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Spieltheorie
Kapitel 4 – Anwendungen des Nash-Konzepts
Stephan Schosser
Anwendungen des Nash-Konzepts
Agenda
•  Einführung
•  Klassische Entscheidungstheorie
•  Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien
•  Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien
•  Anwendungen des Nash-Konzepts
•  2x2 Spiele
•  Kooperationsspiele
•  Industrieökonomik
•  Alternative Gleichgewichtskonzepte
•  Evolutionär stabile Strategien
•  Spiele in Extensivform
•  (Teilspiel-)perfekte Gleichgewichte
•  Perfekt Bayesianische Gleichgewichte
•  Wiederholte Spiele
WS12/13
Spieltheorie
2
36
Stephan Schosser
Anwendungen des Nash-Konzepts
Anwendungen und Beispiele des Nash-Konzepts
•  2x2-Spiele
•  Gefangenendilemma
•  Chicken Game
•  Stag Hunt
•  Kooperationsspiele
•  Weakest-Link
•  Öffentliches Gut Spiel
•  Industrieökonomie
•  Tragedy of the Commons
•  Oligopol
WS12/13
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3
36
Stephan Schosser
Anwendungen des Nash-Konzepts
•  Die Spieler:
Zwei Studenten (Spieler A, Spieler B)
•  Die Strategien:
•  Anderen anschwärzen („D(efect)“)
•  Nichts wissen („C(ooperate)“)
•  Die Auszahlung
•  Beide defektieren: Beide fallen durch, Beide kooperieren: Hart bewertet
•  A defektiert, B kooperiert: A wird normal bewertet, B exmatrikuliert
WS12/13
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36
Wiederholung aus Kapitel 1
Gefangenendilemma I
•  Die Story:
•  Zwei Studenten sitzen während Klausur nebeneinander
•  Aufsicht unterstellt abschreiben
•  Problem: Für Bestrafung zweifelsfreie Überführung nötig
•  Idee Aufsicht: Studenten werden unabhängig voneinander befragt
•  Studenten können anderen Anschwärzen
•  Studenten können angeben von nichts zu wissen
4
Stephan Schosser
Anwendungen des Nash-Konzepts
Gefangenendilemma II
•  Matrix-Darstellung
Spieler 2
C(ooperate) (p2) D(efect) (1-p2)
Spieler 1
C(ooperate) (p1)
-10, -10
-100, 0
D(efect)
0, -100
-80, -80
(1-p1)
•  Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien: (D, D)
•  Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien (Spiel „symmetrisch“): keine
πi(‚C‘, ·) = pj · (-10) + (1-pj) · (-100) = 90pj – 100
πi(‚D‘, ·) = pj · (0) + (1-pj) · (-80) = 80pj – 80
πi(‚C‘, ·) = πi(‚D‘, ·) → 10pj = 20 → pj = 2 > 1 → nie erfüllt! → D spielen
•  Erkenntnisse
•  Genau ein Nash-Gleichgewicht: (D, D)
•  Aber höchste Auszahlung bei: (C, C)
•  Individuelle Rationalität führt nicht immer zu „bestem“ Ergebnis
WS12/13
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5
36
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Anwendungen des Nash-Konzepts
6
36
Chicken-Game I
•  Die Story:
•  Zwei Studenten wollen mittels Mutprobe 4 Studentinnen beeindrucken
•  Beide fahren sich auf enger Straße mit hoher Geschwindigkeit entgegen
•  Optionen
•  Jeder Student kann dem anderen ausweichen...
•  ... oder auf der engen Straße bleiben
•  Die Spieler:
Zwei Studenten (Spieler A, Spieler B)
•  Die Strategien:
•  Anderem ausweichen („A(ausweichen)“)
•  Geradeaus weiterfahren („G(eradeaus)“)
•  Die Auszahlung
•  Beide weichen aus: je 2 Studentinnen von A (B) beeindruckt
•  A weicht aus, B fährt weiter: 1 bewundert As Intellekt, 3 bewundern Bs Mut
•  Beide fahren weiter: Beide enden im Krankenhaus – Ergebnis irrelevant
WS12/13
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Stephan Schosser
Anwendungen des Nash-Konzepts
Chicken-Game II
•  Matrix-Darstellung
Spieler 2
G(eradeaus) (p2) A(usweichen) (1-p2)
Spieler 1
G(eradeaus)
(p1)
0, 0
3, 1
A(usweichen) (1-p1)
1, 3
2, 2
•  Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien: (G, A) und (A, G)
•  Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien (Spiel „symmetrisch“): s.u.
