Etasummen und Periodisches System

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Etasummen und Periodisches System
VI. Teil, Angewandte Zahlenlehre
G. Schulz
Universität des Saarlandes
Fakultät 7 für Physik und Mechatronik
Apr. 2014
Im V. Teil dieser Untersuchungen wurden die Strukturen der (groß)Eta-Funktionen Ηz(n) betrachtet und vermutet, dass nur die auf Quadratzahlen nq basierende Η2(nq) und Η3(nq) für die
Anwendungen in der Physik in Frage stehen. Die Strukturen der Etafunktion dritter Ordnung
Η3(nq) sind aufs engste mit den Strukturen der Etafunktion zweiter Ordnung Η2(nq) verknüpft,
und wenn eine Darstellung des Periodischen Systems sowohl die Quantenstruktur der Atomhüllen wie die Quantenstruktur der davon völlig verschiedenen Kerne wiedergeben soll, sind
stets beide Funktionen zu betrachten. Die Anordnung der Elektronen in nacheinander abgeschlossenen Schalen der Atome im Periodischen System der Elemente wird mit Hilfe des
Pauliprinzips erklärt, wonach keine zwei Elektronen in der Hülle der Atome in allen Quantenzahlen übereinstimmen dürfen. Für einfache Atome mit nur wenigen Elektronen in einem
CoulombPotential oder nur wenig abgeänderten, ähnlichen Potentialen können diese Zahlen
für die Hüllenelektronen aus den Indizes der analytischen Lösungen der Schrödingergleichung gewonnen werden. Da aber für die Kerne kein einheitliches Modell wie für die Hüllenelektronen existiert, aus dem alle physikalischen Eigenschaften der Kerne gefolgert werden
könnten, kann die Verbindung zwischen der Hülle der Atome und ihrer Kerne nur durch eine
übergeordnete Betrachtungsweise hergestellt werden. Sowohl die negativen Ladungen, die
Elektronen, wie auch die positiven Ladungen, also die Protonen, sind Spinteilchen, die allein
schon durch ihre quadratischen Strukturen miteinander verbunden sein müssen, so dass hier
als übergeordnete Betrachtungsweise ein zahlentheoretischer Ansatz gewählt werden soll. Wir
gehen dabei von der Vorstellung aus, dass die Indizes der Lösungen von Differenzialgeichungen wie zum Beispiel auch die Abstandsrelationen der GoldbachMultipletts (Teil II dieser
Untersuchungen) gleichen Strukturen folgen. Die Sechszähligkeit der GoldbachTripletts wird
hier auf einfache Weise durch die Halbzahligkeit sogenannter Etasummen ergänzt, die auf
einfachste Weise aus den früher von uns definierten (groß)Etafunktionen hervorgehen.
Eine zahlentheoretische Darstellung kann zwar grundsätzlich keine anderen Resultate hervorbringen als die analytischen Darstellungen, letzten Endes, weil sie derselben Logik zu gehorchen hat, aber sie kann zusätzliche Strukturen aufweisen, die sonst nicht ersichtlich sind. So
sollte bei diesen Betrachtungen schon allein aus Gründen der Systematik nicht das Wasserstoffatom bestehend aus einem Proton als Kern und einem Elektron in der Hülle – also das
Lieblingskind der Atomphysiker – am Anfang des Periodischen Systems stehen, sondern das
Schwerwasserstoffatom mit einem Elektron in der Hülle und einem Proton-Neutron-Paar im
Kern – da ja auch alle anderen mehr oder weniger stabilen Atome des Systems mindestens ein
Neutron pro Proton enthalten. Wegen der riesigen abstoßenden Kräfte zwischen den Protonen
kann der Zusammenhalt der Kerne mit mehreren Protonen nur durch die Austauschwechselwirkung zwischen Protonen und Neutronen erklärt werden. Weitere Strukturen wie die Verdopplung der "Ordnungszahlen in der Hülle" zur "Massezahlen im Kern" sind dann leicht
einzusehen.
