Zusammenfassung Physik 2 Tipler
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Physik Zusammenfassung Tipler Diskrete Ladungsverteilung: • Es gibt positive und negative elektrische Ladungen. Ladung tritt in der Natur immer als ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e auf. Die Ladung eines Elektrons ist ­e, die Ladung eines Protoons ist +e. Gegenstände werden durch Ladungsaustasuch, meist durch die Übertragung von Elektronen, elektrostatisch aufgeladen. Ladung bleibt immer erhalten. Sie kann beim Prozess der elektrostatischen Aufladung nicht erzeugt oder zerstört, sondern nur umverteilt werden. • Die Kraft, die eine Ladung auf eine andere ausübt, wirkt entlang der Verbindungslinie der Ladungen. Die Kraft ist proportional zum Quadrat ihres Abstandes. Gleichnamige Ladungen stoßen sich an, ungleichnamige ziehen sich an. Dies wird durch das Coulombsche Gesetzt q ⋅q 1 ⋅ 1 2 beschrieben: F 1 2= 4 ∈0 r² 12 1 N⋅m² =8,99⋅10⁹ Der Proportionalitätsfaktor hat den Wert: , wobei 4 ∈0 C² C² ∈0 =8 , 854⋅1 0 −1 2 die elektrische Feldkonstante ist. N⋅m² • Jedes Ladungssystem erzeugt ein Elektrisches Feld, das auf eine andere Ladungsverteilung an deren Ort gemäß dem Coulombschen Gesetz eine elektrostatische Kraft ausübt. Das elektrische Feld, das am Ort einer positiven Probeladung q 0 herrscht, ist definiert als die Gesamtkraft, die auf diese Probeladung wirkt, dividiert durch die Größe der Probeladung: F E= . q0 • Das elektrische Feld einer einzelnen positiven Punktladung q i lautet im Abstand r i q 1 ⋅ i , wobei r i0 der Abstand von q 0 (von der Punktladung) am Punkt P: E i= 4 ∈0 r² i0 zum Aufpunkt P bezeichnet. Das elektrische Feld eines Ladungssystems ist die q 1 ⋅ i . Vektorsumme der Felder der einzelnen Ladungen: E=∑ E i=∑ i i 4 ∈0 r² i0 • Ein elektrisches Feld kann graphisch durch elektrische Feldlinien wiedergegeben werden, wobei die Feldlinien bei der positiven Ladung beginnen und bei der negativen Ladung enden. Die Dichte der Feldlinien ist ein Maß für die Stärke des Feldes. • Ein elektrischer Dipol ist ein System zweier gleichgroßer, aber entgegengesetzt geladener Ladungen, die durch einen kleinen räumlichen Abstand l getrennt sind. Das Dipolmoment p ist ein Vektor, der von der negativen zu positiven Ladung zeigt, und dessen Größe durc Multiplikation von Ladung und Abstand bestimmt wird: p=q⋅l . Weit entfernt vom Dipol ist das elektrische Feld proportional zum Betrag des Dipolmoments und fällt mit der dritten Potenz der Entfernung ab. • In einem homogenen elektrischen Feld ist zwar die gesamte, auf einen Dipol ausgeübte Kraft gleich null, aber es existiert ein Drehmoment M mit: M = p x E = p⋅E sin ,wobei der Winkel zuwischen den E­Feldlinien und der Verbindungslinie des Dipols ist. Das Drehmoment versucht den Dipol parallel zu den Feldlinien auszurichten. Die potentielle Energie eines Dipols in einem elektrischen Feld ist gegeben durch: E pot =− p⋅E=− p⋅E⋅cos . Sie verschwindet, wenn Dipol und Feldlinien senkrecht zueinander stehen. In einem inhomogenen Feld wirkt eine Gesamtkraft auf den Dipol. • Polare Moleküle, wie Wasser, besitzen ein permanentes Dipolmoment, da ihre positiven und negativen Ladungsschwerpunkte nicht zusammenfallen. Sie wirken wie einfache Dipole in einem elektrischem Feld. Nicht polare Moleküle haben kein permanentes Dipolmoment. Abe durch äußere elektrische Felder können in ihnen Dipole induziert werden. Kontinuierliche Ladungsverteilung: • Das elektrische Feld einer kontinuierlichen Ladungsverteilung dann direkt mit dem 1 dq ⋅ Coulombschen Gesetzt berechnet werden: E=∫ . Dabei steht dq= dV für V 4 ∈0 r² eine räumliche Ladungsverteilung in einem Volumen. Bei einer Ladungsverteilung auf einer Oberfläche geht die Integration über A, und es gilt dq= dA , entsprechend gilt bei einer Ladungsverteilung entlang einer Linie: dq= dl . • Der elektrische Fluß eines konstanten elektrischen Felds durch eine Fläche A ist das Produkt der Fläche A und der zur Fläche senkrecht stehenden Komponente: =E⋅n⋅A=E⋅A⋅cos=E n⋅a wobei Alpha der Winkel zwischen E Feld und der Fläche A ist. 1 • Der Gesamtfluss durch eine beliebige Oberfläche beträgt ∈ multipliziert mit der 0 Gesamtladung innerhalb der Oberfläche. Die ist das Gausssche Gesetz: Q innnen ges=∮ E n dA= ∈ . 