Mathematik/Jgstf Q/000 Klausuren/Jgstf12/2004

3. MATHEMATIKKLAUSUR
Name:
M1 - Mathe 12 GK (GA)
Bearbeitungszeit: 135 min
17.03.2005
− Seite 1 −
Aufgabe 1: In einer Urne befinden sich 4 rote, 5 grüne und 3 blaue Kugeln
a) Zwei Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Fertige ein
Baumdiagramm an und berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden
Ereignisse:
A: Eine grüne Kugel im ersten Zug.
B: Eine grüne Kugel im ersten Zug, eine blaue Kugel im zweiten Zug.
C: Eine blaue Kugel im zweiten Zug.
D: Beide Kugeln sind rot.
E: zwei unterschiedliche Kugeln werden gezogen.
b) Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für die Ereignisse (A) – (E), wenn
die gezogenen Kugeln wieder zurückgelegt werden? Berechnen Sie diese.
c) Aus der Urne werden nun drei Kugeln mit einem Griff entnommen. Berechnen
Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
F: Alle Kugeln sind rot.
G: Keine Kugel ist blau.
H: Genau eine Kugel ist rot
I: Eine Kugel ist grün, eine Kugel ist rot und eine Kugel ist blau.
J: Mindestens eine Kugel ist grün.
Aufgabe 2: In der Formel Eins fahren dieses Jahr wieder 20 Fahrer um Punkte und Siege.
a) Angenommen, alle Fahrer und Autos sind gleich gut. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit wäre dann für das nächste Rennen der Tipp
„1. Platz: M. Schumacher, 2. Platz: R. Schumacher, 3. Platz: Nick Heidfeld“ richtig?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wäre für das nächste Rennen der Tipp
„Auf dem Podest stehen R. Barricello, F. Alonso und J. Button“ richtig?
Hinweis: Die Reihenfolge spielt bei diesem Tipp keine Rolle.
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wäre die Aussage
„M. Schumacher wird die nächsten drei Rennen gewinnen“
richtig, wenn alle Fahrer und Autos gleich gut sind?
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wäre die Aussage
„Von den nächsten 5 Rennen gewinnt R. Schumacher genau 1 Rennen.“ richtig?
Aufgabe 3: In einem Ferienort in Oberbayern leben während der Hochsaison fünf mal so
viele Touristen wie Einheimische. 60% der Touristen, aber nur jeder fünfte
Einheimische, tragen einen Trachtenhut.
a) Stellen Sie die Daten in Form einer Vierfeldertafel mit relativen Häufigkeiten dar.
b) Zeichnen Sie die zwei verschiedenen Baumdiagramme, die sich aus den Daten
ableiten lassen.
c) Auf der Straße begegnet uns während der Hochsaison ein Spaziergänger.
Beantworten Sie mit Hilfe der Baumdiagramme die folgenden Fragen:
(1) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es ein Trachtenhut-tragender Tourist?
(2) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es ein Einheimischer?
(3) Der Spaziergänger trägt eine Trachtenhut. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
ist er ein Einheimischer?
(4) Der Spaziergänger trägt keinen Trachtenhut. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit ist er ein Tourist?
3. MATHEMATIKKLAUSUR
Name:
M1 - Mathe 12 GK (GA)
Aufgabe 4:
17.03.2005
− Seite 2 −
Bearbeitungszeit: 135 min
Die Glühlampenproduktion in einer Fabrik ist auf drei Maschinen A, B und C
zu 25%, 35% und 40% verteilt. Die einzelnen Maschinen arbeiten mit einem
Ausschussanteil von 4%, 5% und 2%.
a) Eine Lampe wird zufällig ausgewählt und es wird festgestellt, dass sie defekt
ist. Von welcher Maschine stammt sie mit größter Wahrscheinlichkeit?
Zeichne zur Lösung der Aufgabe beide Baumdiagramme. Berechne allerdings
nur die Wahrscheinlichkeiten, welche du zur Lösung der Aufgabe benötigst.
b) In einer Packung befinden sich 6 Glühlampen. Nacheinander werden alle
Lampen getestet und man erhält das Ergebnis: Ok, Ok, defekt, Ok, defekt, Ok.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt diese Packung von Maschine A?
Aufgabe 5:
Bei einem Heimspiel von Bayer Leverkusen gegen Schalke wurden die
Stadionbesucher mit folgendem Ergebnis befragt:
1) 30 % der befragten Personen waren weiblich (w)
2) 40 % der männlichen (m) Besucher trugen ein Trikot (T) ihrer Mannschaft
3) 80 % der befragten Personen waren Bayer-Fans (B)
4) Insgesamt waren 5% weibliche Bayer-Fans ohne Trikot (kT).
5) Dagegen waren insgesamt 10% männliche Schalke-Fans (S) ohne Trikot.
6) Von den männlichen Trikotträgern waren lediglich 1/7 Schalke-Fans
7) Es gab keine weibliche Trikotträgerin, die Schalkefan war.
a) Stelle die Daten in einer Achtfeldertafel zusammen.
