Microsoft PowerPoint - Pr\344sentation

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Fakultät für Mathematik
Anschauliche Vorstellungen
zur Bruchrechnung
1. Einführung: Problemfelder der Bruchrechnung
2. Anschauliche Vorstellungen zu Bruchzahlen
•
•
Standortbestimmungen und Vorkenntnisse
•
Fehlvorstellungen und Verständnisschwierigkeiten
•
Grundvorstellungen zu Bruchzahlen
•
Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter
Pause
© Dr. Nicole Wellensiek
Fakultät für Mathematik
Anschauliche Vorstellungen
zur Bruchrechnung
3. Anschauliche Vorstellungen zum Rechnen mit Bruchzahlen
•
Kenntnisse von Schülerinnen und Schülern
•
Typische Fehler
•
Grundvorstellungen zu den Rechenoperationen
•
Unterrichtsmaterialien für die Anschauliche Bruchrechnung
© Dr. Nicole Wellensiek
Fakultät für Mathematik
Einführung
Problemfeld: Bruchrechnung als Regelspiel
• häufig formales Bruchrechnen mit Hilfe von Regeln
• Bruchrechenregeln in Form von Merksätzen
• Gefahr: auswendig gelernte und unverstandene
Rechenregeln
© Dr. Nicole Wellensiek
Fakultät für Mathematik
Einführung
Problemfeld: Umbrüche in den Grundvorstellungen
Umbrüche bei den Zahlvorstellungen, z.B.
• Vorgänger und Nachfolger
• Eindeutigkeit der Zahldarstellung/ -schreibweise
Umbrüche bei den Vorstellungen zu den Rechenoperationen, z.B.
• Multiplizieren vergrößert
• Dividieren verkleinert
Mehrere Grundvorstellungen aus dem Bereich der natürlichen Zahlen
gelten nicht bei den Bruchzahlen!
Gefahr: fehlerhafte Übertragungen aus den natürlichen Zahlen
© Dr. Nicole Wellensiek
Fakultät für Mathematik
Einführung: Konsequenzen zur Behandlung der
Bruchrechnung im Unterricht
• Inhaltlich anschauliche Phase
• anschauliche Vorstellungen zu Bruchzahlen entwickeln
• anschauliche Vorstellungen zum Rechnen mit Bruchzahlen entwickeln
• Formal-regelhafte Phase
• formales Bruchrechnen mit Hilfe von Regel
Betonung der ersten Phase
• Grundlage der systematischen Behandlung
• Vorerfahrungen der Kinder nicht ausreichend
• Verständnisschwierigkeiten und Fehlvorstellungen vorbeugen
(Gefahr: auswendig gelernte und unverstandene Rechenregeln)
© Dr. Nicole Wellensiek
Fakultät für Mathematik
Standortbestimmung und Vorkenntnisse
Standortbestimmung
• Über welche (anschaulichen) Vorkenntnisse verfügen Schülerinnen
und Schüler vor der Behandlung der Bruchrechnung?
• Test unter www.bruchrechenunterricht.de
© Dr. Nicole Wellensiek
Fakultät für Mathematik
Standortbestimmung und Vorkenntnisse
Ausgewählte Untersuchungsergebnisse
1. Pizzabäckerei Caruso und Pizzabäckerei Donato backen gleich
große Pizzen. Caruso teilt seine Pizzen in 6 gleich große Teile.
Sarah kauft 3 Teile.
Donato teilt die runden Pizzen in 8 gleich große Teile. Jan
kauft 4 Teile. Wer hat mehr Pizza bekommen?
ca. 40% korrekt
1
3
2. Kreuze die größere Zahl an: und
1
4
.
ca. 50% korrekt
Lit.: Padberg (2009): Didaktik der Bruchrechnung. Heidelberg: Spektrum
© Dr. Nicole Wellensiek
Fakultät für Mathematik
Standortbestimmung und Vorkenntnisse
Ausgewählte Untersuchungsergebnisse
3. Schraffiere zunächst die Hälfte (ein Viertel) dieses Rechtecks,
danach schraffiere noch ein Viertel (ein Drittel) dieses
Rechtecks.
Wie viel hast du insgesamt schraffiert? _________
ca. 20% korrekt (Zeichnung u. Bruch)
0% korrekt (15% korrekte Zeichnung)
Lit.: Padberg (2009): Didaktik der Bruchrechnung. Heidelberg: Spektrum
© Dr. Nicole Wellensiek
Fakultät für Mathematik
Standortbestimmung und Vorkenntnisse
Ausgewählte Untersuchungsergebnisse
4. Lukas hat einen drei viertel Meter langen Stab. Er sägt hiervon ein
Stück von einem halben Meter Länge ab. Wie lang ist das Reststück?