0 S Das Gausssche Gesetz kann zur Berechnung des elektrischen Feldes hoch symmetrischer Ladungsverteilungen verwendet werden: ◦ Die Feldstärke einer unendlich ausgedehnten Linienladung ist umgekehrt proportional 1 ⋅ , wobeiy der Abstand von der Linienladung ist. zum Abstand: E y = 2 ∈0 y 1 Qx E x= ⋅ 3 ◦ Das elektrische Feld auf der Achse einer Ringladung ist , 4 ∈0 x²a² 2 wobei x der Abstand vom Ringmittelpunkt ist und a der Radius des Rings. ◦ Das elektrische Feld auf der Achse einer homogen geladenen Scheibe ist 1 x Q E x= ⋅⋅1− , wobei = . wobei x der Abstand auf der Achse 2 ∈0 ⋅R² x² R² von der Scheibe ist und R der Radius ist. Sigma heißt Oberflächenladungsdichte. ◦ Das elektrische Feld einer unendlich ausgedehnten Ladungsebene ist 1 E x= ⋅ mit x 0 , wobei x der Abstand auf der Achse von der Scheibe ist. 2 ∈O ◦ Elektrisches Feld nahe einer unendlich ausgedehnten Ladungsebene: E n= 2⋅∈ 0 ◦ Das elektrische Feld außerhalb eines Zylinderfläche (Zylindermantel) mit einer 1 ⋅ , wobei =2 R ist und r R die homogenen Ladungsdichte: E r= 2 ∈0 r Entfernung von der Zylinderachse und R der Radius des Zylinders ist. Das elektrische Feld innerhalb eines Zylindermantels ist null. ◦ Das elektrische Feld eines außerhalb Zylinders mit homogener Ladungsdichte ist: 1 E r= ⋅ für r ≥R . 2 ∈0 r ◦ Innerhalb eines homogen geladenen Zylinders ist das elektrische Feld: 1 ⋅r E r= ⋅ 2 ∈0 R² 1 Q ⋅ das 4 ∈0 r² elektrische Feld innerhalb einer homogen geladen Kugelschale ist null. Sigma einer Q Kugel ist: = → auf der Kugelschale: E= ∈ 0 4⋅⋅R² 1 Q ⋅ ◦ Das elektrische Feld außerhalb einer homogenen Kugel ist E r= , innerhalb 4 ∈0 r² 1 Q ⋅ ⋅r einer homogenen Kugel ist es: E r= 4 ∈0 R³ ◦ Das elektrische Feld außerhalb einer homogenen Kugelschale ist: E r= • • • ◦ Elektrische Felder auf den Oberflächen von leitenden Gegenständen: E unmittelbar auf der Oberfläche eines Leiters: E n= ∈ . 0 Auf einer Oberfläche mit der Flächenladungdichte ist die zur Oberfläche senkrecht stehende Feldkomponente unstetig. Sie macht einen Sprung ∈ : E n2−E n1 = ∈ 0 0 Ein Leiter im elektrostatischen Gleichgewicht trägt die gesamte elektrische Ladung auf seiner Oberfläche. Das elektrische Feld unmittelbar außerhalb der Leiters steht senkrecht zur Oberfläche und besitzt die Stärke ∈ , wobei sigma die lokale Flächenladungsdichte in 0 diesem Punkt des Leiters ist. Allgemein: ◦ Das Elektrische Feld ist Ladungsdichte durch epsilon0 E= ∈ , wobei sigma die 0 Q Ladung auf dem Körper geteilt durch dessen Fläche ist: = . Das Potential ergibt A sich durch Integration über r. Das elektrische Potential: • Die Potentialdifferenz b− a ist definiert als die von einem elektrischen Feld geleistete Arbeit pro Ladungseinheit, die nötig ist, um eine Probeladung vom Punkt a zum Punkt b zu bringen (wobei die Vorzeichen von Potentialdifferenz und Arbeit entgegengesetzt sind): b =b −a =−∫ E dl . Für infinitesimale Verschiebungen wird dies in der Form a =−E dl geschrieben. Da nur Differenzen vom Potential wichtig sind, nicht aber deren Absolutwerte, können wir den Nullpunkt des Potentials frei wählen. Das Potential an einem beliebigen Punkt ergibt sich aus der potentiellen Energie einer Ladung dividiert durch diese E pot Ladung: = . q0 In der Technik und