Geometrie – Inklusionsmaterial 3
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DOWNLOAD C. Spellner · C. Henning · M. Körner Geometrie – Inklusionsmaterial 3 Konstruieren von Figuren Bergedorfer Unterrichtsideen C. Spellner, C. Henning, M. Körner Grundwissen Mathematik inklusiv Geometrie Inklusionsmaterial 5.–10. Klasse Downloadauszug aus dem Originaltitel: Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im eigenen Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen schulweiten Einsatz und Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte (einschließlich, aber nicht beschränkt auf Kollegen), für die Veröffentlichung im Internet oder in (Schul-)Intranets oder einen weiteren kommerziellen Gebrauch. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. h verfolgt. verf Verstöße gegen diese Lizenzbedingungen werden strafrechtlich Vorwort 1. Vorwort Der Unterrichtsstoff muss neben den Hauptund Realschülern auch lernschwächeren Schülern1 – und im Zuge der Inklusion vermehrt Schülern mit sonderpädagogischem Förderbedarf – nachhaltig vermittelt werden. Der vorliegende Band bietet Ihnen entsprechende Kopiervorlagen. In ihm sind Aufgaben sowohl für Regelschüler, als auch für Schüler mit sonderpädagogischem Förderbedarf zusammengefasst und bieten somit eine ideale Grundlage für Ihren inklusiven Mathematikunterricht. Machen Sie von den veränderbaren Word-Dateien auf CD Gebrauch, um den individuellen Leistungsstand Ihrer Schüler berücksichtigen zu können. Die Arbeitsblätter für 1 Schüler mit sonderpädagogischem Förderbedarf haben einen grauen Seitenrand. Die Arbeitsblätter ohne grauen Seitenrand stammen aus dem Muttertitel „Grundwissen Ebene Geometrie“ und enthalten inhaltsgleiche, aber zieldifferente Aufgaben als Basis für die Regelschüler, bzw. als Erweiterung für die schnellen lernschwächeren Schüler. Viele Inhalte für die lernschwächeren nsch Schüler mit sonderpädagogischem em Förderbedarf F sind weniger abstrakt und nd anschaulicher anscha dargestellt. Sie benötigen g oft das handlungsorienha tiertere Arbeiten eiten und das Wiederholen Wiede thematisch grundlegender grun legender Rechenschritte, Reche um die Inhalte halte regelrecht rege recht begreifen beg zu können. en. Wir sprechen hier wegen der besseren Lesbarkeit von n Schülern bzw. Lehrern in der verallgemeinernden Form. den Form Selbstverständlich sind auch alle Schülerinnen nen und Lehrerinnen gemeint. 2. Methodisch-didaktische sch h-didaktisch Hinweise 2.1 Stolpe Stolpersteine ersteine der d Geometrie Schon in der de Grundschule erarbeiten n sich die Schüler chüler den de Begriff „Figur“, indem sie ganzheitlich lic wahrnehmen und d auf vielfältige v ge Weise W untersuchen. Meist wird wi d hier auch schon chon mit ersten Abbildungen ngen gearbeitet. gearbeitet Aber auch der Umgang mit den d Figuren wird w gefördert. g Natürlich ich wird auch uch betont, dass die Figuren in der Mathematik Formen sind, athematik idealtypische ideal die in der Umwelt und im Alltag nur annährend den idealtypischen Charakter aufzeigen. yp So kann man eine komplexe Figur zum Beispiel in verschiedene Dreiecke und Vierecke zerlegen, um eine Annährung an die geometrische Figur zu erlangen. Manche Figuren im Alltag haben aber auch abgerundete Ecken, sodass hier die typische Charakteristik der Ecke verlorengeht und mathematisch nicht mehr korrekt ist. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag innerhalb der ebenen GeoDie Problemfelder P metrie gehen mit den Bereichen Räumliches m Vorstellungsvermögen und Visuelle Wahrnehmung einher, auf denen die visomotorische Koordination aufbaut. Im Folgenden werden die Bereiche daher kurz erläutert. Die Erläuterungen lassen zugleich die Schwierigkeiten abschätzen, mit denen gerechnet werden muss. Gegebenenfalls müssen Sie auf Grundschulmaterialien zurückgreifen, um die entsprechenden Einsichten, die beschrieben werden, aufzubauen. 1 Vorwort Die visuelle Wahrnehmung ist die Grundvoraussetzung für ein räumliches Vorstellungsvermögen. Wahrnehmen stellt einen aktiven Prozess dar. Das Wahrnehmen geht über das bloße Sehen hinaus, denn es ist eng mit dem Gedächtnis und den damit gespeicherten Erfahrungen verbunden. Aber auch die Art des Denkens und des Vorstellens spielt hierbei eine große Rolle. Wahrnehmen ist ferner auch Sprache. Beim Sehen werden zunächst nur Gegenstände gesehen. Das Wahrnehmen erfasst Merkmale von Objekten, identifiziert ein Objekt, setzt es in Beziehungen zu der Umwelt, vergleicht verschiedene Objekte miteinander, um es dann mit einem Namen zu belees gen. Allerdings muss hierzu auch ein visuelles den Gedächtnis vorhanden sein. In ihm werden hr charakteristische Merkmale eines nicht mehr se Merk präsenten Objektes gespeichert. Diese Merksuellen Gemale können dann mit dem visuellen ente Objekte Ob ekte überdächtnis auf andere präsente tragen werden. ehmung zählt u Zur visuellen Wahrnehmung u. a. die FiWahrnehm mung. Das heißt, die gur-Grund-Wahrnehmung. Schüler m ssen in der Lage age sein, aus einem müssen komplexen Bild Teilfig nnen und Teilfiguren zu erkennen Hintergrund von G nterschei Gesamtfigur zu unterscheien. Ebenso fällt in diesen Bereich die Wahrden. hmung ißt dass die Schünehmungskonstanz. Das heißt, denen G ler Objekte in verschiedenen Größen,, räu räumlirben unter chen Lagen und Farben unterscheiden k können (räumliche Konstanz). Hierzu muss visuell hieden werden. Da sh unterschieden Das heißt, es handelt ier um d e Fähigke sich hier die Fähigkeit, Ähnlichkeiten und ede zu e Unterschiede erkennen und zu benennen. Weiterhin müss müssen die Schüler in der Lage sein, räumliche Beziehungen in Bezug auf den eigenen Körper wahrzunehmen und einzuordnen (Räumliche Wahrnehmung). Zum anderen müssen sie räumliche Gruppierungen von Objekten und deren Beziehung untereinander erfassen und auch beschreiben können (Räumliche Beziehungen). Ebenso muss die Wahr- C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag nehmung der Raumlage eines Objektes erfolgen. Hierbei müssen die Schüler in der Lage sein, die Raumlage eines Objektes zu einem Bezugsobjekt (z. B. eigene Person) zu erkennen und zu beschreiben. Auch die Visualisierung kann einen Stolperstein darstellen. Das bedeutet, dass die räumlichen Bewegungen (z. B. Verschiebungen, Drehungen) ohne Anschauungshilfen auf gedanklicher Vorstellungsebene erfolgen müsellun sen (räumliches Vorstellungsvermögen). enn die eigene Person Schwieriger wird es, wenn v in einer räumlichen Situation verortet werden liche Orientierun soll (Räumliche Orientierung). Ebenso tellung von Rotationen. schwierig istt die Vorst Vorstellung bei muss beachtet werden, dass sich die Dabei chüler eine exakte Rotation von ebenen benen u Schüler und d eidimensio ten vorstellen ellen k dreidimensionalen Objekten könne n müsse nen müssen. Unt Unter visomotorischer Koordinatio Koordination ver vere Fä keit, d ss das Seh steht man die Fähigkeit, dass Sehen mit er sinnvol dem eigenen Körp Körper sinnvolll in Verbindung ss eine ad gebracht wird wird, sodas sodass adäquate Koordination und eine dara daraus resultierende Handung erfo olgen kan lung erfolgen kann. D Diese ist notwendig, wenn man z. B. etwas ausschneiden oder nachzeichnen möch möchte. Neben den Schwierigkeiten, die die S Schüler im Bereich der visuellen Wahrnehmung und dem räumlichen Vorstellungsvermögen haben können, können die Schüler auch motorische Schwierigkeiten haben, sodass ihnen das Zeichen und Messen nur mühsam gelingt und ihre Arbeiten in diesem Bereich sehr ungenau sind. 2.2 Kompetenzerwartungen Die Kompetenzerwartungen können in die Bereiche Erfassen, Konstruieren, Messen und Anwenden unterteilt werden. Die nachfolgende Tabelle gibt einen Überblick über die Kompetenzerwartungen in den genannten Bereichen. 