Mechanische Schwingungen - Horizontales ungedämpftes Feder…

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Mechanische Schwingungen - Horizontales ungedämpftes Federpendel - Theorie
Die in einem physikalischen Experiment gewonnen Messwerte können nur dann sinnvoll ausgewertet
werden, wenn der Typ der mathematischen Funktion bekannt ist, durch die die Abhängigkeiten zwischen
den relevanten Größen beschrieben werden kann. Aus prinzipiellen Gründen kann der Typ dieser Funktion aber niemals experimentell, sondern nur durch theoretische Überlegungen bestimmt werden. Diese
werden für ein horizontales ungedämpftes Federpendel im Folgenden durchgeführt.
Ein Körper der Masse m, der durch eine Feder mit
der Federkonstante D an einer Wand befestigt ist,
wird aus der Ruhelage (Abbildung 1) auf eine Position x 0 ≠ 0 ausgelenkt (Abbildung 2), dort festgehalten, d.h. v( t = 0) = 0 und dann losgelassen.
(Abbildung 1)
(Abbildung 2)
Vernachlässigt man die in der Realität auf den Körper wirkenden Reibungskräfte, dann ist zu jedem Zeitpunkt der Bewegung des Körpers die durch die jeweilige Auslenkung x der Feder verursachte Federkraft
FF die einzige auf den Körper wirkende Kraft. Nach dem 2. NEWTONschen Gesetz, der Grundgleichung
der Mechanik, gilt dann zu jedem Zeitpunkt t der Bewegung des Körpers die Gleichung
Mit a = &x&( t ) (Definition des Beschleunigung als 2.Ableitung
des Ortes nach der Zeit) und FF = FF ( x ( t )) = −D ⋅ x ( t )
(HOOKEsches Gesetz) ergibt sich
m ⋅ a = FF
⇔
⇔
m ⋅ &x&( t ) = − D ⋅ x ( t )
&x&( t ) = −
D
⋅ x ( t ) (*)
m
:m
Dies ist die homogene Differentialgleichung 2.Ordnung für
die Elongation x(t) des Körpers während des Schwingungsvorgangs mit den beiden Anfangsbedingungen
x ( t = 0) = x 0 und v( t = 0) = 0 .
Arbeitsaufträge:
1. Elongation des Körpers
a) Zeigen Sie durch zweimaliges Ableiten der Funktion x ( t ) und Einsetzen von x ( t ) und &x&( t ) in die
Differentialgleichung (*), dass die Funktion x ( t ) = x 0 ⋅ cos(ω0 ⋅ t ) mit ω0 =
D
die Differentim
algleichung erfüllt und damit die Elongation des Körpers darstellt.
b) Zeigen Sie, dass die Funktion x ( t ) auch die erste Anfangsbedingung x ( t = 0) = x 0 erfüllt.
c) Erstellen Sie mit einem Funktionsgraphen-Plotter den Graph der Funktion x ( t ) für m = 0,203kg ,
N
D = 2 und x 0 = 0,1m .
m
© 2002 Thomas Unkelbach
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d) Berechnen Sie die Kreisfrequenz ω0 , die Frequenz f 0 und die Schwingungsdauer T0 des horizonN
talen ungedämpften Federpendels x ( t ) für m = 0,203kg , D = 2 und x 0 = 0,1m .
m
e) Berechnen Sie, zu welchen Zeitpunkten im Zeitintervall [0 ; T0 ] die Elongation extremal ist und
berechnen Sie weiter, wie groß die Elongation zu diesen Zeitpunkten ist.
2. Kraft auf den Körper
a) Zeigen Sie mit Hilfe des Zusammenhangs FF = −D ⋅ x , dass die Funktion FF ( t ) = −F̂ ⋅ cos(ω 0 ⋅ t )
mit F̂ = D ⋅ x 0 den zeitlichen Verlauf der Kraft auf den Körper während der Bewegung beschreibt.
b) Erstellen Sie mit einem Funktionsgraphen-Plotter den Graph der Funktion FF ( t ) für
N
m = 0,203kg , D = 2 und x 0 = 0,1m .
m
c) Berechnen Sie, zu welchen Zeitpunkten im Zeitintervall [0 ; T0 ] die betraglich größten Kräfte auf
den Körper wirken, wie groß die Kräfte zu diesen Zeitpunkten sind und an welchen Orten sich der
Körper zu diesen Zeitpunkten befindet.
3. Geschwindigkeit des Körpers
a) Zeigen
Sie
mit
Hilfe
des
Zusammenhangs
v( t ) = − v̂ ⋅ sin(ω 0 ⋅ t ) mit v̂ = x 0 ⋅ ω 0 = x 0
v( t ) = x& ( t ) =
dx ( t )
,
dt
dass
die
Funktion
D
den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit des
m
Körpers während der Bewegung beschreibt.
b) Zeigen Sie, dass die Funktion v( t ) auch die zweite Anfangsbedingung v( t = 0) = 0 erfüllt.
c) Erstellen Sie mit einem Funktionsgraphen-Plotter den Graph der Funktion v( t ) für m = 0,203kg ,
N
D = 2 und x 0 = 0,1m .
m
d) Berechnen Sie, zu welchen Zeitpunkten im Zeitintervall [0 ; T0 ] der Körper die betraglich größten
Geschwindigkeiten besitzt, wie groß die Geschwindigkeiten zu diesen Zeitpunkten sind und an
welchen Orten sich der Körper zu diesen Zeitpunkten befindet.
4. Beschleunigung des Körpers
a) Zeigen
Sie
mit
Hilfe
des
Zusammenhangs
a ( t ) = −â ⋅ cos(ω0 ⋅ t ) mit â = x 0 ⋅ ω0 = x 0
2
a ( t ) = v& ( t ) =
dv( t )
,
dt
dass
die
Funktion
D
den zeitlichen Verlauf der Beschleunigung des
m
Körpers während der Bewegung beschreibt.
b) Erstellen Sie mit einem Funktionsgraphen-Plotter den Graph der Funktion a ( t ) für m = 0,203kg ,
N
D = 2 und x 0 = 0,1m .
m
c) Berechnen Sie, zu welchen Zeitpunkten im Zeitintervall [0 ; T0 ] der Körper die betraglich größten
Beschleunigungen erfährt, wie groß die Beschleunigungen zu diesen Zeitpunkten sind und an welchen Orten sich der Körper zu diesen Zeitpunkten befinden.
© 2002 Thomas Unkelbach
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