I. Zur Darstellung der Ordnungszahl
Es gilt: Erst durch ihre Messbarkeit werden die logischen Begriffe der Wissenschaft zu mathematischen Größen, und da die Ordnungszahl die Gesamtzahl der elektrischen Ladungen
eines Vorzeichens im Atom bezeichnet, also eine physikalische Größe bezeichnet, sollte auch
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hier zwischen der Ordnungszahl als Ladungsmenge und den ihr zugewiesenen natürlichen
Zahlen zumindest logisch unterschieden werden.
Die Etafunktion 2. Ordnung als Funktion der Quadrate nq der natürlichen Zahlen n bildet diese auf sich selbst ab. Denn aus der Gleichabständigkeit der Zahlen 𝑗2,1 = 2√𝑛′1 . 𝑛𝑞 folgt unmittelbar:
𝐻2 (𝑛𝑞 ) = 2√𝑛𝑞 − 1 = 𝑛 − 1
(VI.1)
Es liegt daher nahe, diese Zirkelrelation zur Definition der Ordnungszahl Z zu benutzen.
𝑍 = 𝐻2 (𝑛𝑞 )
(VI.2)
Die weitere enge Verflechtung der Etafunktionen zweiter und dritter Ordnung Η3(nq) und
Η2(nq) durch die Quadratzahlen nq kommt unter anderem darin zum Ausdruck, dass für eine
bestimmte Quadratzahl 𝑛𝑞0 die kleinste der gleichabständigen Zahlen der Etafunktion dritter
Ordnung
𝑗3,1 = 3√𝑛′ 3,1 . 𝑛𝑞0
(VI.3a)
und die kleinste der gleichabständigen Zahlen der Etafunktion zweiter Ordnung
𝑗2,1 = 2√𝑛′ 2,1 . 𝑛𝑞0
(VI.3b)
nicht unabhängig voneinander, sondern über die relativen Eulerzahlen in höchstem Maße adjungiert sind. Zur Veranschaulichung betrachten wir die Tabelle VI.1 im Anhang und dort
insbesondere die durch farbige Balken an den Rändern markierten Zeilen.
Zum Beweis für diesen Sachverhalt dienen die zugehörigen Primprodukte oder besser die von
uns früher definierten Basisvektoren, die sich hier unmittelbar als Beweismittel anbieten.
𝛼
2𝛼
(2+1)𝛼𝑖
′
Aus 𝑛 = ∏𝐼𝑖 𝑝𝑖 𝑖 folgt 𝑛𝑞 = ∏𝐼𝑖 𝑝𝑖 𝑖 und mithin 𝑛3,1
∙ 𝑛𝑞 = ∏𝐼𝑖 𝑝𝑖
und
𝛼
2𝛼
2𝛼
′
′
aus 𝑛 = ∏𝐼𝑖 𝑝𝑖 𝑖 und 𝑛𝑞 = ∏𝐼𝑖 𝑝𝑖 𝑖 folgt ebenso 𝑛2,1
∙ 𝑛𝑞 = ∏𝐼𝑖 𝑝𝑖 𝑖 und damit 𝑛𝑞,2
=1
3𝜅
2𝜅
Aus der Definition der Basisvektoren 𝐵3 (𝑛𝑞 ) = ∏𝐼𝑖 𝑝𝑖 3,𝑖 und 𝐵2 (𝑛𝑞 ) = ∏𝐼𝑖 𝑝𝑖 2,𝑖 erhält
man, da die Basisvektoren zweiter und dritter Ordnung der Quadratzahl 𝑛𝑞 dieselben Primzahlen 𝑝𝑖 enthalten:
j2,1
j3,1
=
2
√𝐵2 (𝑛𝑞 )
3
√𝐵3 (𝑛𝑞 )
(𝜅2,𝑖 −𝜅3,𝑖 )
= ∏𝐼𝑖 𝑝𝑖
(VI.4a)
′
′
Beispiel: 𝑛 = 5 𝑛𝑞 = 25 = 5 ∙ 5 𝑛3,1
= 5 → 𝑛𝑞 ∙ 𝑛3,1
= 5 ∙ 5 ∙ 5 → 𝑗3,1 = 5
′
′
𝑛2,1
= 1 → 𝑛𝑞 ∙ 𝑛2,1
=5∙5
Abweichungen von
𝑗2,1
𝑗3,1
→ 𝑗2,1 = 5 hier
𝑗2,1
𝑗3,1
=1
= 1 treten dann auf, wenn 𝑛𝑞 = (𝑛3 )2 ∙ 𝑘 𝑚𝑖𝑡 𝑘, 𝑛 = 1,2,3 … 𝑁 also
bereits das Vielfache einer gerade-ungeraden Poternz einer natürlichen Zahl ist. Zur Veranschaulichung diene die nachfolgende Tabelle.