πi(‚G‘, ·) = pj · 0 + (1-pj) · 3 = 3 – 3pj
πi(‚A‘, ·) = pj · 1 + (1-pj) · 2 = 2 – pj
πi(‚G‘, ·) = πi(‚A‘, ·) → 3 – 3pj = 2 – pj → pj = 0,5 → ((0,5; 0,5); (0,5; 0,5))
•  Erkenntnisse
•  Drei Nash-Gleichgewichte: (A, G), (G, A) und ((0,5; 0,5); (0,5; 0,5))
•  Problem
•  Welches der drei Gleichgewichte spielen?
•  ... dazu später mehr („Nash-Refinements“)
WS12/13
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7
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Anwendungen des Nash-Konzepts
Stag Hunt I
•  Die Story:
•  Zwei Jäger gehen jagen
•  Jäger können gemeinsam Großwild erlegen...
... sind einzeln zu schwach
•  Jäger können gemeinsam Feldhasen jagen...
... jeder ist auch alleine stark genug zum Erlegen
•  Die Spieler:
Zwei Jäger (Spieler A, Spieler B)
•  Die Strategien:
•  Großwild jagen („S(tag)“)
•  Feldhasen jagen („H(are)“)
•  Die Auszahlung
•  Beide jagen Hasen: Auszahlung für beide gering aber positiv
•  Beide jagen Wild: Auszahlung für beide hoch
•  A jagt Wild, B Hasen: A kann Wild nicht erlegen, B erlegt fleißig Hasen
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36
Stephan Schosser
Anwendungen des Nash-Konzepts
Stag Hunt II
•  Matrix-Darstellung
Spieler 2
S(tag) (p2) H(are) (1-p2)
Spieler 1
S(tag)
(p1)
H(are) (1-p1)
2, 2
0, 1
1, 0
1, 1
•  Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien: (S, S) und (H, H)
•  Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien (Spiel „symmetrisch“): s.u.
πi(‚S‘, ·) = pj · 2 + (1-pj) · 0 = 2pj
πi(‚H‘, ·) = pj · 1 + (1-pj) · 1 = 1
πi(‚S‘, ·) = πi(‚H‘, ·) → 3 – 2pj = 1 → pj = 0,5 → ((0,5; 0,5); (0,5; 0,5))
•  Erkenntnisse
•  Drei Nash-Gleichgewichte: (S, S), (H, H) und ((0,5; 0,5); (0,5; 0,5))
•  Problem
•  Konflikt zw. Auszahlung (S, S) und Sicherheit (H, H)
•  In Laborexperimenten favorisieren Spieler oft Sicherheit
WS12/13
Spieltheorie
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36
Agenda
•  Einführung
•  Klassische Entscheidungstheorie
•  Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien
•  Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien
•  Anwendungen des Nash-Konzepts
•  2x2 Spiele
•  Kooperationsspiele
•  Industrieökonomik
•  Alternative Gleichgewichtskonzepte
•  Evolutionär stabile Strategien
•  Spiele in Extensivform
•  (Teilspiel-)perfekte Gleichgewichte
•  Perfekt Bayesianische Gleichgewichte
•  Wiederholte Spiele
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Stephan Schosser
10
Anwendungen des Nash-Konzepts
36
Stephan Schosser
11
Anwendungen des Nash-Konzepts
36
Weakest-Link Spiel I
•  Die Story:
•  Ein Team mit n Mitgliedern verfolgt gemeinsames Projekt
•  Teilnehmer entscheiden gleichzeitig über ihren Arbeitseinsatz
•  Auszahlung abhängig vom Einsatz der Teammitglieder
•  Die Spieler:
n Teammitglieder (Spieler 1, ..., Spieler n)
•  Die Strategien:
Grad des Arbeitseinsatzes σi ∈ {1, ..., k}
•  Die Auszahlung
πi(σi, ·) = a min{σ1, ...., σn} – b · σi mit a,b > 0 und a > b
•  Hier im Beispiel
•  n = 2
•  k = 4
•  a = 4, b = 1
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Spieltheorie
Stephan Schosser
12
Anwendungen des Nash-Konzepts
36
Weakest-Link Spiel II
•  Matrix-Darstellung
Spieler 2
Spieler 1
1
2
3
4
1
3, 3
3, 2
3, 1
3, 0
2
2, 3
6, 6
6, 5
6, 4
3
1, 3
5, 6
9, 9
9, 8
4
0, 3
4, 6
8, 9
12, 12
•  Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien: (k, k)
•  Erkenntnisse
•  k symmetrische Nash-Gleichgewichte: (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)
•  Gleichgewichte besitzen Ordnung:
(4, 4) – max. Auszahlung; (1, 1) – min. Auszahlung
•  Problem
Spieler können im Gleichgewicht (1, 1) „gefangen“ sein
WS12/13
Spieltheorie
Woran
erinnert
Sie das
Spiel?
