MECHANIK II

MECHANIK II
Arbeit, Energie, Leistung
Impuls
Rotationen
M h ik II
Mechanik II
Flaschenzug
M h ik II
Mechanik II
• Flaschenzug:
Flaschenzug
 beobachte: F1 kleiner als F2 (Gewichtskraft),
aber: r1 größer als r
aber: r
größer als r2
 genauer: , F1r1  F2 r2
Produkt aus Kraft  Weg ist konstant
 ähnliches auch bei:
schiefer Ebene
schiefer Ebene
Hebel
Fahrradübersetzung....
 physikalische Größe

F1
r1
 F2, r2
M h ik II
Mechanik II
1 3 Arbeit, Energie, Leistung
1.3
Arbeit Energie Leistung
• mechanische Arbeit
mechanische Arbeit
 
W  F r
 Einheit [W ]  Nm  kgm2 s2  J (Joule)
 Arbeit ist Skalar (Zahl), kein Vektor, aber abhängig von b
k l ( hl) k
k
b
bh
   
Winkel zwischen Kraft und Weg W  F r  F r cos
 für gekrümmte Strecken als Summe fü
kü
t St k
l S
(Integral) über Teilstrukturen.
 Änderung der Bewegung
 Arbeit zuführen/entnehmen
Arbeit zuführen/entnehmen
 Energie: Fähigkeit Arbeit zu verrichten
z.B. Änderung der Bewegung zu verursachen
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Beispiele
• wirksame Kraft nur in Richtung der Bewegung wirksame Kraft nur in Richtung der Bewegung (hier horizontal F
(hier horizontal FH)


F H  F  cos( )
•
bei Arbeit im Schwerefeld der Erde: W
bei
Arbeit im Schwerefeld der Erde: W=mgh;
mgh; Hilfsmittel um notwendige Hilfsmittel um notwendige
Kraft zu reduzieren: schiefe Ebene, Flaschenzug etc., Weg länger, Kraft geringer
h  l sin( )
F1  FG sin(( )
W 0
•
keine (mechanische) Arbeit bei horizontaler Bewegung
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• allgemein: allgemein:  

F  F (r )
Kraftfeld Kraft hängt nur von r ab.
Kraft hängt nur von ab.
 E
F    grad E Gradient
r
Kraft auf MP ergibt sich aus Änderung der Energie
 W=0 für geschlossene Wege
 Experiment: Pendel
• allgemeines Konzept: Potential g
p
(Energiefeld) (z.B. Schwerefeld der Erde)
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Energie
Energie • Energie für Massepunkte (MP)
Energie für Massepunkte (MP)
• MP in Bewegung: v
 Berechne Arbeit W, die notwendig ist, um MP auf v zu beschleunigen: Kraft wirkt auf MP während bestimmter Zeit t, bzw. über best. Strecke r (z.B. bei Auto)
(
)
r  v0t 
at 2
2
, für v0  0 gilt t  2r
v  att(v0 )  2ra  2r mF 
a
2W
m
2
mv

E
• aufgewendete Arbeit:
f
d t A b it W 
kin
2
kinetische Energie
kinetische Energie
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• MP
MP in Höhe h
in Höhe h (Schwerkraft wirkt)
(Schwerkraft wirkt)
 potentielle Energie: E pot  mgh
 B
Beispiel: Körper auf Höhe h=0 mit Anfangsgeschwindigkeit v
i i l Kö
f Höh h 0 it A f
h i di k it 0 nach h