2 Vorwort Bereich Kompetenzerwartungen Erfassen verwenden von Fachbegriffen (z. B. Gerade, Strecke, Winkel, Abstand, Radius, parallel, senkrecht, symmetrisch) Beschreiben von ebenen und räumlichen Figuren Benennen von Objekten (z. B. Rechteck, Quadrat, Kreis, Quader, Würfel, Zylinder) Identifizieren von Objekten in der Umwelt Charakterisieren von Objekten (z. B. rechtwinklig, gleichschenklig, gleichseitig) Konstruieren Muster (im Koordinatensystem) zeichnen Senkre zeichnen grundlegender Beziehungen (z. B. Parallele, Senkrechte, Winkel) reise) zeichnen von Figuren (z. B. Rechtecke, Quadrate, Kreise) Schrägbilder skizzieren Körpernetze zeichnen und Körper daraus bauen en (z. B. nach Seiten Seite und Winkeln) Zeichnen von Figuren nach Angaben vergr ern und verkleinern ve kleinern Figuren maßstabsgetreu vergrößern nd verschieben ve schieben Figuren spiegeln, drehen und Messen gen, besonderen besondere Winkeln, Wink Flä heninSchätzen von Längen, Umfängen,, (Ober-) Flächeninumina halten und Volumina en von Längen, Längen, besonderen beso ln, Umfängen, U ängen (Ober-) FlächenFläc Bestimmen Winkeln, ten und Volumina Volum na inhalten Anwenden erfas ssen und benennen benen ften von vo on Objekten Obje erfassen von Eigenschaften begrü den von vo Eigenschaften mit it Hilfe Hilfe von Symmetrien, Symmetr begründen Winkelsätzen und ongr es Pythagoras/Thales Pyth Kongruenzen sowie mithilfe des Satzes des bere rischer Größen ößen mithilfe e des de Satzes des Pythagoras/Thaberechnen geometrischer sbeziehungen les und Ähnlichkeitsbeziehungen ischer Größen Größen mit m Hilfe von Sinus, Kosinus und Tangens berechnen geometrischer 2.3 Anregung zum um Einstieg Einst in das as Thema Geometrie eometr e Für einen en Einstieg Einstieg in das Thema Th bieten sich Bastell- und Faltübungen Faltübunge als aktive Handlung besonders s gut an. an Denn sie regen die Fantasie der Schüler chüle an und sind in ihrer Aufgabenstellung für die meisten Schüler sehr ansprechend. Allerdings muss hier beachtet werden, dass diese Übungen zu Fehlvorstellungen beitragen können. So muss man bedenken, dass das Herstellen eines Würfels aus einem Würfelnetz eigentlich aus der Ebene erfolgt, dann aber ein dreidimensionales Objekt ist. Ferner wird niemals C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag so genau gefaltet, dass zwingend ein exakter rechter Winkel entsteht. Manche Schüler sind motorisch geschickter als andere, sodass durchaus „schiefe“ Objekte entstehen. Gleiches gilt beim Falten. Wenn eine Parallele oder Senkrechte gefaltet wird, kann das durchaus ungenau sein. Im Bereich der Kongruenzabbildungen legt man gern zwei Figuren, die man auf dem Papier gezeichnet und anschließend ausgeschnitten hat, übereinander. So werden aber zwei Ebenen benutzt, obwohl eigentlich nur eine Ebene betrachtet wird. Dennoch haben Bastel- und Faltübungen einen unheimlich großen Aufforderungscharakter, was für die Schüler sehr motivierend ist. 3 Vorwort Denn sie können hier nicht nur selbst aktiv werden, sondern die entstehenden Objekte ihren Vorstellungen entsprechend mitgestalten (z. B. ausmalen). Außerdem gibt es den Schülern etwas in die Hand, wodurch bestimmte Merkmale besonders deutlich und zugänglich gemacht werden können. Je nach Thema gibt es verschiedene Aufgaben, die man mit auf den Weg geben kann. Beispiele: Figuren benennen und zuordnen: Zeichnen und Ausschneiden, anschließend in der Umwelt finden Senkrechte und Parallelen: mithilfe eines Blattes falten und ausmalen Kongruenzen: Figuren zeichnen, ausschneieiden und übereinanderlegen Innenwinkelsumme von Dreiecken/Vierecken: /Vierecken: „Konstruiere ein Dreieck/Viereck. eck. Reiße die Ecken ab und lege sie zusammen. zusamme Welche Winkelsumme entsteht?“ eht?“ Umfang: Figur mit einem ein nem Seil umlegen umleg Flächeninhalt: lt:: bekann bekannte e Figu Figuren in Figuren einzeichnen einzeichnen/Figur /Figur zerschneiden zers und zu einer bekannten F Figur gur zusammenlegen zusa 2.4 4 Durch Durc Kooperation Inklusion on ermöglichen e Im Sinne der Inklusion ion iist st es w wichtig, da dass Sie neben individueller ueller Förderung Förderung um u kooperative Lernformen men bemüht bemüht sind. sind Die D nachfolgend aufgeführten führten Beispiele eispiele zeigen z deutlich, dass hier nicht in Einzelarbeit Einze strikt nach Leistungsstand gearbeitet arbeit wird, sondern die Schüler sich die einzelnen Themen in der Klassengemeinschaft gemeinsam arbeiten. Im Laufe der Erarbeitung und Bearbeitung des Themas bieten sich verschiedene kooperative Lernmethoden an. Hier werden exemplarisch einige aufgeführt. 1. Lernpartner/Lerngruppen In Lerngruppen arbeiten die Schüler zwar individuell, aber doch gemeinsam an einem Thema und nutzen dafür die Stärken und Vorteile C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag einer Gruppe. Die Gruppen können entweder leistungsheterogen oder weitestgehend leistungshomogen zusammengestellt sein. Bei leistungsheterogenen Gruppen sollten Sie unbedingt darauf achten, dass die Schüler untereinander klare Rollen haben – ein leistungsstarker Schüler unterstützt z. B. einen leistungsschwächeren Schüler, welcher wiederum einem ebenfalls leistungsschwächeren Schüler erläutert, was er soeben mit seinem Mitschüler gelernt hat.. In leistungshomogenen Gruppen kann das Gruppenwissen gefesGrupp tigt und nachhaltig trainiert werden. Richten w Sie die Gruppenzusammensetzungen also penzusammenset nach Ihren UnterrichtsUnterrichts- und den individuellen Lernzielen ielen der Schüler Schüle aus. 2. Selbstkontrolle/gegenseitige Kontrolle Selbstkon l ontroll Die Kontrolle Di e eigenständige eigenst rolle von LernergebLernergebnissen fördert die Selbstständigkeit niss tändigkeit der de Schüler. Lernschwächere Schüler zuler äc Schüler trauen sich s dem mehr zu, u, da a sie s mögliche mög he falsche Lösungen nicht der ganzen nur sich anzen Klasse, sondern son selbst preisgeben und die richtige preisge eben en müssen m Lösung ösung in individuellem indivi uelle Tempo nachvollziekönnen. hen und ggf. nachrechnen nac Stationenlauf mit und ohne Partner 3. Statio B dem Stationenlauf arbeiten die Schüler Bei überwiegend selbstständig und eigenverantwortlich an Stationen. Selbstständig bzw. eigenverantwortlich bedeutet hier, dass der Lernende die Organisation seines Lernprozesses zunehmend eigenständiger mitgestaltet. Dies ist aber u. a. nur dann möglich, wenn die Schüler wissen, wie sie sich Informationen beschaffen, diese aufbereiten und Arbeitsergebnisse selbstständig überprüfen können, d. h. wenn sie selbstständig arbeiten/lernen können. Zwar können die Schüler noch nicht das Thema mitbestimmen und -organisieren, aber die Reihenfolge, die Sozialform sowie die Arbeitsplatzgestaltung müssen sie selbst wählen. Es ist auch damit zu rechnen, dass sich die Schüler an einen großen Gruppentisch stellen und an diesem arbeiten sowie dort die Materialien lagern. Außerdem sind neben der Gruppen- 4 Vorwort ebenfalls die Partner- und Einzelarbeit möglich. Auch die Selbstkontrolle (an einer Lösungsstation) führt immer mehr zu einem eigenverantwortlichen und auch kooperativem Lernen. Wichtig bei dieser Arbeitsform ist es, die verschiedenen Aufgabenstationen gestalterisch voneinander abzugrenzen, sodass die Zuordnung erleichtert wird. Um für die Schüler eine Übersichtlichkeit bezogen auf bereits erledigte Aufgaben herzustellen, sollten sie einen Laufzettel erhalten. Ferner sollten bestimmte Regeln gelten, um erfolgreich an den Stationen zu lernen. Beispiele: 1. Du schummelst nicht und schreibst nicht von anderen ab. / 2. Lass dir bei den Aufgaben so viel Zeit, wie du brauchst. / 3. Die Reihenfolge der bearbeiteten Aufgaben ist dir überlassen. / 4. Überlege dir, ob du alleine, alleine mit einem Partner oder in der Gruppe pe arbeiten möchtest. / 5. Kontrolliere erledigte digte e Aufgaben mit Hilfe der Lösungsstation. tion. / 6. Frage rage den Lehrer nur dann um Hilfe, wenn dir deine ine Mitschüler nicht helfen elfen können. k Die Lehrkraftt kann bei dieser Arbeitsform die verbringen, jedoch meiste Zeit im m Hintergrund Hintergr für die Schüler Schüler jederzeit jederz erreichbar sein, sos so frei wie möglich arbeiten dass diese s eiten können en und die Möglichkeit haben, sich beim Lernen zu unterstützen n gegenseitig ge tütz bzw.. zu helfen. Auch der Lehrkraft bietet die Stationenarione beit die Möglichkeit, keit, gezielter gezielter zu helfen als in einer Frontalsituation. erlsituation. Die Stationenarbeit Stat fordert auch vom vom Lehrer ein völlig anderes Verhalten: statt vorgeben lten: er muss muss anregen a sowie beraten raten statt sta bestimmen. Der Lehrer ist in der Rolle lle des d Beraters zu sehen. 