Physikalisches Anfängerpraktikum 2 Universtität Konstanz, SS 2011

Physikalisches Anfängerpraktikum 2
Universtität Konstanz, SS 2011
Ferromagnetische Hysteresekurve
&
Erdinduktor
John Schneider & Jörg Herbel
27.06.2011 & 04.07.2011
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Ziele der Versuche
4
2 Physikalische Grundlagen
2.1 Magnetische Feldgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Magnetische Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . .
Magnetischer Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Magnetische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Magnetisierbarkeit von Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Diamagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Paramagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Kollektiver Magnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ferri- & Antiferromagnete . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Hysterese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Das Erdmagnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Faradaysches Induktionsgesetz & Gegenseitige Induktivität . . . .
2.6 Das ballistische Galvanometer & Die Messung des Erdmagnetfeldes
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4
4
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7
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8
9
9
11
12
13
3 Versuchsdurchführung Ferromagnetische Hysteresekurve“
15
”
3.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Auswertung Ferromagnetische Hysteresekurve“
”
4.1 Diskussion der aufgenommenen Hysteresekurven . . .
4.2 Remanenz, Koerzitivfeldstärke & Sättigungsinduktion
4.3 Neukurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Fehlerdiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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17
17
20
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23
5 Versuchsdurchführung Erdinduktor“
24
”
5.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2 Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6 Auswertung Erdinduktor“
26
”
6.1 Kalibrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2
Inhaltsverzeichnis
6.2
6.3
Inhaltsverzeichnis
Das Erdmagnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fehlerdiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
31
7 Fragen und Aufgaben Ferromagnetische Hysteresekurve“
”
32
8 Fragen und Aufgaben Erdinduktor“
”
34
9 Anhang
35
9.4 Messprotokolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Physikalische Grundlagen
1 Ziele der Versuche
Im Versuch Ferromagnetische Hysteresekurve“ werden wir die magnetischen Eigenschaf”
ten von Materie untersuchen. Dazu wird die Hysterekurve eines Transformatorkerns sowie die charakteristischen zugehörigen Größen bestimmt. Auch der Einfluss eines kleinen
Luftspaltes auf das Magnetisierungsverhalten des Kerns wird untersucht.
Im Versuch Erdinduktor“ werden wir mit einer speziell dafür entwickelten Vorrichtung,
”
dem Erdinduktor, das örtliche Erdmagnetfeld in Konstanz vermessen. Hierbei werden
wir dessen einzelne Vektorkompenten getrennt betrachten. Der Erdinduktor besteht aus
2 auf den gleichen, drehbaren Rahmen gewickelten Spulen.
2 Physikalische Grundlagen
Hinweis: In dieser Arbeit werden Vektoren fett gedruckt.
2.1 Magnetische Feldgrößen
Nachfolgend werden die grundlegenden Größen erläutert, welche zur Beschreibung von
Magnetfelder verwendet werden.
Magnetische Induktion Die magnetische Induktion B, auch magnetische Feldstärke
genannt, ist die grundlegendste Größe zur Beschreibung von Magnetfeldern. Sie wird
definiert über die Kraft, welche 2 stromführende Leiter aufeinander ausüben. Diese Kraft
wird durch das Ampèresche Gesetz beschrieben:
I I
dr 1 × (dr 2 × r 12 )
µ0 I1 , I2
·
(1)
F 12 =
3
4π
r12
C1 C2
4
2 Physikalische Grundlagen
3.2 Grundlagen der Magnetostatik
Dabei gelten folgende Bezeichnungen:
C11, I11 C1, I1
dr1
CC22,, II22
r12r 12
171
C2 , I2
dr22
dr
dr1
r2r2
rr11
Abb. 3.8. Wechselwirkung zweier
×
00
stromdurchflossener, geschlossener Leiter
µ0 : magnetische Feldkonstante (Permeabilität des Vakuums).
Abbildung 1: Skizze zur Verdeutlichung der Bezeichnungen in Gl. (1) aus [7], S 171.
Vs
N
µ0 = 4π · 10−7
≈ 1,2566 · 10−6 2 .
Am
A
(3.16)
µ0 ist hierbei eine Naturkonstante,
die magnetische
Feldkonstante,
auch (2.15)
Permeabilität
Vergleichen
wir diesen Ausdruck
mit der Definition
der Influenzkonstanten Leiter
ε0 , so erkennen
wir: ungeladen sind, wird ein anderes Feld
des Vakuums genannt. Da beide
insgesamt
als das elektrische benötigt, um die auftretende Kraft zwischen
Leitern zu erklären. (3.17)
ε0 µ0 c2 =den
1.
Deshalb definiert man die magnetische Induktion am Ort r 1 , welche in der Schleife C2
c ist dabei die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (2.14). Die beiden Konstanten ε0
durch den Strom I2 hervorgerufen wird durch
und µ0 sind also nicht unabhängig voneinander. Im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie wirdIdie Unterscheidung zwischen ruhenden und bewegten Ladungen
I2
dr 2 × r 12
woraus eine Äquivalenz von Coulombund
· des Bezugssystems,
(2)
B 2 (r 1 )lediglich
:= µ0 ·eine Frage
2
4 π folgt. Derr12
Zusammenhang (3.17) zwischen µ0 und ε0 ist also nicht
Ampère-Gesetz
C
2
zufällig.