Das Reststück ist ____ Meter lang.
1m lang
Benutze zur Lösung die Skizze!
ca. 30% korrekt
5.
Ein Saftgefäß enthält vier fünftel Liter Apfelsaft. Der Saft wird gerecht
an zwei Kinder verteilt. Wie viel erhält jedes Kind? _________
ca. 15% korrekt
Lit.: Padberg (2009): Didaktik der Bruchrechnung. Heidelberg: Spektrum
© Dr. Nicole Wellensiek
Fakultät für Mathematik
Standortbestimmung und Vorkenntnisse
Ausgewählte Untersuchungsergebnisse
6. Sophie macht einen halben (zwei drittel) Meter lange Schritte.
Wie viele Schritte macht sie auf einer 6 (4) Meter langen
Strecke? Anzahl der Schritte von Sophie? ______
6 m lang
ca. 65% korrekt
4 m lang
ca. 5% korrekt
Lit.: Padberg (2009): Didaktik der Bruchrechnung. Heidelberg: Spektrum
© Dr. Nicole Wellensiek
Fakultät für Mathematik
Standortbestimmung und Vorkenntnisse
Ausgewählte Untersuchungsergebnisse (Zusammenfassung)
•
Bruchsymbole können häufig gelesen werden
•
Zusammenhang zwischen der Zahlenwelt der Brüche und der
Bilderwelt konkreter Größen wird kaum hergestellt
•
mit der Ausnahme von 2 und 4 sind die Vorkenntnisse zu den
Stammbrüchen gering
•
die Grundvorstellungen "Bruch als Teil eines Ganzen" und "Bruch
als Teil mehrer Ganzer" sind wenig ausgebildet
1
1
Lit.: Padberg (2009): Didaktik der Bruchrechnung. Heidelberg: Spektrum
© Dr. Nicole Wellensiek
Fakultät für Mathematik
Fehlvorstellungen und Verständnisschwierigkeiten
Brüche als alternative Schreibweise für Größenangaben:
¼ kg = 250 g
¾ Std. = 45 Minuten
½ km = 500 m
Problem: Bruchteile werden als feste natürliche Zahlen verstanden
½ = 50 oder 500, weil ½ m = 50 cm; ½ t = 500kg
Aber: ½ Std. = 30 min.
© Dr. Nicole Wellensiek
Fakultät für Mathematik
Fehlvorstellungen und Verständnisschwierigkeiten
Mögliche Ursachen
• Fehlende anschauliche Bruchvorstellung
• Zusammenhang zwischen natürlichen Zahlen und Bruchzahlen unklar
• Überwiegend formale Bearbeitung von Aufgaben ohne Verständnis
für inhaltliche Zusammenhänge
© Dr. Nicole Wellensiek
Fakultät für Mathematik
Grundvorstellungen zu Bruchzahlen
(entnommen aus Malle 2004)
Lit.: Malle (2004): Grundvorstellungen zu Bruchzahlen. In: mathematik lehren, Heft 123, S. 4-8
© Dr. Nicole Wellensiek
Fakultät für Mathematik
Vorstellungen zu Bruchzahlen
Bruchzahlaspekte
• Teil vom Ganzen
• Maßzahl
• Operator
zwei zentrale Grundvorstellungen
• Teil des Ganzen
• Teil mehrere Ganzer
• Verhältnis
• Quotient
• Lösung einer linearen Gleichung
• Skalenwert
• Quasikardinalität
© Dr. Nicole Wellensiek
Gleichwertigkeit beider
Grundvorstellungen
Bruch Repräsentant
"Brüche haben viele Gesichter"
Fakultät für Mathematik
Grundvorstellungen zu Bruchzahlen
Anschauliche Vorstellungen zu Bruchzahlen entwickeln
• an Alltagserfahrungen der Kinder anknüpfen
• Bruchzahlen im Zusammenhang mit Größen
• Modelle aus dem Bereich der Geometrie
• Verteil-/Aufteilsituationen
© Dr. Nicole Wellensiek
Fakultät für Mathematik
Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter
• Einführung
• 1. Unterrichtssequenz: Stationenarbeit
• 2. Unterrichtssequenz: eine Ausstellung planen
• 3. Unterrichtssequenz: eine Ausstellung durchführen
© Dr. Nicole Wellensiek
Fakultät für Mathematik
Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter
Einführung
• reale Verteilsituation
• Brainstorming zum Thema
• Hinführende Fragestellung zur Stationenarbeit:
• Was sind Bruchzahlen?