im Alltag wird die Potentialdifferenz häufig als Spannung bezeichnet. V Die SI­Einheit von Potential und Spannung ist das Volt (V): 1V =1 C • • • • • • In der Atom­ und Kernphysik ist die am häufigsten benutzte Einheit der Energie das Elektronenvolt (eV). Darunter versteht man die potentielle Energie eines Teilchens mit der Ladung e an einem Punkt, an dem das Potential 1 V beträgt. Die Verknüpfung der Einheit eV zur Einheit Joul ist: 1 eV =1,6⋅10−19 J Das elektrische Potential im Abstand r von einer zentral angeordneten Punktladung q wird 1 q ⋅ 0 beschrieben. Hierbei ist 0 (Integrationskonstante) das durch = 4 ∈0 r Potential in unendlichen Abstand von der Punktladung. Setzt man das Potential im Unendlichen null, so erhält man für das durch die Punktladung hervorgerufene Potential 1 q = ⋅ . 4 ∈0 r q 1 ⋅ i gegeben. Für ein System von Punktladungen ist das Potential durch =∑ i 4 ∈0 r i0 Hier wird über alle Ladungen summiert, und r i0 ist der Abstand der i­ten Ladung vom Punkt P, an dem das Potential bestimmt werden soll. Die elektrostatische potentielle Energie eines Punktladungssystems ist die Arbeit, die benötigt wird, um die Ladungen aus unendlichem Abstand an ihre Endposition zu bringen. Bei einer kontinuierlichen Ladungsverteilung findet man das Potential durch Integration 1 dq ⋅ über die Ladungsverteilung: =∫ . Dieser Ausdruck kann nur verwendet V 4 ∈0 r werden, wenn sich die Ladungsverteilung innerhalb eines endlichen Volumens V befindet, so dass das Potential im Unendlichen null gesetzt werden kann, Das elektrische Feld zeigt in die Richtung der größten Abnahme des Potentials. Die Komponente von E in Richtung der Verschiebung dl hängt mit dem Potential über d E l=− zusammen. Der Vektor, der in Richtung der größten Änderung einer skalaren dl Funktion zeigt und dessen Größe gleich der Ableitung der Funktion in dieser Richtung ist, wird Gradient der Funktion genannt. Das elektrische Feld E ist der negative Gradient des Potentials . In Vektorschreibweise wird dieser Gradient als ∇ geschrieben, wobei der Gradientenoperator ∇ oft auch als Nabla­Operator bezeichnet wird. Für das elektrische Feld E gilt also: E=−∇ . Bei einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung ändert sich das Potential nur mit r, und das elektrische Feld hängt mit dem Potential über d E=−∇ =− zusammen. In kartesischen Koordinaten gilt: dr E=−∇ =− ⋅e x ⋅e y ⋅e x y z z Durch Gradientenbildung wird ein Skalar in einem Vektor überführt. Das Skalarprodunkt des Nabla­Operators mit einem Vektor heißt Divergenz. Die Divergenz macht aus einem a a y az Vektor eine skalare Größe: div a=∇ a= . , , ⋅a x , a y , a z = x , , x y z x y z Die Divergenz des elektrischen Feldes einer kontinuierlichen Ladungsverteilung beträgt: div E=∇ E = ∈ . 0 Diese Gleichung wird auch Poisson­Gleichung genannt. Die anschauliche Interpretation der Divergenz ist die einer Quelle, von der das Feld ausgeht. Beim elektrischen Feld ist ∈ 0 die Stärke der Quelle. Für den Zusammenhang des Potentials und der Ladungsverteilung ² ² ² der 0 x² y² z² sogenannte Laplace­Operator ist. Mit Hilfe der Poisson­Gleichung lässt sich das Gaußsche Gesetz für kontinuierliche Ladungsverteilungen schreiben als: =∮ E⋅n dA= ∫ dV . Der gilt: div E=−div grad =−= ∈ , wobei =div grad = S • • V ÷E durch diese Gleichung ausgedrückte Zusammenhang zwischen dem Oberflächenintegral aud der linken und dem Volumenintegral auf der rechten Seite der Gleichung ist als Gaußscher Integralsatz bekannt . Auf einem Leiter beliebiger Form ist die Oberflächenladungsdichte in Punkten mit kleinstem Krümmungsradius am größten. Ein Leiter kann nur bis zu einer maximalen Feldstärke aufgeladen werden, Danach tritt eone Entladung durch einen dielektrischen Durchschlag auf. In