V·s ist es günstig, das Kraftgesetz (3.15) noch etwas umzuformen:
N
1
= 1 Tesla = 1 T
(3)
[B] =Für
1 manche=Zwecke
m2
A·m
dr 1 × ( dr 2 × r 12 ) = dr 2 ( dr 1 · r 12 ) − r 12 ( dr 1 · dr 2 ) .
Ausgehend von dieser Definition lässt sich allgemein die durch eine am Ort r 0 vorDer erste Summand liefert in (3.15) keinen Beitrag:
handene Stromdichte j(r 0 ) erzeugte magnetische Induktion am Ort r ausdrücken durch
!
"
!
r 12
1
1
(Biot-Savart-Gesetz):
dr 1 · 3 = − dr 1 · ∇
= − df · rot grad
=0.
r12
ZC1
r12
C1
0
r12
AC1
r−r
µ0
3 0
· dals
rKraft
j(r 0zwischen
)×
B(r)Es=bleibt damit
den 0beiden
4π
|r −
r !|3 ! Stromfäden:
F 12 = −µ0
I1 I2
4π
dr 1 · dr 2
C1 C2
(4)
r 12
.
3
r12
(3.18)
Magnetischer Fluss Der magnetische
Fluss
Φmdieist
das Oberflächenintegral
über die
Diese Darstellung
macht
Symmetrie
zwischen den beiden Wechselwirkungspartnern deutlich. Offensichtlich ist auch das dritte Newton’sche Axiom erfüllt:
magnetische Induktion:
Φm :=
Z
F 12 = −F 21 .
B dA
[Φm ] = 1 Vs = 1 Weber = 1 Wb
(5)
(6)
A ist hierbei der Flächennormalenvektor der Fläche, über die integriert wird. Für ein
5
2 Physikalische Grundlagen
homogenes Magnetfeld, bei dem B während der gesamten Integration konstant ist, gilt:
Φm = B · A
(7)
Magnetisierung Die Magnetisierung M tritt auf, wenn Materie in ein Magnetfeld eingebracht wird, wodurch sich B ändert. Diese Änderung lässt sich mikroskopisch durch
die magnetische Polarisierung der Atome oder Moleküle der eingebrachten Materie erklären. Entweder sind bereits atomare magnetische Momente m in dem eingebrachten
Stoff vorhanden, welche durch das äußere Feld ausgerichtet werden oder es werden solche
erzeugt. Diese atomaren magnetischen Dipole werden makroskopisch durch die Magnetisierung beschrieben, welche das magnetische Moment pro Volumeneinheit V misst:
M :=
1 X
·
m
V V
[M ] = 1
A
m
(8)
(9)
Magnetische Feldstärke Um das veränderte Magnetfeld zu beschreiben, welches entsteht, wenn Materie in ein bereits vorhandenes eingebracht wird, benutzt man die magnetische Feldstärke H. Diese ist definiert duch
1
B−M
µ0
A
[H] = 1
m
H :=
(10)
(11)
Für B gilt dann entsprechend: B = µ0 · (H + M ). Im Fall von linearer, isotroper
Materie kann man folgenden, linearen Zusammenhang annehmen: M = χm · H. Der
Faktor χm heißt magnetische Suszeptibilität. Gilt eine solcher linearer Zusammenhang
zwischen M und H, kann man auch die Änderung der magnetischen Induktion durch
einen Faktor µr , die relative Permeabilität (materialspezifisch), beschreiben. χm und µr
hängen durch µr = 1 + χm zusammen, für B innerhalb des Stoffes gilt:
B = (1 + χm ) µ0 H = µr µ0 H
(12)
Das Vakuum hat die relative Permeabilität 1, dort gilt folglich: B = µ0 B (in guter
6
2 Physikalische Grundlagen
Näherung auch in Luft gültig). Dies ergibt sich auch daraus, dass die Magnetisierung
des Vakuums natürlich 0 ist.
2.2 Magnetisierbarkeit von Materie
Nachfolgend wird das teilweise sehr unterschiedliche Verhalten von Materie im Magnetfeld erläutert.
2.2.1 Diamagnetismus
Diamagnetische Stoffe bestehen aus Atomen oder Molekülen ohne permanentes magnetisches Dipolmoment. Werden sie einem Magnetfeld ausgesetzt, so entstehen induzierte
Dipole (die Elektronen in der Materie werden zur Präzessionsbewegungen um das externe
Feld angeregt). Diese sind dem erregenden Feld gemäß der Lenzschen Regel entgegengesetzt und schwächen dieses ab, dementsprechend ist χm nach Gl. (12) negativ. Weiterhin
gilt, dass χm im Falle des Diamagnetismus praktisch konstant ist und nicht von der Materialtemperatur oder dem äußeren Feld abhängt, weiterhin ist χm betragsmäßig sehr
klein. Der lineare Zusammenhang zwischen M und H gilt im Falle der Diamagnetismus
allerdings nur, wenn das äußere Feld schwach ist verglichen mit den Feldern der induzierten magnetischen Dipole.
Diamagnetismus, also das Entstehen induzierter Dipole durch äußere Felder, ist eine Eigenschaft aller bekannten Materialien. Jedoch spricht man von Diamagneten nur dann,
wenn ansonten keine der im folgenden beschriebenen Arten von Magnetismus auftreten,
was beispielsweise bei fast allen organischen Substanzen sowie bei Edelmetallen wie Zink
oder Quecksilber der Fall ist.