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Tab. VI.2:
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
82 →
64
128
192
256
320
384
448
512
576
640
𝑗2,1
𝑗3,1
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
272 →
729
1458
2187
2916
3645
4374
5103
5832
6561
7290
𝑗2,1
𝑗3,1
3
3
3
3
3
3
3
6
3
3
642 →
4096
8192
12288
16384
20480
24576
28672
32768
36864
40960
𝑗2,1
1252 →
𝑗3,1
4
4
4
4
4
4
4
8
4
4
mit einer weiteren Steigerung der Werte von
𝑗2,1
𝑗3,1
15625 5
31250 5
46875 5
62500 5
78125 5
93750 5
109375 5
125000 10
140625 5
156250 5
𝑗2,1
𝑗3,1
um den Faktor 2, wenn auch k eine durch
8 = 23 teilbare Zahl ist. Diese Einschränkung entspricht einer strengen Fallunterscheidung,
die aber entfällt, wenn nicht die Wurzeln der aus nq und n' entstehenden Zahlen j2 oder j3 betrachtet werden, sondern die zugehörigen relativen Eulerzahlen. Aus den Primprodukten der
Zahlen und aus der entsprechenden Darstellung der Eulerfunktion folgt:
𝜌(𝑗2,𝜈 ) = 𝜌(𝑗3,𝜇 ) = 𝜌(𝑛𝑞 )
(VI.4)
für alle 𝝂 = 𝝁. Auch dieser Sachverhalt ist im Anhang enthalten und kann aus den einzelnen
farbig markierten Blöcken der Darstellung unmittelbar abgelesen werden.
Ferner folgt aus der Gleichabständigkeit der 𝑗2,𝜈 𝑢𝑛𝑑 𝑗3,𝜇 ausnahmslos:
𝐻2 (𝑛𝑞 ) = 𝑗2,1 − 1
(VI.5)
im gesamten physikalisch relevanten Bereich der Ordnungszahlen von Z = 1 bis Z = 103 und
rein rechnerisch auch noch darüber hinaus (!).
Durch die Abb. VI.1 soll die tabellarische Darstellung der Größen in Tab.VI.1 (im Anhang)
grafisch ergänzt werden. Sie zeigen, dass aus der Funktion Η3 – dargestellt als Funktion der
Ordnungszahl Z – im Wesentlichen bereits die Anordnung der Atome des Periodischen Systems folgt.
Man erkennt die Gruppierungen zu je 8 Atomen, wobei das achte Atom (Edelgas-Atom) mit
einem besonders hoch liegenden H3(𝑛𝑞 )-Wert ausgezeichnet ist. In der Abb. VI.1 scheinen
vor der ersten Stufe zwei Plätze für das Wasserstoffatom und das Heliumatom zu "fehlen",
könnten aber für diese in die normale Reihenfolge der Atome im Periodischen System nicht
hineinpassenden Atome dadurch ergänzt werden, dass auf der rechten Seite der Gleichung der
zweite, negative Wert der Wurzel aus nq = 4 hinzugefügt wird und die Ordnungszahl dadurch
um +2 größer als H2(n) + 1 angenommen wird. Das würde physikalisch lediglich bedeuten,
dass die Phase der Austauschprozesse für diese beiden Atome um 180° verschoben ist.
