Lösungen zum Mikro 1 Tutorium

Lösungen zum Mikro 1 Tutorium
Thomas Rupp∗
Aufgaben 23 bis 26
18. Februar 2001
Aufgabe 23
Ich schreibe y1 := ya , y2 := yb usw.
a)
Um den gemeinsamen Gewinn zu maximieren müssen wir erst das Verhältnis der Produktionsmengen der beiden Unternehmen bestimmen (da beide nicht die gleichen Kosten haben, wir das Unternehmen mit den niedrigeren Stückkosten mehr produzieren).
Die Unternehmen produzieren immer soviel, dass ihre produzierten Mengen im gleichen
Verhältnis wie ihre Grenzkosten stehen. Denn würde eines mehr produzieren, wären
diese mehrproduzierten Einheiten teurer, als wenn sie (gemäß dem Verhältnis) zwischen
den beiden aufgeteilt worden wären:
!
K10 (y1 ) = K20 (y2 ) ⇔ 2y 1 = 4y2 ⇔ y1 = 2y2 .
Das günstigere Unternehmen produziert also (bei gemeinsamer Gewinnmaximierung)
doppelt so viel, wie das teurere zweite Unternehmen (verständlich, da es die doppelten
(Grenz-)Kosten hat). Die gesamte Produzierte Menge ist somit
y
2y
⇒ y1 =
.
3
3
Die Gewinnmaximierung geschieht nun so wie immer:
’ “2
 y ‘2
2y
15
G(y) = (20 − y)y −
−2
= 20y − y 2
3
3
9
30
!
y⇔y=6
G0 (y) = 0 ⇔ 20 =
9
⇒ y1 = 4, y2 = 2
y = y1 + y2 = 3y2 ⇒ y2 =
Dabei stellt sich ein Preis von p = 14 und ein Gewinn von G = 60 ein.
b)
Das Verfahren ist genauso wie bei Aufgabe 21:
∗ [email protected]
G1 (y1 ) = (20 − y1 − y2 )y1 − y12
= 20y1 − 2y12 − y2 y1
G10 (y1 ) = 20 − 4y1 − y2
20 − y2
!
= 0 ⇔ y1 =
4
G2 (y2 ) = 20y2 − 3y22 − y1 y2
G02 (y2 ) = 20 − 6y2 − y1
20 − y1
!
= 0 ⇔ y2 =
6
1
2
Somit ergeben sich durch einsetzen folgende Mengen
1
20 − ( 20−y
20 y1
100
6 )
=5−
+
⇔ y1 =
4
24 24
23
20
100
60
20 − y1
y2 =
=
−
=
6
6
23 · 6
23
y1 =
⇒
c)
Beim Stackelberg-Wettbewerb ist es nun so, dass wenn a zuerst zieht, dieser deutlich
im Vorteil ist (first-mover advantage). Denn das zweite Unternehmen wird vor vollendete Tatsachen gestellt und kann seine Menge jetzt nurnoch anpassen; also auf die
Angebotsmenge des ersten Unternehmens für sich optimal reagieren. Das bedeutet, da
Unternehmen 1 weiss, wie Unternehmen 2 auf seine Angebotsmenge reagieren wird
(erste Ableitung der Gewinnfunktion des zweiten Unternehmens), kann Unternehmen
1 diese schon in seine Gewinnfunktion einbauen.
Die gewinnoptimale Mengenwahl von Unternehmen zwei hatten wir ja eben berechnet:
1
y2 = 20−y
6 . Also setzen wir diese in die Gewinnfunktion von Unternehmen 1 ein:
’
20 − y1
G1 (y1 ) = 20y1 − − y2 y1 − = 20y1 − −
6
1
11
20
100
= 20y1 − y12 − y1 + y12 − y12 =
y1 − y12
6
6
6
6
100 22
0
G1 (y1 ) =
− y1
6
6
50
!
= 0 ⇔ y1 =
11
20 − 50
20 − y1
85
11
⇒ y2 =
=
=
6
6
33
y12
y12
y12
“
y1 − y12
Aufgabe 24
Produzentenrente:
• Der Nutzen den die Produzenten dadurch erreichen, dass sie auch bereit gewesen
wären, zu einem (gemäß ihrer Angebotsfunktion) geringeren Preis (bei entsprechend kleinerer Menge) anzubieten.
• entspricht der Fläche über der Angebotsfunktion (Grenzkosten) und unterhalb
des Gleichgewichtspreises.
– py −
Ry
K(y)dy
0
– Berücksichtigt man die Fixkosten nicht (Feess zum Beispiel), dann entspricht
die Produzentenrente dem Deckungsbeitrag, ansonsten dem Gewinn
• Die Produzentenrente ist wohlfahrtstheoretisch gleichberechtigt zur Konsumentenrolle (nur die Summe ist ausschlaggebend, nicht ihre Zusammensetzung)
Rückwärtsinduktion:
In mehrfach wiederholten Spielen mit endlichem Zeithorizont wird zur Ermittlung des
Verhaltens der Spieler in jedem Teilspiel das Prinzip der Rückwärtsinduktion angewandt.
3
Unter einem endlichen Zeithorizont versteht man, dass (jedem Beteiligten) bewusst ist,
zu welchem Zeitpunkt ’das Spiel’ zuende ist (meist die genaue Anzahl der Teilspiele,
oder auch ein bestimmtes Ereignis). Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gehen wir
davon aus, dass nur ein (Teil-)Spiel wiederholt gespielt wird.
Der Einfachheit halber nehmen wir weiterhin an, dass es in jedem Teilspiel genau ein
Nashgleichgewicht gibt.
Dann ist die prinzipielle Vorgehensweise ist ganz einfach:
• Angenommen wir befinden uns im letzten Spiel. Dann ist das letzte Teilspiel
gleichwertig zum einfachen Spiel. Also spielt jeder das Nashgleichgewicht, da sein
Nutzen dort jeweils maximal ist.
• Nun weiss jeder, für was sich die anderen Spieler im darauffolgenden Spiel entscheiden werden. Also steht das darauffolgende Ergebnis schon fest und spielt für
die aktuelle Entscheidung keine Rolle mehr. Wir befinden uns nun sozusagen im
neuen ’letzen’ Teilspiel. Und in diesem spielt mit der obigen Begründung wieder
jeder das Nashgleichgewicht.
• Im drittletzten Teilspiel gilt die gleiche Argumentation wie in dem zweitletzten
und letzten.
• Dies gilt auch bis hin zum ersten Spiel.
• Also spielt jeder Spieler in jedem Teilspiel das Nashgleichgewicht.
Gibt es mehere Nashgleichgewichte in einem Spiel wird die Sache komplizierter und man
muss sie auf ihre Plausibilität hin untersuchen bzw. es können auch mehere plausible
Spielpfade existieren. Das Prinzip, dass jedes Teilspiel gleichwertig zum alleinigen Spiel
ist, bleibt jedoch bestehen.
Als Beispiel nehmen wir das Spiel, in dem 2 Spieler teilnehmen. Jeder Spieler sagt
abwechselnd eine Zahl zwischen 1 und 9 (je einschließlich). Die Zahlen werden bei
jedem Zug addiert. Der Spieler, der zuerst auf 100 kommt, hat gewonnen.
Schauen wir uns den letzten Zug an: damit ein Spieler 100 sagen kann, muss der anderer
mit seiner Zahl auf 99 − 91 kommen. Das ist nur dann der Fall, wenn der Spieler vorher
auf die 90 gekommen ist. Also gewinnt der Spieler, der zuerst auf 90 kommt, usw. Also
gewinnt derjenige, der zuerst auf 10 kommt. Wenn beide Spieler das Spiel durchschaut
haben, gewinnt immer der, der nicht anfängt (egal was der andere sagt, er kann immer
eine Zahl sagen, so das als Summe 10 rauskommt).
Aufgabe 25
Wir benutzen die gleiche Vorgehensweise wie in Aufgabe 23. Wir berechnen die gewinnmaximale Angebotsmenge für Unternehmen 3 und setzen diese in die Gewinnfunktion
von Unternehmen 2 ein. Dann berechnen wir seine gewinnmaximale Angebotsmenge
und setzen sie bei Unternehmen 1 ein. Schliesslich berechnen wir die gewinnmaximale
Angebotsmenge von Unternehmen 1 und erhalten sukkzesive explizit alle gewinnmaximalen Angebotsmengen.
4
G3 (y3 )
=
G03 (y3 )
=
!
=
G2 (y2 )
=
G02 (y2 )
=
!
=
G1 (y1 )
=
=
G01 (y1 )
(100 − y1 − y2 − y3 )y3
100 − y1 − y2 − 2y3
100 − y1 − y2
0 ⇔ y3 =
2
’
’
““
y1 y2
100 − y1 − y2
y2
100 − y1 − y2 −
y2 = 50y2 −
− 2
2
2
2
y1
− y2
50 −
2
y1
0 ⇔ y2 = 50 −
2
 !!
€