2.2.2 Paramagnetismus
Im Falle des Paramagnetismus sind bereits atomare magnetische Dipole in den entsprechenden Stoffen vorhanden, deren Orientierungen jedoch aufgrund der thermischen
Teilchenbewegung willkürlich über alle Raumrichtungen verteilt sind. Deshalb gilt im
Mittel, falls kein äußeres Magnetfeld anliegt: M = 0. Durch das Anlegen eines externen
Magnetfeldes erfolgt eine teilweise Ausrichtung der atomaren magnetischen Dipole in
der Materie. Dadurch wird das externe Feld verstärkt, es gilt: |χm | > 0. Bei Paramagneten ist χm im Allgemeinen temperaturabhängig, bei steigender Temperatur nimmt χm
7
2 Physikalische Grundlagen
proportional zum reziproken Temperaturwert ab. Beispiele für Paramagneten sind die
Alakalimetalle sowie auch Sauerstoff.
2.2.3 Kollektiver Magnetismus
Im Falle des kollektiven Magnetismus ist χm in komplizierter Weise von der Temperatur
Kreise linearer
und Ferromagnetismus
sowie dem äußeren Feld288
abhängig,
besteht kein
Zusammenhang zwischen M
P 28.esMagnetische
und H. Wie beim Paramagnetismus existieren auch hier permanente atomare magnetiTabelle 28.2. Anfangspermeabilitäts- Die stoffcharakterisierende Angabe einer Suszeptibilit
zahl einiger ferromagnetischer
Stoffe miteinander
sche Dipole, die jedoch auf quantenmechanischer
Ebene
wechselwirken
B/µ0 H hat bei einem
einer Permeabilitätszahl
µr =und
Stoff
wegen
der
Nichtlinearität
nur für den Beginn od
!r (H " 0)
sich dadurch spontan ausrichten (kollektives
Zusammenwirken
vieler Atome). Damit dies
Stoff
der Neukurve einen Sinn. Sie ergibt sich aus der S
50
ca.
geschehen kann, darf allerdingsGußeisen
eine bestimmte
kritische
Temperatur
nicht
entsprechenden
Stelleüberschritan diese Kurve gelegten Tan
Dynamoblech IV
ca.
500
zeigt
Werte
der
Anfangspermeabilität
ca.
20.000
ten sein. Ist diese überschritten,Mumetall
erlischt der kollektive
Magnetismus, die entsprechenden verschiedener
mit besonders großen Werten für µr (Mumetall, Supe
Supermalloy
ca. 100.000
Stoffe werden zu Paramagneten. Kollektiver Magnetismus tritt
in verschiedenen
Formen
magnetische
Abschirmungen
verwendet.
Alle
Charakteristika
der
Hysteresekurve
erweisen
auf:
abhängig. Insbesondere nimmt die Sättigungsmagne
sender Temperatur ab. Oberhalb der stoffabhängige
verschwindet der Ferromagnetismus, der Stoff wird
Ferromagnetismus Bei Ferromagneten ist χm sehr groß, das
externe
dementC = wird
1042 K).
Diese Tatsache sowie di
Eisen:
769 ◦Feld
der
Ferromagnetismus
an
den
festen Aggregatzustan
sprechend verstärkt. Die kritische Temperatur, ab der Ferromagnete zu Paramagneten
sendampfatome sind paramagnetisch), zeigen, daß es
werden, heißt Curie-Temperatur, bei Eisen liegt sie beispielsweise
bei 1043
Der fer-handelt, sondern u
eine Eigenschaft
der K.
Einzelatome
nomen in Festkörpern.
romagnetische Effekt lässt sich mikroskopisch durch die Weißschen
Bezirke erklären.
Bei Raumtemperatur sind außer dem Eisen auch
Quantenmechanische Wechselwirkungen führen dazu, dass die
atomaren
wandten
Elementemagnetischen
Nickel und Kobalt sowie einige
magnetisch,
ebenso
Elementeparder Seltenen Erden w
Dipole eines Ferromagneten innerhalb kleiner Bereiche (10 µm - 1 mm) vollständig
Ähnlich verhalten sich auch die Ferrite wie das Magn
allel orientiert sind. Diese Bereiche heißen Weißsche Bezirke, sie sind durch die einige
hundert Atomlagen dicken Bloch-Wände getrennt.
