differential der Brown’schen Bewegung, wobei gilt:
dWt = W (t + dt) − W (t)
und einer Normalverteilung mit µ = 0 und σ 2 = dt folgt.
t)
bezeichne
• Aus Definition 5.2.1 folgt sofort E(dXt ) = µ · dt + σ · 0 und µ = E(dX
dt
die erwartete Veränderung von X pro Zeiteinheit und wird mit Drif t bezeichnet.
Des weiteren gilt: V ar(dXt ) = σ 2 dt. Die Verteilung der Veränderung von X ändert
sich um den Erwartungswert mit σ, der fundamentalen Volatilität.
• Aus der Darstellung von dXt folgt:
- Unabhängigkeit
- Stationarität
• Da man Definition 5.2.1 auch als
X(t + dt) = X(t) + µdt + σdWt
anschreiben kann, sieht man, dass der zukünftige Preis nur von X(t) abhängt und
nicht von einem Zeitpunkt davor, was der Markov-Eigenschaft entspricht.
• Betrachten wir nun die rechte Seite von Definition 5.2.1 so ist dies eine affine
Funktion von dWt und somit auch normalverteilt (wenn X(t) + µdt ∈ R).
X(t + dt) kann demnach auch negative Werte annehmen, was nicht unserem Interesse entspricht. Wir haben eine Limitierung unseres Modells. Die arithmetische
Brown’sche Bewegung ist demnach geeignet um eine Menge zu beschreiben, die
sowohl positiv als auch negativ sein kann.
Rohstoffe und Rohstoffderivate
K. Vybiral
15
(B) Geometrische Brown’sche Bewegung:
Definition 5.2.2. Ein Prozess X folgt einer geometrischen Brown’schen Bewegung,
wenn der Return einer arithmetischen Brown’schen Bewegung folgt, also wenn gilt:
dXt
= µdt + σdWt
Xt
(10)
Dies beschreibt die Dynamik eines Stock-Preises und es lässt sich auch als
dSt
= µdt + σdWt
St
(11)
schreiben. Die linke Seite von Definition 5.2.2 steht für die Veränderung der Preise
von S dividiert durch den Anfangspreis. Der Return ist ebenfalls normalverteilt. Die
hat große Bedeutung im Hinblick auf die Black Scholes-Formeln, auf die wir später
näher eingehen werden.
• Wir können nun den Prozess Ut durch Ut ≡ ln St definieren, der die Differentialgleichung
σ2
(12)
dUt = (µ − )dt + σdWt
2
erfüllt. Ut ist demnach eine arithmetische Brown’sche Bewegung und St ≡ exp Ut das
Exponential einer solchen und wird geometrische Brown’sche Bewegung genannt.
• Betrachten wir nun erneut die Parameter µ, σ 2 erhalten wir:
t
E( dS
)
St
µ=
dt
. . . der erwartete Return pro Zeiteinheit
und
σ2 =
t
)
V ar( dS
St
dt
. . . die V arianz der Returns pro Zeiteinheit
• Da auch
S(t + dt) = S(t) · (1 + µdt + σdtWt )
gilt, ist S(t) ein Markov-Prozess.
5.3
Mittelwertsannäherung in Finanzmodellen: Von Zinsraten
zu Commodities
Bisher haben wir nur konstante Zinsraten betrachtet, obwohl bekannt ist, dass diese
nicht konstant sein müssen. Vasicek hat das erste kontinuierliche Modell erstellt, dass die
zuällige Entwicklung von Zinsraten adäquat repräsentiert.
Rohstoffe und Rohstoffderivate
K. Vybiral
16
• Ornstein-Uhlenbeck Prozess:
dr(t) = a(b − r(t))dt + σdWt
mit a, b, σ ≥ 0
(13)
Ft steht für die Filtration auf dem Wahrscheinlichkeitsraum.
Die erwartete Zinsraten-Änderung lässt sich demnach schreiben als:
E(dr(t)|Ft ) = a(b − r(t))dt
Ist r(t) ≥ b, so ist die erwartete Änderung negativ.
