Blatt 4

Blatt 4
Frühlingssemester 2010
Ungleichungen
Aufgabe 1
Berechnen Sie alle Stellen der folgenden Potenzen - und zwar ohne Taschenrechner:
a. 1.00014
b. 0.9994
c. 2.00024
d. 3.00035
e. 0.9984
Aus der letzten Aufgabe ergibt sich ein recht nützliches Werkzeug - die Bernoulli-Ungleichung:
(1 + x)n > 1 + nx
für x > −1, x 6= 0, n > 1
Aufgabe 2
Zeigen Sie (möglichst ohne Taschenrechner) die folgenden Ungleichungen:
a.
512 > 413
b.
3111 < 1714
c.
99 > 108
d.
792 < 891
Aufgabe 3
Welche Zahl ist grösser?
(a)
2300
Aufgabe 4
Zeigen Sie, dass
oder
3200
(b)
2100 + 3100 < 4100 .
240
oder
328
(c)
544
oder
453
Aufgabe 5
Beweisen Sie die AM-GM-Ungleichung (also die Ungleichung zwischen dem arithmetischen
und dem geometrischen Mittel):
a+b √
≥ ab
2
für alle
a, b ≥ 0
Gleichheit gilt genau im Fall a = b.
Aufgabe 6
Zeigen Sie, dass
√
1 + x ≥ 2 x,
Aufgabe 7
Zeigen Sie, dass
x2 + y 2
≥ xy
2
falls x ≥ 0.
für alle x und y.
Aufgabe 8
Zeigen Sie, dass
x+
Aufgabe 9
Zeigen Sie, dass
2(x2 + y 2 ) ≥ (x + y)2
Aufgabe 10
Zeigen Sie, dass
1
≥ 2,
x
falls x ≥ 0.
1 1
4
+ ≥
,
x y
x+y
für alle x und y.
falls x > 0 und y > 0.
Aufgabe 11
Zeigen Sie, dass (a + b)(a + c)(b + c) ≥ 8abc für a, b, c ≥ 0.
Aufgabe 12
Es sei a eine beliebige reelle Zahl. Zeigen Sie:
4a − a4 ≤ 3
Aufgabe 13
Es seien a, b, c, d reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass nicht alle vier Zahlen
a − b2
grösser als
1
4
sein können.
b − c2
c − d2
d − a2
Angenommen, Sie haben je einen Haufen von 10er, 20er und 50er Noten und dürfen sich von
einem Haufen eine, von einem zweiten vier und von dem dritten Haufen sechs Noten nehmen. Es
ist wohl klar, wie Sie sich entscheiden würden. Dieses Prinzip liest sich mathematisch formuliert
so:
Satz (Hauptsatz) Es seien a1 , a2 , . . . , an und b1 , b2 , . . . , bn zwei Folgen reeller Zahlen. Ferner sei
c1 , c2 , . . . cn eine Umordnung der Folge bk . Dann ist die Summe
S=
n
X
ak ck = a1 c1 + a2 c2 + . . . + an cn
k=1
am grössten, wenn ak und ck gleich geordnet sind, und sie ist am kleinsten, wenn ak und ck
entgegengesetzt geordnet sind.
Beweis: Angenommen, es gibt zwei Indizes i und j, so dass ai > aj , aber ci < cj . Vertauscht
man die beiden Folgenglieder ci und cj , so ändert sich der Wert der Summe um
(ai cj + aj ci ) − (ai ci + aj cj ) = (ai − aj )(cj − ci ) > 0
Indem wir endlich viele solcher Vertauschungen vornehmen, können wir die Folge ck stets gleich
wie die Folge ak anordnen. Dabei erhöht sich der Wert der Summe bei jeder Vertauschung. Dies
beweist die erste Behauptung. Analog zeigt man, dass die Summe am kleinsten ist, wenn die ak
und ck entgegengesetzt geordnet sind. QED
Bemerkung: In den Anwendungen ist folgende Notation nützlich:
a1 a2 . . . an
c1 c2 . . . cn
= a1 c1 + a2 c2 + . . . + an cn
Aufgabe 14
Zeigen Sie, dass x2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx für alle x, y und z.
Aufgabe 15
Zeigen Sie: Sind a und b positive reelle Zahlen, so gilt:
min(a, b) ≤
1
a
2
+
1
b
≤
√
a+b
≤
ab ≤
2
r
a2 + b2
≤ max(a, b)
2
Man nennt die sechs Ausdrücke der Reihe nach das Minimum, harmonische Mittel, geometrische
Mittel, arithmetische Mittel, quadratische Mittel und Maximum der beiden Zahlen. Kurz
min ≤ HM ≤ GM ≤ AM ≤ QM ≤ max
Zusatzfrage: Wie viele Ungleichungen sind in dieser Ungleichungskette zusammengefasst?
Aufgabe 16
√
√
√
Zeigen Sie, dass ab + bc + ca ≥ a bc + b ac + c ab für a, b, c ≥ 0.
Aufgabe 17
Zeigen Sie, dass x2 + y 2 + 1 ≥ xy + x + y für alle x und y.
Aufgabe 18
Zeigen Sie, dass a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c) für a, b, c ≥ 0.
Aufgabe 19
Zeigen Sie die folgende Verallgemeinerung der AM-GM-Ungleichung:
√
a+b+c+d
4
≥ abcd für alle
4
Aufgabe 20
Beweisen Sie, dass
Aufgabe 21
Zeigen Sie, dass
x4 + y 4 + 8 ≥ 8xy
a, b, c, d ≥ 0
für alle x und y.
1 1 1 1
(a + b + c + d)( + + + ) ≥ 16
a b
c d
für a, b, c, d > 0.
Aufgabe 22
Zeigen Sie die folgende Verallgemeinerung der AGM-Ungleichung:
a+b+c √
3
≥ abc für alle
3
Aufgabe 23
Zeigen Sie, dass
a b c
+ + ≥3
b c a
für a, b, c > 0.
a, b, c ≥ 0