Feynman-Diagramme - Institut für Kern

Feynman-Diagramme
Feynman-Diagramme
Hauptseminar »Symmetrien in Kern- und Teilchenphysik«
Institut für Kern- und Teilchenphysik, TU Dresden
Thomas Lehmann
31.05.2006
Feynman-Diagramme
Gliederung
Herleitung
Wechselwirkungsbild
S-Matrix
skalares Feld
Feynman Regeln
Beispiele
σ → ππ
e− e+ → µ− µ+
e− e− → e− e−
Literatur
Feynman-Diagramme
Herleitung
Wechselwirkungsbild
Aus der Zerlegung der Lagrangedichte in eine freien und einen Wechselwirkungsteil
L = L0 + L1
LQED = ψ̄(i∂/ − m)ψ −
1
/
Fνµ F νµ − eψ̄ Aψ
4
folgt für L1 = L1 (ψα ) die Hamiltondichte
H = ψα
∂L
∂L0
− L = ψα
− L0 −L1
∂ ψ˙α
∂ ψ˙α
|
{z
}
=H0
d.h. H1 = −L1
Der Hamiltonoperator ergibt sich aus der Hamiltondichte durch
Z∞
H=
−∞
H d3 x =
Z∞
−∞
(H0 + H1 ) d3 x = H0 + H1
Feynman-Diagramme
Herleitung
Wechselwirkungsbild
Wechselwirkungsdarstellung:
|ψ(t)iWW = eiH0 t |ψ(t)i → i
AWW (t) = eiH0 t Ae−iH0 t
→
∂
|ψ(t)iWW = H1,WW |ψ(t)iWW
∂t
d
∂
AWW (t) = i [H0 , AWW ] + AWW (t)
dt
∂t
Der Zeitentwicklungsoperator lässt sich aus der formalen Lösung der Schrödingergleichung
|ψ(t)i = e−iH(t−t0 ) |ψ(t0 )i gewinnen
|ψ(t)iWW = eiH0 t e−iH(t−t0 ) |ψ(t0 )i = eiH0 t e−iH(t−t0 ) e−iH0 t0 |ψ(t0 )iWW
|
{z
}
=U(t,t0 )
→i
∂
U(t, t0 ) = eiH0 t (−H0 + H)e−iH(t−t0 ) e−iH0 t0 = eiH0 t H1 e−iH0 t eiH0 t e−iH(t−t0 ) e−iH0 t0
{z
}
|
{z
}|
∂t
H1,WW
U(t,t0 )
Feynman-Diagramme
Herleitung
Wechselwirkungsbild
Diese Dgl kann durch eine Integralgleichung ersetzt werden
Zt
U(t, t0 ) = U(t0 , t0 ) −i
| {z }
1
H1,WW U(t1 , t0 ) dt1
t0
iterative Lösung der Integralgleichung durch:
Zt
Un+1 (t, t0 ) = 1 − i
H1,WW Un (t1 , t0 ) dt1
t0
konvergiert gegen U(t, t0 ) . Mit dem Ansatz U0 (t, t0 ) = 1 folgt
U(t, t0 ) =
tn−1
Zt
Zt1
Z
∞
X
(−i)n
dt1
dt2 ....
dtn H1,WW (t1 )...H1,WW (tn )
n=0
=
t0
t0
t0
Zt
Zt
Zt
∞
X
(−i)n
dt1
dt2 ....
dtn T(H1,WW (t1 )...H1,WW (tn ))
n!
n=0
t0
t0
t0
Feynman-Diagramme
Herleitung
S-Matrix
Streumatrix
Idealisierung: zur Anfangs- und Endzeit t = ±∞ finden keine Wechselwirkungen statt. Die
Übergangsamplitude von einem Anfangszustand | ii in einen Endzustand | f i ist demnach
hf |ψ(∞)i = hf | U(∞, −∞) ψ(−∞)i = Sfi
|
{z
} | {z }
=:S
=| ii
Ausdrücken des Hamiltonoperators durch die Hamiltondichte liefert
S=
Z∞
Z∞
Z∞
∞
X
(−i)n
d4 x1
d4 x2 ....
d4 xn T(H1,WW (x1 )...H1,WW (xn ))
n!
n=0
−∞
−∞
−∞
aus der Unitarität von S folgt:
hψ(∞)|ψ(∞)i =
X
X
!