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4
16
H3(n) ~ Anordnung der Atome
14
12
10
8
6
4
2
Z ~ Ordnungzahl
0
0
20
40
60
80
100
Abb. VI.1 Etafunktion 𝐻3 (𝑍) als Funktion der Ordnungszahl und als Maß für die Anordnung der Atome entsprechend ihrer Hüllen im Periodischen System
Es ist jedoch Folgendes zu beachten: Die aus der Etafunktion H2(n) gewonnene Ordnungszahl
beschreibt – ganz im Sinne der Eulerfunktion als Anzahl teilerfremder Zahlen – die Anzahl
der Spinteilchen in der Hülle der Atome, die nicht in allen Quantenzahlen übereinstimmen
dürfen. Die gleichgroße, aber anders zu gewichtende Ordnungszahl der Kerne muss nicht nur
die Zahl der Protonen, sondern zugleich auch die Zahl möglicher Wechselwirkungspartner
beschreiben. Daher verwenden wir nicht die Anzahl der Zahlen n' < nq , die mit nq multipliziert Quadratzahlen 𝑗2 = 2√𝑛′ ∙ 𝑛𝑞 ergeben, sondern im Sinne des Volumens einer Zahl die
Summe dieser aus der Struktur von H2(n) gewonnenen Zahlen j2 und erhalten:
𝜈=𝐻 (𝑛𝑞 )
𝑠𝐻2 (𝑛𝑞 ) = ∑𝜈=1 2
𝑗2,𝜈 (𝑛𝑞 )
(VI.6a)
und da die Kernteilchen ununterscheidbar sind und nur eine mittlere Wechselwirkungsdichte
von Belang ist, sind diese Etasummen sH auf nq zu normieren:
𝑆𝐻2 (𝑛𝑞 ) = 𝑛1𝑞 ∙ 𝑠𝐻2 (𝑛𝑞 ) =
1
𝑛𝑞
𝜈=𝐻 (𝑛𝑞 )
∑𝜈=1 2
𝑗2,𝜈 (𝑛𝑞 )
(VI.6b)
Mit Hilfe der Basisvektoren oder allein aus der quadratischen Struktur der Etafunktionen erhält man – ohne weitere Annahmen und ohne zusätzliche Voraussetzungen – für diese normierten Etasummen halbzahlige Werte
Es sei daran erinnert, dass die halben Quantenzahlen für den Spin s = ±½ in der Atomphysik
aufgrund der magnetomechanischen Anomalie der Elektronen und der Protonen eingeführt
worden sind, das heißt, aufgrund der Tatsache, dass das Verhältnis von magnetischem Moment zu mechanischen Drehimpuls nur halb so groß gemessen wurde, wie es die makroskopische, bzw. klassische Berechnung erwarten ließ, im Gegensatz etwa zu den ganzzahligen
Quantenzahlen für den Bahndrehimpuls eines Elektrons im Wasserstoffatom. Diese Halbzah-
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ligkeit der Spins hat sich theoretisch wie experimentell, bei der Interpretation von Atom- und
Molekülspektren wie auch bei der Berechnung von magnetischen Momenten fester Stoffe mit
Hilfe von Zustandssummen, außerordentlich gut bewährt, beruht aber bislang immer noch auf
einer rein heuristischen Annahme.
