Teil 1
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1 Logisches und Widersprüchliches 1.1 Mathematische Logik Wir nennen eine Formel oder einen Satz der Alltagssprache eine Aussage, wenn sie wahr oder falsch sein kann. Die Formeln 2 = 3, 2 ≤ 4, 5 6= 5 sind Beispiele für Aussagen, wenn auch nicht in jedem Fall für richtige. Solche Aussagen lassen sich kombinieren, die wichtigste ist die Implikation wie etwa (1.1) Wenn es regnet, dann ist die Straße nass“. ” In der Mathematik heißt der Wenn-Teil Voraussetzung, der Dann-Teil Behauptung. Die Bewertung von Implikationen als wahr oder falsch weicht in der mathematischen Logik von der Alltagslogik ab. Betrachten wir als erstes Beispiel die Aussage (1.2) Wenn Albert Einstein den Nobelpreis nicht bekommen hätte, ” dann wäre er an Hänschen Klein verliehen worden“. Schon der Konjunktiv macht deutlich, dass dieser Satz sich sprachlich stark von (1.1) unterscheidet. Ich hatte in mehreren Veranstaltungen die Teilnehmer gefragt, ob sie diesen Satz für wahr oder falsch halten. Nach einer anfänglichen Irritation war in allen Fällen die überwältigende Mehrheit für das Urteil falsch“. ” Im nächsten Beispiel nehmen wir an, dass für einen Preis nur zwei heiße Kandidaten E und K in Frage kommen. Nachdem E den Preis erhalten hat, wird die Aussage (1.3) Wenn E den Preis nicht bekommen hätte, ” dann wäre er an K verliehen worden“. wohl mehrheitlich als wahr angesehen. Beide Aussagen (1.2) und (1.3) sind von der Form A ⇒ B“, ” wobei sowohl A als auch B falsch sind. Die Bewertung solcher Implikationen durch die Alltagslogik hängt also vom Kontext ab. Eine mit der Alltagslogik völlig konforme Definition der Wahrheit einer Implikation kann es daher in der mathematischen Logik nicht geben. Sie definiert die Wahrheit der Implikation durch die Wahrheitstafel A\B w f w w w f f . w Eine Implikation ist daher immer wahr, wenn die Voraussetzung falsch ist. Damit sind beide Aussagen (1.2) und (1.3) wahr. Einerseits sorgt die Definition durch die Wahrheitstafel für klare Verhältnisse, andererseits wird nun Satz (1.2) gegen die Intuition für wahr erklärt. Zweifellos sorgt das enge Korsett der mathematischen Logik für die aus ganzem Herzen kommende Abneigung vieler Menschen gegenüber der Mathematik. Der obigen Wahrheitstafel am nächsten kommt in der Alltagslogik der Satz (1.1). Dieser muss auch dann richtig sein, wenn es nicht regnet. Für diesen Fall wird aber auch nichts behauptet. Die folgenden Wahrheitstafeln für und“ und oder“ zeigen, dass in diesen Fällen die mathe” ” matische Logik mit der Alltagslogik im Wesentlichen übereinstimmt: A\B w f w w f f f f A\B w f w w w f w f und oder Man beachte, dass in der Mathematik das oder“ nicht ausschließend verwendet wird. ” 1 1.2 Antinomien Für das folgende Beispiel nehmen wir an, dass es unter den Menschen nur Lügner gibt, die immer lügen, und Wahrheitssprecher, die immer die Wahrheit sagen. Eine Antinomie ist eine (scheinbare) Aussage, bei der jede Zuweisung eines Wahrheitswertes zu einem Widerspruch führt. Problem 1.1 Die bekannte Antinomie des Epimenides lautet: (1.4) Ein Kreter sagt, dass alle Kreter lügen“. ” Traditionell wird folgendermaßen argumentiert: Wäre der Satz wahr, so wäre auch der Sprecher des Satzes ein Lügner und der Satz damit falsch. Wäre er falsch, so wäre der Sprecher ein Wahrheitssprecher und der Satz damit wahr. Damit führt jede Zuweisung eines Wahrheitswerts zu einem Widerspruch. Was ist an diesem Argument falsch? Dieses Argument wurde über die Jahrhunderte von zahlreichen Philosophen wiederholt und erst spät wurde bemerkt, dass gar keine Antinomie vorliegt, sondern nur eine völlige Unkenntnis über die Verneinung von Aussagen. Jede Aussage greift eine Teilmenge des Kosmos