4. Wochenplanarbeit Auch die Wochenplanarbeit bietet sich im Rahmen des eigenverantwortlichen und kooperativen Lernens an. Dies ist ebenfalls eine Form der Freiarbeit, bei der der Lernende die Organisation seines Lernprozesses zunehmend eigenständiger mitgestaltet. Auch hier müssen die Schüler wissen, wie sie sich Informationen beschaffen, diese aufbereiten und C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag Arbeitsergebnisse selbstständig überprüfen können. Im Unterschied zur Stationenarbeit werden die Arbeitsaufträge nicht für alle Schüler ausgelegt, sondern jeder Schüler erhält einen individuellen Arbeitsplan bzw. eine Arbeitsmappe. Da sich die Aufgaben oft gleichen, können die Schüler hier auch wieder gemeinsam arbeiten oder sich gegenseitig unterstützen. Letzteres ist auch immer dann möglich, wenn nicht die gleichen Aufgaben bearbeitet werden, denn ist die Form nn hierfür h der Freiarbeit geradezu prädestiniert. präde 2.5 Erläuterung rung der Kopiervorlagen Kopierv Die Arbeitsmaterialien, materialien bei denen der rechte Seitenrand itenrand grau unterlegt unter ist und die e Aufgabennummern ennummern mit einem schwarzen n Dreieck Dreie hinterlegt h nterlegt sind, si sind soweit weit aufbereitet, aufbereitet, dass d lernschwächere lern schw Schüler gut mit ihnen ihne arbeiten können. Wenn Ihre Schüler Sch hüler die ArbeitsmaArbe sma terialien gut bearbeitet bear tet haben hab n und die Inhalte/ In Kompetenzen sicher sic er beherrschen, beherrsch ist es selbstverständlich rständ dlich ch möglich, m ihnen ih die Arbeitsmaterialien lien für die d e Schüler Sch ohne sonderpädagogischen gogisch en Förderbedarf Förde b zur Vertiefung und Erweiterung Erweiteru ng anzubieten. an Nutzen Sie hier immer entsprechend ents die Arbeitsblätter ohne grauen Seitenrand, die die gleiche Überschrift g grau ttragen bzw. das gleiche Thema behandeln. Für leistungsstarke Schüler verwenden Sie die Arbeitsblätter ohne grauen Seitenrand. Zudem können Sie die Arbeitsblätter, die Zwischenschritte behandeln, probeweise nicht bearbeiten lassen. Sollte der inhaltliche Sprung für diese Schüler doch zu groß sein und Schwierigkeiten bei der Bearbeitung entstehen, können Sie die ausgelassenen Arbeitsblätter nachträglich bearbeiten lassen und dann auf das Arbeitsblätter zurückkommen, bei dem die Schwierigkeiten auftraten. In der folgenden Übersicht können Sie sehen, wann welche Arbeitsblätter probeweise ausgelassen werden können. Die Arbeitsblätter für die leistungsschwächeren Schüler wurden in dieser Übersicht nicht berücksichtigt, da 5 Vorwort diese für die leistungsstärkeren Schüler oft zu einfach sind. Natürlich können Sie diese auch mit heranziehen. Nach Beendigung der Arbeit an den Arbeitsblättern können die stärkeren Schüler die schwächeren Schüler bei der Lösung der Aufgaben unterstützen. Gegebenenfalls können Sie auch weitere Textaufgaben aus dem Mathematikbuch zur Vertiefung heranziehen. Konstruieren von Figuren Mittelsenkrechte konstruieren Winkelhalbierende konstruieren C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag Bedeutung der Aufgabennummerierung 1 Aufgaben aus dem Anforderungsbereich I, Reproduzieren @ Aufgaben aus dem Anforderungsbereich II, Zusammenhänge herstellen # Aufgaben aus dem Anforderungsbereich III, Verallgemeinern und Reflektieren ∉ Aufgaben für lernschwache Schüler, Schüler mit sonderpädagogischem gis Förderbedarf 6 Mittelsenkrechte konstruieren Info Du weißt bereits, wie man mit dem Geodreieck eine Senkrechte zeichnet. Das Geodreieck ist dabei dein Hilfsmittel. Eine Konstruktion unterscheidet sich jedoch davon, denn ein Geodreieck ist dabei nicht zugelassen. Für eine Konstruktion darfst du nur Lineal, Zirkel und Winkelmesser benutzen. So konstruierst du eine Senkrechte: 1. Zeichne eine Strecke. ✕ A ✕ B 2. Nimm den Zirkel. Der Radius muss größer als die geschätzte Hälfte der Strecke sein. hne einen 3. Stich nun in den einen Eckpunkt deiner Strecke und zeichne Halbkreis. Stre ke und zeichne zeichne 4. Stich nun in den zweiten Eckpunkt deinerr Strecke einen zweiten Halbkreis. ✕ ✕ A ✕ A B M ✕ B te. Verbinde sie m 5. Es entstehen zwei Schnittpunkte. miteinander. e konstruiert. konstruiert. Du hast nun eine Senkrechte hnittpunkt auf der d r Strecke. Str er Mi elpunkt d S 6. Es entsteht ein Schnittpunkt Das ist auch der Mittelpunkt der Strecke. de halb mit M. Die Senkrechte nennt man an auch au h Mit elsenkr Bezeichne ihn deshalb Mittelsenkrechte. ∆ Konstrui Konstruiere re ein eine Senkrechte wie oben obe beschrieben. beschrieb Miss da eim Mittelpunkt Mittelpu unkt M. Was fällt dir auf? Formuliere dann alle vier Winkel beim einen Satz. ∇ Zeichne fünf ünf Streck Strecken en m mit den Längen 6 cm, 8 cm, 9 cm, 11 cm und 13 cm. a) Konstruiere Konstruiere jeweils die Mittelsenkrechte. b) Überprüfe, Überprüfe ob b dein formulierter Satz aus Aufgabe 1 stimmt. c) Miss s jjeweils die Strecken AM und MB. Was fällt dir auf? Ergänze die Lücke. Durch das Konstruieren einer Mittelsenkrechte auf eine Strecke kann man _______________________________ ohne zu messen. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 7 Mittelsenkrechte konstruieren Info In der Geometrie unterscheidet man zwischen (echtem) Konstruieren und Zeichnen. Beim Zeichnen verwendet man Hilfsmittel, z. B. das Geodreieck. (Echte) Konstruktionen werden ausschließlich mithilfe von Zirkel und Lineal gemacht. ! Befolge die Arbeitsanweisungen. (1) Zeichne bei den Strecken jeweils einen Kreisbogen um beide Eckpunkte, dessen Radius größer als die (geschätzte) Hälfte der Strecke ist. ✕ ✕ ögen. (2) Zeichne eine Gerade durch die Schnittpunkte der beiden Kreisbögen. (3) Nenne den Schnittpunkt der Geraden mit den Strecken M. ✕ M ✕ b ihre Längen Läng gen an. (4) Miss die Länge der Strecken und Teilstrecken und gib ____, CM = ____, DM = ____ ___ CD = ____, AB = ____, AM = ____, BM = ____ ✕ C ✕ ✕ B ✕ A D (5) Was stellst s du fest? kel am am Schnittpunkt Sc kt der Geraden mit den Strecken und beschreibe, was (6) Miss die Winkel ällt. dir auffällt. 2 Die Geraden, erade die du bei Aufgabe 1 konstruiert hast, werden als Mittelsenkrechte bezeichnet. Zeichne folgende Strecken und konstruiere die Mittelsenkrechten. a) 6 cm 3 b) 3,6 cm c) 48 mm d) 1 dm Beschreibe, wie man ohne zu Messen den Mittelpunkt einer 8 cm langen Strecke finden kann. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 8 Parallele konstruieren So konstruierst du eine Parallele: Info So konstruierst du eine Parallele: 1. P 2. g 3. P A g 4. A g 5. P 6. D B D P g P’ B g A C P B g A C B 1. Zeichne eine Gerade g. 2. Zeichne über der Geraden einen Punkt. unkt. Nenne ihn P. 3. Stich mit dem Zirkel in Punkt P. Zeic Zeichne mit um hne m it dem Zirkel einen Halbkreis u m den Punkt P, sodass auf der G Geraden zwei Sch Schnittpunkte entstehen. eraden zwe en. Nenne die Schnittpunkte A und d B. 4. Konstruiere mithilfe der Pun Punkte wirst sehen, e A und B eine Mittelsenkrechte. nkrechte. Du wirs w dass sie durch den Punkt P verläuft. Der Schnittpunkt Strecke AB soll ttpunk kt auf der d Stre nun C heißen. Verlängere Mittelsenkrechte nach oben hin. S mit dem Zirkel in den 5. Verlän gere die M hte n Stich m Punkt nkt P ein i und nimm den Abstand zzwischen wischen den Punkten P und C in die Zirkelspanne. Schlag nach oben kleinen Halbkreis, sodass du einen Zirkels ben einen k klein Schnittpunkt oberhalb Nenne ihn D. Sc lb von P erhältst. Ne 6. Konstruiere nun auf die Strecke CD. Diese un eine Mittelsenkrechte nkre Mittelsenkrechte verläuft nkrechte v erläu durch den Punkt P und ist gleichzeitig die Parallele zu deiner gezeichneten Gerade. ner a am Anfang g eze ∆ Konstruiere ru zwei verschiedene Parallelen nach dem beschriebenen Vorgehen. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 9 Parallele konstruieren ! a) Zeichne um P einen Kreisbogen, der die Gerade g in zwei Punkten schneidet. b) Nenne die Schnittpunkte A und B. ✕ c) Konstruiere nun die Mittelsenkrechte zu der Strecke AB. d) Wiederhole dein Vorgehen von a) bis c) mit einem anderen Kreisbogen. P g e) Was fällt dir auf? Vergleiche deine Ergebnisse auch mit deinem Nachbarn. 2 Konstruiere (nur mit Zirkel und Lineal) l) jew jeweils ils die Senkrech Senkrechte zu g durch P. a) ✕ P b)) c) ✕ g g g ✕ # P Konstruiere (nur mit Zirkel und Konstruiere d Lineal) Linea jeweils eweils die P Parallelen ara zu g durch P. Tipp: Sc Schaue dir vorher noch einmal deine dei e Ergebnisse Ergebn von Aufgabe 2 an. Konstru Konstruiere zweimal eine Senkrechte. rechte. a) ✕ P b) c) ✕ g P g g ✕ 4 P P Zeichne ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) in dein Heft. a) Zeichne eine Gerade durch die Punkte A(–3 | 2) und B(1 | –2). b) Gib die Schnittpunkte der Geraden mit den beiden Achsen an. c) Konstruiere durch den Punkt C(2 | 2) eine Parallele zu der Geraden AB. d) Gib die Schnittpunkte der Parallelen mit den beiden Achsen an. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 10 Winkelhalbierende konstruieren Info So konstruierst du eine Winkelhalbierende: 1. 4. S S 2. 