Stephan Schosser
13
Anwendungen des Nash-Konzepts
36
Weakest-Link Spiel III
•  Theoretischer Befund
•  Rationale Spieler wählen σi∗ = k
•  Experimenteller Befund (van Huyck, Battalio & Beil, 1990+)
•  Moderater Arbeitseinsatz zu Beginn des Experiments
•  Drastisch Abfall des Arbeitseinsatzes in Folgeperioden
•  Gleichgewicht von σi = 1 nach wenigen Perioden
•  Aber: Ergebnis von Anzahl der Spieler abhängig
n = 14
n=2
8
Arbeitseinsatz
Arbeitseinsatz
7
5
3
1
6
4
2
0
-1 1
3
5
Periode
Mittel
+Huyck,
7
Minimum
9
1
2
3
4
5
6
Periode
Mittel
Minimum
Battalio & Beil, 1990: „Tacit Coordination Games, Strategic Uncertainty, and Coordination Failure“. American Economic Review
WS12/13
Spieltheorie
7
Stephan Schosser
14
Anwendungen des Nash-Konzepts
36
Weakest-Link Spiel IV
•  Produktionstheoretische Interpretation:
•  a min{σ1, ...., σn} beschreibt limitationale Produktionsfunktion
•  Output durch Faktor mit minimalem Einsatz beschränkt.
•  Makroökonomische Interpretation:
•  Jeder Spieler ist ökonomischer Sektor für volkswirtschaftlichen Output
•  Liefert nur ein Sektor minimalen Input ist Output minimal sein
•  Anwendung auf die Theorie gesamtwirtschaftlicher Entwicklung (“big push”): Ist Infrastruktur schlecht, kaum Output (Komplemente!)
•  Entwicklungsländer oft im Gleichgewicht mit minimalem Arbeitseinsatz
WS12/13
Spieltheorie
Stephan Schosser
15
Anwendungen des Nash-Konzepts
36
Öffentliches Gut Spiel I
•  Die Story (analog Weakest-Link):
•  Ein Team mit n Mitgliedern verfolgt gemeinsames Projekt
•  Teilnehmer entscheiden gleichzeitig über ihren Beitrag zum Projekt
•  Auszahlung abhängig vom Beitrag der Teammitglieder
•  Die Spieler:
n Teammitglieder (Spieler 1, ..., Spieler n)
•  Die Strategien:
Beitrag zum Projekt σi ∈ {1, ..., k}
•  Die Auszahlung
πi(σi, ·) = b · (k – σi) + a avg{σ1, ...., σn} mit a,b > 0 und a > b
•  Hier im Beispiel
•  n = 2
•  k = 4
•  a = 3, b = 2
WS12/13
Spieltheorie
Formel ist Kernunterschied
zu Weakest Link
Stephan Schosser
16
Anwendungen des Nash-Konzepts
36
Öffentliches Gut Spiel II
•  Matrix-Darstellung
Spieler 2
Spieler 1
1
2
3
4
1
9.0, 9.0
10.5, 8.5
12.0, 8.0
13.5, 7.5
2
8.5, 10.5
10.0, 10.0
11.5, 9.5
13.0, 9.0
3
8.0, 12.0
9.5, 11.5
11.0, 11.0
12.5, 10.5
4
7.5, 13.5
9.0, 13.0
10.5, 12.5
12.0, 12.0
•  Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien: (1, 1)
•  Erkenntnisse
•  Ein Nash-Gleichgewichte: (1, 1)
•  Problem
Jede (bilaterale) Abweichung bietet Verbesserung für beide
WS12/13
Spieltheorie
Woran
erinnert
Sie das
Spiel?