der Möglichkeiten heraus. In diesem Fall besteht dieser Kosmos aus vielleicht 3000 Kretern, die jeder ein Lügner oder ein Wahrheitssprecher sein können. Die Aussage, dass alle Kreter lügen, greift dies eine Element heraus, dass alle 3000 Kreter Lügner sind. Die Verneinung dieser Aussage muss alle Elemente des Kosmos umfassen, die im Komplement dieses einen Elements liegen, und das ist natürlich Es gibt ” einen Kreter, der nicht lügt“. Wir können (1.4) daher so auflösen, dass der Satz Alle Kreter lügen“ ” falsch und der Sprecher ein Lügner ist. Somit liegt gar keine Antinomie vor. Die Idee hinter der vermeintlichen Antinomie, dass selbstbezügliche Aussagen widersprüchlich sein können, ist aber richtig und kann durch Sätze wie Ich lüge“ oder Der Satz, den ich jetzt ” ” ausspreche, ist falsch“ umgesetzt werden. Die Grundlage für diese Antinomie steht im Neuen Testament, Titus 1,12: Es hat einer von ihnen gesagt, ihr eigener Prophet: Die Kreter sind immer Lügner, ” böse Tiere und faule Bäuche“. Dies Zeugnis ist wahr. Dieses Zitat wurde im 2.Jh. n.Ch. von Clemens von Alexandria dem Kreter Epimenides (6./7.Jh. v.Chr.) zugeschrieben. Es gibt viele weitere Varianten dieser Antinomie. Sehr schön ist eine Karte, bei der auf beiden Seiten nur der Satz steht Der Satz auf der anderen Seite ist falsch“. ” Der ehemalige Chef der US-Notenbank Alan Greenspan war für seine nebulösen Sätze berüchtigt. Seine Aussagen Ich weiß, dass Sie glauben, Sie wüssten, was ich Ihrer Ansicht nach gesagt habe. Aber ” ich bin nicht sicher, ob Ihnen klar ist, dass das, was Sie gehört haben, nicht das ist, was ich meine.“ oder kürzer, sogar bei einer Anhörung vor dem US-Kongress gefallen, Wenn ich Ihnen über Gebühr klar erscheine, müssen Sie falsch verstanden haben, was ” ich gesagt habe.“ schrammen haarscharf an einer Antinomie vorbei. Antinomisch“ ist auch das folgende ” Problem 1.2 Welche ja/nein-Frage kann eine Person A an die Person B stellen, die B nicht wahrheitsgemäß beantworten kann. Wirst Du diese Frage mit nein“ beantworten? ” ” Und nun der Klassiker dieses Typs: 2 Problem 1.3 Ein Urwaldforscher wurde von einem einheimischen Stamm gefangengenommen. Es stellte sich heraus, dass dieser Stamm aus Kannibalen besteht, die ihn töten und verspeisen wollten. Sie sagten zu ihm: Von deiner nächsten Aussage machen wir abhängig, wie wir dich zubereiten: ” Entsprechen deine nächsten Worte der Wahrheit, so werden wir dich kochen. Solltest du allerdings lügen, dann wirst du gegrillt.“ Der Forscher sagte etwas, das ihm das Leben rettete. Was? Eine Verallgemeinerung des Begriffs der Antinomie zeigt das folgende Problem: Problem 1.4 Ein Zweipersonenspiel heißt normal“, wenn es nach endlich vielen Zügen zu Ende ” ist. Das Superspiel“ besteht darin, dass der anziehende Spieler ein beliebiges normales Spiel nennt, ” das dann mit dem anderen Spieler im Anzug gespielt wird. Existiert Superspiel? Die Frage ist, ob Superspiel normal ist. Wäre dem so, so könnte der anziehende Spieler Superspiel wählen. Damit hat der zweite Spieler im Superspiel den Anzug und kann, da Superspiel normal ist, ebenfalls Superspiel wählen. Daher können beide Spieler immer Superspiel nehmen und Superspiel wäre nicht normal. Damit kann der anziehende Spieler nicht Superspiel wählen, was Superspiel zu einem normalen Spiel macht. Die gemeinsame Struktur von Antinomie und Superspiel besteht darin, dass wir eine Menge von Objekten haben (Aussagen, Zweipersonenspiele) und eine Eigenschaft (wahr, normal), die vorgeblich die Menge unterteilt, nämlich in diejenigen Objekte, die diese Eigenschaft haben, und diejenigen, die sie nicht haben. Antinomien wie die des Superspiels lassen sich durch eine Typentheorie beseitigen. Normale