hψ(∞)|gi hg|f ihf |ψ(∞)i =
Sfi Sfi∗ = 1
|
{z
}
f ,g
f
δgf
Feynman-Diagramme
Herleitung
S-Matrix
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
Um Teilchenerzeugung- und Vernichtung zu beschreiben führt man Operatoren ein
Erzeugungsoperator:
p
a†i |..., ni , ...i = ni + 1|..., ni + 1, ...i
ai |..., ni , ...i =
∞
X
|..., n0i , ...ih..., n0i , ...|ai |..., ni , ...i =
n0i
∞
X
|..., n0i , ...i
n0i
Vernichtungsoperator:
ai |..., ni , ...i =
√
ni |..., ni − 1, ...i
a†k |p, qi = |p, g, ki
ak |p, ki = |pi
k 6= p, q
k 6= p
ak |0i = 0
h
i
ai , a†j = δij
h
i
[ai , aj ] = a†i , a†j = 0
q
n0i + 1δn0 +1,ni
i
Feynman-Diagramme
Herleitung
S-Matrix
Normalordnung
in einem normalgeordneten Produkt werden alle Vernichtungsoperatoren rechts von allen
Erzeugungsoperatoren angebracht.
zum Beispiel:
: ak al a†m := a†m ak al
: a†k ak + ak a†k := 2a†k ak
Man behandelt Bose-Operatoren in einem normalgeordneten Produkt so, als würden sie
verschwinden. Wenn man H durch : H : ersetzt entfällt die divergente Nullpunktenergie.
Feynman-Diagramme
Herleitung
S-Matrix
Wicksches Theorem
Feynman-Diagramme
Herleitung
skalares Feld
skalares Feld
L=
1
((∂µ π)(∂ µ π) − M 2 π 2 + (∂µ σ)(∂ µ σ) − m2 σ 2 − gπ 2 σ
| {z }
2
H1
wobei π und σ den Bewegungsgleichungen für ein freies reelles Klein-Gordon-Feld genügen
π(x) =
X
√
k
σ(x) =
X
k
g - Kopplungskonstante
p
ωk = pM 2 + k2
Ωk = m2 + k2
√
1
(eikx ak + e−ikx a†k ) = π̃(x) + π̃ † (x)
2Vωk
1
(eikx bk + e−ikx b†k ) = σ̃(x) + σ̃ † (x)
2VΩk
Feynman-Diagramme
Herleitung
skalares Feld
ππ → ππ
S=
Z∞
Z∞
Z∞
∞
X
(−i)n
d4 x1
d4 x2 ....
d4 xn T(H1,WW (x1 )...H1,WW (xn ))
n!
n=0
−∞
Z∞
S = 1−ig
−∞
4
d x1 : π 2 (x1 )σ(x1 ) : +
−∞
|
{z
=S(1)
}
−∞
Z∞
Z∞
(ig)2
4
d x1
d4 x2 T(: π 2 (x1 )σ(x1 ) :: π 2 (x2 )σ(x2 ) :) +...
2!
−∞
−∞
|
{z
}
=S(2)
Die Elemente S(i) werden durch Feynman-Diagramme mit i Vertizes dargestellt.
ππ → ππ
2. Ordnung:
hf |T(: π 2 (x1 )σ(x1 ) :: π 2 (x2 )σ(x2 ) : |ii = σ(x1 )σ(x2 )hf | : π 2 (x1 )π 2 (x2 ) : |ii
Feynman-Diagramme
Herleitung
skalares Feld
hf | : π 2 (x1 )π 2 (x2 ) : |ii
Auswertung des Normalproduktes
π̃ † (x1 )π̃ † (x1 )π̃(x2 )π̃(x2 )
π̃ † (x1 )π̃ † (x2 )π̃(x1 )π̃(x2 )
π̃ † (x1 )π̃ † (x2 )π̃(x2 )π̃(x1 )
+ Vertauschung von x1 und x2
Darstellung durch folgende Feynman-Diagramme
Feynman-Diagramme
Herleitung
skalares Feld
Feynman-Propagator
Vorüberlegungen
h
i
σ̃(x)|0i = h0|σ̃ † (x1 )σ̃(x2 )|0i = 0 ⇒ h0| σ̃(x1 )σ̃ † (x2 ) |0i = h0|σ(x1 )σ(x2 )|0i
i
h
i
h
0