Ist r(t) ≤ b, so ist die erwartete Änderung positiv.
Abbildung 5: Mean Reversion
• Analog zu den bisherigen Erkenntnissen, lässt sich nun schreiben:
r(t + dt) = r(t) + a(b − r(t))dt + σdWt
Außerdem gilt, dass r(t + dt) ebenfalls normalverteilt ist.
Rohstoffe und Rohstoffderivate
K. Vybiral
5.4
17
Stochastische Volatilität und Sprünge in Preistrajektorien
Wie bereits gezeigt ist die geometrische Brown’sche Bewegung ein geeignetes Modell ist,
wenn man Bezug auf Stock-Preise nehmen will. Die kontinuierlichen Trajektorien dieser
Bewegung widersprechen jedoch einem möglichen Preisverfall, wie z.B. beim Crash 1987,
oder einem starken Preisaufschwung, der durch positive Entwicklungen ensteht.
Definition 5.4.1. Ein stochastischer Prozess heißt (homogener) Poisson-Prozess Pλ,t
mit Intensität λ und t ∈ [0; ∞), falls gilt:
• Pλ,0 = 0 P − f s
• Pλ,t − Pλ,s ∼ Pλ(t−s) ∀s < t
• Sei für n ∈ N eine Folge 0 < t1 < · · · tn gegeben. Dann ist die Familie Pλ,ti − Pλ,ti−1
für 2 ≤ i ≤ n unabhängig
Um diesen Effekt mit einzubeziehen hat Merton 1976 das jump-diffusion Modell
entwickelt, das genau solchen Entwicklungen entspricht. Man betrachte dafür einen Prozess, der folgendermaßen aussieht:
dS(t)
= µdt + σdWt + Ut dNt
S(t)
(14)
wobei Nt ein Poisson Prozess ist und die eben erwähnten Sprünge in den Trajektorien
erzeugt.
• Ut ∈ R ist eine Zufallsvariable, die über die Größe der Sprünge entscheidet und in
welche Richtung er geht (Steigung oder Fall).
• µ und σ sind die Parameter, die für die Änderungen der Retuns an ”normalen”Tagen
verantwortlich sind.
Abbildung 6: Trajektorie eines Prozess nach dem ”jump-diffusion”Modell
Rohstoffe und Rohstoffderivate
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6
18
Plain-Vanilla Optionen: Von Stocks zu Commodities
Bei Plain-Vanilla Optionen handelt es sich um die einfacher zu handhabenden Optionen.
Dabei ist meist von europäischen Call- und Put-Optionen die Rede.
Call-Option:
• Strike K
• Maturität T
• Payoff : max(0, S(T ) − K)
Put-Option:
• Strike K
• Maturität T
• Payoff : max(0, K − S(T ))
Die folgenden Resultate lassen sich analog für Stocks und Commodities festhalten.
(a) Profit and Loss: Long Call-Option
(b) Profit and Loss: Short Call-Option
Abbildung 7: Profit and Loss: Short und Long Call-Option
Rohstoffe und Rohstoffderivate
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19
(a) Profit and Loss: Long Put-Option
(b) Profit and Loss: Short Put-Option
Abbildung 8: Profit and Loss: Short und Long Put-Option
Wie hier leicht zu erkennen ist, ist die einzige Möglichkeit eines unbegrenzten Verlustes
Short Call-Option. Befindet man sich in so einer Situation ist es besonders wichtig sich
abzusichern und zu hedgen.
Solche Plain-Vanilla Optionen bilden sozusagen den Grundstock eines Investmentportfolios, die verschieden kombiniert werden. So erlaubt man den Investoren auf eine
genauere Spezifikation der Entwicklung zu setzen und Hedgern ihr Optionen zu kaufen
und möglichst gut absichern zu können.
6.1
Klassische Strategien für Rohstoffinvestments
1. Straddle: Ein long Straddle besteht aus dem gleichzeitigen Kauf eine Call- und
einer Put-Option auf dasselbe Underlying mit dem gleichem Strike und der gleichen
Maturität. Der Strike soll dabei sehr nah am momentanen Wert gewählt werden.