Deutung des Ferromagnetismus
Die atomare Deutung des Ferromagnetismus geht d
Stoffe aus paramagnetischen Atomen bestehen, daß
zu den Paramagneten jeder Kristallit eines ferromagn
nerhalb kleiner Bereiche eine vollständige Parallelaus
ren magnetischen Momente besitzt, eine Erscheinung,
chanisch erklärbar ist (Austauschwechselwirkung). Di
Weißsche Bezirke, Bild 28.6. Die Trennwand zwisch
reichen ist einige hundert Atomlagen dick und heißt B
In diesem mikroskopischen Bild läßt sich die En
Bild 28.6. Ungeordnete Weißsche Beresekurve
folgendermaßen verstehen. Ohne äußeres F
zirke im Ferromagneten (schematisch)
tisierungsrichtungen der Weißschen Bezirke zunächs
Abbildung 2: Schematische Darstellung der Weissschen Bezirke und der Orientierung
Das ferromagnetische Material erscheint makroskop
der atomaren magnetischen Dipole innerhalb derselben
aus [3], angelegt,
S. 288. dann wachsen zunäch
Wird ein Magnetfeld
che in dem äußeren Feld die geringere potentielle
geschieht auf Kosten der anderen Bezirke durch Ver
Wie die Grafik zeigt, sind die magnetischen Orientierungen
der Bezirke aus thermowände zwischen ihnen. Diese Verschiebung erfolgt
sondernM
sprunghaft,
dynamischen Gründen ohne äußeres Feld statistisch verteilt,Geschwindigkeit,
weshalb im Mittel
= 0 meist von eine
zum nächsten (Barkhausen-Sprünge). Diese Wandve
verbrauchen nur wenig Energie, deshalb wächst die M
bei kleinen äußeren Magnetfeldern stark an. Eine Dr
sierungsvektoren von den Würfelkanten der Kristalle
8
Feldrichtung erfolgt erst bei größeren Feldstärken. Die
fordern im allgemeinen mehr Energie und laufen dah
2 Physikalische Grundlagen
gilt. Wird ein externes Feld angelegt, wachsen zunächst diejenigen Bereiche, welche in
dem äußeren Feld eine geringe potentielle Energie haben auf Kosten anderer Bereiche mit
höherer potentieller Energie, wodurch die Magnetisierung zunimmt. Dies geschieht durch
Verschiebung der Bloch-Wände, was relativ wenig Energie erfordert. Deshalb können
auch schon schwache äußere Felder eine starke Magnetisierung verursachen. Stärkere
äußere Felder führen außerdem dazu, dass die Bloch-Wände gedreht werden (wodurch
die Bezirke parallel zum äußeren Feld ausgerichtet werden), was wesentlich mehr Energie
erfordert, die Magnetisierung aber weiter erhöht. Sind das Wachstum der entsprechenden Bezirke sowie die Wanddrehungen abgeschlossen, ist der Ferromagnet vollständig
magnetisiert und damit gesättigt, stärkere äußere Felder bringen kaum noch eine Steigerung.
Ferri- & Antiferromagnete Bei diesen beiden Formen des kollektiven Magnetismus
bestehen die Strukturen der jeweiligen Magnete aus 2 ferromagnetischen Untergittern,
deren Magnetisierungen in entgegengesetze Richtungen zeigen. Beim Ferrimagnetismus
sind diese außerdem betragsmäßig unterschiedlich, es bleibt eine spontane Magnetisierung auch ohne äußeres Feld. Beim Antiferromagnetismus hingegen sind diese betragsmäßig gleich, weshalb ohne äußeres Feld keine Magnetisierung vorliegt.
2.3 Hysterese
Wird ein Ferromagnet in ein äußeres Magnetfeld H eingebracht, so hängt die magnetische Induktion B in dem ferromagnetischen Material nicht nur von H ab, sondern auch
von der Vorbehandlung des Ferromagneten. Wird dieser zum 1. Mal einem externen
Magnetfeld ausgesetzt, steigt B mit H, bis Sättigung eintritt (die zugehörige magnetische Induktion innerhalb des Materials heißt magnetische Sättigungsinduktion). Wird H
wieder reduziert, sinkt B, jedoch auf einer anderen Kurve als beim Hochfahren des äußeren Feldes. Wird das äußere Feld auf −H umgepolt, sinkt B weiter bis zum negativen
Sättigungswert. Bei erneuter Umpolung steigt B erneut auf den positiven Sättigungswert, allerdings auf einer anderen Kurve als beim 1. Hochfahren. Diese Abhängigkeit
des jetzigen Zustand des Systems vom vorherigen Zustand desselben heißt Hysterese.
Sie bedeutet, dass das System gleichem H unterschiedliche Zustände einnehmen kann,
die Funktion B(H) ist nicht eindeutig bestimmt.
Die in der Grafik eingezeichneten Werte ±Br heißen Remanenz. Sie sind der Grund
9
ende Eigenschaft; wegen der Kleinheit des Effektes
offen aber von den paramagnetischen und erst recht
schen Erscheinungen überdeckt.
2 Physikalische Grundlagen
ie z. B. Eisen in ein Magnetfeld, so beobachtet man
Erhöhung der Flußdichte. Der Zusammenhang zwieine Spule erzeugten Feldstärke H und der magneim Eisen ist jedoch nichtlinear und zeigt darüber
cheinungen: Bringt man das Eisen in ein magnetio tritt eine typische Hysteresekurve auf. Das Bild
B
H
B
B rr
B
Sättigung
Sättigung
Sättigung
b
Neukurve
Neukurve
a
B
-H
Hcc
HH
ist die Magnetisierungskurve des zunächst unmagneH
−H
c
s;
Bereiche, in denen der Feldzuwachs nur noch mit
-B r r
−B
c
aktor µ0 erfolgt;
die remanente Flußdichte im Eisen beim Abschalten
Sättigung
Sättigung
;
ärke Hc ; die (Gegen)Feldstärke, die man braucht, um Bild 28.5. Hysteresekurve einer ferromagnetischen Probe. Br : Remanenz,
ßdichte zu kompensieren.