Stephan Schosser
17
Anwendungen des Nash-Konzepts
36
Öffentliches Gut Spiel III
•  Theoretischer Befund
•  Rationale Spieler wählen σi∗ = 1
Beitrag zum Projekt
•  Experimenteller Befund (Herrmann, Thöni & Gächter, 2008+)
•  Moderater Arbeitseinsatz zu Beginn des Experiments
•  Gemäßigter Abfall des Arbeitseinsatzes in Folgeperioden
•  Einige Gruppen erreichen σi = 1 nach einigen Perioden, andere nicht
n = 4, k = 20, a = 1,6, b = 1
20
15
10
5
0
1
2
3
4
Periode
Mittel
+Herrmann,
Thöni & Gächter, 2008: „Antisocial Punishment Across Societies“. Science
WS12/13
Spieltheorie
5
6
Stephan Schosser
18
Anwendungen des Nash-Konzepts
36
Tragedy of the Commons I
•  Die Story:
•  n Dorfbewohner können xi Schafe auf Allmende-Wiese grasen lassen
•  Ertrag v hängt hängt von Gesamtmenge der grasenden Schafe ab Σxi
•  Jedes Schaf verursacht Kosten c
•  Wie viele Schafe besitzt ein Dorfbewohner im Optimum?
•  Story anwendbar auf Überfüllungsprobleme (Staus, Überfischen, ...)
•  Die Spieler:
n Dorfbewohner (Spieler 1, ..., Spieler n)
v(∑xj)
•  Die Strategien:
Anzahl Schafe xi ∈ {1, ..., xmax}
•  Die Auszahlung
n
π i (xi ,..., xn ) = xi ⋅ v(∑ x j ) − xi ⋅ c
j=1
∑xj
Es gibt eine „Obergrenze für Grasen“
WS12/13
Spieltheorie
Stephan Schosser
19
Anwendungen des Nash-Konzepts
36
Tragedy of the Commons II
•  Nash-Gleichgewicht
•  Alle wählen Beste-Antwort auf Entscheidungen anderer
•  π (x ,..., x ) = x ⋅ v(∑ x ) − x ⋅ c
n
i
i
n
i
j
i
j=1
• 
n
n
∂π i (xi ,..., xn )
= xi ⋅ v'(∑ x j ) + v(∑ x j ) − c = 0
∂xi
j=1
j=1
•  Weiterhin muss Lösung symmetrisch sein, d.h. x1 = x2 = ... xn = x
•  Damit ist Nash-Bedingung: x* ⋅ v‘(n ⋅ x*) + v(n ⋅ x*) – c = 0
•  Sozialer Planner
•  Optimiert Gesamtauszahlung
•  π(x) = n ⋅ x ⋅ v(n ⋅ x) – n ⋅ x ⋅ c
•  δπ(x)/δx = n2 ⋅ x ⋅ v‘(n ⋅ x) + n ⋅ v(n ⋅ x) – n ⋅ c = 0
δπ(x)/δx = n ⋅ x** ⋅ v‘(n ⋅ x**) + v(n ⋅ x**) – c = 0
WS12/13
Spieltheorie
Stephan Schosser
20
Anwendungen des Nash-Konzepts
36
Tragedy of the Commons III
•  Züchtet sozialer Planner oder „Nash-Spieler“ mehr Schafe?
•  Hilfsfunktionen (aus Optimierungsbedingungen)
•  h1(x) = x ⋅ v‘(n ⋅ x) + v(n ⋅ x)
[= c]
•  h2(x) = n ⋅ x ⋅ v‘(n ⋅ x) + v(n ⋅ x)
[= c]
•  Es gilt v‘ < 0 und x ⋅ v‘(n ⋅ x) > n ⋅ x ⋅ v‘(n ⋅ x) ...
... damit gilt h1(x) > h2(x)
•  Ableitungen der Hilfsfunktionen
•  h'1(x) = v‘(n ⋅ x) + n ⋅ x ⋅ v‘‘(n ⋅ x) + n⋅ v‘(n ⋅ x)
h'1(x) = (1 + n) v‘(n ⋅ x) + n ⋅ x ⋅ v‘‘(n ⋅ x) < 0
•  h'2(x) = n ⋅ v‘(n ⋅ x) + n2 ⋅ x ⋅ v‘‘(n ⋅ x) + n⋅ v‘(n ⋅ x)
h'2(x) = 2n ⋅ v‘(n ⋅ x) + n2 ⋅ x ⋅ v‘‘(n ⋅ x) < 0
h2
h1
c
•  Lösung des „sozialen Planners“ x** kleiner als...