Der Investor profitiert vom Fall und vom Steigen des Preises, muss allerdings auch
beide Optionen käuflich erwerben. Diese Strategie ist nur sinnvoll, wenn extreme
Entwicklungen erwartet werden. In einem ”flachen”Markt ist es eine ”losing strategy”.
Abbildung 9: Profit and Loss einer Straddle-Strategie
Rohstoffe und Rohstoffderivate
K. Vybiral
20
2. Strangle: Ein long Stangle besteht aus dem gleichzeitigen Erwerb einer Put-Option
mit Strike K1 und einer Call-Option mit Strike K2 und gleicher Maturität. Ein
Käufer eines Strangles erwartet dabei ebenfalls eine extreme Entwicklung des Preises, ob nach oben oder nach unten. Ein Verkäufer eines Strangles erwatet hingegen
einen gleichbleibenden Preis im Intervall [K1 , K2 ].
Abbildung 10: Profit and Loss einer Strangle-Strategie
3. Call Spread: Ein Call Spread besteht aus dem Erwerb einer long Call-Option mit
Strike K1 und einer short Call-Option mit Strike K2 . Diese Strategie ist eine sehr
beliebtes Instrument im Katastrophen-Options-Markt und dem Wettter-Markt. Da
der Verlust sowohl für den Käufer als auch den Verkäufer begrenzt ist, ist sie passend
um in einem Markt zu handeln, dessen Preise schwer zu bemessen bzw. vorherzusehen ist.
Abbildung 11: Profit and Loss einer Spread-Strategie
Rohstoffe und Rohstoffderivate
K. Vybiral
6.2
21
Call-Put-Parität
Wir halten nun ein Ergebnis fest, das ohne Annahmen an das Modell des Underlyings
getroffen wurde. Wir reduzieren das Problem der Preisbestimmung von Calls und Puts
auf das von Calls. Wir zeigen:
P (t) + S(t) = C(t) + Ke−r(T −t)
(15)
Beweis Der Beweis basiert auf den Annahmen der Arbitragefreiheit, eines Stocks
ohne Dividenden und konstanten Zinsraten. Wir bilden eine Position P ∗ aus dem Kauf
eines Stocks, dem Kauf einer Put-Option und dem Verkauf einer Call-Option. Zum Zeitt
Kaufen Stock S
Kaufen Put-Option P
Verkaufen Call-Option C
S(T ) ≤ K
−S(t)
S(T )
−P (t) K − S(T )
+C(t)
0
T
S(T ) ≥ K
S(T )
0
−(S(T ) − K)
Tabelle 3: Beispielhaftes Portfolio: Call-Put-Parität
punkt T hängt der Payoff davon ab, ob S(T ) ≥ K oder S(T ) ≤ K ist. Wir bemerken,
dass der Wert des Portfolios zum Zeitpunkt T K ist. Wir haben demnach ein Ergebnis,
das unabhängig von S(T ) ist und somit ist P ∗ risikolos. Wir haben einen Wert K zum
Zeitpunkt T , der zum früheren Zeitpunkt t K · e−r(T −t) benötigte. Die Summe der ersten
Spalte ist demnach:
−S(t) − P (t) + C(t) = −Ke−r(T −t)
6.3
Black-Scholes-Formel
Die Black-Scholes-Formel stellt eine Möglichkeit zur Verfügung den Wert einer Call- oder
einer Put-Option zu beliebigen Zeitpunkten, mit bereits bekannten Werten zu berechnen.
Die Beweisidee basiert darauf, dass wir wissen, dass S(t) einer geometrischen Brown’schen
Bewegung folgt. Wir modellieren ein Portfolio mit einer Call-Option und n Stocks, berechnen den Wert des Portfolio und lösen partielle Differentialgleichungen.