0
v
oben (entgegengesetzt zur Kraft)  Körper wird abgebremst bis dann gilt:
v  v0  gt , wenn v  0 : v0  gt , bzw
b . t  v0 g
x  at 2 2  2gh  v02
 E pot ,t
mv02
 mgh 
 Ekin ,0
2
 wenn Körper zur Ruhe kommt (Zeit t), hat er potentielle Energie (= kinetische Energie bei t=0). Diese kann ihm wieder zugeführt werden i d
indem er auf Ausgangshöhe gebracht wird.
fA
höh
b h id
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• Pendel
Pendel: Umwandlung potentielle Energie  kinetische Energie
kinetische Energie
• Energiesatz: Energie ist in abgeschlossenem System konstant
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• Versuch: Pendel
Versuch Pendel
P0 : Ekin  0, E pot  mgh
P1 : E pot  0, Ekin  mv 2 /2
asymmetrisches Pendel
Höhe links und rechts gleich
 Energie bleibt erhalten
aus Energieerhaltung: mgh  mv 2 /2  vmax  2ghmax
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• Pendel
Pendel: Umwandlung potentielle Energie  kinetische Energie
kinetische Energie
• Energiesatz: Energie ist in abgeschlossenem System konstant
• Leistung: Energieänderung pro Zeiteinheit
 

P  W t  F r t  F v
2
3
 Einheit [P ]  J s  kg m s  W (Watt)
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1 4 Stoß und Impuls
1.4
Stoß und Impuls
stoßende Kugeln
Stöße auf der Luftkissenschiene
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 in Kräfte freiem, abgeschlossenem System gilt:
in
 Kräfte freiem abgeschlossenem System gilt:

F  ma  m dv
dt  0
(Geschwindigkeit konst.)
 allgemeiner: allgemeiner:
 d (mv )
F  dt  0


• Impuls: Impuls: p  mv
(Produkt von Geschw. und Masse bleibt erhalten!)

 mehrere Massen m1, m2, .... p 

i 1... n

pi 
i 1... n
 ohne äußere Kräfte bleibt Impuls konstant
für Analyse von Stößen definiere Schwerpunkt: “Zentrum“ vieler Massen


mrS   mi ri
i 1.. n


mi vi
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Stoßgesetze
 Stoß:
Stoß: vorher vorher m1, v1, m2, v2,....
nachher m1, v'1, m2, v'2,....
 Randbedingungen:
 Impulserhaltung: m1v1  m2v2  ...  m1v1  m2v2  ...
 Energieerhaltung: m1v12  m2v22  ...  m1v12  m2v22  ...
nur bei elastischen Stößen!
1
 für elastische Stöße: , sonst <1

 
p  m  v  u   2mv sin
i 2
 Impulsübertrag:
I
l üb
• z.B.: Rakete (Düsenantrieb):
u2
v2
 stößt während t
tößt äh d t Masse µ
M
 mit Geschwindigkeit it G h i di k it
w aus, d.h. mit Impuls µw. Gesamtimpuls konst.
 Rakete nimmt Impuls auf, der ihr v erhöht:
w  µ t   m  v t   ma
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• Versuch: elastischer –
Versuch elastischer inelastischer Stoß
inelastischer Stoß
v2
v1
vorher
nachher
m1v1  m2v2  m1v1  m2v2
Vorzeichen beachten !
v1
v2
v'1 =v'2=v'
vorher
nachher
m1v1  m2v2  (m1  m2 )v 
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Stoßgesetze
 Stoß:
Stoß: vorher vorher m1, v1, m2, v2,....
nachher m1, v'1, m2, v'2,....
 Randbedingungen:
 Impulserhaltung: m1v1  m2v2  ...  m1v1  m2v2  ...
 Energieerhaltung: m1v12  m2v22  ...  m1v12  m2v22  ...
nur bei elastischen Stößen!
1
 für elastische Stöße: , sonst <1

 
p  m  v  v   2mv sin
i 2
 Impulsänderung:
I
lä d
entspricht Kraftwirkung!
• z.B.: Rakete (Düsenantrieb):
v 2
v2
 stößt während t
tößt äh d t Masse µ
M
 mit Geschwindigkeit it G h i di k it
w aus, d.h. mit Impuls µw. Gesamtimpuls konst.
 Rakete nimmt Impuls auf, der ihr v erhöht:
w  µ t   m  v t   ma
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R t ti
Rotationen
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1 5 Rotationen
1.5
 
• Kreisbahn: neue Koordinaten!
Kreisbahn v  r
neue Koordinaten!

 v .... Bahngeschwindigkeit
 
.... Winkel unter dem Massepunkt gesehen
k l
d
k
h
wird, ändert sich mit der Zeit t.

