Anwendung vom Wellenmodell
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Abiturwiederholung Physik Anwendung vom Wellenmodell Elektronenbeugung a. In einer Röhre werden Elektronen durch Anlegen einer bestimmten Spannung beschleunigt und auf eine Graphitfolie gelenkt. Auf einem Schirm, der im Abstand L zur Folie steht, bilden sich nun konzentrische Ringe mit dem Durchmesser D. Die Deutung dieses Versuches geschieht durch die Annahme, dass massenbehaftete Teilchen, wie das massenlose Photon ebenso Wellencharakter besitzen. Es muss also auch die Beziehung gelten: h p Lambda ist hierbei die De-Broglie-Wellenlänge, benannt nach dem Entdecker. Auf dieser Grundlage kann man die Funktionsweise der Bragg-Reflektion anwenden. b. Bragg Reflexion Wenn man beispielsweise verschiedene Netzebenen betrachtet, wie bei im Gitter angeordneten Stoffen, dann kommt es nur bei bestimmten Winkeln zur Reflexion mit merklicher Amplitude. Dies ist auf die Tatsache zurückzuführen, dass die Wellen einen gewissen Weg zurücklegen müssen, wenn sie in der zweiten Netzebene Reflektiert werden, das heißt, dass es nur zu einem Maxima kommt, wenn der Gangunterschied ein vielfaches von Lambda ist. Wenn s die Strecke AB ist, dann ist 2s die Strecke ABC, die Strecke s kann jeweils durch rechtwinklige Dreiecke beschrieben werden. s sin a 2s 2a sin Damit es zur konstruktiven Interferenz kommt, muss die zurückgelegte Strecke ein Vielfaches von Lambda sein. n 2a sin c. Aufgrund der Beschaffenheit von Graphit, gibt es zwei Gitterabstände. Als Dreiecksbeziehung ergibt sich aus dem Durchmesser sowie dem Abstand zwischen Kristall und Schirm, folgendes: tan2 D 2L (es ist der doppelte Winkel, da die Oberfläche wo das Licht gebeugt wird selber gewinkelt ist.) Durch Umformen und Einsetzten der Bragg-Reflexion, ergibt sich 1 2 D 2L 2a sin arctan a Mark Kremer D 2L -1- Abiturwiederholung Physik d. Die Geschwindigkeit ergibt sich aus der Beschleunigungsspannung U, durch die Umwandlung der Energie ergibt sich: 1 2 mv e U 2 2 e U v m Durch Einsetzten des Impulses, ergibt sich folgendes h 2 m e U D h a 2L 2 m e U Fotoelektrischer-Effekt/Äußerer Lichtelektrischer Effekt a. Beim Lichterelektrischen Effekt, zeigt man, das Photonen bzw. Licht einen Impuls hat, da Elektronen herausgelöst werden. b. Man bestrahlt eine Metallplatte mit UV-Licht, vor dieser Metallplatte steht ein Gitter. Wenn man eine hohe Spannung zwischen Gitter und Platte anlegt bzw. ein sehr sensibles Strommessgerät benutzt, kann man einen Strom messen der zwischen Gitter und Platte fließt. c. Bei einem weiteren Versuch, stellt man eine Gegenspannung ein, entgegen der durch das Licht hervorgerufenen Spannung. Man verändert jeweils die Frequenz und die Gegenspannung. Aufgrund dieser beiden Versuche kann man folgende Aussagen treffen: - Licht ist in der Lage Elektronen herauszulösen - Kurzwelliges Licht erzeugt einen höhere Potentialdifferenz - Bei höherer Intensität werden mehr Elektronen herausgelöst, aber ab einer bestimmten Intensität steigt die Spannung nicht Mehr. Die Maximalspannung hängt nicht von der Intensität ab. (Man kann sich das so Vorstellen, dass ein Kondensator nach und nach aufgeladen wird, durch viele Elektronen wird er nur schneller aufgeladen.) - Photonen einer bestimmten Wellenlänge lösen die Elektronen mit einer bestimmten Energie heraus, folglich werden ab einer bestimmten