Es ergibt sich der Wert einer Call-Option:
C(t) = S(t)Φ(d1 ) − Ke−r(T −t) Φ(d2 )
mit
(16)
S(t)
Ke−r(T −t)
+ 21 σ 2 (T − t)
p
d1 =
σ (T − t)
1 2
S(t)
ln Ke−r(T
− 2 σ (T − t)
−t)
p
d2 =
σ (T − t)
Z x
1 − t2
Φ(x) =
e 2
−∞ 2π
ln
Rohstoffe und Rohstoffderivate
K. Vybiral
Aufgrund der vorher besprochenen Call-Put-Parität ergibt sich für die Put-Option:
P (t) = Ke−r(T −t) Φ(−d2 ) − S(t)Φ(−d1 )
22
(17)
Aus dem partiellen Ableitungen ergeben sich die sogenannten Greeks, die der Analyse
gewissen Einflussfaktoren dienen:
Delta:
∂C
∂P
∆C =
= Φ(d1 ) ≥ 0
∆P =
= −Φ(−d1 ) = Φ(d1 ) − 1 ≤ 0
∂S
∂S
Delta gibt an, um wie viel sich der Preis der Option ändert, wenn sich der Kurs des
Basiswertes um eine Einheit ändert und alle anderen Einflussfaktoren gleich bleiben.
Lambda:
√
√
∂C
∂P
0
0
ΛC =
= SΦ (d1 ) T − t
ΛP =
= SΦ (d1 ) T − t
∂σ
∂σ
Lambda beschreibt wie stark sich der Wert der Option bei Änderung der Volatilität
ändert.
Theta:
0
∂C
−SΦ (d1 )σ
ΘC =
= √
+ rKe−r(T −t) Φ(d2 )
∂t
2 T −t
0
−SΦ (d1 )σ
∂P
= √
− rKe−r(T −t) Φ(−d2 )
ΘP =
∂t
2 T −t
Theta beschreibt die Sensitivität des Optionspreises auf Änderung der Zeit an.
Rho:
∂C
∂P
PC =
= (T − t)Ke−r(T −t) Φ(d2 ) ≥ 0
PP =
= (T − t)Ke−r(T −t) Φ(−d2 ) ≤ 0
∂r
∂r
Rho beschreibt den Einfluss der Änderung der Zinsrate auf den Optionspreis.
6.3.1
Merton-Formel
Die Merton-Formel basiert auf den gleichen Voraussetzungen wie die Black-Scholes Formel, nur unter der Annahme, dass wir einen Stock mit Dividenden als Underlying haben.
Der Halter, der den Stock zum Zeitpunkt t kauft erhält zum Zeitpunkt t + dt die Dividenden g · S(t)dt. Daraus ergeben sich die Formeln für die Call- und Put-Option:
• C(t) = S(t)e−g(T −t) Φ(d1 ) − Ke−r(T −t) Φ(d2 )
• P (t) = −S(t)e−g(T −t) Φ(−d1 ) + Ke−r(T −t) Φ(−d2 )
Diese Formeln bietet als direkte Konsequenz die Möglichkeit der Berechnung des
Werts einer Call-Option bzw. einer Put-Option auf einen Rohstoff Spot-Preis. Wie bereits
erwähnt verhält sich der convenience yield dabei ähnlich zu den Dividenden.
Dabei nehmen wir ernet an, dass S(t) einer geometrischen Brown’schen Bewegung
folgt und erhalten:
• C(t) = S(t)e−y(T −t) Φ(d1 ) − Ke−r(T −t) Φ(d2 )
• P (t) = −S(t)e−y(T −t) Φ(−d1 ) + Ke−r(T −t) Φ(−d2 )
In beiden Fällen ist anzunehmen, dass sowohl y als auch r konstant sind. Wenn die Option
eine weit in der Zukunft liegende Maturität hat, müsste y stochastisch eingeführt werden.
Rohstoffe und Rohstoffderivate
K. Vybiral
6.4
23
Optionen auf Futures
Wir bereits des öfteren erwähnt, werden jedoch meistens nicht Optionen auf den SpotPreis gehandelt sondern Forward und Futures Optionen.
Fisher Black hat nun die bekannte Black-Scholes-Formel für Optionen auf Futures
formuliert.