Luft beträgt diese kritische V Energie etwa E max ≈3⋅10⁶ . Die elektrische Feldstärke, bei der ein dielektrischer m Durchschlag in einem Material eintritt, heißt Durchschlagsfestigkeit des Materials. Die resultierende Entladung durch leitende Luft heißt Funkenentladung. Kapazität, Dielekrika und elektrostatische Energie: • Kondensatoren dienen zur Speicherung elektrischer Ladungen und Energie. Sie bestehen aus zwei Leiteroberflächen, die voneinnander isoliert sind und die die gleiche negative bzw. positive Ladung Q tragen. Die Kapazität erhält man, wenn man diese Ladung Q durch die Q zwischen den Leitern liegende Spannung U teilt: C= . U Die Kapazität eines Plattenkondensators hängt nur von der Bauform des Kondensators ab, nicht von der Spannung oder Potentialdifferenz. • Die Kapazität eines Plattenkondensators ist proportional zur Fläche einer der gleich großen ∈ ⋅A Platten und umgekehrt proportional zum Plattenabstand: C= 0 . Die Kapazität eines s 2⋅⋅∈0⋅l C= Zylinderkondensators ist gegeben durch , wobei a der innere und b der b ln a äußere Radius des Leiters ist. • Ein Isolator, also ein elektrisch nicht leitendes Material, bezeichnet man als Dielektrikum. Führt man ein Dielektrikum in einen Kondensator ein, so wird die Ladungsverschiebung der Atome und Moleküle des Dielektrikums im elektrischen Feld im Inneren des Kondensators verändert. Dieser Effekt nennt sich Polarisation, wobei zwei Formen unterschieden werden können: Die Orientierungspolarisation, bei der die bereits vorhandenen polaren Moleküle sich in eine Verschiebung der Ladungsschwerpunkte von Elektronen und Atomkern in jedem einzelnen Atom bewirkt. Durch die Polarisation baut sich im Dielektrikum ein Feld E auf, E dass sich dem äußeren Feld überlagert und dieses schwächt. Für E gelt: E= 0 , wobei r r die Dielektrikumszahl heißt. Die Abschwächung des Feldes führt zu einer Erhöhung der Kapazität um den Faktor r : C=C 0⋅r . C0 bezeichnet die Kapazität ohne Dielektrikum. Die Dielektrizitätskonstante oder Permittivität von Materie ist definiert als: =0⋅r Über die Kapazitätserhöhung hinaus erfüllen Dielektrika noch weitere Funktionen: Sie dienen als physikalische Abstandshalter und, besonders wichtig, erhöhten die Durchschlagfestigkeit des Kondensators. • • • Die elektrische Energie in einem Kondensator mit der Ladung Q, der Potentialdifferenz U 1 Q² 1 1 und der Kapazität C ist gegeben durch: W = ⋅ = ⋅Q⋅U= ⋅C⋅U² . Diese Energie ist 2 C 2 2 im elektrischen Feld gespeichert. Die elektrische Energiedichte beträgt: Energie 1 w el= = ⋅⋅E² . Volumen 2 Bei der Parallelschaltung von Kondensatoren addieren sich die Kapazitäten (Ersatzkapazität = Kapazität aller Kondensatoren zusammen): C ers=C 0 C 1C 2C 3... . Bei er Serienschaltung von Kondensatoren addieren sich die Kehrwerte der Einzelkapazitäten. Für den Kehrwert der Ersatzkapazität gilt: 1 1 1 1 1 = ... . C ers C 0 C 1 C 2 C 3 Elektrischer Strom: • • • • • • Elektrischer Strom wird hervorgerufen durch bewegte Ladungen. Die elektrische Stromstärke ist definiert als die Ladung, die pro Zeitintervall durch eine bestimmte Querfläche fließt. Die konventionelle Stromrichtung zeigt in die Flussrichtung der positiven Ladungsträger. In einem Draht entsteht ein elektrischer Strom durch anlegen einer Spannung. Im Inneren des Leiters herrscht dann ein elektrisches Feld, dessen Stärke der Spannung proportional ist. Bei den fließenden Ladungen stellt sich ein Gleichgewicht zwischen Beschleunigung durch das elektrische Feld und Zusammenstöße mit den Gitterionen ein. Die resultierende Driftgeschwindigkeit liegt typischerweise in der Größenordnung von einigen hundertstel Millimetern pro Sekunde. Der elektrische Widerstand ist der Quotient aus Spannung und Stromstärke. In den meisten