Die vorletzten Geheimnisse der Vierecke, Pyramiden und des

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Naturwissenschaft
Hugo Wehrle
Die vorletzten Geheimnisse der Vierecke,
Pyramiden und des
Unendlichdimensionalen
Teil 2
Wissenschaftlicher Aufsatz
Die vorletzten
Geheimnisse
der Vierecke, Pyramiden und
des Unendlichdimensionalen
www.wehrle-formeln.net
Beitrag
zum
Mathejahr 2008
>>> Der HORIZONT der meisten Menschen
ist ein Kreis mit dem Radius Null,
den sie ihre Meinung nennen! <<<
A. Einstein
Vorwort
Mathematik ist die Liebe zur Weisheit, die Philosophie des UnendlichVielfältigen. Daher ist es auch kein Wunder, dass der erste Philosoph, wie Aristoteles sagte -, auch ein Mathematiker ist, nämlich Thales von Milet
(etwa 625 - 547 v. Chr.), der die Sonnenfinsternis vom 28. Mai 585 v. Chr.
richtig vorhersagte.
Unter den alten Geometern finden sich der um 600 v. Chr. geborene, von
der Schule her so bekannte Pythagoras, der eine geheime Bruderschaft
gründete; Zenon von Elea (490-430), der mit scharfsinnigen Paradoxien
durch reine Überlegung schon der „Quantennatur der Geometrie“ auf die
Schliche kam; Platon (427-347), ein Schüler Sokrates, der nur den Ideen
eigentliche Realität zusprach, und unsere Sicht der Welt im Höhlengleichnis
als nur schattenhaft erkannte; der um 300 v. Chr. in Alexandria lebende
Euklid, der schließlich das erste axiomatisch aufgebaute 13-bändige
mathematische Werk verfasste, nach dessen Geometrie noch heute alle
Schüler unterrichtet werden, - nur das Beweisen scheint heute an den
Schulen außer Mode gekommen zu sein; Archimedes von Syrakus (287? 212), der nicht nur die Kreiszahl π, sonder beispielsweise auch äußerst
elegant das Kugelvolumen berechnete; und die vielen anderen, wie etwa der
Erdvermesser Eratosthenes von Kyrene (284-202) oder Diophantos.
Alle Gelehrten und Kosmologen beschäftigten sich mit dieser abstrakten
Welt der Zahlen und des Raumes, angefangen von Aristarchos von Samos
(320-250), der als erster das heliozentrische Weltbild lehrte, nachdem sich
die Erde um die Sonne dreht, bis hin zu dem im 2. Jahrhundert nach
Christus in Alexandria lebenden Claudius Ptolemäus, dessen geozentrisches
Weltbild sich für Jahrhunderte durchsetzen sollte, (- würde sich nicht jede
Fliege als Mittelpunkt der Welt betrachten? -), bis 1543 Kopernikus und dann
ab 1605 Kepler und schließlich Galilei (der 1633 wegen der Inquisition
widerrufen musste) uns endgültig eines besseren belehren sollten.
Geometrie in allen Dimensionen
3
Jahr der Mathematik 2008
Allerdings geriet das gesamte griechische Wissen für ein Jahrtausend in
völlige Vergessenheit und ist uns nur über den Umweg muselmanischer
Übersetzungen überhaupt erhalten geblieben. Die Mörder HYPATIAs1
scheinen nicht nur eine Mathematikerin, sondern mit ihr zugleich die
gesamte Mathematik ermodert zu haben! Das römische Imperium konnte
zwar nicht ohne Kriege, wohl aber ohne Mathematiker bestehen, und das
auch noch länger als jedes andere der Welt!
In unserer heutigen Zeit existiert das sog. >>Werte-Paradoxon2<<, was
besagen will, dass, obwohl wir alle zwar die modernste Technik z.B. für
Handies, Autos, TV und Computer benutzen, das Ansehen und der
Stellenwert der entsprechenden Wissenschaften und Techniken sich aber am
Ende der Wichtigkeitsskala ansiedelt, währen die Spitzenpositionen z.B. vom
Sport wie Fußball oder durch
Filmschauspieler (die wie Reagan sogar
Präsident werden können) besetzt werden. Speziell für die Mathematik gilt
sogar, dass man sich mit deren „Unkenntnis“ beliebt machen kann, denn
einige Politiker erklären öffentlich, dass sie >>in Mathe nie gut
waren<<, – während keiner es je wagen würde, dasselbe vom Fach
Deutsch zu behaupten!