Der Futures-Kontrakt sei auf einen Stock oder Commoditiy mit Maturität T1 , die
offensichtlich größer ist, als die Maturität der Option T2 . Wir nehmen an es herrscht Arbitragefreiheit und eine Brown’sche Bewegung sei der Prozess des Futures-Preises F T1 (t)
der keine Dividenden abwirft. Es ist als möglich ein risikoloses Portfolio über das Intervall
(t, t + dt) aus einer Call-Option und einer passenden Anzahl an Futures-Kontrakten zu
bilden.
Dies führt zu der Black-Formel:
C(t) = (F T1 (t)Φ(d1 ) − KΦ(d2 )) · e−r(T −t)
mit
(18)
T1
ln( F K(t) ) + 12 σ 2 (T − t)
√
d1 =
σ T −t
√
d2 = d1 − σ T − t
Diese Formel ergibt Sinn, denn nehme man an, dass T1 = T gilt. Dann hätten wir eine
Option auf den Spot-Preis. Setzen wir dies in (18) ein, erhalten wir genau die MertonFormel für eine Option auf ein eine Spot-Preis.
7
Besonderheiten einiger Rohstoffmärkte
• Öl- und Energiemarkt: Öl gilt als der meist gehandelte Rohstoff der ganzen
Welt. Ein Besonderheit dabei ist das unausgeglichene Import-Export Verhältnis.
Der größte Teil wird aus Dritte Welt Ländern in die USA, nach Europa und China geliefert, nicht jedoch zurück. Dadurch hat der Rohstoffhandel mit Öl oft mit
Ausbeutung in Verbindung gebracht. In diesen Markt werden die größten Summen
investiert und die höchsten Gewinne verzeichnet. Deshalb hat sich Öl in den letzten Jahren zur Zielscheibe politischer Machenschaften und Interessen entwickelt,
wodurch der Ölmarkt ein extrem hohes Risikopotential aufweist. Aufgrund all dieser Begebenheiten unterliegt der Markt einer starken sozialen Kritik. Das unzureichende Umweltbewusstsein und die fehlerhafte Umsetzung von Projekten, die die
Nachhaltigkeit sichern sollen, sind nur zwei der vielen Punkte die häufig kritisiert
werden.
Rohstoffe und Rohstoffderivate
K. Vybiral
24
Abbildung 12: Karte des weltweiten Ölhandels
• Agrarmarkt: Nahrungsmittel und Agrarstoffe sind wohl jene Rohstoffe, die am
meisten den natürlichen Begebenheiten und der Klimasituation unterliegen. Außerdem gelten sie als eher Preisstabil, wenn man von extremen Entwicklungen aufgrund von sporadischen Trends und den Saison- und Wetterbedingten Höhen und
Tiefen absieht. Auch der Agrarmarkt unterliegt teils schwerer Kritik, da die weiten
Lieferwege von Produkten, die grundsätzlich auch regional abbaubar wären, eine
schweren Belastung für die Umwelt darstellen.
• Metallmarkt: Metalle gelten als die ewigen Giganten des Rohstoffhandels. Gold
und Silber werden weiterhin als eine sehr sichere Kapitalanlage angesehen und sind
deshalb sehr ansprechend für Investoren, aber auch für kleine Anleger.
Rohstoffe und Rohstoffderivate
K. Vybiral
Literaturverzeichnis
25
• DENNIN T., Lukrative Rohstoffmärkte: Ein Blick hinter die Kulissen, FinanzBuch
Verlag, 2. Auflage, 2011
• GEMAN H., Commodities and Commodity Derivatives: Modelling and Pricing for
Agriculturals, Metals and Energy, WILEY FINANCE, 2005
• METZGER M., Rohstoffhandel und Rohstoffderivate, Grin Verlag GmbH, 2013
• http://forum.fianzen.at/forum/index
• http://geo.de/
• http://theoptionsguide.com/
• http://derstandard.at/
• https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia
Rohstoffe und Rohstoffderivate
K. Vybiral