Zweipersonenspiele, die nicht auf andere Zweipersonenspiele zurückgreifen, sind Zweipersonenspiele vom Typ I. Spiele wie Superspiel sind dann vom Typ II oder Metaspiele und dürfen bei ihrer Definition nur Spiele vom Typ I verwenden. Abschließend lassen wir noch den Osten zu Wort kommen. Zuerst eine schöne antinomische Aussage von Siddhartha Gautama (um 400 v.Chr.), die den metalogischen Aspekt seiner Lehre hervorhebt: Die Wahrheit kann nicht gelehrt werden, denn das, was wahr ist, dessen Gegenteil ist ebenfalls wahr. In einem rein metalogischen Bereich spielt sich die folgende, vermutlich erfundene Geschichte ab. Ein Mann machte sich auf den Weg zu Buddha, um ihm eine Frage zu stellen. Aber die Frage muss wichtig sein, grübelte der Mann den ganzen Weg über, denn Buddha würde ihm jede Frage beantworten, und dann sollte es schon eine wirklich wichtige Frage sein. Als er dann vor Buddha stand, fragte er: Was ist die wichtigste Frage, die man ” Dir stellen kann.“ Buddha antwortete ohne mit der Wimper zu zucken: Die wichtigste ” Frage, die man mir stellen kann, ist die Frage, die Du gerade gestellt hast. Und die Antwort auf diese Frage ist die Antwort, die ich Dir gerade gegeben habe. 1.3 Von Rittern, Knappen und Spionen Auf einer Insel leben nur Ritter, die immer die Wahrheit sagen, und Knappen, die immer lügen. In der ersten Variante soll man aus einer oder mehrer Aussagen von Inselbewohnern erschließen, wer Ritter und wer Knappe ist. Problem 1.5 Von zwei Inselbewohnern sagt einer: Wir sind beides Knappen.” Wer ist wer? ” Man kann solche Aufgaben natürlich immer lösen, indem man alle Möglichkeiten durchprobiert, in diesem Fall sind das RR, KR, RK und KK. Einfacher ist hier die Überlegung, daß kein Inselbewohner sagen kann: Ich bin ein Knappe.“ Die Aussage ist daher gelogen, der Sprecher somit ein Knappe. ” Damit die Aussage auch wirklich falsch wird, muss der zweite Inselbewohner ein Ritter sein. In der zweiten Variante muss ein Tourist durch eine mit ja oder nein zu beantwortende Frage eine Aufgabe lösen. 3 Problem 1.6 Ein Tourist kommt an eine Weggabelung. Er weiß, dass der eine Weg in die Freiheit führt und der andere in den Untergang. Vor jedem dieser beiden Wege steht ein Inselbewohner, von denen der Tourist weiß, dass einer von beiden ein Ritter und der andere ein Knappe ist. Mit welcher Frage an einen der beiden Inselbewohnern findet der Tourist den Weg in die Freiheit? Bei diesem Rätsel steht man vor der charakteristischen Schwierigkeit, dass eine Tatsachenabfrage von Rittern und Knappen entgegengesetzt beantwortet wird und dass man sicherlich eine Frage benötigt, um die Identität der beiden Inselbewohner zu klären. Man muss daher beide Inselbewohner zu Wort kommen lassen wie etwa in der Frage: Wenn ich Deinen Nachbarn fragen würde, ob Dein ” Weg in die Freiheit führt, was würde er sagen?“ Führt dieser Weg tatsächlich in die Freiheit, wird die Antwort nein lauten, gleichgültig wie die Rollen von Ritter und Knappe verteilt sind. Auf einer anderen Insel gibt es neben Rittern und Knappen, die die gleichen Eigenschaften wie zuvor besitzen, noch Spione, die nach Lust und Laune die Wahrheit sagen oder lügen. In der klassischen Form dieses Rätsels steht man vor drei Personen A, B und C, von denen man weiß, dass jede Gattung genau einmal vertreten ist. Ferner kennen alle drei die Identität der anderen Personen. Jeder von den dreien macht eine Aussage und man soll daraus erschließen, wer was ist. Problem 1.7 A: Ich bin ein Ritter. B: Das ist wahr. C: Ich bin der Spion. Hier gibt es sechs Möglichkeiten, um Ritter, Knappe und Spion auf die drei Personen zu verteilen. Durch logisches Schließen kann man das Rätsel in der Regel schneller lösen als durch Probieren. Die Aussage