... Nash-Lösung x*
x
x**
WS12/13
Spieltheorie
x*
Agenda
•  Einführung
•  Klassische Entscheidungstheorie
•  Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien
•  Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien
•  Anwendungen des Nash-Konzepts
•  2x2 Spiele
•  Kooperationsspiele
•  Industrieökonomik
•  Alternative Gleichgewichtskonzepte
•  Evolutionär stabile Strategien
•  Spiele in Extensivform
•  (Teilspiel-)perfekte Gleichgewichte
•  Perfekt Bayesianische Gleichgewichte
•  Wiederholte Spiele
WS12/13
Spieltheorie
Stephan Schosser
21
Anwendungen des Nash-Konzepts
36
Stephan Schosser
22
Anwendungen des Nash-Konzepts
36
Mengen-Oligopol – Cournot I
•  Die Story:
•  n Firmen produzieren ein homogenese Gut mit Preis p (Oligopol)
•  Alle Firmen entscheiden über ihre Absatzmenge xi mit x = x1 + ... + xn
•  Jede Firma hat eine Kostenfunktion ci(xi) und ein Kapazitätsgrenze ximax
•  Am Markt wird maximal xmax bei einem Preis pmax nachgefragt
•  Es sei eine inverse Martnachfragefunktion f: x → p gegeben
•  Die Spieler:
n Firmen (Spieler 1, ..., Spieler n)
•  Die Strategien:
Produktionsmenge xi ∈ {1, ..., xmax}
•  Die Auszahlung
n
π i (xi ,..., xn ) = xi ⋅ f (∑ x j ) − ci (xi )
j=1
als Beispiel: π 1 (x1, x2 ) = x1 ⋅ f (x1 + x2 ) − c1 (x1 )
WS12/13
Spieltheorie
Stephan Schosser
23
Anwendungen des Nash-Konzepts
36
Mengen-Oligopol – Cournot II
•  Traditionelle Analyse von Cournot für n = 2 Firmen
•  Firmen maximieren Gewinn durch Anpassung der Absatzmenge xi
∂π 1 (x1*, x2* ) ∂π 2 (x1*, x2* )
=
=0
∂x1
∂x2
Aus Bedingung 1. Ordnung folgt „Reaktionsfunktion“ Ri(xj)
(Ri(xj) weist jedem xj eine beste Antwort xi zu)
x2
R1(x2)
R2(x1)
x1
WS12/13
Spieltheorie
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24
Anwendungen des Nash-Konzepts
36
Mengen-Oligopol – Cournot III
•  Bei Finden der Cournot-Lösung passen Spieler sequentiell xi an
x2
R1(x2)
Lösung
R2(x1)
x1
Anpassung durch Spieler 1
Anpassung durch Spieler 2
•  Cournot-Lösung ist Nash-Gleichgewicht
•  Für keinen Spieler lohnt Abweichen
•  Lösung bei Kenntnis der Reaktionsfunktion des Mitspielers vorhersagbar
(Bei Spieltheorie sichergestellt durch Kenntnis der Auszahlungsfunktion)
WS12/13
Spieltheorie
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25
Anwendungen des Nash-Konzepts
36
Mengen-Oligopol – Cournot Duopol I
•  Die Story:
•  2 Firmen produzieren ein homogenese Gut mit Preis p (Duopol)
•  Alle Firmen entscheiden über ihre Absatzmenge xi mit x = x1 + x2
•  Jede Firma hat eine Kostenfunktion ci(xi) = ci xi
•  Am Markt wird maximal xmax bei einem Preis pmax nachgefragt
•  Es sei eine inverse Martnachfragefunktion p(x) = b - ax gegeben
•  Die Spieler:
n Firmen (Spieler 1, ..., Spieler n)
•  Die Strategien:
Produktionsmenge xi ∈ {1, ..., xmax}
•  Die Auszahlung
πi(x1, x2) = (b - a ⋅ x) xi -cixi
WS12/13
Spieltheorie
Stephan Schosser
26
Anwendungen des Nash-Konzepts
36
Mengen-Oligopol – Cournot Duopol II
•  Ermittlung der Reaktionsfunktionen
• 
• 
∂π 1
b − c1 x2 c
= b − 2ax1 − ax2 − c1 = 0 ⇒ x1 =
− | R1 (x2 )
∂x1
2a
2
∂π 2
b − c2 x1 c
= b − 2ax2 − ax1 − c2 = 0 ⇒ x2 =
− | R2 (x1 )
∂x2
2a
2
•  Visualisierung der Reaktionsfunktionen
x2
b − c1
a
R1(x2)
Lösung
b − c2
2a
x2*
R2(x1)
x1
x1* b − c1 b − c2
2a
