Vektorrechnung und Geometrie

AAA
AAA A
AA A
AA AA A
A A AA A
A A AA
Fachhochschule Jena
Fachbereich GW
Tutorium Mathematik I
Studiengang: BT/MT - Bachelor
Serie Nr.: 2
Semester: 1
Thema: Vektorrechnung und Geometrie
Auf die Lehrmaterialien im Internet (’Zum selbständigen Üben’) empfehle ich ’Vektorrechnung’ und ’Geometrie und Statik’.
Aus letzterem kommen speziell die folgenden Nummern in Frage:
1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 14, 16, 17, 19, 20, 23, 31, 33, 35, 37, 41, 42, 43, 45, 46, 48, 51.
Aufgaben dieser Serie:
1. Die Ebene E enthält den Punkt P = (5, −19, 2) und besitzt keine Schnittgerade mit der Ebene z = 0.
Welche der nachfolgenden Punkte liegen in E ? Welchen Winkel bildet E mit der Ebene x = 0 ?
A = (5, +19, 2), B = (5, 5, 5), C = (0, 0, 0), D = (2, 2, 2), E = (444, 33, 2), F = (1, 2, 3)
2. Es ist P = (5, 5, 5) und es bezeichne Px den nächsten Punkt zu P auf der x-Achse, analog Py und
Pz . Liegt P in der Ebene, die durch Px , Py und Pz geht?
3. Die Endpunkte von zwei im Nullpunkt beginnenden Einheitsvektoren haben den Abstand 1.44 .
Welchen Winkel schließen sie ein?
4. Bestimmen Sie den Parameter b im Einheitsvektor ~e = (0.127, b, 0.302)T so, daß ~e mit dem Vektor
(1.84, 19.07, −1.62)T einen stumpfen Winkel bildet !
5. Welchen Wert hat der Parameter b im Vektor ~v = (4, b)T , wenn unter allen Vielfachen von ~v genau
eines einen Abstand von 5 vom Punkt P = (22, 3) hat?
6. Aus dem Nullpunkt gehen Seile nach (7, −17, 0) und (0, 0, 39), in beiden wirken Kräfte von 200 N.
Für die resultierende Gesamtkraft wurde eine Stärke von 271 N berechnet. Stimmt das?
7. Bestimmen Sie die Komponente a im Vektor ~v =√(19, a)T so, da mit dem Vektor w
~ = (2, −9)T für
die Einheitsvektoren der beiden gilt: |e~v − e~w | = 2 !
8. Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge a. Wie groß ist der maximale Abstand von zwei seiner
Ecken?
9. Bestimmen Sie - sofern möglich! - den jeweiligen Wert von a so, daß die beiden Vektoren parallel
werden! In welchen Fällen geht das warum nicht?
2
3
4
a
−7
a
a)
und
, b)
und
, c)
und
,
a
5
1
−5
0
14




2
5
a  ,
d)  3  und 
−4
−10




3
−4.5
e)  a  und  10.5  ,
5
−7.5




a
3
f )  6  und  18  ,
−1
−5
10. Es ist ~v = (2, 1, −4)T . Finden Sie einen Vektor ~u der Länge 2 mit |~v + ~u| = |~v | + 2 !
11. Bestimmen Sie die Zahlenwerte für die Buchstaben in der nachstehenden Gleichung!

 
 