Metallen ist der Widerstand eine von der Stromstärke und der Spannung unabhängige Konstante. Dies ist die Aussage des Ohmschen Gesetztes: U=R⋅I . Materialien die diesem Gesetz gehorchen, bezeichnet man als ohmsche Widerstände. Der reziproke Wert 1 (Kehrwert) des Wiederstandes heißt Leitwert G: G= . R Der Widerstand eines Drahtes ist proportional zu seiner Länge und umgekehrt proportional l zu seiner Oberfläche: R=⋅ , wobei den spezifischen Widerstand des Materials A 1 bezeichnet. Der Kehrwert des spezifischen Widerstands heißt Leitfähigkeit sigma: = . In allgemeiner, vektorieller Form lautet das Ohmsche Gesetzt: j=⋅E , wobei j die Stromdichte ist, definiert als Strom pro Fläche. Die elektrische Leistung in einem elektrischen Bauteil ergibt sich als Produkt aus Spannungsabfall und Stromstärke: P=U⋅I . Spannungsquellen versorgen elektrische Schaltungen mit Energie. Die Leistung, die eine Spannungsquelle aufbringt, ist das Produkt aus Quellenspannung und Stromstärke: P=U Q⋅I . Die Leistung, die in einem Widerstand U² in Wärme umgewandelt wird, beträgt: P=U⋅I =I²⋅R= . Bei einer idealen R Spannungsquelle ist die Klemmenspannung unabhängig von der Stromstärke genauso groß wie die Quellenspannung. Bei einer realen Spannung ist dies nicht der Fall. Man kann sie als Serienschaltung einer idealen Spannungsquelle und eines kleinen Widerstands ansehen. Der Ersatzwiderstand einer Serienschaltung von Widerständen ist gleich der Summe der Einzelwiderstände: Rers =R1R 2... . • • • Bei der Parallelschaltung von Widerständen ist der Kehrwert des Ersatzwiderstands gleich 1 1 1 = ... . der Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände: R ers R 1 R 2 Im mikroskopischen Modell der elektrischen Leitung bewegen sich die Elektronen frei in einem Ionengitter. Sie werden abwechselt durch das Feld beschleunigt und durch Stöße mit den Gitterionen abgebremst. Dadurch stellt sich eine kleine konstante Driftgeschwindigkeit v d ein, die der elektrischen Feldstärke E proportional ist: v d =⋅E . Der Proportionalitätsfaktor wird Beweglichkeit genannt. Der Zusammenhang zwischen dem spezifischen Widerstand , der mittleren m ⟨v ⟩ Geschwindigkeit ⟨v ⟩ und der mittleren freien Weglänge lautet: = e . n e² Die Leitfähigkeit , der spezifische Widerstand und die Beweglichkeit sind 1 wie folgt miteinander verknüpft: = =e⋅n⋅ . Dabei ist e die Elementarladung und n die Dichte der Ladungsträger (Elektronen) in einem gegebenen Volumen. Im klassischen Modell erhält man die mittlere Geschwindigkeit wie beim idealen Gas aus der Maxwell­ Boltzmann­Verteilung. Sie ist daher proportional zur Wurzel aus der Temperatur T, und die mittlere freie Weglänge hängt von der Größe der Gitterionen ab. Das Modell sagt das Ohmsche Gesetz richtig vorher, versagt jedoch bei der Beschreibung der Temperaturabhängigkeit und der Vorhersage der realen Widerstände. Die modere Quantentheorie leitet die mittlere Geschwindigkeit aus der Fermi­Dorac­Statistik ab und sagt korrekterweise deren Unabhängigkeit von der Temperatur voraus. Die mittlere freie Weglänge erhält man, indem man die Wellennatur des Elektrons berücksichtigt und den Zusammenstoß mit den Gitterionen als Streuung in einem periodischen Gitter beschreibt. Die Quantentheorie sagt für ein perfektes periodisches Gitter eine unbegrenzte mittlere freie Weglänge voraus. In realen Gittern wird die Periodizität durch Fremdatome und die thermische Bewegung der Gitterionen gestört. Gleichstromkreise: • Die Kirchhoffschen Regeln lauten: ◦ Knotenregel: Die Summe aller Ströme die zu einem Knoten hinfließen, ist glech der Summe der Ströme, die von diesem Knoten wegfließen. ◦ Maschenregel: Beim Durchlaufen einer Masche (also einer geschlossenen Schleife) in einem willkürlich festgelegten Umlaufsinn