Theorie Bruchgleichungen

M9 Bruchgleichungen und Ungleichungen
Gleichungen und Ungleichungen löst man indem man die Variable für die eine Lösung
gesucht wird isoliert (d. h. allein auf die linke Seite bringt).
Bei Bruchgleichungen sollte man zuerst den Hauptnenner wegmultiplizieren.
Es folgen hier einige Musteraufgaben und Spezialfälle.
Bestimme jeweils den Hauptnenner und notiere die Definitionsmenge:
1.
x+5
=4
25
D = R „x darf jede Reelle Zahl sein!“ 2.
7
=2
a-3
HN = 25
3.
1
x
5.
0,5
y -1
−
1
=0
x +1
4.
1
x-2
1
2y - 2
6.
x+8
3x + 3
=
7. Löse folgende Gleichung nach x auf:
4
3
1
−
=
2
x − 4 2x − 4 x + 2
+
2
x - 2x
2
x+2
=1
2x + 2
Achte auf das Minus vor dem Bruch!
Lösungen:
95 | 6,5 | {} | {} |
Bruchgleichungen und Ungleichungen M9
=
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R\{1} | 16 | 1,2
Zur Erinnerung: Interpretation von Gleichungslösungen
Lösung am Ende:
x=x
4=4
x=x+1
4=0
x=0
x=–4
a
b
c
d
e
f
Bedeutung
allgemeingültig
allgemeingültig
unlösbar
unlösbar
normale Lösung
normale Lösung
Lösungsmenge:
L = R (alle Reelen Zahlen)
L=R
L = {} (leere Menge)
L={}
L = {0} oder x = 0
L = {–4} oder x = –4
Wenn es keine Rolle spielt, was man für x einsetzt, ist die Gleichung allgemeingültig! (a) und (b)
Wenn am Ende etwas dasteht, was nicht sein kann, dann ist die Gleichung unlösbar. (c) und (d)
In allen anderen Fällen ist das Ende der Auflösung auch die Lösung der Gleichung! (e) und (f)
Ungleichungen:
1. Welche durch 3 teilbaren natürlichen Zahlen erfüllen folgende Ungleichung?
x+4 x−6
>
5
2
2. Welche ganzen Zahlen erfüllen gleichzeitig folgende Ungleichungen?
5 − 2x
< 0 und
3
4x − 3 3x + 1
<
6
5
Lösungen: {12; 9; 6; 3} | {3; 4; 5; … ;10}
Achtung:
Werden bei einer Ungleichung beide Seiten mit einer negativen Zahl multipliziert oder
dividiert, so muss das Ungleichheitszeichen gekehrt werden!
Beispiel 1:
2 > -6
-2 < 6
| · (-1)
Beispiel 2:
-5x > 10
x < -2
| : (-5)
Zur Erinnerung: Zahlenmengen
Natürliche Zahlen (Symbol N) sind: 1; 2; 3; 4, ….
Ganze Zahlen (Symbol Z) sind: 0; 1; -1; 2; -2; 3; -3; ….
Brüche (Symbol Q) sind 0; 1; 1,74; 5,33333; -3,8; ¾; ¼; ⅝ etc.
Reelle Zahlen (Symbol R) sind alle Kommazahlen also zusätzlich zu Q noch alle Wurzeln
und zum Beispiel auch die Zahl Pi.
Bruchgleichungen und Ungleichungen M9
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