5. S 3. S S 1. Zeichne einen beliebigen Winkel und kennzeichne nzeic ne den Scheitelpunkt Sc mit it S. Scheitelpunkt und schlage einen Halbkreis reis um S, 2. Nimm einen Zirkel, stich in den Scheitelpunkt n ein ein Schnittpunkt Schnittpun t entsteht. e sodass auf beiden Schenkeln 3. Verbinde die Schnittpunkte miteinander. ttpunkte auf den d Schenkeln Sch m die beiden beiden Schnittpunkte Schnittpu s, sodass sodas ass s du eine e Mit 4. Schlage um einen Halbkreis, Mittelsenkrechte uf die zuvor vor gezeichnete gezeic nete Strecke S kannst. auf konstruieren kannst. 5. Verlänger e die Mittelsenkrechte, Mitte Scheitelpunkt des Winkels angelangt ist. Verlängere bis sie im Scheitelpunkt Nun hast du eine i Winkelsenkrechte te konstruiert. konstr ert. ∆ a) Zeichne einee beliebigen beliebig Winkel. kel Notiere seine Größe: ____ b) Konstruiere die Winkelhalbierende. truiere nun d eW c) Miss nu nun die beid beiden Winkel zwischen Winkelhalbierenden und Schenkel. d) Vervollständige folgenden Satz: rvollstä Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade, die einen Winkel ________________ ___________________________ aufteilt. ∇ Konstruiere je eine Winkelhalbierende bei einem spitzen Winkel (30°), stumpfen Winkel (140°) und rechten Winkel (90°). Überprüfe für deine Konstruktion den Satz aus Aufgabe 1d. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 11 Winkelhalbierende konstruieren ! ✕ S2 ✕ S1 a) Zeichne um die Scheitelpunkte S1 und S2 jeweils einen Kreisbogen, der beide Schenkel der Winkel schneidet. b) Zeichne dann jeweils zwei weitere Kreisbögen, die als Mittelpunkte die Schnittpunkte des ersten Kreisbogens mit den Schenkeln haben. em An ngspunkt S1 c) Zeichne nun eine Halbgerade mit dem Anfangspunkt weite Kreisböge Kreisbögen. bzw. S2 durch den Schnittpunkt der zweiten ehen v on a) bis c) b nkel Verändere erändere dabei den d) Wiederhole dein Vorgehen von bei beiden Winkeln. gen. Radius der Kreisbögen. uf? Vergleiche d ch mitt deinem einem Nachb e) Was fällt dir au auf? deine Ergebnisse auch Nachbarn. f) Miss jetzt den Winkel kel un und die beiden Tei Teilwinkel. ____, ____, ____ Winkelgrößen bei S2: ____, ____, ____ Winkelgrößen n be bei S1: _ g) Was fällt Vergleiche deine Ergebnisse auch mit deinem Nachbarn. s fä llt dir auf? Ve rgle 2 Die Halbgeraden, die du bei Aufgabe 1 konstruiert hast, werden als Winkelhalbierende bezeichnet. Zeichne die angegebenen Winkel und konstruiere (nur mit Zirkel und Lineal) jeweils die Winkelhalbierende. a) spitzer Winkel # b) rechter Winkel c) stumpfer Winkel Teile nur mit Zirkel und Lineal einen beliebigen Winkel in vier gleich große Winkel. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 12 Kongruenzsätze für Dreiecke ∆ Ergänze sinnvoll. Seiten – Form – kongruent – Kongruenzsätzen – drei – Seitenlängen – Winkel – Dreiecken – Dreiecken Die _______________ und Größe von _______________ wird durch ihre Seitenlängen und Winkelgrößen bestimmt. Sind jeweils alle _______________ und Winkelgrößen gleich groß, so sind die Dreiecke kongruent zueinander (deckungsgleich). Man muss nicht alle en, um u entscheiden _______________ und _______________ von Dreiecken kennen, zu können, ob die Dreiecke _______________ zueinander sind. nd. Oftmals sind _______________ Stücke (Seiten und Winkel) ausreichend, ausreichend um über n. Diese Fälle F w die Kongruenz von _______________ zu entscheiden. werden in den sogenannten ____________________ __ fe festgeschrieben. eschrieben. ∇ Ordne einem Satz immer das richtige Bild zu. zu Zwei Dreiecke sind kongruent, uent, wenn sie in drei Seitenlängen enlängen übereinstimmen (SSS = Seite – Seite). e – Seite S Dreiecke Zwei D eiecke sind kongruent, kongr wenn sie e in zwei Seitenlängen S von und der v on den Seiten eingeschlossenen Winkelgröße eingesch e übereinstimmen überein (SWS = Seite – Winkel (SW kel – Seite). Zwei Dreiecke sind kongruent, kong wenn sie in n einer Seitenlänge Seitenlä und beiden eiden der Seite anliegenden anlie Winkelgrößen nkelgrö en übereinstimmen überei (WSW SW = Winkel Winkel – Seite – Winkel). Zwei Dreiecke sind kongruent, Dreie wenn sie in einer Seitenlänge und zwei weiteren Winkelgrößen übereinstimmen (SWW = Seite – Winkel – Winkel). Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seitenlängen und der der größeren Seite gegenüberliegenden Winkelgröße übereinstimmen (SSW = Seite – Seite – Winkel). C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag ✕ ✕ 64˚ 3,6 cm m 78˚ 78˚ ✕ 64˚ ✕ ✕ 3,6 cm 2,8 cm ✕ ✕ ✕ ✕ 28˚ 108˚ 108˚ 28˚ ✕ ✕ ✕ ✕ 2,8 cm ✕ 79˚ 3 cm 1,8 cm 79˚ ✕ ✕ ✕ ✕ 3 cm ✕ 2,5 cm ✕ 2,5 cm 2 cm 1,2 cm ✕ ✕ 1,2 cm ✕ ✕ 2 cm ✕ 45˚ ✕ 3 cm 1,7 cm 1,7 cm ✕ ✕ 45˚ ✕ ✕ 3 cm 13 Kongruenzsätze für Dreiecke Info Die Form und Größe von Dreiecken wird durch ihre Seitenlängen und Winkelgrößen bestimmt. Sind jeweils alle Seitenlängen und Winkelgrößen gleich groß, so sind die Dreiecke kongruent zueinander (deckungsgleich). Man muss nicht alle Seiten und Winkel von Dreiecken kennen, um entscheiden zu können, ob die Dreiecke kongruent zueinander sind. ! Oftmals sind drei Stücke (Seiten und Winkel) ausreichend, um über die Kongruenz von Dreiecken zu entscheiden. Diese Fälle werden in den sogenannten Kongruenzsätzen festgeschrieben. Von den sieben nachstehenden Kongruenz uenzsätzen sind jedoch nur fünf richtig. Finde diese, indem du anhand der Zeichnungen nunge prüfst, ob die Dreiecke, die jeweils drei gleiche Stücke haben, auch in den en anderen andere drei ✕ Stücken übereinstimmen. (1) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in drei ei Seitenlängen übereinstimmen (sss). ✕ ✕ 40˚ 80˚ 80˚ ✕ 60˚ ✕ ✕ 60˚ 40˚ ✕ 2,5 cm ✕ 2,8 cm m ✕ ✕ 1,2 cm ✕ ✕ 2 cm (2) Zwei wei Dreiecke D eiecke sind kongruent, kongruent, wenn we sie in allen Winkelgrößen größen übereinstimmen (www). übereinsti ✕ 45˚ 5˚ ✕ 3 cm m 1,7 cm 1,7 cm ✕ 45˚ ✕ ✕ 108˚ 28˚ ✕ 2,8 cm ✕ 3 cm ✕ 28˚ 108˚ ✕ 2 cm 1,2 cm (3) Zwei Dreiecke e sind kongruent, kongruent wenn we sie in zwei Seitenlängen ängen und und der von den de Seiten eingeschlossenen übereinstimmen ges lossenen Winkelgröße W nkelg en (sws). (sws). ✕ 2,5 cm ✕ (4) Zwei sind ei Dreiecke Dreie kongruent, Seitenlänge und beiden der gruent, wenn wenn sie in einer e Seite anliegenden Winkelgrößen übereinstimmen (wsw). e n W ✕ ✕ (5) Zwei Dreiecke e sind s nd kongruent, kon wenn wen sie in einer Seitenlänge tenlänge und zwei z weiteren Winkelgrößen kelg größen übereinstimmen übere einsti (sww). ✕ 64˚ 3,6 cm 78˚ 78˚ ✕ 64˚ ✕ 1,8 cm ✕ 79˚ ✕ ✕ 3 cm ✕ (6) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seitenlängen und der der größeren Seite gegen✕ überliegenden Winkelgröße übereinstimmen (Ssw). (7) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seitenlängen und der der kleineren Seite gegenüberliegenden Winkelgröße übereinstimmen (sSw). 3 cm ✕ 30˚ 1,8 cm ✕ 79˚ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ 3 cm 3,6 cm 30˚ ✕ 3 cm ✕ Folgende Kongruenzsätze sind richtig: ___ ___ ___ ___ ___ C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 14 Dreiecke nach Seite, Winkel, Seite konstruieren 1. g C a b b a c A B 2. A c B 3. 1. Fertige eine Planfigur an. Das ist eine Skizze, in der der du alles markierst, was du an bekannten Stücken gegeben hast. In diesem Beispiel gegeben: Seite c, Winkel a, Seite b 2. Zeichne die Seite c und benenne die Eckpunkte mit A und B. nkt ab, an dem er 3. Trage den Winkel (a) an dem Punkt eiten S chenkel des Winkels. liegt (A). Zeichne den zweiten Schenkel b a A c 4. B C b a A 5. C rbinde nun noch C und B. Benenne alle Seiten und 5. Verbinde nkel. Winkel. g a b b a A B c 4. N imm die Länge Lä ge der zweiten en Seite e in d die Zirkelspa Nimm Zirkelspanne un d zeichne eine Kreisbogen gen u m den Scheitelpunkt cheitelpun und um de e n Punkt Punkt auf dem dem Schenkel S des Wi Winkels (a), sodass ein de Beze eichne chne diesen Schnittpunkt des Winkels entsteht.. Bezeichne mit C. c B ∆ Konstruiere truiere folgende Dreiecke. Miss die andere Seite und die zwei Winkel. a) c = 9 cm, b = 7 cm, a = 45° a = ____ b = _____ g = ____ b) c = 3,5 cm, b = 5 cm, a = 105° a = ____ b = _____ g = ____ C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 15 Dreiecke nach Seite, Winkel, Seite konstruieren ! Ben hat nach einer vorgegebenen Konstruktionsbeschreibung ein Dreieck konstruiert. Leider hat er bei der Konstruktion zwei Fehler gemacht. Finde diese, indem du Bens einzelne Konstruktionsschritte prüfst. Notiere anschließend die gegebenen Stücke (Seiten und Winkel) und konstruiere das Dreieck