c
8
a
 4 + b = 7  !
2
−5
a
12. Bestimmen Sie alle Vektoren ~v , die mit den Vektoren (3, −4)T und (−2, −5) die Skalarprodukte -56
und -47 entsprechend haben!
1
13. Finden Sie einen Vektor der Länge 7, der orthogonal zu (8, 20)T ist und mit (5, 5) einen stumpfen
Winkel bildet!
14. Sei ~v = (5, 2)T . Finden Sie den Vektor w,
~ der in derselben Höhe wie ~v endet, doppelt so lang ist und
unter all diesen Vektoren mit ~v den kleinsten Winkel einschließt!
15. An einer senkrechten Wand ist im Punkt P ein horizontaler Ausleger der Länge 2 m befestigt; an
seinem Ende hängt eine Last von 500 N. Ebenfalls am Ende des Auslegers ist ein Seil befestigt, das
zu einem Punkt Q an der Wand genau oberhalb von P führt. Am Seil wird mit 400 N in Richtung
Q gezogen. In welcher Höhe h muß Q über P liegen, damit der Ausleger in P ein Drehmoment von
400 Nm entwickelt?
16. Geben Sie die nachstehenden Geraden in Punktrichtungsform an! Startpunkt sei dabei jeweils der
Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse, Richtungsvektor von ihm zum Schnittpunkt mit der
x-Achse.
a) 2x − 5y = 8 , b) x + y = 11 , c) y = 4x + 3
17. Geben Sie die Gleichung der zu E : 11x − 6y − 3z = 143 parallelen Ebene an, deren Schnittpunkt
mit der y-Achse fünf Einheiten weiter vom Nullpunkt entfernt ist als der von E !
18. Gegeben ist eine Gerade in Punktrichtungsform: ~r (t) = (−71, 29, −29)T + t(4, −4, −7)T .
Ermitteln Sie den Abstand zwischen den Punkten ~r (19.69) und ~r (19.21) !
19. Gegeben ist eine Gerade g in Punktrichtungsform: ~r (t) = (2, 5, −1)T + t(3, −1, 2)T .
~ orthogonal zu AB?
~
Sei weiterhin A = (5, 0, 5) und B = (3, −6, 4). Für welchen Punkt P ∈ g ist AP
20. Die Gerade g ist das Bild der Funktion y = f (x) = 31 x + 3 und die Gerade g 0 schneidet die x-Achse
in x = 9 und die y-Achse in y = 6.
Die Gerade g 0 soll nun so gedreht werden, daß ihr Schnittpunkt mit g unverändert bleibt und daß sie
nur im halben Winkel wie bisher abfällt (mit dem Gefälle in nach wie vor dieselbe Richtung). Wohin
muß zu diesem Zwecke ihr Schnittpunkt mit der x-Achse verschoben werden?
21. Gesucht ist die Ebene E, die von der x-Achse in x = 4 durchstoßen wird, von der y-Achse in y = 6,
deren Durchstoßpunkt mit der z-Achse über dem Nullpunkt liegt und die im Winkel von 18o gegen
die Horizontale steigt (oder fällt). Geben Sie eine Gleichung der Ebene in Normalform an!
22. Welcher Punkt R der Geraden ~r (t) = (5, 1, 0)T + t(2, 2, −1)T hat zu den Punkten P = (7, 4, 9) und
Q = (5, −6, −3) denselben Abstand?
23. Welcher Punkt R der Ebene E : 2x−y −z = 4 hat zu den Punkten P = (7, 4, 9) und Q = (5, −6, −3)
denselben Abstand und einen minimalen Abstand zum Koordinatenursprung?
24. Der Einheitsvektor ~ev des Vektors ~v ist
~ev
=