Hc : Koerzitivfedstärke
nter der Hyteresekurve
stellt die 3:
zurHysteresekurve,
Ummagnetisie- welche
Abbildung
den oben beschriebenen Vorgang abbildet. Die Neus während einer Feldperiode benötigte
Energie
E,
kurve a entsteht, wenn vollkommen unmagnetisiertes (jungfräuliches) Man Volumen V dar:
ngsenergie
!
terial magnetisiert wird. b entsteht durch Umpolen von H nach Erreichen
der Sättigung, c ensteht durch erneutes Umpolen, nachdem wiederum die
E
. Sättigung erreicht wurde.
B dH =
V
für die Hysterese: Wird das externe Feld abgeschaltet, bleibt eine Restmagnetisierung
im Ferromagneten zurück, weil sich die Orientierungen der Weissschen Bezirke nicht
wieder vollständig statistisch verteilen. Man erhält dadurch einen Permanentmagneten.
Um das Feld desselben zu neutralisieren, ist die Koerzitivfeldstärke ∓Hc nötig. Materialien, bei denen |Br | und damit |Hc | groß sind, heißen magnetisch weich, die Hysterekurve verläuft flach. Bei magnetischen harten Materialien hingegen verläuft diese steil,
dementsprechend sind |Br | und |Hc | klein. Die Fläche, welche von der Hysteresekurve
eingeschlossen wird, entspricht der Änderung der Energiedichte, welche auftritt, wenn
der Umpolungszyklus einmal durchlaufen wird. Dies lässt sich wie folg zeigen: Sei Kurve
b aus Abb. 3 definiert als H 1 (B), c sei H 2 (B). Die magnetischen Induktionen, welche im Ferromagneten zum Sättigungszeitpunkt vorliegen, seien ±B0 . Die Änderung
der Energiedichte wmag eines Magnetfeldes entlang eines Weges C ist allgemein gegeben
durch
Z
1
· H(B) dB
(13)
∆wmag =
4π
C
10
2 Physikalische Grundlagen
Dann gilt für die Änderung der Energiedichte bei einem kompletten Kurvenumlauf:

ZB0

−B0
Z
H 2 (B) dB 
H 1 (B) dB +
1 
·
4π
B0
−B0

 B
Z0
1 
=−
(H 2 (B) − H 1 (B)) dB 
·
4π
−B
| 0
{z
}
∆wmag =
(14)
(15)
Fläche A zwisch. H 1 (B) und H 2 (B)
=−
1
· A(r)
4π
(16)
Die Änderung der magnetischen Energie Wmag selbst ist damit gegeben durch:
∆Wmag
1
=−
·
4π
Z
A(r) d3 r
(17)
V
Diese Energiedifferenz tritt als Verlust in Form von Wärme auf.
2.4 Das Erdmagnetfeld
Das Magnetfeld der Erde lässt sich näherungsweise durch ein Magnetfeld, welches von
einem magnetischen Dipol im Erdmittelpunkt erzeugt wird, beschreiben, diese Näherung wird bei größeren Entfernungen von der Erde immer genauer. Die Achse dieses
Dipols schließt mit der Rotationsachse der Erde momentan einen Winkel von ca. 11,4 °
ein (daher fallen die geographischen und magnetischen Pole der Erde nicht zusammen),
das Dipolmoment desselben beträgt ≈ 8 · 1022 A·m2 . Da der magnetische Dipol, welcher
der Beschreibung zu Grunde liegt, viel kürzer ist als der Erddurchmesser, schneiden
die Feldlinien des Erdmagnetfeldes die Erdoberfläche nicht erst an den Magnetpolen,
sondern bereits bei geringeren geographischen Breiten. Der mit der Erdoberfläche eingeschlossene Winkel heißt Inklinationswinkel ϑ, es gilt nach [1]:
Am Äquator: ϑ = 0 °; In Konstanz: ϑ = 63, 60°; Am Nord-/Südpol: ϑ = ±90 °
Der Winkel, um der die magnetischen Feldlinien von der geographischen Nordrichtung
abweichen, heißt Deklinationswinkel ϕ, er ist lokal sehr unterschiedlich, weil das Erdmangetfeld z.B. durch magnetische Mineralien in der Erdkruste gestört wird. Weitere
Ursachen der Deklination kommen bei der Entstehung des Erdmangetfeldes hinzu, s. u.
11
2 Physikalische Grundlagen
Der Deklinationswinkel beträgt in Konstanz nach [1] momentan ϕ = 1, 67°.
Das Erdmangetfeld ändert sich mit der Zeit in Betrag und Richtung. Eine Umpolung
erfolgt in unregelmäßigen Abständen, die Magnetpole wandern um die geographischen
Pole der Erde. Diese Schwankungen sind durch die Entstehung des Erdmagnetfeldes
erklärbar, welches durch Ionenströme in flüssigem Gestein im Erdinneren hervorgerufen wird. Diese Ströme entstehen zum einen durch den in radiale Richtung zeigenden
Temperaturgradienten im Erdinneren. Außerdem führen Zentrifugalkräfte hervorgerufen
durch die Erdrotation zu einer Relativbewegung des flüssigen Erdinneren und der festen Erdkruste. Da die Ionen weiterhin im Erdmagnetfeld eine Lorentzkraft erfahren,
werden positive und negative Ionen getrennt, wodurch das Erdmagnetfeld gemäß dem
Dynamo-Prinzip zusätzlich verstärkt wird.