1 X
1
p
σ̃(x1 ), σ̃ † (x2 ) =
ak , a†k0 ei(kx1 −k x2 )
2V 0
Ω
Ω
0
k
k
k,k
V→∞
→
1
2
Z
(1)
d3 k eik(x1 −x2 )
(2)
(2π)3
Ωk
∆F (x1 −x2 ) := ih0|T(σ(x1 )σ(x2 ))|0i = iΘ(t1 −t2 )h0|σ(x1 )σ(x2 )|0i+iΘ(t2 −t1 )h0|σ(x2 )σ(x1 )|0i
(1)
h
i
h
i
= iΘ(t1 − t2 )h0| σ̃(x1 )σ̃ † (x2 ) |0i + iΘ(t2 − t1 )h0| σ̃(x2 )σ̃ † (x1 ) |0i
(2)
∆F (x) =
−2
2
Z
d3 k
e±ikx
(∓2πi
)→
4
(2π)
2Ωk
|
{z
}
R
C±
ikx
dk0 2e 2
Ω −k
k
0
Z
d4 k
−eikx
4
2
(2π) k − m2 − i
Feynman-Diagramme
Feynman-Propagator
das ist aber auch die Greensche Funktion der Klein-Gordon Gleichung
(∂µ ∂ µ + m2 )∆F (x) = δ 4 (x)
Fouriertransformation liefert:
(−p2 + m2 )∆˜F = 1 ⇒ ∆˜F =
⇒ ∆F (x) =
1
(2π)4
Z∞
−∞
d4 p
−1
p2 − m2
−eipx
− m2
p2
Feynman-Diagramme
Berechnung von S(∗)
Ausgangszustand: |ii = |p, qi = a†p a†q |0i
Endzustand |f i = |p0 , q0 i = a†p0 a†q0 |0i
1
verschwindet allgemein, da alle n! Terme die durch Permutation von x1 , x2 , ..., xn
Der Faktor n!
entstehen den gleichen Beitrag liefern. Es folgt:
S(∗) = −(ig)2
Z∞
d4 x1
−∞
= −(ig)2
Z∞
−∞
d4 x1
Z∞
d4 x2 hf |(π̃ † )2 (x1 )(π̃)2 (x2 )|iih0|T(σ(x1 )σ(x2 )|0i
−∞
Z∞
−∞
0
0
Z∞
ei(px2 +qx2 −p x1 −q x1 )
eik(x1 −x2 )
d4 x2 q
d4 k
4
(2π) (k2 − m2 − i)
16V 4 ωp0 ωq0 ωp ωq −∞
Feynman-Diagramme
Berechnung von S(∗)
S(∗) = −
(ig)2
√
(2π)4 4V 2 ωp0 ωq0 ωp ωq
Z∞
d4 k
1
k2 − m2 − i
−∞
Z∞
(ig)2 (2π)4
√
4V 2 ωp0 ωq0 ωp ωq
−q0 )x1
−∞
|
=−
0
d4 x1 ei(k−p
Z∞
d4 x2 ei(p+q−k)x2
−∞
{z
(2π)4 δ 4 (k−p0 −q0 )
δ 4 (p + q − p0 − q0 )
(p + q)2 − m2 − i
}|
{z
(2π)4 δ 4 (p+q−k)
}
Feynman-Diagramme
Feynman Regeln
allgemeine Regeln
S-Matrix Element:
"
4 4
Sfi = δfi + (2π) δ (Pf − Pi )(
Y
Skalar
r
Y r m
Y
1
)(
)(
2VE Fermionen VE Photonen
s
#
1
) M
2V|k|
I an jedem Vertexpunkt gilt Viererimpulserhaltung
R d4 q
I über alle freien Impulse ist zu integrieren
(2π)4
I den Faktor für die äußeren Linien lassen sich aus der Lösung der ungestörten
Bewegungsgleichung ablesen
Skalar
Fermionen
Anti-Fermionen
Photonen
einlaufend
1
ur (p)
v̄r (p)
µ (k)
auslaufend
1
ūr (p)
vr (p)
∗µ (k)
Feynman-Diagramme
Feynman Regeln
allgemeine Regeln
I die Spinorfaktoren sind für jede Fermionenlinie entgegen der Pfeilrichtung angeordnet
I Multiplikation von einem Phasenfaktor P = ±1
I zu jeder inneren Linie gehört der Feynmanpropagator des jeweilligen Feldes
Feld
KG-Feld
Propagator
Photonenfeld
µν
iDF (k) = i k2 +i
Fermionenfeld
1
iSF (p) = i /p −m+i
−1
p2 −m2 −i
−g
I der Vertexfaktor ist i mal dem Wechselwirkungsterm ohne Felder
skalares Feld
QED