6
1 
√
y  ,
109
−8
ermitteln Sie den Vektor ~v !
25. Die Kraft f~ = (7, −4, 3)T N soll unter Beibehaltung ihrer Richtung um 20N verstärkt werden.
Wie sieht der resultierende Kraftvektor F~ aus?
26. Bestimmen Sie a und b so, daß die Ebene x + ay − 8z = b im Winkel von α = 17o zur Horizontalen
ansteigt!
Welche Winkel (außer 17o ) kommen für α prinzipiell in Frage?
27. Geben Sie eine Darstellung derjenigen Geraden g an, die in der Ebene 3x − 7y − 8z = −9 horizontal
vier Einheiten über der x − y−Ebene verläuft!
28. Aus A = (2, 11) gehen Seile nach B = (7, 15) und C = (4, 1). Im ersten wirkt eine Kraft von 170 N.
Wie stark muß die Kraft im zweiten Seil sein, damit die Gesamtkraft horizontal gerichtet ist?
2
29. Aus dem Punkt P = (2, 5, 5) sind Seile nach Q = (12, 20, 8) und R = (8, 14, −1) gespannt, in denen
Zugkräfte wirken. Die in P resultierende Gesamtkraft von 800 N wirkt horizontal.
Ermitteln Sie die Stärke der Kräfte in den beiden Seilen!
30. Im Punkt P = (19, 2, 0) der horizontalen x − y−Ebene liegt eine Punktmasse M mit dem Gewicht
von 60 N. Von M führt ein Seil in den Punkt Q = (4, 24, 17).
M beginnt auf der Ebene zu gleiten, wenn ihre Haftreibung überwunden wird. Sie beläuft sich auf
35% der von M auf die Ebene in senkrechter Richtung ausgeübten Kraft.
Bei welcher Zugkraft im Seil setzt sich M in Bewegung?
31. Von P = (22, 16) gehen Seile nach A = (4, 28), B = (10, 0), C = (40, 38) und zu einem Punkt D
auf der Geraden x − 5y = 1. In den Seilen nach A und B wirken die Zugkräfte 150N und 250N
entsprechend. Die Seile nach C und D sollen diese gerade kompensieren.
a) Wo auf der genannten Geraden muß man D placieren, damit im Seil nach C gerade 190N wirken?
b) Wo auf der genannten Geraden muß man D placieren, damit das Seil nach C völlig entlastet wird?
...u................
32. In dem nachstehend skizzierten Mechanismus dreht sich die
............. P
...
.............
.
Welle W mit einem Drehmoment von 180 Nm im UhrzeigerA.. .
.............
.
.............
.
.
.
.
sinn. Über den Arm A und den Pleuel P wird der Kreuzkopf
.............
.. ϕ ...
........... ...K
.
.....
.
.
K bewegt. Welche horziontal wirkende Kraft F (ϕ) wirkt in ..u... ..... ..... ..
.............................................................................................
.
.
.
.
....
K in horizontaler Richtung in Abhängigkeit vom Winkel ϕ?
W
(Eine nach rechts wirkende Kraft sei positiv.
W befindet sich in der Verlängerung der Schiene von K.)
Maße: Länge A = 400mm, Länge P = 1000mm.
33. Geben Sie die Punkte P 0 und P 00 in der Ebene 2x − y + 5z = 17
√ an, die dieselbe Höhe z wie der
Punkt P = (4, 1, 2) dieser Ebene haben und von P den Abstand 20 aufweisen!
34. a) Welcher Wert ist an die Stelle des Fragezeichens zu setzen, damit die vier Punkte P, Q, R und S
in einer Ebene liegen?
P = (1, 7, 3),
Q = (5, 11, 1),
R = (9, 7, 5),
S = (−5, ?, 0)
b) Welche Werte sind an die Stelle der Fragezeichen zu setzen, damit die vier Punkte P, Q, R und
S auf einer Geraden liegen?
P = (?, −1, 11),
Q = (2, 1, 5),
R = (8, ?, 14),
S = (0, ?, ?)
35. a) Geben Sie einen horizontal verlaufenden Vektor an, der orthogonal zur Verbindungsstrecke der
Punkte (-7; 5; 72) und (-2; 7; 69) ist!
b) Geben Sie einen in der vertikalen Ebene durch die vorgenannten Punkte liegenden Vektor an, der
orthogonal zur Verbindungsstrecke ist!
36. Ein in einer senkrechten Ebene schwenkbarer Kranarm ist mit seinem unteren Ende mit einem Gelenk
an einer senkrechten Wand befestigt. Er ragt unter einem Winkel von 45o schräg nach oben. Seine
Länge beträgt 6 m .
In der Mitte seiner Länge geht senkrecht zu diesem vom Kranarm ein Seil ab, das an der genannten
Wand befestigt ist und diesen hält.
Welche horizontale Zugkraft des Seiles auf die Wand bewirkt eine am oberen Ende des Kranarms
hängende Last von 2600 N ?
37. Welche y-Komponente muß der Punkt Q haben, damit die Gerade durch P = (−2; 2; 0) und Q =
(4; y; 1) die Ebene x+y +5z = −30 im Abstand 60 vom Nullpunkt durchstößt ? (mit Taschenrechner)
38. Finden Sie den horizontal verlaufenden dreidimensionalen Vektor v mit nichtnegativen Komponenten,
mit vx = 6 und der Länge 21 !
39. Der Vektor (17, 26, −94)T hat den Betrag 99. Ermitteln Sie die Beträge der nachstehenden Vektoren!
a) (−17, −26, 94)T ,
b) (17, 26, 94)T ,
e) (2600, 9400, −1700)T ,
c) (94, 26, 17)T ,
f ) (0.51, 0.84, 2.82)T ,
3
d) (2.6, −1.7, −9.4)T ,
g) (1/17, 1/26, −1/94)T
40. Die Ebene E geht durch die Punkte A = (3; 1; 1), B = (4; 0; 7) und C = (2; −1; 5). In welcher Höhe
befindet sich der Punkt P ∈ E, der genau über oder unter dem Punkt (2,5) der x − y−Ebene liegt?
41. Finden Sie Zahlen x, y und z so, daß die drei Vektoren (x, 3, −1)T , (2, y, −1)T und (−4, −1, z)T
paarweise orthogonal sind!
42. Die Längeneinheit der Koordinaten sei Meter.
a) Eine Last von 400 N hängt an einem Hebel aus dem Nullpunkt nach (2; y; 5). In welchem Bereich
muß y liegen, damit das durch die Last erzeugte Drehmoment 2000 Nm nicht übersteigt?
b) Eine Last von 400 N hängt an einem Hebel aus dem Nullpunkt nach (2; 5; z). In welchem Bereich
muß z liegen, damit das durch die Last erzeugte Drehmoment 2000 Nm nicht übersteigt?
43. Die drei Punkte A, B und C sollen eine Ebene im Raum eindeutig bestimmen. Ist das für alle
mögliche Werte von zc der Fall oder müssen gewisse Werte ausgeschlossen werden? Wenn ja, welche?
a) A = (1, 3, 7) , B = (2, 2, −5) , C = (9, −1, zc ) ,
b) A = (2, 2, 7) , B = (5, −1, 9) , C(−1, 5, zc ) ,
c) A = (11, −3, −4) , B = (11, −3, −4) , (−19, −7, zc )
44. Die Gerade g geht durch die Punkte A = (2; 5) und B = (7; 20). Sie sei durch ~r(λ) = ~a +λ~c dargestellt
~ Es ist ~r(0.6) = (−1; 11), finden Sie C !
mit ~c = BC.
45. Eine horizontale Ebene ist um A = (5; 5; −542) und um B = (1; 4; −542) drehbar. Sie wird durch eine
Befestigung in C = (−2; 0; −542) fixiert. In P = (1; −7; −542) wird eine Last von 800N aufgelegt.
Welche Haltekraft muß dazu in C entwickelt werden?
46. An einem Seil von P = (1; 4; 2) nach A = (8; 8; 11) wird in A mit 400N gezogen. Ein weiteres Seil
aus P nach B = (9; 10; 7) zieht mit 700N nach B. In welchem Punkt C der Ebene y = 0 muß ein
drittes Seil aus P , das mit 1155N nach C zieht, befestigt werden, damit die Summe aller Zugkräfte
in P minimal wird?
47. Finden Sie die Schnittgerade der senkrechten Ebene durch die Gerade ~r(λ) = (2; 2; 5)T +λ(6; 1; −17)T
mit der x − y−Ebene !
48. Gegeben ist die Gerade g : ~r(λ) = (3, 2, 1)T + λ(4, 4, −1)T . Sie liegt in der Ebene E. Jede Gerade in
E, die mit g einen rechten Winkel bildet, verläuft horizontal.
Finden Sie eine Ebenengleichung für E !
49. Eine Last hängt an zwei Seilen. Eines ist in (1; 1; 10) befestigt. Das zweite soll so an einer Stange
aus (0; 8; 12) nach (12; 0; 9) befestigt werden, daß die Last über dem Punkt (4; 3; -27) hängt. (Die
Länge der Seile sei geeignet gewählt.)
Finden Sie den Befestigungspunkt auf der Stange!
50. Zwei räumliche Geraden sind gegeben durch ~r(1) (λ) = ~a + λ~
p und ~r(2) (µ) = ~b + µ~
p . Es gelte
~
(~a − b) · p~ = 0, ermitteln Sie den Abstand der beiden Geraden voneinander!
51. Ist der Abstand zwischen den Geraden