Nun gilt aber der Satz: Die normierten Etasummen quadratischer Zahlen sind halbzahlig und
zwar mit 𝑛 = √𝑛𝑞 für de Gesamtspin:
𝑆𝐻2 (𝑛𝑞 ) = 𝑆 =
1
2
𝑍
(VI.7)
Damit ist hier nun zum ersten Mal gezeigt, aus welchen (quadratischen) Strukturen sich
s = ½ zahlentheoretisch ergibt, wenn die Ordnungszahlen im Periodischen System für die
Kerne wie für die Hüllen der Elemente gleichermaßen gelten sollen. Das heißt: Wenn die
Reihung der Ordnungszahl als Maß für die Anzahl der Ladungen mit Z = 1 als erstem Wert
beginnt, die zugehörige Reihung der Spins aber mit n = 2 bzw. nq = 4 beginnt, dann muss aus
physikalischen Gründen der einzige freie Parameter für der Zählung der Atome im Periodischen System 𝑍 = 𝑛 − 1 gestzt werden. Denn es gibt keine negativen oder positive elementaren Ladungen ohne Spin, sondern nur mit s = ± ½ . Dieser Satz zeigt erneut, wie tief die
Spinteilchen in den quadratischen Strukturen der Zahlenwelt verankert sind.
Die Ordnungszahl für den Kern lautet dementsprechend
2 ∙ 𝑆𝐻2 (𝑛𝑞 ) → 𝑍
(VI.8)
und die Massenzahl (hier noch ohne Berücksichtigung der Isotopie, also mindestens)
2 ∙ 2 ∙ 𝑆𝐻2 (𝑛𝑞 ) → 𝑀
(VI.6)
und als Maß für die am (Energie)Austausch beteiligten Partikel und damit auch als Maß für
die Austauschenergie schlechthin
3⁄
∆𝐸 = 4 ∙ 𝑠𝐻3 (𝑛𝑞 )/𝑛𝑞 2
(VI.7)
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6
3/2
16
4*sH3(nq)/(nq )
14
12
10
8
6
4
2
(J,53)
(P,15)
0
(Fe,26)
Z ~ 2*sH2(nq)/nq
(Sm,62)
-2
0
20
40
60
80
100
120
Abb. VI.2 Die normierte Etasumme ΔΕ über der um den Faktor 2 erhöhten normierten Etasumme SH2 ~ Z alsOrdnungszahl der Kerne. Einige Kerne, die zur Adjustierung dienen, besonders hervorgehoben.
Entsprechende Energiestufen werden im Periodischen System beobachtet, dort allerding stark
moduliert durch die Isotopie der Atome Die nächst höhere Stufe tritt immer dann auf, wenn nq
selbst eine Kubikzahl ist oder H2(nq) und H3(nq) besondere Werte annehmen, wie bereits in
Teil V dieser Untersuchugen ausgeführt wurde. Bemerkenswert ist ferner, dass in dieser Darstellung das erste Atom im Periodischen System, also der einfache Wasserstoff, der kein
Neutron enthält, auch keine Wechselwirkungsenergie bezeichnet. Zur weiteren Adjustierung
der Parameter mit den Faktoren 2, bzw. 2∙2 dient die Lage der stabilen bzw. superstabilen
Atome Eisen (Fe,26) und Samarium (Sm,62), die wie alle anderen Atome an der "richtigen"
Stelle liegen. (Ihre Isotope haben wegen ihrer Langlebigkeit besonders schmalen Spektrallinien und dienen daher zur Erzielung höchster Messgenauigkeit im MößbauerEffekt als Emitter und Absorber, nach Einlagerung in geeignete Festkörperstrukturen zum Nachweis der
rückstoßfreien Emission und Absorption von Gammaquanten.)