Ich bin ein Ritter“ kann jeder treffen. Da C nicht der Ritter sein kann, ist A oder ” B der Ritter. Wäre B der Ritter, so würde er die falsche Aussage des A bestätigen, was nicht sein kann. Also ist A der Ritter, B sagt die Wahrheit und muss daher der Spion sein. Für C bleibt nur der Knappe, was korrekt ist, weil seine Aussage gelogen ist. Die Auflösung des Rätsels ist daher eindeutig bestimmt. Auf einer anderen Insel gibt es neben normalen Rittern und normalen Knappen, die die gleichen Eigenschaften wie zuvor haben, auch irregeleitete Ritter und irregeleitete Knappen, Beide halten das Gegenteil einer wahren Tatsache für richtig und sind davon völlig überzeugt. Der irregeleitete Ritter gibt ehrlich Auskunft über seine Überzeugungen, währenddessen der irregeleitete Knappe zudem noch lügt. Auf die Frage, ob die Erde rund sei, antwortet der normale Ritter mit ja. Der irregeleitete Knappe ist völlig überzeugt davon, dass die Erde nicht rund ist, aber er lügt und antwortet ebenfalls mit ja. Demnach urteilen normale Ritter und irregeleitete Knappen über alle Tatsachen auf die gleiche Weise und scheinen nicht zu unterscheiden zu sein. Aber: Problem 1.8 Formulieren Sie eine ja/nein-Frage, die normale Ritter und irregeleitete Knappen unterschiedlich beantworten. Warum widerspricht dies nicht der Tatsache, dass sie über alle Dinge nach außen die gleiche Meinung haben. Die Frage lautet einfach: Bist Du ein Ritter?“ Der normale Ritter wird mit ja antworten. Der ” irregeleitete Knappe glaubt, er sei ein Ritter, aber er lügt und antwortet mit nein. Dies widerspricht nicht dem zuvor Gesagten, weil in dieser Frage das Wort Du“ vorkommt, die den Gefragten zum ” Gegenstand der Frage macht. Daher ist diese Frage eine andere, wenn der Gefragte ein anderer ist. 1.4 Hempels Rabenparadoxon Das Rabenparadox ist benannt nach dem Philosophen Carl Gustav Hempel (1905-1997). Hat man bereits eine Reihe von Raben auf ihre Farbe untersucht, so kann man die Hypothese Alle Raben sind schwarz“ aufstellen. Beobachtet man im Folgenden ” einen schwarzen Raben, so kan man diese Beobachtung als Bestätigung dieser Hypothese ansehen. Der Satz Alle nichtschwarzen Objekte sind keine Raben“ ist zur Ausgangshypothese äquivalent, ” denn beide Aussagen werden nur widerlegt durch einen nichtschwarzen Raben. Demnach wird die Ausgangshypothese bereits durch jedes nichtschwarze Objekt bestätigt, dass kein Rabe ist, etwa durch ein gelbes Auto. Dies mutet paradox an, weil es der Intuition zuwider läuft. 4 Stellen wir uns vor, die Erde bestehe aus n Regionen, die wir nacheinander vollständig auf die Farbe der Raben untersuchen. Jede neue Region, in der alle Raben schwarz sind, bestätigt beide Hypothesen in gleicher Weise. Die Untersuchung einer Region kann auch mit dem Ergebnis enden, dass es dort keine Raben gibt. Auch dies bestätigt beide Hypothesen. An diesem Beispiel erkennen wir, dass es zu kurz gedacht ist, nur in jedem schwarzen Raben eine Bestätigung der Ausgangshypothese zu sehen. Analog wird die Hypothese Alle nichtschwarzen ” Objekte sind keine Raben“ auch durch schwarze Raben bestätigt. 1.5 Das Paradoxon der unerwarteten Hinrichtung beruht auf folgender Situation: Einem Gefangenen wird am Sonntag mitgeteilt, er werde nächste Woche um 12 Uhr hingerichtet. Allerdings würde der genaue Tag für ihn eine Überraschung sein. Nun überlegt er sich: wenn ich am Samstagabend noch lebe, muss ich am Sonntag hingerichtet werden, was aber keine Überraschung wäre. Also fällt der Sonntag als Hinrichtungsdatum weg. Dann weiß ich aber am Freitagabend, wenn ich noch lebe, dass ich am Samstag hingerichtet werde - ebenfalls keine Überraschung usw., ich kann also überhaupt nicht hingerichtet werden! Am Mittwoch taucht der