2
42
 −9  + λ  −11 
8
108

und



−9
−53
 4  + µ  −72 
7
151
kleiner oder größer als 80 ?
52. Ermitteln Sie den Vektor ~v = (x, 8, z)T aus der Angabe |~v | = 8 !
53. Welcher Vektor ist orthogonal zu sich selbst?
54. Es sind (4;9) und (6;3) die beiden gegenüberliegenden Ecken eines Quadrats. Finden Sie die anderen
beiden Ecken!
~ ⊥ BC
~
55. Sei A = (2; 8) und B = (10; 11). Der Punkt C liegt, von A aus gesehen, links von B. Sei AB
und das Dreieck ABC habe einen Flächeninhalt von 104. Ermitteln Sie C !
4
56. Für zwei Kraftvektore f~(1) und f~(2) gilt f~(1) · f~(2) > 0.
Was gilt für |f~(1) + f~(2) | im Vergleich zu |f~(1) | und |f~(2) | ?
57. Zwei Schienen (eine senkrecht, die andere waagerecht) bilden ein Kreuz. Eine Stange der Länge 5m
kann mit einem Ende auf der senkrechten Schiene gleiten, mit dem anderen auf der waagerechten.
Sie steht schräg, das untere Ende (auf der waagerechten Schiene) 2m seitlich des oberen. Auf das
obere Ende drückt eine senkrecht nach unten wirkende Kraft von 80kN. Mit welcher Kraft muß man
das untere Ende horizontal abstützen, damit es nicht wegrutscht?
58. Welche x-Koordinate muß der Punkt P = (xp , −6) haben, damit die durch ihn und den Koordinatenursprung gehende Gerade die Gerade y = 2x + 29 unter einem Winkel von 30o schneidet?
5