Wellenlänge keine Elektronen mehr herausgelöst. d. Die Energie die die Photonen übertragen um die Elektronen herauszulösen, muss sich aus 2 Komponenten zusammensetzen, der Austrittsenergie um die Elektronen aus dem Material herauszulösen und der kinetischen Energie, die die Elektronen nach dem herauslösen haben. Wk max W A WPh Wk max 1 2 mvel 2 e. Bei jeder Frequenz kann man die Gegenspannung so einstellen, dass es keinen Stromfluss mehr gibt. An diesem Punkt ist die kinetische Energie gleich der potentiellen Energie die ein Elektron im elektrischen Feld besitzt. e U 1 2 mvel 2 Trägt man diese Punkte in einen Graphen, ergibt sich ein linearer Zusammenhang. Die Steigung bezeichnet das plancksche Wirkungsquantum h. Mark Kremer -2- Abiturwiederholung f. Physik Da man die Frequenz gegen die kinetische Energie aufträgt, muss für den funktionalen Zusammenhang folgendes gelten: Wk max h f WA g. Wichtig ist hierbei der Fall, dass bei keiner Gegenspannung kein Strom fließt, denn in diesem Fall reichte die Energie der Photonen lediglich aus, die Elektronen herauszulösen, nicht aber sie zu beschleunigen. Man nennt die Frequenz, bei der dieser Fall eintritt auch Grenzfrequenz f G und kann damit die Austrittsenergie berechnen. h. Insgesamt ist also die Energie eines Photons: Masse und Impuls eines Photons a. Einsteins Ansatz Licht ist ein Energiestrom und die Energie wird in Form von Lichtquanten (sog. Photonen) übertragen. Die Energie kann durch das Plancksche-Wirkungsquantum h und Lambda beschrieben werden. E ph h f (Beachte: Dies ist die Energie eines Photons, nicht eines gesamten Lichtblitzes) Ein größere Intensität sorgt für mehr absorbierte Photonen auf eine gewisse Fläche Ein Elektronen absorbiert immer nur die Energie eines Photons Die kinetische Energie eines Lichtquants wird beschrieben durch Ekin, ph m c 2 Ein Photon besitzt keine Ruhemasse Wenn sich die Energie des Lichtquants ändert, dann muss sich auch die „Masse“ Der Impuls ist: E kin , ph m c 2 h f h f c2 wenn, p ph m c m p ph h f h c Zwei Wege Experiment a. Photonen und Elektronen zeigen beim Doppelspaltexperiment beide Interferenz. Man kann die Intensität so verringern, dass man nur einzelne Photonen oder Elektronen auf den Doppelspalt schickt. Nach einer gewissen Zeit erhält man dasselbe Resultat wie bei einer hohen Intensität. Folglich kann man nur die Wahrscheinlichkeit bestimmen, wo das Quantenobjekt auftritt. b. Zur Berechnung, welches Interferenzmuster sich bildet, benutzt man die de-Broglie Wellenlänge, was nicht heißt, dass die Teilchen wirklich wie Wellen sind. Sie lassen sich aber mathematisch so beschreiben. Die der Wellenlänge zugeordnete Funktion nennt man PsiFunktion. Mark Kremer -3- Abiturwiederholung Physik Quantenobjekte - Quantenobjekte lassen sich als Einzelobjekte nachweisen - Quantenobjekte können gezählt werden, sie sind unteilbar - Quantenobjekte zeigen bei Versuchen Interferenzerscheinungen - Einzelergebnisse sind unvorhersehbar - Ereignisse sind nur über Wahrscheinlichkeitsaussagen möglich Compton Effekt a. Bei der Bestrahlung von Kohlenstoff durch Röntgenstrahlen nimmt die Wellenlänge bei zunehmendem Winkel zu. Dies lässt sich auf die Wechselwirkung der Photonen mit den Elektronen zurückführen, denn ein Teil der Energie wird abgegeben. b. Zur Beschreibung muss man zwei Bedingungen aufstellen: Ee hf m0e c 2 hf Ph Energieerhaltungssatz: EPh E0e EPh Ee 2 2 2 Impulserhaltungssatz: p Ph pPh pe pe pPh pPh 2 pPh pPh cos Die Schlussfolgerung aus dem Impulserhaltungssatz ergibt sich aus dem Cosinussatz, welcher auf die Beträge angewendet wird. Außerdem braucht man die Gleichung: Ee2 pe2 c 2 E0 m02e c 4 Diese ergibt sich wenn man die Mechanische-Energie betrachtet, und Kraft sowie Geschwindigkeit einsetzt. S2 Fds dE Fds E S1 dp ds ,v dt dt Einsetzen : dE v dp F Durch Kombination der Verhältnisse für Energie und Impuls ergibt sich folgendes: E mc 2 , p mv Einsetzen : v pc 2 E Durch Einsetzen in die erste Gleichung erhält man: EdE c 2 p dp Durch Integrieren erhält man: EdE c p dp C 2 1 2 1 2 2 E c p C 2 2 2 2 E cp C konstant Dies besagt, dass in allen System diese Beziehung gilt, im Ruhesystem ist der Impuls 0, weshalb die Konstante den Wert der Ruheenergie hat, folglich gilt: E 2 cp E02 2 Mark Kremer -4- Abiturwiederholung Physik Dies erklärt die obige Gleichung. Setzt man diese und die obige zum Energieerhaltungssatz in die des Impulserhaltungssatzes ein, erhält man nach Umformungen folgende Gleichung. h (1 cos ) m0 e c h (1 cos ) m0 e c c. Der vordere Teil der Gleichung ist die sogenannte Compton-Wellenlänge, sie hängt nur von der Masse der Teilchen ab, die angestoßen werden. C h mc Heisenbergs Unbestimmtheitsrelation Betrachtet man einen Einfachspalt mit großer Öffnung, dann gibt es ein großes Hauptmaximum, man könnte auch sagen, dass es nur einen geringe Impulsunschärfe gibt, da der Impuls sich nicht allzu stark ändern kann, da der Winkel sehr klein ist. Begleitend mit dieser Vorstellung muss man sich vorstellen, dass bei kleiner Öffnung das Licht gefächert wird, sonst eher gebündelt. Wenn wir also die große Öffnung und die gering Impulsunschärfe haben, dann ist allerdings aufgrund der großen Öffnung eine große Ortsunschärfe vorhanden. Wenn wir eine kleine Öffnung (geringe Ortsunschärfe) haben, dann wird das Licht stärker gestreut (große Impulsunschärfe). Dies kann man durch die Betrachtung des Einfachspaltes im Ansatz beschreiben. Für das 1. Minimum vom Einfachspalt gilt: x sin x Da der Querimpuls p x senkrecht auf dem ursprünglichen Impuls p y steht, kann man die beiden über den Tangens beschreiben. tan p x py Durch eine Näherung ergibt sich: p x py x Durch de Broglie kann man die Wellenlänge durch den Impuls beschreiben. h py Mark Kremer -5- Abiturwiederholung Physik Wenn man alles Einsetzt und umformt, ergibt sich: p x x h Anwendung Heisenberg (Nullpunktsenergie) Wenn ein Teilchen nahe des Nullpunktes im Bezug auf die Temperatur ist, kann man quasi davon ausgehen, dass es keine Temperatur mehr hat. Die Nullpunktsenergie beschreibt sich wie folgt. Ein Teilchen in einem Würfel mit Kantenlänge l wird beschrieben. Für die Impulsungenauigkeit wird einfach +px und –px angenommen, also p x 2 p x . Für eine Richtung (Bsp. x-Richtung) gilt also p x x h , wenn l=Δx 2 px l h px h 2l Für die Energie gilt: 1 2 mv 2 p2 ET 0 2m ET 0 Man muss nun alle drei Raumrichtungen betrachten, also x-, y-, z-Richtung. ET 0 1 p x2 p 2y p z2 2m 1 h h h 2m 2l 2l 2l 2 2 2 Da es ein Würfel ist, ist Δx für alle Raumrichtungen gleich 3h 2 8m l 2 Dies ist die Nullpunktsenergie, von z.B. Atomen, wenn man Elektronen betrachtet, muss man die e2 Coulomb-Kraft mit bedenken, also E pot , insgesamt muss man dann aufstellen: 4 0 r E E kin E pot Mark Kremer 3h 2 e2 4 0 r 8m l 2 -6-