Unregelmäßigkeiten in diesen Strömungen führen zu lokalen Störungen des Magnetfeldes und damit des Deklinationswinkel, es entstehen schwache zusätzliche Magnetpole.
Durch Reibung und Turbulenzen ändern sich die Magmaströme im Erdinneren mit der
Zeit und damit das Erdmagnetfeld.
2.5 Faradaysches Induktionsgesetz & Gegenseitige Induktivität
Die Vermessung des Erdmangetfeldes im Versuch Erdinduktor“ beruht u. a. auf dem
”
Faradayschen Induktionsgesetz. Dieses besagt, dass in einer Leiterschleife eine Induktionsspannung Uind entsteht, wenn sich ein Magnetfeld B, welches diese durchsetzt, ändert
oder wenn die vom Magnetfeld durchsetzte Fläche A (Flächennormale) der Leiterschleife variiert. Uind berechnet sich aus der Änderung des magnetischen Flusses durch die
Leiterschleife und ist gemäß der Lenzschen Regel ihrer Ursache entgegengesetzt und
deshalb mit einem negativen Vorzeichen behaftet:
Uind
d
= −Φ̇m = −
dt
(5)
Z
B dA
(18)
Für eine Spule bestehend aus n Wicklungen (Leiterschleifen) folgt dementsprechend:
Uind = −n · Φ̇m
(19)
Die gegenseitige Induktivität L12 zwischen zwei Spulen 1 und 2 stellt eine Beziehung
her zwischen dem Strom I1 durch Spule 1 und dem Fluss Φm durch die Spulen, welcher
12
2 Physikalische Grundlagen
in Folge des Magnetfeldes, welches der Stromfluss durch Spule 1 erzeugt, auftritt:
L12 · I1 = n2 · Φm
(20)
2.6 Das ballistische Galvanometer & Die Messung des
Erdmagnetfeldes
Das ballistische Galvanometer ist ein sehr empfindliches Messgerät für Strom- und Spannungsstöße. Eine Spule ist drehbar in einem permamenten Magnetfeld gelagert. Entsteht
ein Stromfluss durch die Spule, dreht sich diese wegen der Lorentzkraft und verdrillt
so einen Torsionsfaden, welcher die Messung ermöglicht. Wichtig ist hierbei, dass der
Stoß viel kürzer ist als die Schwingungsdauer des Messgeräts. In unserem Fall erfolgt
der Stromstoß I2 (t), indem in die Sekundärspule des Erdinduktors, welche an das Galvanometer angeschlossen ist, eine Spannung U2 (t) induziert wird. Sei Rges der ohmsche
Gesamtwiderstand des Stromkreises. Dann gilt:
I2 (t) =
n2
U2 (t) (19)
= −
· Φ̇m
Rges
Rges
(21)
n2 ist hierbei die Wicklungszahl der Sekundärspule. Die Spannung U2 (t) entsteht,
indem die Primärspule des Erdinduktors in der Zeit t∗ um 180 ° gedreht wird. Dadurch
induziert das Erdmagnetfeld B eine Spannung in diesselbe. Für die geflossene Ladung
Q folgt:
Q=
Zt∗
0
(21)
I2 (t) dt = −
Zt∗
0
n2 dΦm
n2
·
dt = −
·
Rges dt
Rges
ZΦ∗
dΦm = −
Φ0
∗
n2
· [Φm ]ΦΦ0
Rges
(22)
Da die Sekundärspule im 180 ° gedreht wird, folgt für deren Flächennormale A:
A0 = −A∗ . Da B während des Drehvorgangs konstant ist, gilt deshalb nach Gl. (19):
Φ0 = −Φ∗ . Man erhält:
Q=−
2 · Φ0
2·A·B
=−
Rges
Rges
(23)
Außerdem gilt, dass der Maximalausschlag d des Galvanometers der geflossenen La-
13
2 Physikalische Grundlagen
dung proportional ist. Sei K 0 die Proportionalitätskonstante. Dann gilt:
Q=−
2 · Φ0
2·A·B
=−
= K0 · d
Rges
Rges
(24)
Weiterhin kann man einen Stromfluss auch herbeiführen, indem man einen kurzen
Gleichstromimpuls I1 durch die Primärspule schickt. Dadurch wird ebenfalls eine Spannung U2 (t) in die Sekundärspule induziert. Auf diese Weise kann man mit aus Gl. (20)
bekanntem Φkal
m eine Kalibrierungsmessung für die Sekundärspule durchführen. Analog
zu den vorangehenden Gleichung gilt in diesem Fall für die geflossene Ladung Qkal :
Qkal = −
L12 · I1
= K 0 · dkal
Rges
(25)
dkal ist hierbei der Maximalausschlag während der Kalibrierungsmessung. Aus der Proportionalität folgt, dass für am Erdinduktor auftretende Flüsse und am Galvanometer
erfolgende Maximalausschläge allgemein gilt:
Φm
= konst.