B
S
kT
T
T
m
w
gesamt
gesamt
kT
gesamt
100 %
100 %
b) Stelle die Daten in einem Baumdiagramm dar. Wähle für die Stufen die
Reihenfolge Geschlecht, Fan-Eigenschaft, Trikot-Eigenschaft.
c) Berechne die Wahrscheinlichkeiten für
(1) Eine zufällig ausgewählte Frau ist Bayer-Fan
(2) Ein zufällig ausgewählter männlicher Schalkefan trägt ein Trikot
(3) Eine zufällig ausgewählte Person ist Trikoträger(in)
(4) Eine zufällig ausgewählte Trikoträgerin ist Bayerfan
(5) Eine zufällig ausgewählte Person mit Trikot aus der Bayer-Fan-Kurve ist
weiblich.
Viel Erfolg!
3. MATHEMATIKKLAUSUR
Name:
17.03.2005
Lösungen
Aufgabe 1:
a) p(A) = 5/12 = 41,7%;
p(B) = 5/44 = 11,4%;
p(C) = 1/11+5/44+1/22 = ¼ = 25%;
p(D) = 1/11 = 9,1%;
p(E) = 1−(1/11+5/33+1/22) = 47/66 = 71,2%
R
5/12
G
1/4
B
3
4 8
1 2
p( H ) =
= 28 / 55 = 0,509 ;
12
3
4
= 0, 204
5/11
G
5/33
3/11
B
1/11
4/11
R
5/33
4/11
G
5/33
B
5/44
4/11
R
1/11
5/11
G
5/44
B
1/22
2/11
3 9
0 3
p(G ) =
= 21/ 55 = 0,382 ;
12
3
1 19
d) p = 5 ⋅ ⋅
20 20
1/11
3/11
4 8
3 0
= 1/ 55 = 0, 018 ;
c) p( F ) =
12
Aufgabe 2:
1
1
=
a) p =
20 ⋅19 ⋅18 6840
1
1
=
b) p =
20
1140
3
1
1
c) p = 3 =
8000
20
R
1/3
b) p(A) = 5/12 = 41,7%;
p(B) = 5/48 = 10,4%;
p(C) = 1/4 = 25%;
p(D) = 1/9 = 11,1%;
p(E) = 1−(1/9+25/144+1/16) = 47/72 = 64,3%
p( J ) = 1 − p (keine ist grün) = 1 −
3/11
p( I ) =
5
0
7
3
12
3
5
1
4 3
1 1
= 3 /11 = 0, 273 ;
12
3
= 37 / 44 = 0,841
3. MATHEMATIKKLAUSUR
Name:
17.03.2005
Lösungen
Aufgabe 3:
a)
Einheimischer
Tourist
gesamt
Trachtenhut
1/30 = 0,033
1/2 = 0,5
8/15 = 0,533
b)
1/5
1/6
kein Trachtenhut
2/15 = 0,133
1/3 = 0,333
7/15 = 0,467
1/30
H
E
5/6
8/15
4/5
k
2/15
3/5
H
1/2
E
1/30
15/16
T
1/2
2/7
E
2/15
T
1/3
k
2/5
c) (1) p = 1/2; (2) p = 1/6;
Aufgabe 4:
a)
0,04
k
1/3
(3) p = 1/16;
D
5/7
(4) p = 5/7
0,01
A
0,0355
0,96
ok
0,24
0,05
D
0,0175
0,25
0,35
1/16
H
7/15
T
gesamt
1/6 = 0,167
5/6 = 0,833
1
0,9645
ok
B
0,95
0,4
D
0,02
ok
0,3325
D
0,008
ok
0,392
0,282
A
0,01
0,493
B
0,0175
0,225
C
0,008
0,249
A
0,24
0,345
B
0,3325
0,406
0,392
Mit größter Wahrscheinlichkeit stammt die
Lampe von Maschine B.
C
0,98
C
0, 25 ⋅ 0, 042 ⋅ 0,964
b) p =
= 0, 283
0, 25 ⋅ 0, 042 ⋅ 0,964 + 0,35 ⋅ 0, 052 ⋅ 0,954 + 0, 4 ⋅ 0, 022 ⋅ 0,984
3. MATHEMATIKKLAUSUR
Name:
Aufgabe 5:
a)
B
kT
0,32
0,05
0,37
m
w
gesamt
gesamt
T
0,24
0,19
0,43
0,8
0,3
B
w
0,2
0,7
0,8
S
B
0,2
S
p = 0,8 = 80%
p = 2/7 = 28,6%
p = 0,43+0,04 = 0,47 = 47%
p = 100%
p = 19/43 = 44,2%
S
kT
0,1
0,06
0,16
19/24
0,2
0,19
T
5/24
kT
0,05
0
T
0
1
kT
0,06
3/7
T
0,24
kT
0,32
T
0,04
kT
0,1
4/7
m
1)
2)
3)
4)
5)
T
0,04
0
0,04
0,8
b)
c)
17.03.2005
Lösungen
2/7
5/7
gesamt
0,7
0,3
100 %
100 %