 (t2 ) (t1 )
d


 dt   Winkelgeschwindigkeit [1/s]
Wi k l
h i di k it [1/ ]
t2 t1
t2 t1
  
 v   r v    r (Drei‐Finger‐Regel)
 U
Umlaufzeit l f it (Zeit innerhalb der Winkel von 2 überstrichen wird)
T  2v r  2
Einschub: Winkel
Einschub: Winkel 60/3
90/2
Einheit: Radiant (
Einheit:
Radiant (° Grad) Grad)
(Bogenmaß: Länge des Kreisbogens mit Einheitsradius) 1202/3
180
3602
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Zentripedalkraft

• v evtl. konstant, aber nicht geradlinig
evtl konstant aber nicht geradlinig

v
 Änderung von nur wenn Kraft wirkt, bzw. Beschleunigung g g
Analyse über ähnliche Dreiecke
AB
r

r
r


v

v


v
v
v v v t a
 r  r 
t
r
v
 Beschleunigung durch eine, auf das Zentrum gerichtete Kraft
v2
a  r   2r
F  m 2 r Zentripedalkraft
 nach actio = reactio gibt es eine Gegenkraft: Zentrifugalkraft
 in rotierendem Bezugssystem weitere Kraft: g y
Kugel aus Zentrum kommend bewegt sich geradlinig,
im rot. System wird sie aber abgelenkt  Kraft
 vergleiche
vergleiche Ablenkung mit 
Ablenkung mit at 2 /2  vK t 2  ac  2vK 
 Corioliskraft Fc  2mv
Resumee
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• Kreisbahnen erfordern Zentripetalkraft
Kreisbahnen erfordern Zentripetalkraft
• G
Gravitationskraft wirkt als Zentripetalkraft it ti k ft i kt l Z t i t lk ft
(Planeten)
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•
Zentripedalkraft notwendig, um MP auf Kreisbahn zu halten, sie ist aber Zentripedalkraft
notwendig um MP auf Kreisbahn zu halten sie ist aber
nicht Ursache für Rotation  andere Größe ! • Betrachte Energie eines rotierenden Körpers (Summe von MP):
 Energie eines MP Ekin=mv2/2, vi=ri,
Erot  12  mi vi2  12  2  mi ri2
i
i
 wenn  mit v identifiziert wird, muss Summe mit Masse identifiziert werden.
• Trägheitsmoment: 2]
  r 2  (r )dV
J   mi ri2 ( ) [kg m
 Massenteile wirken sich bei Rotation umso mehr aus, je weiter sie von Drehachse entfernt sind
 Satz von Steiner: Satz von Steiner: Trägheitsmoment um bel. Achse ist Summe des TM Trägheitsmoment um bel Achse ist Summe des TM
um Achse durch Schwerpunkt und Trägheitmoment eines Massepunkts mit Gesamtmasse im Schwerpunkt JA  JS  Md
AS

  
T  rF  J ddt
• Drehmoment: ( ) [Nm]
T  r F

 

  

2

m
r



r


m
r

• Drehimpuls: L  mi ri  vi  i i 
 i i J
i

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Analogie zwischen Translation u Rotation
Analogie zwischen Translation u. Rotation
• Bei
Bei Kraft Kraft F wird Körper beschleunigt und legt in Zeit wird Körper beschleunigt und legt in Zeit t Weg Weg r
zurück
• Bei Drehmoment T wird Körper beschleunigt rotiert und überstreicht in Zeit t einen Winkel überstreicht in Zeit einen Winkel 
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Rotationsenergie
• unterschiedliche
unterschiedliche Körper mit gleicher Körper mit gleicher
Masse rollen über schiefe Ebene
• Energieerhaltung: E pot  Ekin  const
aber:
Ekin  Et (ranslation)  Erot (ation)
 vor Versuch: E  E  mgh
pot
 am Ende der schiefen Ebene: E  Ekin
 mgh  12 mv 2  12 J 2

mgh  m v  c J r
1
2
2
2gh  v 2 1  c J 
 v
2 gh
1
 c J 
2
 
v 2
r
 12 mv 2  12 J 2

je größer cJ, desto kleiner v
JHohlzylinder  mr 2
JVollzylinder
 12 mr 2
y
JKugel  25 mr 2
2
2
JHohlkugel