100 − y1 − 50 − y21
y1 ‘
100 − y1 − 50 −
−
y1
2
2
25y1 −
y12
4
!
=
0 ⇔ y1 = 50
⇒ y2 = 25 ⇒ y1 = 12.5
Aufgabe 26
Mengen schreibe ich immer mit y. Also y statt x.
a)
Die Vorgehensweise ist genauso wie bei Aufgabe 21. Da beim Gewinnmaximieren die
Fixkosten keine Rolle spielen, di PAF und Kosten dann gleich sind, sind auch die
Ergebnisse identisch:
yD =
9 − yD
9 − yS
, yS =
, yD = yS = 3, p = 4.
2
2
Also haben wir einen Gewinn von GD = DS = 4 · 3 − 3 = 9.
b)
Das schottische Unternehmen wird mit 12 pro Stück subventioniert. Also sinken seine
Kosten um diesen Betrag pro Stück. Also ist jetzt KS = yS − 12 yS = 12 yS .
Für die Gewinnfunktion des deutschen Unternehmens ändert sich nichts. Also gilt
S
immernoch yD = 9−y
2 . Beim schottischen Unternehmen ist das jetzt anders:
GS (yS )
=
G0S (yS )
=
(10 − yD − yS )yS −
19
yS
=
yS − yD yS − yS2
2
2
19
− yD − 2yS
2
19 yD
!
−
= 0 ⇔ yS =
4
2
Setzen wir das neue Ergebnis in die gewinnmaximale Angebotsmenge des deutschen
Unternehmens ein, erhalten wir
€

yD
9 − 19
17
10
9 − yS
4 − 2
=
⇔ yD =
⇒ yS =
.
yD =
2
2
6
3
10
Somit erhalten wir einen Preis von p = 10 − 17
6 − 3 =
17
289
23 10
10
100
23 17
GD = 6 · 6 − 6 = 36 und GS = 6 · 3 − 6 = 9 .
23
6
und einen Gewinn von