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Spieltheorie
a
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27
Anwendungen des Nash-Konzepts
36
Mengen-Oligopol – Cournot Duopol III
•  Rechnerische Ermittlung der Lösung
•  Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten
• 
x1 =
b − c1 x2
−
2a
2
x1 =
b − c1 b − c2 x1
4 $ b c
c '
b − 2c1 + c2
−
+ ⇒ x1 = ⋅ & − 1 + 2 ) ⇒ x1* =
2a
4a
4
3 % 4a 2a 4a (
3a
•  x
*
2
=
x2 =
b − c2 x1
−
2a
2
b − c2 1 # b − 2c1 + c2 & 3b − b c1 3c2 + c2 b + c1 − 2c2
− ⋅%
+ −
=
(=
'
2a
2 $
3a
6a
3a
6a
3a
•  Ermittlung des Marktpreises
• 
p = b − ax = b − a ⋅
2b − c1 − c1 b + c1 + c1
=
3a
3
•  Ergebnisse bei Symmetrie (d.h. c1 = c2 = c)
•  x = x = b3a− c ⇒ p = b +32c
*
1
• 
*
2
" b + 2c %" b − c % ( b − c)
πi = $
− c '$
'=
# 3
&# 3a &
9a
WS12/13
Spieltheorie
2
Stephan Schosser
28
Anwendungen des Nash-Konzepts
36
Symmetrischen Oligopol mit n Firmen I
•  Die Story (analog Duopol):
•  n Firmen produzieren ein homogenese Gut mit Preis p (Oligopol)
•  Alle Firmen entscheiden über ihre Absatzmenge xi mit x = x1 + ... + xn
•  Jede Firma hat eine Kostenfunktion ci(xi) = ci xi
•  Am Markt wird maximal xmax bei einem Preis pmax nachgefragt
•  Es sei eine inverse Martnachfragefunktion p(x) = b - ax gegeben
•  Die Spieler:
n Firmen (Spieler 1, ..., Spieler n)
•  Die Strategien:
Produktionsmenge xi ∈ {1, ..., xmax}
•  Die Auszahlung
πi(x) = (b - a ⋅ x) xi -cixi
WS12/13
Spieltheorie
Stephan Schosser
29
Anwendungen des Nash-Konzepts
36
Symmetrischen Oligopol mit n Firmen II
•  Ermittlung der Absatzmenge
•  π (x ,..., x ) = (b − a∑ x − ax )x − cx
i
1
n
j
i
i
i
j≠i
∂π i
= b − 2axi − a∑ x j − c = 0
∂xi
j≠i
• 
•  Da ∀i: xi* = q*: b – 2aq* – a (n-1) q* – c = 0
−c
⇒ lim q = 0
•  ⇒ q = (nb+1)a
*
n→∞
•  Ermittlung des Marktpreises
b−c
(n +1)b − nb − nc b − nc
p
=
b
−
ax
=
b
−
an
=
=
⇒ lim p = c
• 
(n +1)a
n +1
n +1
•  Ermittlung des Gewinns
n→∞
• 
" b − nc %" b − c % " b − c % b 2 − nbc − cb + nc 2 − (n +1)cb + (n +1)c 2
πi = $
'$
' − c$
'=
# n +1 &# (n +1)a & # (n +1)a &
a(n +1)2
b 2 − 2nbc + (2n +1)c 2
=
⇒ lim π i = 0
2
n→∞
a(n +1)
•  Anzahl Anbieter groß: Gut zu Grenzkosten angeboten, Gewinn ist 0
WS12/13
Spieltheorie
Stephan Schosser
30
Anwendungen des Nash-Konzepts
36
Bertrand-Modell I
•  Bisher (Cournot-Modell)
•  Marktteilnehmer wählen Absatzmenge (simultan)
•  Preisbildung ist Konsequenz aus Absatzentscheidungen
•  Problem
Durch Unterbieten des Preises kann Anbieter Monopolist werden
•  Idee (Bertrand-Modell)
Anbieter wählt nicht mehr die Absatzmenge, sondern den Preis
WS12/13
Spieltheorie
Stephan Schosser
31
Anwendungen des Nash-Konzepts
36
Bertrand-Modell II
•  Die Story:
•  2 Firmen produzieren ein homogenese Gut (Duopol)
•  Alle Firmen entscheiden über ihren Preis p
•  Alle Firmen haben identische Kostenfunktion ci(xi) = c ⋅ xi
•  Es sei eine Martnachfragefunktion d: p → x gegeben mit d‘(p) < 0
•  Die Spieler:
2 Firmen (Spieler 1, Spieler 2)
•  Die Strategien:
Marktpreis pi
•  Die Auszahlung
π 1 (x1, x2 ) = d1 ( p1, p2 )⋅ ( pi − c)
WS12/13
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32
Anwendungen des Nash-Konzepts
36
Bertrand-Modell – Nachfragefunktion I
•  Konsumenten kaufen Gut bei günstigstem Anbieter
•  Firmenspezifische Nachfragefunktionen der beiden Firmen
• 
• 
!