d
(26)
Dies nutzt man bei der Kalibrierung aus. Gl. (25) dividiert durch Gl. (24) ergibt:
L12 · I1
dkal
=
2 · n2 · A · B
d
1 L12 · I1 1
A·B
·
·
=
2
n
d
d
| {z2 } kal
|
=Φkal
m
{z
}
Bx =
K · dx
2·A
=konst. =:K
(27)
(28)
Hat man K mittels der Kalibrierungsmessung festgelegt, lässt sich B bestimmen, falls
A ⊥ B gilt, weil man dann schreiben kann: A · B = A · B. Man erhält für eine beliebige
Komponente Bx des Erdmagnetfeldes:
(29)
Dieses lässt sich in eine zur Erdoberfläche senkrechte Komponente B⊥ und zwei zur
Erdoberfläche parallele Komponenten Bk 1 , Bk 2 zerlegen. Für den Gesamtbetrag B gilt
14
3 Versuchsdurchführung Ferromagnetische Hysteresekurve“
”
nach Pythagoras:
B=
q
2
+ Bk 21 + Bk 22
B⊥
(30)
Den Inklinationswinkel erhält man über die Beziehung:
ϑ = arctan
B⊥
Bk


B⊥

= arctan  q
2
2
Bk 1 + Bk 2
(31)
3 Versuchsdurchführung Ferromagnetische
”
Hysteresekurve“
3.1 Aufbau
Der Schaltplan zum Versuchsaufbau ist in Abbildung 4 dargestellt. Im Mittelpunkt des
Versuchs stand der eiserne Transformatorkern (U-Kern), von welchem die Hysteresekurve
bestimmt werden sollte. Der Transformatorkern besaß ein abnehmbares Eisenjoch, welches so die Aufnahme der beiden Spulen L1 mit N1 = 50 Windungen und L2 mit N2 = 8
Windungen ermöglichte. Die zweite Spule wurde dabei von uns mit einem handelsüblichen Kabel selbst gewickelt. Als Hochlastwiderstand im ersten Stromkreis verwendeten
wir R1 = 0, 01 Ω mit einer Belastbarkeit von Pmax = 18 W. Die zweite Spule war mit einer
Integratorschaltung aus einem Kondensator C = 1 µF und einem ohmschen Widerstand
R2 = 510 kΩ verbunden. Das so entstandene Signal ist proportional zur resultierenden
magnetischen Induktion Bres im Eisenkern, da gilt: Uy (t) ≈ − Rn22 A · B(t) (vlg. [9]). Das
Signal des ersten Stromkreises ist proportional zur erregenden magnetischen Feldstärke
Herr (Ux (t) = R1 I ∼ H(t)). Beide Signale wurden mit einem Speicheroszilloskop aufgenommen. Die Spannung für den ersten Stromkreis ließ sich über einen Regeltransformator variieren, zudem wurde ein Sicherheitstransformator zwischengeschaltet.
15
Φ(t) = A B(t) weiter schreiben:
n2
n2
UY (t) ≈ −
Φ(t) = −
A B(t) .
3 Versuchsdurchführung Ferromagnetische
R2 C
R2 C Hysteresekurve“
”
Oszilloskop
Y-Eingang
Signal ∝ B(t)
R2
Netz
RegelSicherheits50 Hz trenntrafo trenntrafo
230 V~ 0-70 V~ 0-24V~
(4.5.6)
C
Spule 2
Eisenkern
Spule 1
~
R1
Oszilloskop
X-Eingang
Signal ∝ H(t)
Abbildung 4.5.1: Schaltbild der Integratorschaltung zur Darstellung der Hysteresekurve
B(H) auf
einem Oszilloskop.
Abbildung
4: Der Schaltplan zur ferromagnetischen Hysteresekurve aus [9]
2
Solange der Kondensator nur wenig aufgeladen wird, ist seine Spannung UY gegenüber der Induktionsspannung Uind vernachlässigbar. Daher gilt
UY (t) =
3.2 Ablauf
Q(t)
C
=
1
C
!t
Iind (z) dz
0
=
1
C
!t
0
Uind (z) − UY (z)
dz
R2
(4.5.3)
t
Nachdem wir den Versuch
wie in Kapitel 3.1!t beschrieben aufgebaut !hatten,
begannen
!t
Uind (z)
1
1
1
Φ̇(z) dz von
≈
dz hierbei
=
Uind (z) dz =
−n
wir mit der Messung.
WirRwählten
im2 Bereich
C
R2 C11 verschiedene Spannungen
R2 C
2
0
0
0
50 − 250 V aus und nspeicherten
die so erhaltene Hysteresekurven jeweils am Oszillo2
= −
Φ(t) .
(4.5.4)
R2 C
skop in CSV-Dateien
ab. Diese Messungen führten wir auch durch, um daraus später
die Neukurve bestimmen zu können. Daraufhin untersuchten wir Hysteresekurven mit
einer dünnen Papierschicht zwischen U-Kern und Joch. Hier führen wir drei Messungen
mit jeweils unterschiedlicher Papierdicke durch und speicherten die Kurven ebenfalls
in CSV-Dateien. Als letztes bestimmten wir noch den mittleren Kernumfang l und die
Querschnittsfläche A des Transformatorkerns (siehe Abbildung 3.2). Die Messergebnisse,
Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz — zum internen Gebrauch bestimmt
Anleitung ersetzt
NICHT den Grundlagenteil
Ihres sind
Praktikumsberichtes!
Haben Sie Verbesserungsvorschläge?
mitDiese
Ausnahme
der Hysteresekurven
selbst,
dem Messprotokoll
zu entnehmen.