II. Zur Abschätzung der Isotopie
Mit der vorliegenden Darstellung kann die Isotopie, das heißt die Tatsache, dass die Atome –
insbesondere gegen Ende des Periodischen System – zu ein und derselben Ordnungszahl Z
viele verschiedenen Massezahlen M haben, nicht beschrieben werden. Sucht man diese MassenCluster nach dem Schema zu erklären, das bereits in Teil III dieser Untersuchungen angewandt wurde, so stößt man darauf, dass in einer begrenzten Zahlenmenge n = 2 → N, also
zum Beispiel im Bereich der Ordnungszahlen Z = 1 → 103, die reduzierten Eulerzahlen ganzer Gruppen von irregulären Zahlen auf die reduzierte Eulerzahl e i n e r einzigen regulären
Zahl zurückgeführt werden können, da die Zahlen innerhalb solcher Gruppen in höchstem
Maße (auch über ihre Teiler?) adjungiert sind. Diese Auswahl liegt nahe, weil ein Atom mit
einer bestimmten Protonenzahl dadurch zum Isotop wird, dass mehr als jeweils nur ein Neut-
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ron zu jedem Proton gehört und dadurch in gewisser Weise auf die Struktur nachfolgender
Atome mit höherer Ordnungszahl vorgegriffen wird.
Zur Erläuterung betrachten wir das Primprodukt einer regulären Zahl
𝑛𝑟 = ∏𝑖𝑖𝑖 𝑝𝑖
(VI,8a)
und die dazu adjungierten Zahlen mit den Primprodukten
𝛼
𝑛𝑎𝑑 = ∏𝑖𝑖𝑖 𝑝𝑖 𝑖
(VI,8b)
Dann gibt es genau
𝑍𝑎𝑑 = ∑𝐼𝐼
𝐼 𝛼𝐼
(VI,9)
adjungierte Zahlen mit
𝛼𝐼 =
log(𝑁⁄∏𝐾𝐾
𝐾≠𝐼 𝑝𝐾 )
(VI,10)
log(∏𝐼𝐼
𝐼≠𝐾 𝑝𝐼 )
und allen Permutationen von I und K in der Summe I + K = ii, die die Bedingung
𝑛𝑟 < 𝑛𝑎𝑑 ≤ 𝑁
(VI,11)
erfüllen. Das Ergebnis ist in Abb. VI.3 dargestellt.
Zad
10
8
6
4
2
Z
0
20
40
60
80
100
Abb. VI.3a Anzahl Zad als Funktion der regulären Ornungszahlen Z
Wenn alle Zahlen, also auch die irregulären Zahlen
𝛽
𝜇𝜇
𝑛𝑟+𝑖 = ∏𝑖𝑖𝑖 𝑝𝑖1 ∙ ∏𝜇 𝑝𝜇 𝜇 , 𝛽 ≠ 1
(VI.8a')
in der Menge der Ordnungszahlen von Z = 1 → 103 berücksichtigt werden sollen, dann erhält
man für die Adjungierten (stabiler Kerne)
𝛽 +𝛼𝑖
𝛼
𝜇𝜇
𝑛𝑎𝑑 = ∏𝑖𝑖𝑖 𝑝𝑖 𝑖 ∙ ∏𝜇 𝑝𝜇 𝜇
(VI,8b')
und mit Glg.VI.10 anstelle von Abb. VI.3a:
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8
12
Zad
10
8
6
4
2
0
Z
20
40
60
80
100
Abb. VI.3b. Anzahl der Adjungierten Zahlen, die als überzählige Massen der Isotope
interpretiert werden könnten
Eine weitergehende Einbindung der Isopie in zahlentheoretische Zusammenhänge scheint nur
mit Hilfe der hybriden Etafunktionen und Etasummen angezeigt, die nicht unter der Bedingung n' < nq, sondern unter der schärferen Bedingung n1' < n2' < n gewonnen werden, scheint
aber auch dann – schon allein wegen der höchst unterschiedlichen Lebensdauer der einzelnen
Isotope – ohne zusätzliche Voraussetzungen nicht möglich zu sein.
