Warum Mathe? Was ist Mathe? Mengen Zahlenmengen
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Wenn keine Gleichungskette, Warum Mathe? M / Jai /28.07.14 / dann Folgerungspfeile! ⟹ Denkwerkzeug, Sprache der (Natur‐) Wissenschaft, Technik & Mathe? & Mengen
Falsch: 5 ∙ 4 20 ∙ 4 80 Produktdesign, Problemlösung & Optimierung, Informationsverdichtung, Korrekt: 5 ∙ 4 20
Vereinfachung der Darstellung, Schönheit & Symmetrie ⟹
20 ∙ 4 80
Was ist Mathe? Symbole Verneinung (nicht) Mathe ist eine Beziehungssprache ∧ und Sprache Mathematik
∨ oder Alphabet, Variablen, Junktoren, Relations‐ & ⇒ „Wenn…, dann ….“ ⟺ „genau dann, wenn“ Buchstaben Funktionssymbole, Klammern ∞ unendlich Wörter Terme
∈ „Element von“ Sätze Ausdrücke & Aussagen
∉ „nicht Element von …“ ∀ „Für alle …“ ⟹ Gegenstände ⟹ Beziehungen (Liebe, Ehe, ∃ „Es gibt…“ (Tisch, Stuhl,…) Freundschaft, , , … ∥ parallel senkrecht Mathematik macht Aussagen über Mengen. Auch Zahlen & Punkte im Koordinatensystem (und alle , , ,
,
anderen mathematischen Objekte, wie Relationen, Funktionen,…) lassen sich als Mengen darstellen. ∅ leere Menge leere Menge blau=Relationssymbole Mengen 0,1.2.3, … Mengen kann man sich als Schachteln (Georg Cantor: „gedankliche Zusammenfassung“) Natürliche Zahlen 2; 1; 0; 1; 2 … vorstellen. Die Inhalte der Schachtel nennt man Elemente der Menge. (Bsp. Ferrero, Haribo) Ganze Zahlen Bezeichnung von Mengen durch Großbuchstaben ℚ
0; 1; ; 1; 2; ; … Extensionalitätsaxiom (Ext): Haben zwei Mengen dieselben Elemente, so sind sie gleich. Rationale Zahlen 1; 2; 3; 5; 8
8; 2; 5; 3
.: 1; 2; 3; 5; 3; 2; 8
(=alle Punkte auf der ä
Zahlgeraden) Reelle Zahlen Wenn die Reihenfolge der Aufzählung oder Mehrfachnennung wichtig ist, dann schreibt man runde Wortbedeutung von Mathematik: lernen bzw. ;
;
;
; bzw. ;
Klammern (vgl. Punkte im KS). Bsp.: ;
Wissenschaft Lösung: ; ≔ ; ;
; ≔ ; ;
5; 3 ≔ ; 5 ; 3 Folgerungen aus Ext: Zahlenmengen Natürliche Zahlen als Mengen: 0 ≔ 1:
3 ≔
Trick: Reihenfolge durch Markierungen (roter Punkt bzw. {} Symbol) anzeigen Intervalle=Abschnitte auf der Zahlgeraden
; ; ; 0 2≔
; 0; 1 0; 1; 2 ,…. Rationale Zahlen ℚ: o Jede rationale Zahl lässt sich als Bruchzahl in der Form mit , ∈ darstellen. ⋯ o Problem: Jede rationale Zahl besitzt daher unendlich viele Darstellungen. Bsp.: o Lösung: Darstellung der rationalen Zahlen durch vollständig gekürzte Brüche (d.h. ggT von Zählen & Nenner = 1) oder durch Dezimalzahlen ist eindeutig. o Alle rationalen Zahlen sind entweder abbrechende gemischtperiodische 0.5 , reinperiodische 0. 6 oder 0.317 Dezimalzahlen. Was ist mit Dezimalzahlen, die weder abbrechend noch periodisch sind (=irrationale Zahlen wie √2, , , … . ? o Zwischen zwei rationalen Zahlen auf der Zahlgeraden liegen immer unendlich viele weitere . rationale Zahlen (Idee: finde die Zahl in der Mitte zwischen und durch ∙
∙
∙
∙
) Bsp.: In der Mitte zwischen ∙
o Trotzdem gibt es offenbar „Lücken“ (=irrationale Zahlen) auf der Zahlgeraden, die nicht durch rationale Zahlen dargestellt werden können. Mengenbildung 1; 2; 3; 4 ∧
3; 4; 5; 6; 7 ∧
6; 7; 8; 9 . 3; 4 , Vereinigung: ∪
3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 , Schnittmenge: ∩
1; 2 , \
5; 6; 7 , \
6; 7; 8; 9 , Restmenge (=alle aus A, die nicht in B sind) \
Warum muss man überhaupt alle Punkte auf der Zahlgeraden durch Zahlen eindeutig benennen können? → präzise Messung von Längen Was bedeutet „irrational“ anschaulich für Längen? → Es gibt Längen, die man nicht als ganzzahliges Vielfaches einer anderen Länge exakt messen kann (z.B. 1
100 ∙ 1 und 1,57
157 ∙ 1 , d.h. die beiden Längen 1 und 1,57 sind nicht ganzzahlige Vielfache voneinander, aber sie lassen sich in einer anderen [kleineren] Einheit 1cm als ganzzahlige Vielfache dieser gemeinsamen Einheit darstellen bzw. exakt messen). Die Existenz von irrationalen Zahlen zeigt, dass so eine kleinere gemeinsame Einheit nicht für alle Fälle gefunden werden kann (Euklid nannte solche Streckenpaare „inkommensurabel“). Die größtmögliche gemeinsame Einheit erhält man durch Bestimmung des ggT der beiden Strecken (vgl. Folie 28).