0
#
d1 ( p1, p2 ) = " α1d( p1 )
#
#$ d( p1 )
falls
p1 > p2
falls
p1 = p2
falls
p1 < p2
!
0
#
d2 ( p1, p2 ) = " α 2 d( p2 )
#
#$ d( p2 )
falls
p2 > p1
falls
p2 = p1
falls
p2 < p1
•  Mit α1 ≥ 0, α2 ≥ 0 und α1 + α2 = 1
WS12/13
Spieltheorie
Stephan Schosser
33
Anwendungen des Nash-Konzepts
36
Bertrand-Modell – Nachfragefunktion II
•  Illustration der Marktnachfragefunktion
pj
dj(p1, p2)
pi
xj
αi d(pi)
WS12/13
Spieltheorie
Stephan Schosser
34
Anwendungen des Nash-Konzepts
36
Bertrand-Modell – Gewinn
•  Gewinn der Firma j:
πj(p1, p2) = (pj – c) dj(p1, p2)
•  Firmen wählen Preis simultan und unabhängig (wie Absatzmenge bei Cournot)
•  Firmen wählen Preis, der Gewinn maximiert (Nash-Bedingung)
•  Firma 1: π1(p1*, p2*) ≧ π1(p1, p2*) für alle p1
•  Firma 2: π2(p1*, p2*) ≧ π2(p1*, p2) für alle p2
•  In Lösung kann keine Firma durch unilateral Preisänderung Gewinn erhöhen
(Nash-Gleichgewicht)
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Spieltheorie
Stephan Schosser
35
Anwendungen des Nash-Konzepts
36
Bertrand-Modell – Gleichgewichtbestimmung
•  Im Folgenden wird gezeigt, dass p1* = p2* = c einziges Gleichgewicht
•  Schritt 1: p1* = p2* = c ist Gleichgewicht
•  Wenn Firma j auf pj > c abweicht: Nachfrage dj(pj, pi*) = 0 ⇒ πj(p1, p2) wird kleiner
•  Wenn Firma j auf pj < c abweicht:
Stückerlös pj – c < 0 ⇒ πj(p1, p2) ist negativ
•  Schritt 2: Es existieren keine anderen Gleichgewichte
•  Gleichgewicht mit p1 = p2 > c kann nicht existieren:
Beliebige Firma kann durch marginale Preissenkung Nachfrage erhöhen
•  Gleichgewicht mit pi > pj = c kann nicht existieren:
Firma j kann durch kleine Preissteigerung Gewinn erhöhen
•  Gleichgewicht mit pi > pj > c kann nicht existieren:
Firma i kann durch Unterbieten von Firma j Gewinn erhöhen
WS12/13
Spieltheorie
Stephan Schosser
36
Anwendungen des Nash-Konzepts
36
Bertrand Paradox
•  Ergebnis ist überraschend
•  Preiswettbewerb mit nur 2 Konkurrenten führt zu demselben Ergebnis ...
... wie vollständiger Wettbewerb
•  Ergebnis als Bertrand Paradox bezeichnet
•  Oligopolistische Marktmacht lässt sich verhindern
•  Ohne Produktdifferenzierung
(homogener Markt)
•  Ohne steigende Grenzkosten und Kapazitätsschranken
(konstante Stückkosten)
•  Ohne Effizienzunterschiede der Firmen (identische Stückkosten)
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Spieltheorie