Der ungedämpfte Elektromagnetische Schwingkreis

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Elektromagnetischer Schwingkreis - Der ungedämpfte Schwingkreis - Theorie
Die in einem physikalischen Experiment gewonnen Messwerte können nur dann sinnvoll ausgewertet
werden, wenn der Typ der mathematischen Funktion bekannt ist, durch die die Abhängigkeiten zwischen
den relevanten Größen beschrieben werden kann. Aus prinzipiellen Gründen kann der Typ dieser Funktion aber niemals experimentell, sondern nur durch theoretische Überlegungen bestimmt werden. Diese
werden für das Schwingen eines Idealen Elektromagnetischen Schwingkreis im Folgenden durchgeführt.
Ein Kondensator mit der Kapazität C, der durch
eine Elektrische Quelle mit der Nennspannung
U 0 mit der Ladung Q 0 = C ⋅ U 0 aufgeladen wurde, wird zum Zeitpunkt t = 0 von der Quelle
getrennt und über eine Spule mit der Induktivität
L ‚entladen’, wobei beim Schließen des Schalters
noch kein Strom durch die Spule fließen soll.
Beachtet man, dass die Spannung U C ( t ) über
dem Kondensator negativ und die Induktionsspannung U L ( t ) über der Spule positiv ist, gilt
nach dem 2. KIRCHHOFFschen Gesetz (Maschenregel) zu jedem Zeitpunkt t des
;Schwingungsvorgangs’ die Gleichung
Q( t )
( Q( t ) : Ladung auf dem Kondensator; C:
C
dI( t )
Kapazität des Kondensators) und U L ( t ) = L
( I( t ) :
dt
Strom durch die Spule; L: Induktivität der Spule) ergibt sich
Mit U C ( t ) =
U C (t ) + U L (t ) = 0
Q( t )
dI( t )
+L
= 0
C
dt
⇔
⇔
⇔
L
Mit
d 2 Q( t ) Q ( t )
+
= 0
C
dt 2
dQ( t )
)
d 2 Q( t )
dt
=
ergibt sich
dt
dt 2
:L
2
d Q( t )
1
+
Q( t ) = 0
2
L⋅C
dt
dI( t )
=
dt
d(
(*)
Dies ist die homogene Differenzialgleichung 2.Ordnung für
die Ladung Q(t) auf dem Kondensator während des
Schwingungsvorgangs mit den Anfangsbedingungen
Q( t = 0) = Q 0 und I( t = 0) = 0 .
Arbeitsaufträge:
1. Ladung auf dem Kondensator
a) Zeigen Sie durch zweimaliges Ableiten der Funktion Q( t ) und Einsetzen von Q( t ) und
die Differenzialgleichung (*), dass die Funktion Q( t ) = Q 0 ⋅ cos(ω0 ⋅ t ) mit ω0 =
d 2 Q( t )
in
dt 2
1
die DifL⋅C
ferenzialgleichung (*) erfüllt und damit den zeitlichen Verlauf der Ladung auf dem Kondensator
während des Schwingungsvorgangs beschreibt.
© 2002 Thomas Unkelbach
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b) Zeigen Sie, dass die Funktion Q( t ) auch die erste Anfangsbedingung Q( t = 0) = Q 0 erfüllt.
c) Erstellen Sie mit einem Funktionsgraphen-Plotter den Graph der Funktion Q( t ) für L = 600H ,
C = 40µF = 4,0 ⋅ 10 −5 F und Q 0 = 0,004C .
d) Berechnen Sie die Kreisfrequenz ω , die Frequenz f und die Schwingungsdauer T des Elektromagnetischen Schwingkreises für L = 600H , C = 40µF = 4,0 ⋅ 10 −5 F und Q 0 = 0,004C .
e) Berechnen Sie, zu welchen Zeitpunkten im Zeitintervall [0 ; T ] die Ladung auf dem Kondensator
extremal ist und berechnen Sie weiter, wie groß die Ladung zu diesen Zeitpunkten ist.
2. Spannung über dem Kondensator
a) Zeigen
Sie
mit
Hilfe
des
Zusammenhangs
U C (t) =
Q( t )
,
C
dass
die
Funktion
Q0
den zeitlichen Verlauf der Spannung über dem Kondensator
C
während des Schwingungsvorgangs beschreibt.
b) Erstellen Sie mit einem Funktionsgraphen-Plotter den Graph der Funktion U C ( t ) für L = 600H ,
U C ( t ) = Û ⋅ cos(ω 0 ⋅ t ) mit Û =
C = 40µF = 4,0 ⋅ 10 −5 F und Q 0 = 0,004C .
c) Berechnen Sie, zu welchen Zeitpunkten im Zeitintervall [0 ; T0 ] die betraglich größten Spannungen über dem Kondensator herrschen, wie groß die Spannungen zu diesen Zeitpunkten sind und
welche Ladungen sich zu diesen Zeitpunkten auf dem Kondensator befinden.
3. Stromstärke in der Schaltung
a) Zeigen Sie mit Hilfe des Zusammenhangs I( t ) =
Î = Q 0 ⋅ ω 0 =
dQ( t )
, dass die Funktion I( t ) = −Î ⋅ sin(ω0 ⋅ t ) mit
dt
Q0
den zeitlichen Verlauf der Stromstärke in der Schaltung während des
L⋅C
Schwingungsvorgangs beschreibt.
b) Zeige, dass die Funktion I( t ) auch die zweite Anfangsbedingung I( t = 0) = 0 erfüllt.
c) Erstellen Sie mit einem Funktionsgraphen-Plotter den Graph der Funktion I( t ) für L = 600H ,
C = 40µF = 4,0 ⋅ 10 −5 F und Q 0 = 0,004C .
d) Berechnen Sie, zu welchen Zeitpunkten im Zeitintervall [0 ; T0 ] die betraglich größten Ströme
fließen, wie groß die Stromstärken zu diesen Zeitpunkten sind und welche Ladungen sich zu diesen
Zeitpunkten auf dem Kondensator befinden.
4. Induktionsspannung
a) Zeigen
Sie
mit
Hilfe
des
Zusammenhangs
U L (t) = L
dI( t )
,
dt
dass
die
Funktion
Q0
den zeitlichen Verlauf der InduktionsspanC
nung über der Spule während des Schwingungsvorgangs beschreibt.
b) Erstellen Sie mit einem Funktionsgraphen-Plotter den Graph der Funktion U L ( t ) für L = 600H ,
U L ( t ) = − Û ⋅ cos(ω 0 ⋅ t ) mit Û = L ⋅ Q 0 ⋅ ω0 =
2
C = 40µF = 4,0 ⋅ 10 −5 F und Q 0 = 0,004C .
c) Berechnen Sie, zu welchen Zeitpunkten im Zeitintervall [0 ; T0 ] die betraglich größten Induktionsspannungen herrschen, wie groß die Spannungen zu diesen Zeitpunkten sind und wie groß die
Stromstärken zu diesen Zeitpunkten sind.
© 2002 Thomas Unkelbach
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