ist die Summe aller Spannungen gleich null. • Stromkreise mit vielen Schleifen analysiert man gemäß folgendem Schema: ◦ Arbeiten Sie bei Stromkreisen mit mehreren hintereinander­ oder parallelgeschalteten Widerständen mit den Ersatzwiderständen. ◦ Wählen Sie eine bestimmte Stromrichtung für den gesamten Stromkreis und zeichnen Sie in einem Schaltplan in jedem Zweig die zugehörige Stromrichtung ein. Markieren Sie bei jedem Bauelement (Spannungsquelle, Kondensator, Widerstand) die Seite mit dem höheren Potential mit einem Plus und die Seite mit dem niedrigeren Potential mit einem Minus. ◦ Wenden Sie auf jede Stromverzweigungsstelle die Knotenregel an. ◦ Wenden Sie die Maschenregel so oft an, wie es notwendig ist, um alle Teilströme berechnen zu können (bei n inneren Schleifen n mal). ◦ Lösen Sie die sich aus den Punkten 3 und 4 ergebenen Gleichungen, und bestimmen Sie auf diese Weise alle Unbekannten. ◦ Überprüfen Sie die Ergebnisse dadurch, dass einem Punkt des Stromkreises das Potential • • • • • • null zugewiesen wird und die errechneten Werte der Stromstärken dazu verwendet werden, die Potentiale an anderen Punkten des Stromkreises zu bestimmen Komplizierte Schaltungen kann man häufig durch Symmetriebetrachtungen vereinfachen. Punkte die auf gleichem Potential liegen, kann man in einem vereinfachten Schaltbild miteinander verbinden. Wird ein Kondensator über einen Widerstand entladen, so nehmen die Ladung und der Entladestrom exponentiell mit der Zeit ab. Die Zeitkonstante = R⋅C ist die Zeit, in der die Ladung auf den e­ten Teil ihres Anfangswertes abgefallen ist. Wird ein Kondensator über einen Widerstand aufgeladen, so nimmt der Ladestrom wieder exponentiell mit der Zeit ab, und nach der Zeitspanne = R⋅C hat doe Ladung auf dem Kondensator 63% ihres Endwertes erreicht. Ein Galvanometer ist ein Gerät zur Messung kleine Ströme, wobei der Zeigerausschlag des Galvanometers proportional ist zum hin durchfließenden Strom. Ein Amperemeter ist auch zur Messung größerer Ströme geeignet. Es besteht aus einem Galvanometer und einem dazu parallel geschalteten Widerstand, dem sogenannten Shuntwiderstand. Zur Messung des Stroms durch einen Widerstand muss ein Amperemeter in Reihe geschaltet werden. Da der Innenwiderstand des Amperemeters viel kleiner ist, wird die Messung nur geringfügig verfälscht. Ein Voltmeter dient zur Messung von Potentialdifferenzen. Es ist aus einem Galvanometer und einem dazu in Reihe geschalteten großen Widerstand aufgebaut. Den Spannungsabfall über einen Widerstand misst man, indem man das Voltmeter zum Widerstand parallel schaltet. Grund des hohen Innenwiderstands des Voltmeters ist der Fehler bei der Spannungsmessung sehr klein. Ein Ohmmeter dient zu Messung von Widerständen. Es besteht aus einer Spannungsquelle, einem Widerstand und einem Galvanometer, die alle in Reihe geschaltet sind. Das Magnetfeld • Bewegte Ladungen wechselwirken miteinander durch magnetische Felder. Da elektrische Ströme nichts anderes als sich bewegende Ladung sind, üben sie aufeinander magnetische Kräfte aus. Man kann sie beschreiben, indem man davon ausgeht, dass eine bewegte Ladung oder ein Strom ein magnetisches Feld erzeugt und dieses dann mit anderen bewegten Ladungen oder Strömen wechselwirkt. Magnetische Felder werden immer durch bewegte Ladungen verursacht. • Bewegt sich eine Ladung q mit der Geschwindigkeit v in einem Magnetfeld B, so wirkt auf sie die sogenannte Lorentzkraft: F=qv x B . Der Betrag der Lorentzkraft ist: F=q v B⋅sin , wobei alpha der Winkel zwischen Geschwindigkeit v und Magnetfeld B. Die Kraft eines Magnetfeldes auf ein stromdurchgeflossenes Drahtstück ist gegeben durch: dF =I dl x B . Dabei ist l ein Vektor, der die Länge des Drahtstückes hat und in