© Dr. Nicole Wellensiek
Fotos der Plakate
Fakultät für Mathematik
Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter
1. Unterrichtssequenz: Stationenarbeit
• Eigene Entdeckungen an Stationen
• Selbstorganisation durch die Schüler
• Auswertung mit Hilfe von Brüchealben: Darstellen der
Lösungen
• weiteres Ziel: über Lösungswege diskutieren,
argumentieren, kreativ sein, mathematisieren
© Dr. Nicole Wellensiek
Fakultät für Mathematik
Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter
2. Unterrichtssequenz: Ausstellung planen
• Sammeln eigener Ideen
• Planen von Ausstellungsplakaten:
•
je ein Plakat zu einer Bruchzahl
•
Diskussion über die Gestaltung
• Planen und Vorbereiten der anderen Ideen
• Planen des organisatorischen Rahmens
© Dr. Nicole Wellensiek
Fakultät für Mathematik
Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter
Ideensammlung zur Ausstellung:
• Plakate mit Bildern zu verschiedenen Brüchen
• ein extra Plakat zur Kleidung
• Stationen vorstellen
• Brüchealben ausstellen
• DIN A4-Blätter in allen Größen
• verschiedene Nahrungsmittel teilen und Karten dazu schreiben
• die Besucher sollen selbst etwas teilen
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Fakultät für Mathematik
Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter
Ideensammlung zur Ausstellung:
• Wissenstest
• Ausstellungsführer
• Überblick am Eingang der Ausstellung
• Einladungen
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Fakultät für Mathematik
Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter
Kriterien zur Erstellung der Plakate
• Überschrift
• verschiedene Sachen zu einer Bruchzahl
• genau teilen
• genau zeichnen
• genau erklären, dass wenig Fragen bleiben
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Fakultät für Mathematik
Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter
Kriterien zur Erstellung der Plakate
• gegenseitig helfen/Experten fragen
• Schrift groß genug
• Rechtschreibung
• ordentlich/übersichtlich
• Namen unter die Plakate für Rückfragen
© Dr. Nicole Wellensiek
Fakultät für Mathematik
Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter
3. Unterrichtssequenz: Ausstellung durchführen
•
Aufbau der Ausstellung
•
Bilden von Expertengruppen
•
Eröffnung und Durchführung
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Fakultät für Mathematik
Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter
© Dr. Nicole Wellensiek
Fakultät für Mathematik
Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter
© Dr. Nicole Wellensiek
Fakultät für Mathematik
Kenntnisse von Schülerinnen und Schülern
(im 6. Schuljahr; nach der systematischen Behandlung der Bruchrechnung)
1. Addition
1 2
+
Bruch plus Bruch (ungleichnamig), z.B. 5 3
1
3
+
nat. Zahl plus Bruch, z.B.
5
ca. 71% korrekt
ca. 56% korrekt
2. Subtraktion
Bruch minus Bruch (ungleichnamig), z.B.
1
nat. Zahl minus Bruch, z.B. 5 −
3
3 5
−
4 8
ca. 69% korrekt
ca. 43% korrekt
3. Multiplikation
Bruch mal Bruch (ungleichnamig), z.B.
nat. Zahl mal Bruch, z.B. 4 ⋅
1
7
3 1
⋅
4 3
ca. 73% korrekt
ca. 58% korrekt
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Fakultät für Mathematik
Typische Fehler
(im 6. Schuljahr; nach der systematischen Behandlung der Bruchrechnung)
1.
Addition
2.
nat. Zahl plus Bruch:
n+
a c (a + c)
+ =
b d (b + d )
a (n + a)
=
b
b
Subtraktion
3.
Bruch plus Bruch (ungleichnamig):
Analoge Fehler wie bei der Addition
Multiplikation
© Dr. Nicole Wellensiek
nat. Zahl mal Bruch:
n⋅
a (n ⋅ a)
=
b ( n ⋅ b)
Fakultät für Mathematik
Grundvorstellungen zu den Rechenoperationen
Lit.: Malle (2004): Grundvorstellungen zu Bruchzahlen. In: mathematik lehren, Heft 123, S. 4-8
© Dr. Nicole Wellensiek
Fakultät für Mathematik
Unterrichtsmaterialien für die Anschauliche
Bruchrechnung
• Tangram
• EXI: Das zerlegte Rechteck
• Rechtecksformen
• Bruchquadrate
• Geobrett
• Cuisenaire-Stäbe
• Kreisscheiben
© Dr. Nicole Wellensiek
Fakultät für Mathematik
Unterrichtsmaterialien für die Anschauliche
Bruchrechnung
• Bruchdarstellung und Bruchauffassung (vgl. auch Mathe-Welt)
• Bruchvergleiche
• Erweitern und Kürzen
• Addieren/Subtrahieren
• Multiplizieren
• Dividieren als Messen (Enthaltensein)
• Didvidieren als Teilen (Verteilen)
© Dr. Nicole Wellensiek
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