Übungsblatt Entscheidung unter Risiko

Entscheidung unter Risiko
Ausgewählte Aufgaben aus den nicht-veröffentlichten
Zwischentests ab dem WS 2007/08
1. Die folgende Grafik zeigt die Dichtefunktion f der Verteilung einer Zufallsvariablen X.
f
-30
x
70
(a) Welchen Wert hat die Dichtefunktion in x = 0?
(b) Schreiben Sie die Dichtefunktion in analytischer Form an.
(c) Geben Sie die entsprechenden Werte der Verteilungsfunktion F bzw. Wahrscheinlichkeiten an:
F (−30) F (−10) F (0) F (20) F (70) p(−10 ≤ X ≤ 20) p(X > 40)
(d) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion.
2. Gegeben sei folgende Dichtefunktion einer Zufallsvariable X:
5
10
15
(a) Erklären Sie (mit Hilfe von Berechnungen), warum die Dichtefunktion im Intervall
[5, 10] den Wert 1/10 annehmen muss.
(b) Schreiben Sie die Dichtefunktion in analytischer Form an.
(c) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion.
(d) Ermitteln Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:
P (X ≥ 10) P (5 < X < 7.5)
P (X < 2) P (X ≥ 13)
P (X > 15)
3. Gegeben ist folgende Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable X:

0
für x ≤ 0




 1 x2
für 0 < x ≤ 3
F (x) = 30
1 2


− 70
x + 27 x − 73 für 3 < x ≤ 10



1
für x > 10
(a) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion.
(b) Schreiben Sie die Dichtefunktion analytisch an und skizzieren Sie diese.
(c) Ermitteln Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:
P (X ≥ 3) P (X ≤ 5) P (X ≥ 9) P (3 ≤ X ≤ 5)
4. Von fünf Alternativen sind die Erwartungswerte µ und die Standardabweichungen σ der
Ergebnisse bekannt:
µ
σ
A B C
10 50 5
30 70 50
D E
30 35
30 10
(a) Für welche Alternative(n) würde sich ein rationaler Entscheidungsträger nicht entscheiden?
Begründen Sie Ihre Antwort.
(b) Für welche Alternative(n) würde sich ein risikoaverser Entscheidungsträger nicht entscheiden?
Begründen Sie Ihre Antwort.
(c) Für welche Alternative würde sich ein risikofreudiger Entscheidungsträger nicht entscheiden?
Begründen Sie Ihre Antwort.
(d) Für welche Alternative(n) würde sich ein risikoneutraler Entscheidungsträger nicht entscheiden?
Begründen Sie Ihre Antwort.
(e) Gibt es eine µ-σ-Präferenzfunktion eines
(1) risikoaversen Entscheidungsträgers, sodass Alternative B
(2) risikoaversen Entscheidungsträgers, sodass Alternative D
(3) risikfreudigen Entscheidungsträgers, sodass Alternative E gegenüber Alternativen
A, C, D vorgezogen wird?
allen anderen Alternativen vorgezogen wird?
Wenn ja, zeichnen Sie die Alternativen und die jeweiligen Indifferenzkurven einer solche
Präferenzfunktion in ein µ-σ-Diagramm. Wenn nein, geben Sie eine Begründung an.
5. Ein Entscheidungsträger hat eine Risikonutzenfunktion der Form u(x) = x2 − 2x.
(a) Skizzieren Sie die Nutzenfunktion. In welchem Bereich ist die Funktion ökonomisch
sinnvoll? (Begründung!)
(b) Bei einem Lotteriespiel kann er 1000 mit einer Wahrscheinlichkeit von p und 200 mit
einer Wahrscheinlichkeit von 1 − p gewinnen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkkeit p
bei einem Sicherheitsäquivalent von 500?
6. Ein Entscheidungsträger hat die Präferenzfunktion Φ(µ, σ) = µ − 2(µ2 + σ 2 )
(a) Welche Risikoeinstellung repräsentiert diese Präferenzfunktion (Begründung!)?
(b) Die Indifferenzkurven dieser Präferenzfunktion sind in folgender Grafik dargestellt.
Welche Indifferenzkurven entsprechen höheren Präferenzwerten? (Begründung!)
In welchem Bereich ist diese Präferenzfunktion konomisch sinnvoll? (Begründung!)
Hinweis: Betrachten Sie die Alternativen A, B, C, D, E in der Grafik.
Μ
C
E
Σ
B
D
A
7. Gegeben sind drei Nutzenfunktionen:
u1 (x) = 5 ln x,
u2 (x) = ln(x−5),
u3 (x) = ln x−5
(a) Geben Sie die Arrow-Pratt-Koeffizienten ri (x) der absoluten Risikoaversion für diese
drei Nutzenfunktionen an.
(b) Welche der drei Nutzenfunktionen repräsentiert die stärkste, welche die am wenigsten
starke Risikoaversion? Wie erklärt sich das Ergebnis?
(c) Skizzieren Sie die drei Nutzenfunktionen.
8. Ein Entscheidungsträger hat eine Risikonutzenfunktion der Form u(x) = ln(x + 100).
(a) Bei einem Lotteriespiel kann er 300 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% gewinnen,
mit 40% Wahrscheinlichkeit beträgt der Gewinn 0 e. Ermitteln Sie das Sicherheitsäquivalent s und die Risikoprämie π für diese Lotterie.
(b) Ermitteln Sie den Arrow-Pratt-Koeffizienten r(x) der absoluten Risikoaversion.
(c) Wie ändert sich die Risikoprämie, wenn die Gewinnmöglichkeiten in der Lotterie aus (b)
nicht 300 e und 0 e betragen, sondern (300+a) e und a e (mit a > 0)? (Begründung!)
9. Wie Aufgabe 8 für die Risikonutzenfunktion u(x) = −e−x/10 und folgende Lotterie:
100 e Gewinn mit einer Wahrscheinlichkeit von 80%, mit 20% Wahrscheinlichkeit beträgt
der Gewinn 0 e.
√
10. Wie Aufgabe 8 für die Risikonutzenfunktion u(x) = x + 200 und folgende Lotterie:
200 e Gewinn mit einer Wahrscheinlichkeit von 70%, mit 30% Wahrscheinlichkeit beträgt
der Gewinn 0 e
1
und folgende Lotterie:
x + 200
150 e Gewinn mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% gewinnen, mit 30% Wahrscheinlichkeit
beträgt der Gewinn 0 e
11. Wie Aufgabe 8 für die Risikonutzenfunktion u(x) = −
12. Von den Alternativen A, B, C, D, E ist folgendes bekannt:
µA = µB = µ C = µE < µ D
und σB = 0 < σE < σA = σC < σD
D dominiert A nach den Prinzip der Wahrscheinlichkeitsdominanz 1. Grades.
Alle Ergebnisse der Alternativen liegen zwischen 0 und 100.
Kreuzen Sie jeweils die richtige Antwort an.
(Überlegen Sie sich Begründungen für Ihre Antworten!)
(a) Alternative B dominiert Alternative A nach dem Prinzip der Wahrscheinlichkeitsdominanz 1. Grades.
¤ richtig
¤ falsch
¤ keine allgemeine Aussage möglich
(b) Alternative E dominiert Alternative A nach dem Prinzip der Wahrscheinlichkeitsdominanz 2. Grades.
¤ richtig
¤ falsch
¤ keine allgemeine Aussage möglich
(c) Alternative B dominiert Alternative A nach dem Prinzip der Wahrscheinlichkeitsdominanz 2. Grades. (Beachten Sie, dass σB = 0 ist.)
¤ richtig
¤ falsch
¤ keine allgemeine Aussage möglich
(d) Für u(x) = x2 − 200x gilt: E[u(A)] < E[u(E)]
¤ richtig
¤ falsch
¤ keine allgemeine Aussage möglich
(e) Für u(x) = ln(x + 100) gilt: E[u(A)] < E[u(E)]
¤ richtig
¤ falsch
¤ keine allgemeine Aussage möglich
(f) Für u(x) = ln(x + 100) gilt: E[u(A)] < E[u(D)]
¤ richtig
¤ falsch
¤ keine allgemeine Aussage möglich
13. Gegeben ist folgende Ergebnismatrix:
S1
p1 = 0.5
S2
p2 = 0.3
S3
p3 = 0.2
A1
17
7
4
A2
17
5
7
A3
17
7
0
µ
σ2
E[u1 (Ai )]
E[u2 (Ai )]
Φ(µ, σ)
(a) Tragen Sie für die gegebenen Alternativen in obige Tabelle die fehlenden Werte ein:
Erwartungswert µ, Varianz σ 2 ,
Erwartungswerte des Nutzens für die Nutzenfunktionen u1 (x) = 50x − x2 und
u2 (x) = ex/4 , Präferenzwert für die Präferenzfunktion Φ(µ, σ) = 50µ − (µ2 + σ 2 ).
Geben Sie die Präferenzordnungen bzgl. der beiden Nutzenfunktionen und der µ-σPräferenzfunktion an:
u1 :
u2 :
Φ:
(b) siehe nächste Seite
(c) Vergleichen und diskutieren Sie die Ergebnisse aus (a) und (b).
(d) Skizzieren Sie die Nutzenfunktion u1 . In welchem Bereich ist diese Nutzenfunktion
ökonomisch sinnvoll? Begründung!
A1
A2
A3
S1
p1 = 0.5
17
17
17
S3
p3 = 0.2
4
7
0
p(A3 ≥ x)
p(A2 ≥ x)
p(A1 ≥ x)
x<0
x=0
0<x<4
x=4
4<x<5
x=5
5<x<7
x=7
7 < x < 17
x = 17
Vergleichen Sie die Alternativen mittels absoluter Dominanz, Zustandsdominanz, Wahrscheinlichkeitsdominanz 1. Grades und
2. Grades.
(Es sind nicht nur Ergebnisse anzugeben, sondern es muss nachvollziehbar sein, wie Sie zu dem Ergebnis kommen.)
S2
p2 = 0.3
7
5
7
(a) Tragen Sie die Wahrscheinlichkeiten p(Ai ≥ x) in folgende Tabelle ein:
x > 17