richtig in deinem Heft. Konstruktionsbeschreibung (1) Mache dir eine Planfigur, d. h. eine Skizze, in der die bekannten Stücke des Dreiecks farbig gekennzeichnet sind. (2) Zeichne die Strecke c = 3 cm. (3) Benenne die Eckpunkte mit A und B. (4) Zeichne einen Kreis(bogen) um A mit Radius b = 2 cm. (5) Trage den Winkel a = 80° an A ab. (6) Bezeichne den Schnittpunkt des zweiten Schenkels von a mit dem Kreis(b Kreis(bogen) mit C. (7) Verbinde B mit C. d die Strecke recke BC m mit a. (8) Bezeichne die Strecke AC mit b und (1) 2) und (3) (3 (2) C (4) ✕ γ b ✕ α A a β c ✕ ✕ B B (5) und (6) 6) C ✕ ✕ A B c 7) und (8) (7) C C ✕ ✕ b b ✕ B ✕ A 80˚ c ✕ A ✕ B 80˚ c ✕ A er: Bens Fehler: Gegebene Stücke: 2 Konstruiere jeweils die Dreiecke aus den gegebenen Stücken. Bestimme die fehlenden Stücke (Seiten und Winkel) durch Messen. Mache zu jeder Aufgabe eine Planfigur. a) b = 5 cm; c = 3,5 cm; a = 60° a = _____ b = _____ g = _____ b) a = 4,8 cm; c = 6,2 cm; b = 110° b = _____ a = _____ g = _____ c) a = 5,6 cm; b = 7,2 cm; g = 58° c = _____ a = _____ b = _____ C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 16 Dreiecke nach Winkel, Seite, Winkel konstruieren 1. g C a b b a A c B 2. A c B 1. Fertige eine Planfigur an. Das ist eine Skizze, in der du alles markierst, was du an bekannten Stücken gegeben hast. In diesem Beispiel gegeben: Winkel a, Seite c, Winkel b 2. Zeichne die Seite c und benenne die Eckpunkte mit A und B. nkt ab, an dem er liegt 3. Trage den Winkel (a) an dem Punkt el des Wink (A). Zeichne den zweiten Schenk Schenkel Winkels. 3. a A c B 4. age den Wi nkel (b) an dem m Punkt kt ab, an dem er liegtt 4. Tr Trage Winkel (B) el de (B). Zeichne den zweiten Sche Schenkel des Winkels. E Es ent eht ein Schnittpunkt beider ider Schenkel. entsteht b a A c B C 5. binde nun noch C und B. Benenne alle Seiten und 5. Verbinde Winkel. kel. g a b b a A c B ∆ Konstruiere rui folgende Dreiecke. Miss die zwei Seiten und den anderen Winkel. a) c = 9 cm, b = 79°, a = 45° a = ____ b = _____ g = ____ b) c = 3,5 cm, b = 40°, a = 105° a = ____ b = _____ g = ____ C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 17 Dreiecke nach Winkel, Seite, Winkel konstruieren ! Jonas hat nach einer vorgegebenen Konstruktionsbeschreibung ein Dreieck konstruiert. Leider hat er bei der Konstruktion zwei Fehler gemacht. Finde diese, indem du Jonas einzelne Konstruktionsschritte prüfst. Notiere anschließend die gegebenen Stücke (Seiten und Winkel) und konstruiere das Dreieck richtig in deinem Heft. Konstruktionsbeschreibung (1) Mache dir eine Planfigur, d. h. eine Skizze, in der die bekannten Stücke des Dreiecks farbig gekennzeichnet sind. (2) Zeichne die Strecke c = 4 cm. (3) Benenne die Eckpunkte mit A und B. (4) Trage den Winkel a = 45° an A ab. (5) Trage den Winkel b = 75° an B ab. n a und b mit C. (6) Bezeichne den Schnittpunkt der zweiten Schenkel von ke BC mit a. (7) Bezeichne die Strecke AC mit b und die Strecke (1) 3) (2) und (3) C (4) ✕ γ a ✕ β B b α ✕ ✕ A c B ✕ ✕ c A c B 45˚ ✕ A 7) (6) und (7) (5) C ✕ b a ✕ 75˚ B c 4 45˚ ✕ A ✕ 75˚ B c 45˚ ✕ A nas Fehler: Feh r: Jonas Gegebene Stücke: 2 Konstruiere jeweils die Dreiecke aus den gegebenen Stücken. Bestimme die fehlenden Stücke (Strecken und Winkel) durch Messen. Mache zu jeder Aufgabe eine Planfigur. a) b = 6 cm; a = 35°; g = 90° a = _____ c = _____ b = _____ b) a = 3,8 cm; b = 120°; g = 23° b = _____ c = _____ a = _____ c) c = 5 cm; a = 40°; b =100° a = _____ b = _____ g = _____ C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 18 Dreiecke nach Seite, Seite, Seite konstruieren 1. 1. Fertige eine Planfigur an. Das ist eine Skizze, in der der du alles markierst, was du an bekannten Stücken gegeben hast. In diesem Beispiel gegeben: Alle Seiten (a, b, c) C a b c A B 2. A c B C 3. A c B C 4. A B C nenne alle Seiten Seite und Winkel. 5. Benenne g a b a A e Zirkelspanne. Zirkelspa 3. Nimm die Länge der Seite a in die Schlage einen Kreisbogen um B B. e b in die Zirkelspanne. Zirkels Nimm die Länge der Seite ine Kreisbogen eisboge um A. Schlage einen ht ein Schnittpun kt der Kreisbögen. Es entsteht Schnittpunkt it C. Bezeichne ihn m mit 4. Ve erbinde A m Verbinde mitt C und B mit C. c 5. 2. Zeichne die Seite c und benenne die Eckpunkte mit A und B. b c B Hinweis: s: Du kannst nur dann ein Dreieck konstruieren, wenn die beiden kürzeren Strecken zusammen w größer sind als die längste Strecke. ∆ Konstruiere rui folgende Dreiecke. Miss die Winkel. a) a = 9 cm, b = 7 cm, c = 8 cm a = ____ b = _____ g = ____ b) a = 3,5 cm, b = 4 cm, c = 6 cm a = ____ b = _____ g = ____ ∇ Gegeben sind die Seiten a = 8 cm und b = 5 cm. Die Seite c soll die kürzeste Strecke sein. Wie lang muss die Seite c mindestens sein, damit du das Dreieck konstruieren kannst? C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 19 Dreiecke nach Seite, Seite, Seite konstruieren ! a) Beschreibe die einzelnen Konstruktionsschritte. Achtung: Die Zeichnungen sind nicht in der Originalgröße, sondern verkleinert (Maßstab 1:4) dargestellt. (1) B (2) (3) (4) b A ✕ ✕ ✕ c (5) ✕ C ✕ ✕ ✕ A c ✕ ✕ B B c (6) ✕ ✕ C ✕ ✕ (7) ✕ ✕ r2 r1 A A c ✕ B r2 ✕ ✕ ✕ c C ✕ c A B ✕ (8) ✕ ✕ B r1 A c C ✕ r2 r1 A ✕ ✕ r1 C r2 r1 A ✕ a ✕ B ✕ a r2 b ✕ ✕ c ✕ B Konstruktionsbeschreibung (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 8) (8) a otier die geg e: a) Notiere gegebenen Stücke: c) Konst ginalgröße in de Konstruiere das Dreieck in Originalgröße dein Heft. Beginne dabei mit der Seite a. d) Miss die drei Winkel:: @ a) Von einem em Dreieck sind die Seiten a = 8 cm und b = 5 cm gegeben. Wie lang (in mm) muss di die e Seite c mindestens mind sein, damit man das Dreieck konstruieren kann? b) Von einem Dreieck sind die beiden kürzeren Seiten b und c gegeben. Wie lang muss n eine die Seite a mindestens sein, damit man das Dreieck konstruieren kann? 3 Konstruiere jeweils die Dreiecke aus den gegebenen Seiten. Bestimme die fehlenden Winkel durch Messen. Mache zu jeder Aufgabe eine Planfigur. a) a = 5,3 cm; b = 4,2 cm; c = 2,7 cm a = _____ b = _____ g = _____ b) a = 3,8 cm; b = 6,4 cm; c = 6,4 cm a = _____ b = _____ g = _____ c) a = 5 cm; b = 5 cm; c = 5 cm a = _____ b = _____ g = _____ C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 20 Dreiecke nach Seite, Seite, Winkel konstruieren 1. g 1. Fertige eine Planfigur an. Das ist eine Skizze, in der der du alles markierst, was du an bekannten Stücken gegeben hast. In diesem Beispiel gegeben: Seite b, Seite c, Winkel g C a b b a c A 2. B C 2. Zeichne die kürzere Seite b und benenne die Eckpunkte mit A und C. C 3. Trage den Winkel (g) an dem Punk Punkt an dem er liegt kt ab, a (C). Zeichne hne den zweiten Schenkel des Winkels. C Nimm die Länge der zweiten, größeren Seite 4. Nim md n, grö ßeren Se eite in die Zir chne e einen nen Kreisbog K Zirkelspanne und zeichne Kreisbogen um den Punkt A, sodass auf Seit Seite a entsteht. s ein Punkt au Bezeichne den Schnitt Schnittpunkt unkt m mit B. b A 3. g b A 4. a b A B 5. g a b b a A bind nun noch C und B und A und B. Benenne alle 5. Verbinde en und Winkel. Seiten C c B Hinweis: Du kannst nur dann ein Dreieck konstruieren, wenn der gegebene Winkel der größeren Seite gegenüberliegt. ∆ Konstruiere folgende Dreiecke. Miss die andere Seite und die zwei Winkel. a) c = 9 cm, b = 7 cm, g = 45° a = ____ b = _____ a = ____ b) c = 5,5 cm, b = 5 cm, g = 105° a = ____ b = _____ a = ____ C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 21 Dreiecke nach Seite, Seite, Winkel konstruieren ! Alexander hat nach einer vorgegebenen Konstruktionsbeschreibung ein Dreieck konstruiert. Leider hat er bei der Konstruktion Fehler gemacht. Finde diese, indem du Alexanders einzelne Konstruktionsschritte prüfst. Konstruiere das Dreieck anschließend richtig in dein Heft. Konstruktionsbeschreibung (1) Mache dir eine Planfigur, d. h. eine Skizze, in der die bekannten Stücke des Dreiecks farbig gekennzeichnet sind. (2) Zeichne die Strecke c = 2,2 cm. (3) Benenne die Eckpunkte mit A und B. (4) Zeichne einen Kreis(bogen) um A mit einem Radius von b = 2,8 cm. (5) Trage den Winkel b = 72° an B ab. (6) Bezeichne den Schnittpunkt des zweiten Schenkels von b m mit dem Kreis( Kreis(bogen) mit C. (7) Verbinde A mit C. (8) Bezeichne die Strecke AC mit b und di die Strecke a. ecke BC mit a (1) (2) und (3) 3) (4) ✕ C ✕ b ✕ α A a ✕ c B ✕ A c ✕ B ✕ A (5) und (6) 6) C ✕ ✕ ✕ b ✕ 72˚ A ✕ B (7) und ((8) 8) C ✕ c c ✕ B ✕ 72˚ A a c ✕ B Alexanders s Fehler: Gegebene en Stücke: 2 Konstruiere jeweils die Dreiecke aus den gegebenen Stücken. Bestimme die fehlenden Stücke (Strecken und Winkel) durch Messen. Mache zu jeder Aufgabe eine Planfigur. a) a = 3,7 cm; c = 5,3 cm; g = 115° b = _____ a = _____ b = _____ b) b = 5,2 cm; c = 4,4 cm; b = 49° a = _____ a = _____ g = _____ c) a = 6,6 cm; b = 4,2 cm; a = 89° c = _____ b = _____ g = _____ C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 22 Vermischte Übungen zu: Dreiecke konstruieren ∆ Schau dir die Konstruktionsbilder an. a) Nach welchem Kongruenzsatz sollte das Dreieck gezeichnet werden? b) Was ist passiert, dass zwei Dreiecke entstehen? Erinnere dich an die Hinweise zur Konstruktion von Dreiecken. 