Henker zur Hinrichtung auf – vollkommen unerwartet. Dazu wird in Wikipedia vernünftig argumentiert. Ein Problem ist natürlich die Verwendung des Wortes Überraschung, das zunächst streng formal definiert werden muss. 1.6 Retro-Analyse Bei retro-analytischen Schachproblemen wird versucht, einen Blick in die Vergangenheit einer Schachpartie zu werfen. In allen Fällen wird vorausgesetzt, dass streng nach den Schachregeln gespielt wurde. In Nr.1 ist Schwarz am Zug und man soll herausfinden, was der letzter weiße Zug gewesen ist. In den beiden anderen Problemen ist gefragt, ob die Bauern von unten nach oben oder von oben nach unten laufen, anders ausgedrückt: An welcher Seite des Brettes sitzt Weiß? Problem 1.9 1. Jan Mortensen 1956 2. Raymond Smullyan 1979 3. Raymond Smullyan 1979 1.7 Das Einsteinrätsel Dieses Rätsel wurde angeblich von Albert Einstein (1879-1955) entwickelt. Da es sehr viel einfacher zu lösen ist, als es auf den ersten Blick erscheint, gibt der Name dieses Rätsels dem erfolgreichen Löser das gute Gefühl, intellektuell mit Albert Einstein in einer Liga zu spielen. Problem 1.10 Fünf Häuser stehen nebeneinander. In ihnen wohnen Menschen von fünf unterschiedlichen Nationalitäten, die fünf unterschiedliche Getränke trinken, fünf unterschiedliche Zigarettenmarken rauchen (das Problem ist in der Tat schon älter!) und fünf unterschiedliche Haustiere haben. 5 1. Der Brite lebt im roten Haus. 2. Der Schwede hält sich einen Hund. 3. Der Däne trinkt gern Tee. 4. Das grüne Haus steht (direkt) links neben dem weißen Haus. 5. Der Besitzer des grünen Hauses trinkt Kaffee. 6. Die Person, die Pall Mall raucht, hat einen Vogel. 7. Der Mann im mittleren Haus trinkt Milch. 8. Der Bewohner des gelben Hauses raucht Dunhill. 9. Der Norweger lebt im ersten Haus. 10. Der Marlboro-Raucher wohnt neben der Person mit der Katze. 11. Der Mann mit dem Pferd lebt neben der Person, die Dunhill raucht. 12. Der Winfield-Raucher trinkt gern Bier. 13. Der Norweger wohnt neben dem blauen Haus. 14. Der Deutsche raucht Rothmanns. 15. Der Marlboro-Raucher hat einen Nachbarn, der Wasser trinkt. Die Frage lautet: Wem gehört der Fisch? Die Lösung gelingt am leichtesten, wenn man die folgende Tabelle nach und nach ausfüllt: Nummer 1 2 3 4 5 Farbe Nationalität Getränk Zigaretten Tier 1.8 Weitere Logik-Probleme Problem 1.11 Drei sehr logisch denkende Forscher wurden von einem Indianerstamm gefangen genommen. Mit verbundenen Augen wurden sie hintereinander an drei Marterpfähle gebunden, die in einer Reihe standen. Dann wurden ihnen die Augenbinden wieder abgenommen. Der Indianerhäuptling sagte ihnen folgendes: Der Vordere von euch sieht keinen Marterpfahl, der Mittlere ” sieht nur den Marterpfahl des Vorderen und der Hintere kann nur die Marterpfähle der anderen beiden sehen. Wir besitzen fünf Marterpfähle: zwei rote und drei schwarze. Derjenige von euch, der mir die Farbe seines Marterpfahles sagen kann, wird freigelassen. Sollte er allerdings falsch liegen, so wird er getötet.“ Fünf Minuten vergingen. Dann rief der vordere Forscher, der keinen Marterpfahl sehen konnte: Mein Pfahl ist schwarz!“. Daraufhin wurde er freigelassen. ” Wie konnte er das wissen? Problem 1.12 a) Auf einer Insel leben 100 Einwohner, die Ritter oder Knappen sind. Ein Forscher befragt die Einwohner nach der Anzahl der Knappen auf der Insel und erhält vom ersten Einwohner die Antwort Einer“, vom zweiten die Antwort Zwei“, und so fort bis schließlich vom hundertsten ” ” die Antwort Hundert“. Wieviele Knappen gibt es auf der Insel? ” b) Hier antworten die Einwohner auf die gleiche Frage mit mindestens einer“, mindestens ” ” zwei“ und so weiter bis schließlich mindestens hundert“. Wieviele Knappen gibt es in diesem Fall? ” 6