1
Hypatia von Alexandria (etwa 370 -415), Tochter Theons, verfasste ein 13-bändiges
Werk zu der "Aritmetica" des Diophant (dem "Vater der Algebra") und eine achtbändige
Abhandlung zu den Kegelschnitten des Apollonius von Perge. Für weitere Informationen:
www.britannica.com/eb/article-9041785/Hypatia
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Theon.html
http://www.frauen-informatik-geschichte.de
2
R. Biehler, R. W Scholz, R. Straßer, B. Winkelmann
„Didactics of mathematics as a scientific discipline.pdf“
Mathematics Education Library, Klumer Academic Publishers,
Morgan Niss´analysis: “Paradox of relevances” auf Seite 331
Geometrie in allen Dimensionen
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Jahr der Mathematik 2008
Das erste Buch des Beitrags zum Jahr der Mathematik 2008 lieferte die
„vorletzten“
Geheimnisse
des
Dreiecks.
Es
beginnt
mit
einer
wohl
altbekannten und doch unbekannten Formel, dass nämlich das Produkt der
Dreiecksseiten dividiert durch dessen Summe (auch Umfang genannt)
gleich dem doppelten Produkt seiner beiden Radien des In- und
Umkreises ist, was ich als Wehrle-Zahl des Dreiecks bezeichne. Im
rechtwinkligen Dreieck ist Summe der kleineren Seiten (auch Katheten
genannt) um den Inkreisdurchmesser größer als seine größte Seite (auch
Hypotenuse
genannt),
und
die
Summe
der
am
rechten
Winkel
anliegenden Seiten ist gleich der Summe der Durchmesser vom Inund Umkreis. Wissen sie, dass der Inkreis eines rechtwinkligen Dreiecks
die Hypotenuse in einem Punkt berührt, der diese in zwei Abschnitte teilt,
deren Produkt die Fläche des Dreiecks ist?
Wissen Sie, dass das halbe Produkt dieser zwei Seiten, - die Dreiecksfläche
also-, gleich der Summe der Wehrle-Zahl und dem vierten Teil der WehrleZahl der Differenzen ist: A = w + ¼w*
(Dieser letztere „Differenzen-Wehrle“ ist das Quadrat des Durchmessers des
Inkreises!).
Dann kommen wir auf die Rationalität von Dreiecken zu sprechen, d.h. dass
seine Fläche, alle Höhen, der In- und Umkreisradius sowie die Sinuswerte
aller drei Winkel durch Quotienten natürlicher Zahlen darstellbar sind, also
keine Wurzelausdrücke enthalten.
Sie kennen das kleinste, rationale rechtwinklige oder gleichschenklige
Dreieck mit natürlichen Seitenlängen, aber kennen Sie auch das kleinste,
nicht-rechtwinklige, rationale Dreieck, das aus nur natürlichen
verschiedenen Seitenlängen besteht?
Kennen Sie die trigonometrischen Wehrles, dessen zu den drei Winkeln
gehörendes trigonometrische Produkt durch deren trigonometrische Summe
geteilt wird: Den Sinus-Wehlre, den Cosinus-Wehrle, den Tangens- und
Cotangens-Wehrle, den Quadrat-Sinus-Wehrle oder den Halbwinkel- und
Geometrie in allen Dimensionen
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Jahr der Mathematik 2008
Doppelwinkel-Sinus-Wehrle, oder die entsprechenden trigonometrischen
Differenzen-Wehrles? Und was stellt eigentlich das Titelbild dar?