4. 1. Planfigur g C C1 a b b A b a c A C2 c B 5. geg: b, c, b C2 2. A B c C1 B 3. b A c B b A c B ∇ Überprüfe Überp fe ohne zu z Zeich Zeichnen, ob du mit diesen n Angabe Angaben en D Dreiecke konstruieren Begründe. konstru eren kannst. kan e. Seite a Seite b Seite c a) 5 cm 3 cm 9 cm b) m 4 cm 6 cm 9,5 cm c) 5 cm 3 cm 8 cm d) 2,5 cm 3,5 cm 5,5 cm e) 2 cm 3 cm 6 cm ja/nein ∈ Konstruiere ein Dreieck nach WSW. Erinnere dich an die Hinweise zur Konstruktion von Dreiecken. Fertige eine Planfigur an und beschreibe die einzelnen Schritte. Miss alle nicht gegebenen Winkel und Seiten. ∉ Konstruiere ein Dreieck nach SWS. Erinnere dich an die Hinweise zur Konstruktion von Dreiecken. Fertige eine Planfigur an und beschreibe die einzelnen Schritte. Miss alle nicht gegebenen Winkel und Seiten. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 23 Vermischte Übungen zu: Dreiecke konstruieren 1 a) Woran kannst du erkennen, dass man das Dreieck aus den gegebenen Längen konstruieren kann? Seite a Seite b Seite c (1) 7,5 cm 3,9 cm 3,4 cm (2) 5,2 cm 4,3 cm 8,1 cm (3) 34 mm 59 mm 35 mm (4) 84 mm 31 mm 53 mm b) Zeichne wenn möglich die Dreiecke und gib die fehlenden Winkel an. 2 Gib jeweils den Kongruenzsatz an und konstruiere die Dreiecke. Best Bestimme die fehlenden Stücke (Strecken und Winkel) durch Messen. Benenne nne auch die Dreiecksart. a) a = 5,2 cm; c = 6,4 cm; g = 56° b) b = 3,4 cm; m; c = 4,6 cm; a = 45° Kongruenzsatz: ________________ b = ____ a = ____ Kongruenzsatz: ________________ Kongruenz zsatz: __ __ b = ____ a = ____ b = ____ g = ____ Dreiecksart: ___________________ ________ c) a = 6,6 cm; b = 60°;; g = 60° Dreiecksart: ___________________ D ___________ d) a = 3 cm; b = 4 cm; m; c = 5 cm cm Kongruenzsatz: nzsatz z: ________________ ___________ ___ c = ____ __ b = ____ _ a = ____ b = ____ g = ____ a = ____ Dreiecksart: Dreiecksart: ___________________ __ ______ # Kongruenzsatz: ruenzs satz: tz: ________________ __ Dreiecksart: Dreiecksart ___________________ Familie Bettner möchte möchte über ihren en Gartenteich G eine Brücke bauen. Wie lang müssen die die Bretter Bre sein, damit sie die Brücke bauen können? n? Achtung: A Die Die Zeichnung Ze ist nicht maßstabsgerecht. Gartenteich 9m 22˚ 4 10 m Konstruiere die Dreiecke in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm). Gib näherungsweise die Koordinate des fehlenden Punktes an und miss die fehlenden Stücke. a) A(5 | 2) C(___ | ___) b) A(6 | 2) B(___ | ___) B(9 | 4) a = 2,8 cm b = 4,5 cm c = _____ a = _____ b = _____ C(1 | 5) a = 37° g = 65° a = _____ b = _____ c = _____ C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag g = _____ b = _____ 24 Mittelsenkrechte in Dreiecken 1. 4. C A Die Mittelsenkrechte auf eine Dreieckseite zeichnest du wie eine Senkrechte auf eine Strecke. C B 2. A B 5. C A C B 3. A B Alle drei Mittelsenkrechten hten schneiden sich in einem Punkt.. Das siehst sieh du auch auf den Bildern. rn. 6. C Zeichne auf jede Dreieckseite eine Mittelsenkrechte. Im Beispiel wurde mit der Mittelsenkrechten auf der Seite a begonnen, dann auf Seite b und zum Schluss die Mittelsenkrechte auf der Seite c gezeichnet. C r A B A B Es gilt: Bei jedem Dreieck kann man einen Umkreis indem man nen Umk eis zzeichnen, eichn an senkrechten als asM den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten Mittelpunkt des Kreises wählt. ∆ Konstruiere Konst iere bei a allen en drei dr Dreiecken die Mittelsenkrechten. Mitte senkrechten Überprüfe jeweils, ob der S atz auf d t utrifft: Satz deine Konstruktion zutrifft: C✕ pfwi Bei stump stumpfwinkligen Dreiecken schneiden sich die Mittel Mittelsenkrechten außerhalb des Dreiecks. A✕ ✕B C ✕ Bei spitzwinkligen zwinkl gen Dreiecken Dreieck schneiden sich die Mittelsenkrechten des Dreiecks. enkrechte en innerhalb inne A✕ C ✕ • A✕ ✕B ✕B Bei rechtwinkligen Dreiecken schneiden sich die Mittelsenkrechten auf der Seite des Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. ∇ Zeichne bei allen drei Dreiecken einen Umkreis ein. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 25 Mittelsenkrechte in Dreiecken ! a) Konstruiere jeweils die Mittelsenkrechten zu allen drei Seiten der Dreiecke. C C ✕ • ✕ C✕ A✕ ✕B A✕ ✕B A✕ ✕B b) Was stellst du fest? Bei stumpfwinkligen Dreiecken Bei spitzwinkligen Dreiecken Bei rechtwinkligen Dreiecken @ a) Zeichne die gegebenen enen Dreiecke Dreie ke in ein Koordinatensystem stem m (Einheit inheit 1 cm) c in dein de Heft. ere jew weils die drei M ie Koordinate Koor de b) Konstruiere jeweils Mittelsenkrechten und gib d die des tpunktes M der dr Schnittpunktes drei Mittelsenkrechten an. c) Zeich ne jeweils einen Kreis um M, der durch den E ckpunk A geht. Zeichne Eckpunkt d) Beschreibe, esch was dir auffällt. (1) A(7 | 3) 3 B(8 | 6)) C(2 | 3) M(___ | ___) –3 | –2 (2) A(–3 | 2) B B(–3 –2) C( C(3 | –2) M(___ | ___) –2 | 6) B(– 6 | 6) (3) A(–2 B(–6 C(–4 | –2,5) M(___ | ___) Der bei ei Aufgabe Au 2 gefundene Kreis wird als Umkreis bezeichnet. Konstruiere jeweils die Dreiecke aus den gegebenen Stücken. Konstruiere dann den Umkreis des Dreiecks und gib seinen Radius an. a) a = 3 cm b = 4 cm g = 90° r = _____ b) a = 5,2 cm b = 7,6 cm c = 6,4 cm r = _____ c) a = 5,2 cm b = 28° g = 117° r = _____ C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 26 Winkelhalbierende in Dreiecken 1. 5. C A 2. B A 6. C C 1. Wenn du ein Dreieck gezeichnet hast, fängst du bei einem Punkt an (im Beispiel Punkt A). Du stichst mit dem Zirkel in dem Punkt ein und trägst auf beiden Seiten den gleichen Abstand ab. B C 2. Verbinde die Schnittpunkte. A 3. B 7. C A 4. A B A B C A 8. C 3. und 4. neu Konstruiere auf der neuen Strecke eine Mittelsenkrechte. enkre Diese verläuft genau nau durch den Eckpunkt, mit dem dem du begonnen begon hast. B B 5. und 6. Wiederhole Wiederho e die Schritte 1–4 für die nächste Winkelhalbierende. erende. C A 7. und u 8. Wiederhole die e Schritte 1–4 1– für die dritte tte Winkelhalbierende. W kelhal ierende. B Es gilt: C kann man einen Inkreis einzeichnen, indem Bei jedem Dreieck ka m s einzeic chnen, in de man den Sc hnittpun der Winkelhalbierenden elhalb renden als Mitte Schnittpunkt Mittelpunkt der Abstand von des Kreises wählt. Der Radius ist st dann d er Abstan Mittelpunkt ttelpunk bzw. Schnittpunkt zu u den Seiten. Seiten n. r A B ∆ Konstruiere bei ei a allen len drei d Dreiecken ec die Winkelhalbierenden. Überprüfe, auf deine Konstruktion zutrifft: e, ob der S Satz a Bei stumpfwinkligen, und rechtwinkligen Dreiecken schneiden sich stumpfwinkligen, spitzwinkligen s die Winkelhalbierenden immer innerhalb des Dreiecks. Winkelhalbiere C C ✕ • ✕ C✕ A✕ ✕B A✕ ✕B A✕ ✕B ∇ Zeichne bei allen drei Dreiecken den Inkreis ein. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 27 Winkelhalbierende in Dreiecken ! a) Konstruiere jeweils die Winkelhalbierende zu allen drei Winkeln der Dreiecke. C C ✕ • ✕ C✕ A✕ ✕B A✕ ✕B A✕ ✕B b) Was stellst du fest? Bei stumpfwinkligen Dreiecken Bei spitzwinkligen Dreiecken Bei rechtwinkligen Dreiecken @ a) Zeichne die gegebenen nen Dreiecke Dreiecke in ein Koordinatensystem K stem (Einheit nheit 1 cm) in dein Heft. weils die drei W ke oordinate de b) Konstruiere jeweils Winkelhalbierenden und gib die K Koordinate des punktes W der drei W Schnittpunktes Winkelhalbierenden an.. Bestimme Abstand des Schnittpunktes Seite A AC. c) Best mme den A tes W von der Seit d eichne jewei m W, de en Radius d d) Zeichne jeweils einen Kreis um der den des Abstandes W von AC hat. Beschreibe, was dir auffällt. e) Besc 3 (1) A(7 | 3) B(8 | 6) C(2 | 3) W(___ | ___) (2) A(–3 | 2) B(–3 | –2) C(3 | –2) W(___ | ___) (3)) A(– A(–2 2 | 6) B(–6 B (–6 | 6) C(–4 | –2,5) W(___ | ___) Der bei ei Aufgabe A 2 gefundene Kreis wird als Inkreis bezeichnet. Konstruiere jeweils die Dreiecke aus den gegebenen Stücken. Konstruiere dann den Inkreis des Dreiecks und gib seinen Radius an. a) a = 3 cm b = 4 cm g = 90° r = _____ b) a = 5,2 cm b = 7,6 cm c = 6,4 cm r = _____ c) a = 5,2 cm b = 28° g = 117° r = _____ C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 28 Höhen in Dreiecken 1. C A 2. B C A 3. B C A 4. C diese beiden neuen 3. Verbinde d neu Schnittpunkte. Du wirst sehen, dass die S h itt Senkrechte genau durch Se urch den Punkt C verläuft. Das man dann as nennt ne ann die Höhe Höh auf die Seite c. B C A 6. 