Anhang VI.1
Zahl J = 27 Zahl j = 729
n
V
D
729
364
τ
365 7
φ
φ/n
486 0.666667
ii pν(α)
6 3(6)
7 Kubikzahlenν
n'
V
D τ
8
27
64
125
216
343
512
7
13
63
31
384
57
511
1
14
1
94
-168
286
1
4
4
7
4
16
4
10
φ
φ/n
4
18
32
100
72
294
256
0.500000
0.666667
0.500000
0.800000
0.333333
0.857143
0.500000
p ν(α)
3
3
6
3
6
3
9
2(3)
3(3)
2(6)
5(3)
2(3) 3(3)
7(3)
2(9)
j3 = n∙n'
5832
19683
46656
91125
157464
250047
373248
φ(j3)
φ(j3)/j3
j
φ(j) φ(j)j
1944 0.333333 18
6 0.333333
13122 0.666667 27 18 0.666667
15552 0.333333 36 12 0.333333
48600 0.533333 45 24 0.533333
52488 0.333333 54 18 0.333333
142884 0.571429 63 36 0.571429
124416 0.333333 72 24 0.333333
D
-3
14
-19
12
- 12
22
-51
7 davon 7 verschieden
26 Quadratzahlen
n'
V
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
256
289
324
1
3
4
15
6
55
8
63
40
117
12
259
14
203
178
255
18
523
D τ
0
1
5
1
19
-19
41
1
41
-17
109
-11 5
155
-7
47
1
271
-199
φ
φ/n
p ν(α)
1
1 1.000000 1 1(1)
3
2 0.500000 2 2(2)
3
6 0.666667 2 3(2)
5
8 0.500000 4 2(4)
3
20 0.800000 2 5(2)
9
12 0.333333 4 2(2) 3(2)
3
42 0.857143 2 7(2)
7
32 0.500000 6 2(6)
5
54 0.666667 4 3(4)
9
40 0.400000 4 2(2) 5(2)
3 110 0.909091 2 11(2)
15
48 0.333333 6 2(4) 3(2)
3 156 0.923077 2 1 3(2)
9
84 0.428571 4 2(2) 7(2)
9 120 0.533333 4 3(2) 5(2)
9 128 0.500000 8 2(8)
3 272 0.941176 2 17(2)
15 108 0.333333 6 2(2) 3(4)
j2 = n∙n'
φ(j2)
729
486
2916
972
6561
4374
11664
3 888
18225
9720
26244
8748
35721 20412
46656 15552
59049 39366
72900 19440
88209 53460
104976 34992
123201 75816
142884 40824
164025 87480
186624 62208
210681 132192
236196 78732
φ(j2)/j2
j
0.666667
0.333333
0.666667
0.333333
0.533333
0.333333
0.571429
0.333333
0.666667
0.266667
0.606061
0.333333
0.615385
0.285714
0.533333
0.333333
0.627451
0.333333
27
54
81
108
135
162
189
216
243
270
297
324
351
378
405
432
459
486
φ(j) φ(j)j
18
18
54
36
72
54
108
72
162
72
180
108
216
108
216
144
288
162
0.666667
0.333333
0.666667
0.333333
0.533333
0.333333
0.571429
0.333333
0.666667
0.266667
0.606061
0.333333
0.615385
0.285714
0.533333
0.333333
0.627451
0.333333
D
14
-12
41
-64
30
- 39
58
-168
122
-180
114
-199
142
-204
84
-376
198
-120
© G. Schulz, Uni des Saarlandes Fak. 7 für Physik, Aug. 2014, Etafunktionen und Periodisches System
9
361
20
400
561
441 300
484 447
529
24
576 1075
625 156
676 605
341 3
-161 15
141 9
37 9
505 3
-499 21
469 5
71 9
342
160
252
220
506
192
500
312
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0.400000 6
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0.800000 4
0.461538 4
19(2)
2(4) 5(2)
3(2) 7(2)
2(2) 11(2)
23(2)
2(6) 3(2)
5(4)
2(2) 13(2)
263169
291600
321489
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513
540
567
594
621
648
675
702
324
144
324
180
396
216
360
216
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0.333333
0.533333
0.307692
226
-600
166
-252
282
-519
110
-276
26 davon 26 verschiede
mail: [email protected]
© G. Schulz, Uni des Saarlandes Fak. 7 für Physik, Aug. 2014, Etafunktionen und Periodisches System