Wechselwirkung
gπ 2 (x)σ(x)
eψ̄(x)γ µ Aµ (x)ψ(x)
Vertexfaktor
ig
ieγ µ
Feynman-Diagramme
Feynman Regeln
Übersicht Quantenelektrodynamik
Abbildung: Übersicht QED
Feynman-Diagramme
Feynman Regeln
Übersicht Quantenelektrodynamik
Abbildung: Übersicht QED
Feynman-Diagramme
Feynman Regeln
Fermis goldene Regel
differentieller Wirkungsquerschnitt
dσ =
˛ ˛2
˛Sfi ˛
Y
Y
Y d3 pf
1
V
d3 pf =
|M|2 (
2m)(2π)4 δ 4 (Pf −Pi )(
)
( )N
T jein 2π
4E
E
v
(2π)3 2Ef
1 2 rel
Fermionen
f
f
N=2⇒
Y
dσ
1
|p3 |
=
|M|2
(2mFermi )
2
2
dΩ
4(4π) (E1 + E2 ) |p1 |
j = n vrel Eingangsstromdichte
n = V1 Teilchendichte
v=
|p|
ωp
Teilchengeschwindigkeit
differentielle Zerfallsrate:
dΓ =
˛ ˛2
˛Sfi ˛
T
(
V NY 3
)
d pf
2π
f
Feynman-Diagramme
Beispiele
σ → ππ
Berechnung der Zerfallsrate
die Zerfallsrate ist die Übergangswahrscheinlichkeit je Zeit integriert über alle möglichen
Endzustände. Für den Zerfall in n Teilchen folgt:
Γ(|ii → |f i) = (
V
)n
(2π)3
Z∞
−∞
d3 p1 ....
Z∞
d3 pn
|S(p1 , ..., pn )|2
T
−∞
Dabei kann das Problem auftreten das die δ-Distribution quadriert werden muss. Dazu geht man
zunächst zu endlichem Volumen (bzw Zeit) zurück.
(δ 4 (k − k0 ))2 → (
VT
VT
VT
δkk0 )2 =
δkk0
(2π)4
(2π)4 (2π)4
| {z }
→δ 4 (k−k0 )
Feynman-Diagramme
Beispiele
σ → ππ
Zerfall σ → ππ
In erster Ordnung ist die Übergangsamplitude des Prozeßes σ → ππ
Sfi =
2ig(2π)4 δ 4 (k − p − q)
p
8V 3 Ωk ωp ωq
Da die zwei entstehenden Teilchen identisch sind muss man Γ durch 2 teilen um nicht doppelt
zu zählen
Z∞
Z∞
δ 4 (k − p − q)
g2
3
Γ(σ → ππ) =
d
p
d3 q
2
4(2π) Ωk
ωp ωq
−∞
−∞
Übergang ins Ruhesystem von σ, d.h. k = (Ωk , k) = (m, 0)
Γ=
g2
4(2π)2 m
Z∞
−∞
d3 p
Z∞
−∞
d3 q
δ 3 (p − q)δ(m − ωp − ωq )
ωp ωq
Feynman-Diagramme
Beispiele
σ → ππ
Zerfall σ → ππ
=
g2
4(2π)2 m
Z∞
−∞
d3 p
δ(m − 2ωp )
ωp2
q
Substitution p = ωp2 − M 2 , dp =
g2
8πm
Z∞
−∞
Kugelk.
q
∂ ωp2 −M 2
∂ωp
=
dωp =
p
m
g2
dωp δ( − ωp ) =
ωp 2
8πm
Γ=
g2 4π
4(2π)2 m
Z∞
dp
−∞
ωp
dωp
p
Z∞
dωp
−∞
g2 p 2
m − 4M 2
8πm2
p2
δ(m − 2ωp )
ωp2
liefert
q
ωp2 − M 2
ωp
δ(
m
− ωp )
2
Feynman-Diagramme
Beispiele
e− e+ → µ− µ+
e− e+ → µ− µ+
M=i
e2
(ū3 γν v4 )(v̄2 γ ν u1 )
(p1 + p2 )2
Summation über alle Spins im Endzustand und Mittelung über alle Spins im Anfangszustand
(unpol. Welle) liefert
X
X
e4
(v̄4 γµ u3 )(ū3 γν v4 )
(ū1 γ µ v2 )(v̄2 γ ν u1 )
4(p1 + p2 )4 r ,r
r1 ,r2
3 4
|
{z
}
|M|2 =
=(∗)(2m)2
Die Vollständigkeitsrelation
X
r
uα ūβ = (
p+m
/
)αβ
2m
X
r
vα v̄β = (
p−m
/
)αβ
2m
liefert
(2m)2
X
r1 ,r2
µ