6 2. Du arbeitest mit den beiden Schnittpunkten weiter. Du trägst zwischen ihnen zwis eine Mittelsenkrechte enkrechte ab: a Schlage in eine n beiden Schnittpunkten Schnittpu Kreislinie. schneiden eislinie. Beide Kreislinien Krei sich. B A 5. 1. Wenn du ein Dreieck gezeichnet hast, fängst du bei einem Punkt an. In diesem Beispiel bei Punkt C. Du stichst mit dem Zirkel in den Punkt ein und trägst auf der gegenüberliegenden Seite (c) zwei Punkte ab. Sollte die Seite für deinen Kreisbogen zu kurz sein, verlängerst du die Seite, sodass du zwei Schnittpunkte hast. 4. und 5. Wiederhole 1–3 bei Wiederhole hole die d Schritte Sch den anderen beiden anderen be den Eckpunkten des Dreiecks.. Dreieck B C 6. Alle drei Höhen schneiden sich nun in einem Punkt. Dieser Punkt wird ein Schnittpunkt H genannt. H A B ∆ Konstruiere ruie ere bei allen n drei dre Dreiecken die Höhen. Überprüfe jeweils, ob der tz auf deine deine Konstruktion Konst Satz zutrifft: C✕ Bei stumpfwinkligen Dreiecken schneiden sich die Höhen außerhalb des Dreiecks. A✕ C ✕B ✕ Bei spitzwinkligen Dreiecken schneiden sich die Höhen innerhalb des Dreiecks. A✕ ✕B C ✕ • A✕ ✕B Bei rechtwinkligen Dreiecken schneiden sich die Höhen im Eckpunkt des rechten Winkels. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 29 Höhen in Dreiecken Info Als Höhen in Dreiecken werden die Abstände der Eckpunkte von den gegenüberliegenden Seiten bzw. deren Verlängerungen bezeichnet. ! a) Konstruiere jeweils die Höhen zu allen drei Seiten der Dreiecke. C C ✕ • ✕ C✕ A✕ ✕B A✕ ✕B A✕ ✕B b) Was stellst du fest? Bei stumpfwinkligen Dreiecken Bei spitzwinkligen Dreiecken gen Dreiecken Bei rechtwinkligen 2 a) Zeichne a eichne die gegebenen ge Dreiecke cke in ein ei Koordinatensystem Koordinaten (Einheit 1 cm) in dein Heft. b) Kons öhen und gib die Koordinate des Schnittpunktes H der Konstruiere jeweils die drei Höhen d Hö aden an. drei Höhen bzw. der Höhengeraden c) Bestimme den Abstand H von den drei Seiten. en A bstan des Schnittpunktes hni (7 | 3) (1) A(7 3 B(8 | 6) C(2 | 3) H(___ | ___) (2) A(–3 | 2) B(–3 | –2) C(3 | –2) H(___ | ___) (3) A(–2 | 6 6) B(–6 | 6) C(–4 | –2,5) H(___ | ___) Konstruiere jeweils die Dreiecke aus den gegebenen Stücken. Konstruiere dann die Höhen und gib ihre Längen an. g = 90° ha = _____ hb = _____ hc = _____ b) a = 5,2 cm b = 7,6 cm c = 6,4 cm ha = _____ hb = _____ hc = _____ c) a = 5,2 cm b = 28° g = 117° ha = _____ hb = _____ hc = _____ a) a = 3 cm b = 4 cm C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 30 Lösungen Konstruieren von Figuren Mittelsenkrechte konstruieren Seite 7 ∆ Weil alle vier Winkel gleich groß (90°) sind, steht die Mittelsenkrechte im rechten Winkel auf die Strecke. ∇ Hier stimmt der Satz aus Aufgabe 1 für alle vier Aufgaben. 6 cm-Strecke p Sie wird in zwei Teile zu je 3 cm geteilt. 8 cm-Strecke p Sie wird in je zwei Teile zu 4 cm geteilt. 11 cm-Strecke p Sie wird in je zwei Teile zu 5,5 cm geteilt. 13 cm-Strecke p Sie wird in je zwei Teile zu 6,5 cm geteilt. 9 cm-Strecke p Sie wird in zwei Teile zu je 4,5 cm geteilt. Durch das Konstruieren einer Mittelsenkrechte auf eine Strecke kann man eine Strecke in g genau zwei gleich große Teile zerlegen ohne zu messen. Mittelsenkrechte konstruieren Seite 8 ! (4) AB = 5 cm, AM = 2,5 cm, BM = 2,5 cm CD D = 4 cm, CM = 2 cm, DM = 2 cm (5) Die Strecke wird jeweils halbiert. eraden mit de (6) Die Winkel am Schnittpunkt der Geraden den Strec Strecken sind jeweils 90° groß. 3 Man kann den Mittelpunkt einer 8 cm la langen gen Streck Strecke finden, indem man an di die Mittelsenkrechte ttelse chte konstr konstruiert. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten lsenkrechten mit der d Stre Strecke ist der Mittelpunkt derr Stre Strecke. ke. Parallele alle konstruieren onstruiere Seite 9 Individuelle Sc Schülerlösungen hülerlösung Parallele k konstruieren Seite 10 ! a) bis d) Individuelle Lösungen. ungen. e) Es fällt auf, dass die Mittelse Mittelsenkrechte jeweils durch den Punkt P geht, egal wie groß der Radius gewählt ew wurde. 4 b) Sx(–1 | 0) u und d Sy(0 | –1) d) Sx(4 | 0) und Sy(0 | 4) Winkelhalbierende albier konstruieren Seite 11 ∆ a) bis c) Individuelle Schülerzeichnung d) Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade, die einen Winkel in zwei gleich große Teile aufteilt. ∇ Individuelle Schülerlösungen, die den Satz zuvor bestätigen. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 31 Lösungen Winkelhalbierende konstruieren Seite 12 ! a) bis d) Individuelle Lösungen. e) Es fällt auf, dass immer die gleiche Halbgerade entsteht. f) Winkelgrößen bei S1: 40°, 20°, 20° Winkelgrößen bei S2: 150°, 75°, 75° g) Es fällt auf, dass die Halbgerade den Winkel jeweils halbiert. 2 Individuelle Lösungen. # Individuelle Lösungen, wobei der Winkel zuerst halbiert werden muss und die beiden Teilwinkel dann wieder halbiert werden müssen. Kongruenzsätze für Dreiecke Seite 13 ∆ Die Form und Größe von Dreiecken wird durch ihre Seitenlängen und Winkelg Winkelgrößen ößen bestimm bestimmt. d die Dreiec ke kongrue Sind jeweils alle Seitenlängen und Winkelgrößen gleich groß, so sind Dreiecke kongruent zueinander n Drei ken kennen, um entscheiden zu können, (deckungsgleich). Man muss nicht alle Seiten und Winkel von Dreiecken ob die Dreiecke kongruent zueinander sind. Oftmals sind drei Stücke (Seiten und Winkel) ausreichend, sreich d, um über d die Kong Kongruenz von Dreiecken zu entscheiden. Diese Fälle werden in den sogenannten ten Ko Kongruenzsätzen ngruenzsätz g festgeschrieben. en ∇ Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in drei Seitenlängen übereinstimmen (SSS = Seite – Seite – Seite). Zwei Dreiecke sind kongruent, ongruent, wenn sie in zwei wei Seitenlängen Seitenlängen und der von den Seiten eingengeschlossenen Winkelgröße schlossen n Winkelgröß übereinstimmen übereinstim men Seite Winkel – Seite). (SWS = Sei e – Winke Zwei Dreiecke Dreiec sind kongruent, wenn sie in i einer Seitenlänge der Seite anliegenden und beiden bei de Winkelgrößen übereinstimmen Wi men (WSW = Winkel – Seite e – Winke Winkel). Zwei Dreiecke sind kongr kongruent, ent, wenn sie in einer Seitenlänge iner Seitenlän ge eren Winkelgrö ßen und zweii weit weiteren Winkelgrößen übereinstimmen einstimm n W = Seite – Winkel – Winkel). (SWW eiecke sind sin kongruent, wenn sie Zwei Dreiecke in zwei Seitenlä Seitenlängen und der der größeren S Seite gegenüberliegenden Winkelgröße übereinstimmen (SSW = Seite – Seite – Winkel). ✕ ✕ 64˚ 3,6 cm 78 78˚ 7 78˚ ✕ 64˚ ✕ ✕ 3,6 cm 2,8 cm ✕ ✕ ✕ ✕ 28˚ 28 108˚ 108˚ 28˚ ✕ ✕ ✕ ✕ 2,8 cm ✕ 79˚ 3 cm 1,8 cm 79˚ ✕ ✕ ✕ ✕ 3 cm ✕ 2,5 cm ✕ 2,5 cm 2 cm 1,2 cm ✕ ✕ 1,2 cm ✕ ✕ 2 cm ✕ 45˚ ✕ 3 cm 1,7 cm 1,7 cm ✕ ✕ 45˚ ✕ ✕ 3 cm Kongruenzsätze für Dreiecke 1 Folgende Kongruenzsätze sind richtig: C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag Seite 14 (1) (3) (4) (5) (6) 32 Lösungen Dreiecke nach Seite, Winkel, Seite konstruieren a) c = 9 cm, b = 7 cm, a = 45° b) c = 3,5 cm, b = 5 cm, a = 105° Seite 15 a = 6,4 cm b = 51° g = 84° a = 6,8 cm b = 45° g = 30° Dreiecke nach Seite, Winkel, Seite konstruieren Seite 16 ! Ben hat die Bezeichnung des Dreiecks im Uhrzeigersinn gemacht und nicht gegen den Uhrzeigersinn. Außerdem hat er α = 100° statt α = 80° abgetragen. Gegebene Stücke: b = 2 cm; c = 3 cm; α = 80° Richtiges Dreieck: C ✕ ✕ ✕ b a 80° ✕ A ✕ β = 77° α = 30° α = 48 2 a) a = 4,4 cm b) b = 9,1 cm c) c = 6,4 cm B γ = 43° γ = 40° 4° β = 74° Dreiecke nach Winkel, Seite, Winkel nkel konstruieren konstruiere a) c = 9 cm, b = 79°, a = 45° b) c = 3,5 cm, b = 40°, a = 105° Seite S ite 17 a = 7,7 cm b = 10,7 cm g = 56° a = 5,9 c cm b = 3,9 cm g = 35° Dreiecke ieck nach ach Winkel, Winke Seite, Seite Winkel konstruieren ren Seite 18 ! Jonas hat bei bei der Planf Planfigur die Bezeichnung ung m mit dem m Uhrzeigersin Uhrzeigersinn n und n nicht gegen den Uhrzeigersinn gemacht und un den W Winkel β = 65° statt β = 75° gen genommen. men. Gegebene Stücke: c = 4 cm; α = 45°; β = 75° 75 Richtige Planfigur: C Richtiges Dreieck: C ✕ 60˚ ✕ g a ✕ α B 2 a) a = 7,3 cm b) b = 5,5 cm c) a = 5 cm b b c 4,5 cm ✕ A c = 4,2 cm c = 2,5 cm b = 7,7 cm ✕ b 45˚ B 3,3 cm 4 cm c 75˚ ✕ A β = 55° α = 37° γ = 40° Dreiecke nach Seite, Seite, Seite konstruieren ∆ a) a = 9 cm, b = 7 cm, c = 8 cm b) a = 3,5 cm, b = 4 cm, c = 6 cm a a = 74° a = 34° b = 48° b = 40° Seite 19 g = 58° g = 106° ∇ Seite a ist mit 8 cm die längse Seite, also müssen b und c zusammen mindestens 8 cm sein, also ab 8,1 cm ist das Dreieck zu konstruieren. b ist 5 cm. b + c = 8,1 cm bzw. 5 cm + c = 8,1 cm. Seite c muss mindestens 3,1 cm lang sein. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 33 Lösungen Dreiecke nach Seite, Seite, Seite konstruieren Seite 20 ! a) Konstruktionsbeschreibung (1) Mache eine Planfigur. (2) Zeichne die Strecke c = 3,5 cm und benenne die Eckpunkte mit A und B. (3) Zeichne einen Kreis(bogen) um A mit Radius r1 = 4 cm. (4) Zeichne einen Kreis(bogen) um B mit Radius r2 = 4,5 cm. (5) Bezeichne den Schnittpunkt der beiden Kreisbögen mit C. (6) Verbinde A mit C. (7) Verbinde B mit C. (8) Bezeichne die Strecke AC mit b und die Strecke BC mit a. b) a = 4,5 cm; b = 4 cm; c = 3,5 cm d) α = 73° β = 59° γ = 48° @ a) Die Seite c muss mindestens 31 mm lang sein, damit man das Dreieck ieck kon konstruieren struieren kann. as Dreie b) Die Seite a muss länger als die Summe der Seiten b und c sein, damit man d das Dreieck konstruieren kann, also a > b + c. 3 a) α = 98° β = 52° β = 73° β = 60° b) α = 34° c) α = 60° γ = 30° 0° γ = 73° 73 γ = 60° Dreiecke nach Seite, Seite, Winkel Winke konstruieren kons a) c = 9 cm, b = 7 cm, g = 45° 05° b) c = 5,5 cm, b = 5 cm, g = 105° Seite 21 a = 12 12,5 cm b = 33° a = 102° 4 a = 1,3 cm b = 61° a = 14° Dreiecke na nach ch Seite, Seit Seite, Winkel el konstruieren konstr eren Seite 22 ! Alexander hat die Seite b = 3,2 cm statt b = 2,8 cm geno genommen omm und den Winkel β = 72° an A und nicht an B abgetragen. abgetr Daher hat er auch hd den Punktt B mit C verb verbinden müssen und nicht den Punkt A mit C, wie es in der Konstruktionsbeschreibung eibung s stand. Gegebene Stücke: b = 2,8 2 8 cm; c = 2,2 cm; β = 72° Richtiges Dreieck: ieck ✕ b 2,8 ,8 cm A C ✕ a 72° c ✕ B 2,2 cm 2 a) b = 2,5 cm b) a = 6,9 cm c) c = 5,1 cm α = 39° α = 91° β = 40° β = 26° γ = 40° γ = 51° C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 34 Lösungen Vermischte Übungen zu Dreiecke konstruieren Seite 23 ∆ a) Es sollte der Kongruenzsatz SSW angewandt werden. b) Die Seite, die dem Winkel gegenüberliegt, ist kürzer als die zweite gegebene Seite. Deshalb kann man zwei Schnittpunkte auf dem Schenkel des Winkels abtragen. Wäre die andere Seite die größere, kann man um den Punkt herum einen ganzen Kreis zeichnen, hätte aber nur einen Schnittpunkt mit dem Schenkel des Winkels. Vermutlich wurde hier einfach die Länge der Seiten verwechselt oder es ist kein eindeutiges Dreieck nach den Angaben zeichenbar. ∇ Es gilt: die beiden kürzeren Seiten müssen zusammen länger sein, als die dritte und längste Seite. Seite a Seite b Seite c a) 5 cm 3 cm 9 cm b) 4 cm 6 cm 9,5 cm c) 5 cm 3 cm 8 cm m d) 2,5 cm 3,5 cm 5,5 , cm m e) 2 cm 3 cm 6 cm ja/nein Nein, weil 5 + 3 = 8 < 9 Ja, weil 4 + 6 = 10 > 9,5 Nein, weil 5 + 3 = 8 und nicht größer 8 (0,1 cm fehlen) m fehlen Ja, weilil 2,5 2 + 3,5 = 6 > 5,5 Nein, weil 2 + 3 = 5 < 6 ∈ und ∉ Individuelle uelle Schülerlösungen S Vermischte Vermischt e Übungen zu Dreiecke konstruieren eren Seite 24 1 a) Die Summe Sum der beiden kürzeren Strecken ecken muss immer mmer größer s sein als die dritte Strecke. b) Die Dreiecke Dre (1) und (4) können nicht gezeichnet we werden. erden (2) α = 35° β = 28° γ = 117° (3) α = 31° β = 32° γ = 117° 2 a) ssw; spitzwinkliges winkliges Dre Dreieck eck b) sws, spitzw spitzwinkliges winkliges Dreiec Dreieck k c) wsw; gleichschenkliges gleic chenkliges Dreieck d) sss; rechtwink rechtwinkliges Dreieck α = 42° β = 48° c = 6,6 cm β = 53° b = 7,6 cm a = 3,3 cm b = 6,6 cm α = 37° β = 82° γ = 87° α = 60° γ = 90° x # Die Bretter müssen (mindestens) 3,8 m lang sein. 9m x 3,8 m 22˚ x 10 m 4 a) C(7 | 6) c = 4,5 cm b) B(4 | 7) a = 3,6 cm α = 36° β = 72° γ = 72° b = 5,8 cm c = 5,4 cm β = 78° C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 35 Lösungen Mittelsenkrechte in Dreiecken Seite 25 ∆ und ∇ Die Mittelsenkrechten sind richtig eingezeichnet, wenn der jeweilige Satz auf die Konstruktion zutrifft und der Umkreis richtig eingezeichnet werden konnte. Mittelsenkrechte in Dreiecken Seite 26 ! a) ✕ C✕ C M C ✕ • ✕ M A ✕B A✕ ✕ A✕ ✕B M ✕ ✕B b) Bei stumpfwinkligen Dreiecken schneiden sich die drei Mittelsenkrechten in einem Punkt. Dieser Punkt em P liegt außerhalb des Dreiecks. Bei spitzwinkligen Dreiecken schneiden sich die drei Mittelsenkrechten in einem nem Punkt. Dieser Punkt liegt innerhalb des Dreiecks. Bei rechtwinkligen Dreiecken schneiden sich die drei Mittelsenkrechten einem Dieser Punkt liegt chten in e nem Punkt. D auf der Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt. @ b) (1) M(4,5 | 5,5) (2) M(0 | 0) (3) 3) M(– M(–4 | –2) d) Es fällt auf, dass der Kreis nicht nur durch den Eckpu Eckpunkt sondern durch alle drei Eckpunkte des nkt A geht, s le d unkte de Dreiecks. 3 a) r = 2,5 cm b) r = 3,9 cm c)) r = 4,5cm Winkelhalbierende e in Dreiecken Seite 27 ∆ und ∇ Die e Mittelsenkre Mittelsenkrechten hten si sind richtig eingezeichnet,, wenn der jeweilige Satz auf die Konstruktion zutrifft und der Inkreis In reis richtig eingezeichnet ei werden konnte. Winkelhalbierende in Dreiecken Winkelhalb ! a) C Seite 28 x x x xC W x x W A C xB A x x W xB A x x B b) Bei ei stumpfwinkligen stumpfwinkligen Dreie Dreiecken schneiden sich die drei Winkelhalbierenden in einem Punkt. Dieser liegt innerhalb nnerhalb des s Dreiecks. Dreiec Bei spitzwinkligen pitzwinkli Dreiecken schneiden sich die drei Winkelhalbierenden in einem Punkt. Dieser liegt innerhalb rhalb des de Dreiecks. Bei rechtwinkligen Dreiecken schneiden sich die drei Winkelhalbierenden in einem Punkt. Dieser liegt innerhalb des Dreiecks. @ a) bis d) Die Zeichnungen sind verkleinert dargestellt. (1) W(6,3 | 4) (2) W(–1,6 | –0,6) (3) W(–4 | 4,4) e) Es fällt auf, dass der Kreis auch die anderen beiden Seiten berührt. 3 a) r = 1 cm b) r = 1,7 cm c) r = 1,1 cm C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 36 Lösungen Höhen in Dreiecken Seite 29 Wenn die Sätze auf die Konstruktion zutreffen, sind die Höhen mit hoher Wahrscheinlichkeit richtig gezeichnet worden. Höhen in Dreiecken ! a) Seite 30 C✕ ✕ hc ✕ ha ✕ ✕ ✕ H ha hb hc A✕ hc A✕ ha hb H✕ h b ✕B A ✕ C C ✕ ✕B ✕B b) Bei stumpfwinkligen Dreiecken schneiden sich alle drei Höhen bzw. deren Verlängerungen Verlängerungen. Der Schnittpunkt liegt außerhalb des Dreiecks. en. De Bei spitzwinkligen Dreiecken schneiden sich alle drei Höhen. Der Schnittpunkt liegtt innerhalb des Dreiecks. Bei rechtwinkligen Dreiecken schneiden sich alle dr drei Höhen. Der Schnittpunkt ist der Eckpunkt, dem chnitt kt, bei de der rechte Winkel ist. 2 (1) H(8 | 1) (2) H(–3 | –2 –2) 2) (3) H(4 | 5,5) 3 a) ha = 4 cm hb = 3 cm hb = 4,3 cm hb = 4,6 cm hc = 2,4 cm hc = 5,1 cm hc = 2,5 cm b) ha = 6,3 cm c) ha = 3,8 cm m C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3 © Persen Verlag 37 Weitere Downloads, E-Books und Print-Titel des umfangreichen Persen-Verlagsprogramms finden Sie unter www.persen.de Hat Ihnen dieser Download gefallen? Dann geben ben Sie Sie jetzt re Bewertung Bewerrtung auf www.persen.de direkt bei dem Produkt Ihre en IIhree Erfahru ngen mit ab und teilen Sie anderen Kunden Erfahrungen mit. © 2016 Persen Verlag, Hamburg ambu AAP Lehrerfachverlage GmbH fachverlage G Alle Rechte vorbeh vorbehalten. Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werks ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen weiteren kommerziellen Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte oder für die Veröffentlichung im Internet oder in Intranets. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlags. Sind Internetadressen in diesem Werk angegeben, wurden diese vom Verlag sorgfältig geprüft. Da wir auf die externen Seiten weder inhaltliche noch gestalterische Einflussmöglichkeiten haben, können wir nicht garantieren, dass die Inhalte zu einem späteren Zeitpunkt noch dieselben sind wie zum Zeitpunkt der Drucklegung. Der Persen Verlag übernimmt deshalb keine Gewähr für die Aktualität und den Inhalt dieser Internetseiten oder solcher, die mit ihnen verlinkt sind, und schließt jegliche Haftung aus. 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