Stromrichtung zeigt. Die SI­Einheit des magnetischen Feldes B ist das Tesla (T). Die entspricht im Normalfall: F=I⋅l⋅B⋅sin , wobei I der Strom, l die Länge des Drahtstücks, B das Magnetfeld und alpha der Winkel zwischen Stromflussrichtung und Magnetfeld. • Eine ältere, aber nach wie vor gebräuchliche Einheit ist das Gauß, dass man wie folgt in Tesla umrechnet: 1 T =1 0 ⁴ G . • Ein Teilchen der Ladung q und der Masse m, das sich senkrecht zu einem Magnetfeld B m⋅v bewegt, beschreibt eine Kreisbahn, deren Radius durch r = gegeben ist. Die q⋅B 2⋅⋅m ist unabhängig vom Bahnradius und der Teilchengeschwindigkeit. q⋅B 1 1 q⋅B Die Umlauffrequenz wird als Zyklonenfrequenz bezeichnet: = = . T T 2⋅⋅m (Achtung v ist hier ein nu und steht für eine Frequenz!!!!!) 1 1 q 2⋅B² Die kinetische Energie ist dabei: E kin= ⋅m⋅v²= ⋅ ⋅r² 2 2 m Ein Geschwindigkeitsfilter besteht aus einem Magnetfeld und einem Elektrischen Feld. Die Felder stehen aufeinander senkrecht (gekreuzte Felder), und ihre Kraftwirkung kompensiert E sich für Teilchen mit der Geschwindigkeit v= . B Braunsche Röhre: 1 e⋅E x 1 e⋅E x 1 x 2 ⋅ ◦ Gesamtablenkung in vertikaler Richtung: y=y 1y 2= ⋅ ⋅ ² 2 m v0 m v² 0 E ◦ Anfangsgeschwindigkeit: v 0 = B q Das Verhältnis von Ladung zu Masse eines Ions bekannter Geschwindigkeit kann man m durch die Messung seines seines Bahnradius in einem bekannten Magnetfeld bestimmen r² q² B² q B² r² = (Massenspektrometrie): v² = → , wobei die m 2 m² Potentialdifferenz ist. Im einem gegebenen Magnetfeld ist der Ablenkradius proportional zur Wurzel aus der Masse des Teilchens. Daher gilt für das Verhältnis der Radien und Massen, wenn 3 Größen r2 m1 = bekannt sind: r1 m2 Einer Leiterschleife in einem Magnetfeld lässt sich ein magnetisches (Dipol­)Moment m m zuschreiben: m m= NIA n⋅sin , wobei N die Windungszahl, A die Schleifenfläche , alpha der Winkel zuwischen Normalenvektor der Leiterschleife und Magnetfeld, I die Stromstärke und n der Normalenvektor der Fläche ist. Auf einen solchen Dipol wirkt in einem Magnetfeld ein Drehmoment: M =mm x B , welches versucht, das magnetische Moment der Leiterschleife parallel zum Feld auszurichten. Ein homogenes Magnetfeld übt zwar ein Drehmoment, aber keine resultierende Kraft auf eine Leiterschleife aus. Auf einem Stabmagneten wirkt in einem Magnetfeld ebenfalls ein Drehmoment. Durch die Beziehung M =mm x B kann man das magnetische Moment des Stabmagneten über das experimentell bestimmte Drehmoment definieren. Die Polstärke P des Stabmagneten wird über die Kraft definiert, die auf jeden der Pole wirkt: F=P⋅B . Die Polstärke des Nordpols ist positiv, die des Südpols negativ. Drückt man das magnetische Moment durch die Polstärke aus, so ergibt sich , m m=∣P∣l wobei l der Verbindungsvektor zwischen Nord­ und Südpol ist. Bringt man einen stromdurchflossenen Metallstreifen in ein Magnetfeld, so führt die Lorentzkraft zu einer Trennung der Ladungsträger. Dieser Effekt heißt Hall­Effekt. Die Trennung der Ladungsträger erzeugt eine meßbare Potentialdifferenz, die man als Hall­ I IB B= Ah Spannung bezeichnet: U H =v d B b= . Hier ist v d die n qd d Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger, B das Magnetische Feld, b die Breite des Leiters, d Umlaufzeit T = • • • • • • 1 die nq sogenannte Hall­Konstante. Man kann mit Hilfe des Hall­Effekts das Vorzeichen der Ladungsträger in einem Leiter, ihre Dichte, sowie die Leitfähigkeit und Elektronenbeweglichkeit in einem Material ermitteln. Bei sehr tiefen Temperaturen und hohen Magnetfeldstärken ist der Hall­Widerstand quantisiert und kann nur die Werte U R R H = H = K annehmen, wobei n eine ganze Zahl ist und R_k die Von­Klitzing­ I n h Konstante, die den Wert Rk = =25812,807 hat. e² Die Quellen des magnetischen Feldes • Bewegt sich eine Ladung q mit der Geschwindigkeit v, so erzeugt sie ein Magnetfeld, das an einem Aufpunkt P im Abstand r durch die folgende Beziehung gegeben ist: q v x r /r B= 0 ⋅ . Dabei ist r/r ein Einheitsvektor, der von der Ladung zum Aufpunkt 4⋅ r² zeigt und 0 die sogenannte Feldkonstante. Sie hat den Betrag m N 0=4 ⋅10⁷T =4 ⋅10⁷ . A R² • Für das Magnetfeld dB im Abstand r von einem Stromelement Idl gilt: I dl x r /r dB= 0 ⋅ . Diese Beziehung heißt Biot­Sovartsches Gesetz. Das Magnetfeld 4⋅ r² bildet sowohl mit dem Stromelement als auch mit dem Verbindungsvektor r vom Stromelement zum Aufpunkt einen rechten Winkel. • Die Kraft, die zwei bewegte Ladungen durch ihre Magnetfelder aufeinander ausüben, verletzt scheinbar das dritte Newtonsche Grundgesetz (actio = reactio), was bedeutet, dass der Impuls in diesem Zweiteilchensystem nicht erhalten bleibt. Zieht man allerdings den Impuls der elektrischen und magnetischen Felder in die Betrachtung mit ein, so bleibt der Gesamtimpuls des Systems aus den beiden Ladungen und diesen Feldern sehr wohl erhalten. • Das Magnetfeld au der Achse eines ringförmigen, stromdurchflossenen Leiters (also eines 2 R² I B= ⋅ e 3 x , wobei e Kreisstromes) ist gegeben durch: 4 x ein Einheitsvektor in 2 x² R² Richtung der Achse des Rings ist. In großer Entfernung zum Ring geht das obrige 2m m Magnetfeld in das Feld eines Dipols über: B= , wobei m_m das magnetische ⋅ 4 x³ Dipolmoment (oder einfach: das magnetische Moment) des Rings ist. Das magnetische Moment ist das Produkt aus Stromstärke und Querschnittfläche des Ringes und steht gemäß der Rechte­Hand­Regel senkrecht zum Ring. • Das Magnetfeld im Inneren einer langen Spule, weit entfernt von ihren Enden, hat den Betrag: B=0 n I , wobei n die Windungszahldichte (Zahl der Windungen pro Länge) der Spule ist. • Das Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiterstücks beträgt: I B= 0 ⋅ ⋅sin 1sin 2 , wobei R der senkrechte Abstand des Aufpunktes zum 4 R Draht ist. 1 und 2 sind die Winkel zwischen dem vom Aufpunkt auf den Draht gefällten Lot und den Verbindungslinien zu den beiden Enden des Drahts. Ist das Leiterstück 0 I ⋅ . Die Richtung der Feldlinien sehr lang, so geht der obrige Ausdruck über in B= 4 R die Dicke des Leiters, n die Ladungsträgerdichte, q die Ladung und A H = • • • wird durch die gekrümmten Finger der Rechten Hand angegeben, wenn der Daumen in Richtung des Stroms zeigt. 0 N I Das Magnetfeld im Inneren einer dicht gewickelten Ringspule hat den Betrag B= , 2 r wobei r der Abstand vom Mittelpunkt der Ringröhre ist. Ein Ampere ist definiert als Stromstärke, bei der zwei parallele, vom gleichen Strom −7 N durchflossene Leiter im Abstand von einem Meter eine Kraft von 2⋅10 aufeinander m ausüben. Das Amperesche Gesetz verknüpft das Integral der Tangentialkomponente des Magnetfelds entlang einer geschlossenen Kurve C mit dem gesamten Strom I c , der durch die von dieser Kurve begrenzte Fläche hindurchtritt: ∮ B dl =0⋅I c für eine beliebige C geschlossene Kurve C Das Amperesche Gesetz ist nur für geschlossene Stromkreise gültig. Es kann dann zur Berechnung des Magnetfelds verwendet werden, wenn die betrachtete Anordung einen hohen Grad an Symmetrie aufweist, wie beispielsweise dichte gewickelte Ring­ oder Zylinderspulen. Gesetz von Faraday: • Die Änderung des Flusses pro Zeit ist gleich der Induktionsspannung: d m dB , wobei N die Anzahl der Windungen der Spule, B das Magnetfeld, =U=N r²⋅ dt dt r der Radius der Spule ist. • Der Magnetische Fluss ist: m=B n⋅A⋅cos . Dabei ist B_n die zur Fläche A normale Komponente des Magnetfelds. Alpha ist der Winkel zwischen Magnetfeld und Normalenvektor der Fläche. • Ist die Spulenebene senkrecht zum Magnetfeld ist der Fluss: m=N B A=NB r² .