Zum Ende des ersten Kapitels kommen wir schließlich ausführlicher auf die
Kreisspiegelung und auf einen Kreis zu sprechen, dessen Radius halb so groß
ist wie der Radius des Umkreises. Es ist der Neunpunktekreis, mit dem Karl
Feuerbach gegehrt wird. Beim rechtwinkligen Dreieck berührt dieser sowohl
den In- und Umkreis, als auch alle drei Ankreise. Wir spiegeln dann zuerst
am Inkreis und schließlich am Feuerbachkreis selbst, der dann nicht nur alle
Spiegelbilder der Dreieckskreise und des In- und Umkreises berührt,
sondern auch noch alle drei Bilder der drei Ankreise, die ebenfalls noch die
Bildkreise der Seiten der drei Dreiecksseiten berühren!
Schließlich kommen wir auf die zweite Eulergerade des Dreiecks und
deren zusätzliche Punkte zu sprechen, den Spieker- und Nagelpunkt, die sich
im
„Gravitationszentrum“
S
scheiden.
Der
Spiekerpunkt
ist
das
Inkreiszentrum des Mittendreiecks und halbiert die Strecke der beiden
äußersten
Punkte
dieser
zweiten
Eulergeraden:
Inkreismitte
und
Nagelpunkt. Wir bewundern dann die durch den zentralen, - den beiden
Eulergeraden
Streckungen,
gemeinsamen -, Schwerpunkt S gebildeten zentrischen
die
den
Höhenschnittpunkt
auf
die
Inkreismitte,
die
Umkreismitte auf den Spiekerpunkt abbilden und den Exeterpunkt auf „den
Nagel treffen“!
Von den besonderen Kreisen des Dreiecks gibt es einige: Die Tuckerkreise
(wie der Cosinuskreis, der LEMOINE-Kreis und der TAYLOR-Kreis), die
Malfatti-Kreise, die Miquel-Kreise und die Brocard-Kreise. Kennen Sie
auch den sehr interessanten Fuhrmannkreis, den Umkreis des an den
Seiten gespiegelten Bogenmittendreiecks. Er geht durch den Nagel- und
Höhenschnittpunkt, die seinen Durchmesser bilden, und sein Radius ist die
Entfernung
der
beiden
In-
und
Umkreiszentren.
Das
Zentrum
des
Feuerbachkreises ist vom Zentrum des Fuhrmannkreises genau so weit
entfernt, wie der kolineare Inkreismittelpunkt, und sie ist halb so groß wie
die Entfernung des Umkreismittelpunkts zum Nagelpunkt. Die Differenz des
Geometrie in allen Dimensionen
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Jahr der Mathematik 2008
Umkreisradius und des Inkreisdurchmessers sagt uns, wie weit die Zentren
von Inkreis und Fuhrmannkreis voneinander entfernt sind. Auch der
Spiekerpunkt
ist
vom
Umkreiszentrum
gleich
weit
entfernt
wie
die
Feurbachsche Mitte. Auch diese drei Punkte liegen auf einer Geraden, sind
also kolinear! Und der Spiekerpunkt ist vom Feurbachzentrum halb so weit
entfernt
wie
der
Nagelpunkt
bzw.
Höhenschnittpunkt
vom
Furmannkreismittelpunkt, wobei beide Strecken noch dazu parallel sind und
auch parallel zur wichtigsten Verbindung, nämlich derjenigen der beiden
Zentren des Um- und Inkreises. Und
zu alledem liegt auch noch der
Thebaultpunkt des Dreiecks auf dem Fuhrmannkreis.
A propos Thebaultpunkt. Von den über zweitausend merkwürdigen Punkten,
die
inzwischen entdeckt wurden, betrachten wir dann nur noch einige
wichtige, nämlich die von Fermat, Gergonne, Napoleon, Kosnita, Malfatti und
noch die auf der Eulergeraden liegenden von Schiffler und Lemoine.
Kennen Sie übrigens den Satz von CEVA, mit dem man die Existenz vieler
solcher Schnittpunkte beweisen kann, und der früher noch in den
höheren Lehranstalten unterrichtet wurde, heutzutage aber vielen
unbekannt ist, obwohl die Alten Griechen schon etwa 80 n. Chr. den Satz
des Menelaos kannten!
Geometrie in allen Dimensionen
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Jahr der Mathematik 2008
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