µ
ν
ν
ū1α γαβ
v2β v̄2γ γγδ
u1δ = (/
p1 +m)δα γαβ
(/
p2 −m)βγ γγδ
= Sp((/
p1 +m)γ µ (/
p2 −m)γ ν )
Feynman-Diagramme
Beispiele
e− e+ → µ− µ+
e− e+ → µ− µ+
p2 γ ν ) − m2 Sp(γ µ γ ν )
∗ = Sp(/
p1 γ µ /
durch Anwenden von
γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2gµν I(4)
Sp(γ µ γ ν ) =
und
1
1
Sp(γ µ γ ν + γ µ γ ν ) = Sp(γ µ γ ν − γ ν γ µ + 2gµν I(4) ) = 4gµν
2
2
kommt man auf den Ausdruck
|M|2 =
−2
e4 m−2
e mµ
µν
4(pµ pν + pν1 pµ
− m2 gµν )(p3µ p4ν +p3ν p4µ −p3 p4 gµν −m2 gµν )
2 − p1 p2 g
16(p1 + p2 )4 | 1 2
{z
}
=∗
Unter Vernachlässigung der Massenterme erhält man
|M|2 =
e4
(2(p1 p3 )(p2 p4 ) + 2(p1 p3 )(p2 p4 ))
4(p1 + p2 )4 m2e m2µ
Feynman-Diagramme
Beispiele
e− e+ → µ− µ+
e− e+ → µ− µ+
Im Schwerpunktssystem gilt p1 = −p2 und damit: (E -Energie eines Teilchens)
(p1 p2 ) = (p3 p4 ) = 2E2 = 2
(p1 + p2 )2
4
(p1 p3 ) = (p2 p4 ) = E2 (1 − cosϑ∗ )
(p1 p4 ) = (p2 p3 ) = E2 (1 + cosϑ∗ )
|M|2 =
2e4
e4
(E4 (1 − cosϑ∗ )2 + E4 (1 + cosϑ∗ )2 ) =
(1 + cos2 ϑ∗ )
4(p1 + p2 )4 m2e m2ν
32m2e m2ν
Y
dσ
1
|p3 |
α2
=
|M|2
(2mFermi ) =
(1 + cos2 ϑ∗ )
dΩ
4(4π)2 (E1 + E2 )2 |p1 |
16E2
Feynman-Diagramme
Beispiele
e− e− → e− e−
Elektron-Elektron-Streuung
in zweiter Ordnung tragen nur folgende Feynman-Diagramme zur Übergangsamplitude der
Elektron-Elektron-Streuung bei
Abbildung: a) direkte Streuung b) Austauschstreuung
Ma = i
−gµν
[ū10 (−ieγ µ )u1 ] [ū20 (−ieγ ν )u2 ]
k2 + i
Mb = Ma (p01 ↔ p02 )
Feynman-Diagramme
Beispiele
e− e− → e− e−
Berechnung von Spinormatrixelementen
mit den folgenden Funktionen lassen sich alle möglichen Spinormatrixelemente M berechnen
»
–
1 + γ5
1 − γ5
c=1
Y(1, 2, cR , cL ) := ū1 cR
+ cL
u2 → ū1 u2
2
2
–
»
1 + γ5
1 − γ5
c=1
u3 → ū1 /
X(1, p2 , 3, cR , cL ) := ū1 /
+ cL
p2 u3
p 2 cR
2
2
–
»
»
–
1 + γ5
1 − γ5
1 + γ5
1 − γ5
Z(1, 2, 3, 4, cR , cL ) := ū1 γ ν c12
+ c12
u2 ū3 γν c34
+ c34
u4
R
L
R
L
2
2
2
2
c=1
→ [ū1 γν u2 ] [ū3 γ ν u4 ]
Feynman-Diagramme
Beispiele
e− e− → e− e−
Elektron-Elektron-Streuung
Daraus folgt das Matrixübergangselement für die e-e-Streuung
|M|2 =
e2 Z(10 , 1, 20 , 2)
Z(20 , 1, 10 , 2) 2
|
+
|
(2π)4 (p2 − p02 )2
(p2 − p01 )2
Für unpolarisierten Elektronenstrahl folgt im Schwerpunktsystem im nichtrelativistischen
Grenzfall
dσ
α2
1
1
1
=
(
+
−
)
dΩ
4m2 v4 sin4 ϑ2
cos4 ϑ2
sin2 ϑ2 cos2 ϑ2
Feynman-Diagramme
Literatur
Literatur
I Quantenmechanik für Fortgeschrittene - F. Schwabl
I Diagrammatica - M. Veltman
I Feynman Diagrams for Beginners - k. Kumericki