mr
H hlk l
3
J  c J mr 2
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Rotationsenergie
• unterschiedliche
unterschiedliche Körper mit gleicher Körper mit gleicher
Masse rollen über schiefe Ebene
• Energieerhaltung: E pot  Ekin  const
aber:
Ekin  Et (ranslation)  Erot (ation)
 vor Versuch: E  E  mgh
pot
 am Ende der schiefen Ebene: E  Ekin
 mgh  12 mv 2  12 J 2

mgh  m v  c J r
1
2
2
2gh  v 2 1  c J 
 v
2 gh
1
 c J 
2
 
v 2
r
 12 mv 2  12 J 2

je größer cJ, desto kleiner v
• Maxwell‐Rad, Jo‐Jo: fällt "langsam", da pot. Energie in Et+Erot aufgeteilt wird JHohlzylinder  mr 2
JVollzylinder
 12 mr 2
y
JKugel  25 mr 2
2
2
JHohlkugel

mr
H hlk l
3
J  c J mr 2
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Mechanik II
M h ik II
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Beispiele
 Zentrifuge: Zentrifuge:
Wäschezentrifuge: auf Wasser wirkt keine Zentripedalkraft, fliegt raus.
Laborzentrifuge: Fm  Teilchen mit hoher Dichte =m/V nach außen
 Gleichgewichtsorgan: Bogengänge empfindlich auf Rotationen (träge Masse der Flüssigkeit drückt auf Galertpfropfen Flüssigkeit
drückt auf Galertpfropfen
und dehnt Sinneshärchen)
 Foucault'sches Pendel
Pendel schwingt frei, aus rotierendem Systembetrachtet ändert es kontinuierlich g g
seine Schwingungsebene (Corioliskraft)
 komplexere Bewegungen (Kreisel, Planeten)
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Drehmoment und Starre Körper
Drehmoment und Starre Körper
• Ungleiche
Ungleiche Gewichte stehen im Gewichte stehen im
Gleichgewicht in Abständen, die sich umgekehrt verhalten wie g
die Gewichte. (Archimedes, um 250 v. Chr.)
 Ist eine belasteter Hebel im Gleichgewicht, so liegt sein Schwerpunkt über/unter der Achse
• Gleichgewicht
Gleichgewicht (Körper in Ruhe), wenn (Körper in Ruhe) wenn
Summe aller angreifenden Kräfte und Drehmomente verschwindet


 Fi  0 und  Ti  0
i 1.. n
i 1.. n
" f
"Kraft x Kraftarm = Last x Lastarm"
f
"
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Hebelgesetze

 Fi  0 und
i 1.. n

 Ti  0
i 1.. n
• Balkenwaage
• Stehaufmännchen
• "folgsame Rolle": Jo‐Jo am Boden aufrollen/abrollen
Rollenachse ist nicht Drehachse! Rollenachse
ist nicht Drehachse!  Auflagepunkt am Boden !
Auflagepunkt am Boden !
 Drehmoment um diesen Punkt entscheidet über Drehrichtung
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Hebelgesetze

 Fi  0 und
i 1.. n

 Ti  0
i 1.. n
• Drehmomente beim Fahrrad
Drehmomente beim Fahrrad
• Bizeps gebeugt –
Bi
b t gestreckt
t kt
Kraft FBs größer als Last F wegen kürzerem Hebel
aufzuwendende Kraft FB noch größer, wenn Arm gestreckt M h ik II
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Zusammenfassung
• Arbeit, Energie, Leistung
Arbeit Energie Leistung
 unterschiedliche Energieformen (kinetische, potentielle ...)
 Energieerhaltung in abgeschlossenen Systemen (Pendel)
h l
b
hl
(
d l)
• Impuls
 Impulserhaltung
 Stoßgesetze, Rückstoß
• Rotation
 Winkel – Winkelgeschwindigkeit –
g
g
Drehmoment  Trägheitsmoment
 Drehimpuls
p