Dieser Abschnitt: Revision: 32 , Date: 2010-05-06 11:55:06 +0200 (Do, 06 Mai
Gesamtversion: kompiliert am 10. Juni 2011 um 12:27 Uhr
16
2010)
schen Feldlinien und die Querschnittsfläche A des Kerns senkrecht zu den Feldlinien
(siehe Abbildung 4.5.2).
8. für Physiker(innen): Überlegen Sie, wie Sie mit der vorhandenen Anordnung die
Neukurve“ des Eisenkerns (ohne
Papier) messen können und führen Sie diese
4 Auswertungsog.Ferromagnetische
Hysteresekurve“
” ” durch.
Messung
Querschnittsfläche A
mittlerer Kernumfang l
Abbildung 4.5.2: Skizze des Transformatorkerns zur Definition der Querschnittsfläche A
und des mittleren Kernumfangs l.
Abbildung 5: Skizze des Transformatorkerns zur Veranschaulichung der Querschnittsfläche A und dem mittleren Kernumfang l aus [9]
Auswertung
1. Führen Sie die Umrechnung der am Oszilloskop angezeigten Spannung in die
magnetische Feldstärke und magnetische Flussdichte nach folgenden Formeln durch:
H = UX
n1
R1 l
B = UY
R2 C
n2 A
2. Bestimmen Ferromagnetische
Sie für alle aufgenommenen Hysteresekurven,
bei denen die Sättigung
4 Auswertung
Hysteresekurve“
hinreichend
erreicht wurde, jeweils die Sättigungsinduktion B (eigentlich
”
magnetische Sättigungsflussdichte, aber der Begriff hat sich nicht eingebürgert), die
s
Remanenz B (genauer die Remanenzflussdichte) und die Koerzitivfeldstärke
4.1 Diskussion
H . der aufgenommenen Hysteresekurven
r
c
Aus den aufgezeichneten
Messdaten lassen sich nun die markanten Werte der Hyste3. für Physiker(innen): Zeichnen Sie die Neukurve des Eisenkerns.
resekurven bestimmen (vlg. Kaptiel 2.3). Die abgelesenen Spannungswerte Ur für die
Remanenz, Uc für die Koerzitivfeldstärke, sowie die X- und Y -Komponenten Ux und Uy
der Sättigungsinduktion der ersten 11 Messungen sind in Tabelle 1 aufgeführt. Exemplarisch haben wir für drei
verschiedene
Eingangsspannungen
die
Hysteresekurve
gezeichnet
Physikalisches
Anfängerpraktikum
der Universität Konstanz — zum internen
Gebrauch
bestimmt
Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge?
Dieser Abschnitt:
(Abbildung 6). Hierbei fälltGesamtversion:
auf, dasskompiliert
eine amgrößere
Eingangsspannung
auch eine ausge10. Juni 2011
um 12:27 Uhr
prägtere Kurve zur Folge hat. Die Fehler der Spannungswerte wurden von uns anhand
der Daten abgeschätzt.
Revision: 32 , Date: 2010-05-06 11:55:06 +0200 (Do, 06 Mai 2010)
Uein [V]
Ur [V]
Uc [V]
Ux [V]
Uy [V]
50
0,0045 ±0, 0001
0,0045 ±0, 0001
0,0082 ±0, 0001
0,0069 ±0, 0001
0,0106 ±0, 0001
0,0067 ±0, 0001
0,0100 ±0, 0001
0,0142 ±0, 0001
70
90
110
130
150
0,0078 ±0, 0001
0,0140 ±0, 0005
0,0160 ±0, 0005
0,0192 ±0, 0005
0,0062 ±0, 0001
0,0084 ±0, 0002
0,0084 ±0, 0002
0,0092 ±0, 0002
17
0,0100 ±0, 0001
0,0148 ±0, 0005
0,0174 ±0, 0005
0,0216 ±0, 0005
0,0112 ±0, 0001
0,0174 ±0, 0005
0,0208 ±0, 0005
0,0248 ±0, 0005
4 Auswertung Ferromagnetische Hysteresekurve“
”
170
190
210
230
250
0,0210 ±0, 0005
0,0098 ±0, 0002
0,0256 ±0, 0005
0,0272 ±0, 0005
0,0244 ±0, 0010
0,0116 ±0, 0004
0,0456 ±0, 0010
0,0336 ±0, 0010
0,0224 ±0, 0010
0,0248 ±0, 0010
0,0260 ±0, 0010
0,0112 ±0, 0004
0,0120 ±0, 0004
0,0128 ±0, 0004
0,0332 ±0, 0010
0,0512 ±0, 0010
0,0823 ±0, 0010
0,0308 ±0, 0010
0,0348 ±0, 0010
0,0392 ±0, 0010
Tabelle 1: Die Spannungswerte der Hysteresekurven für die Remanenz, die Koerzitivfeldstärke und der X- und Y -Koordinate der Sättigungsinduktion, ausgelesen
aus den CSV-Dateien.
Abbildung 6: Darstellung von drei charakteristischen Hysteresekruven. Die Konvergenz
gegen die Sättigungsinduktion ist gut zu erkennen.
18
4 Auswertung Ferromagnetische Hysteresekurve“
”
Aus den drei Messungen mit unterschiedlichen Papierschichten zwischen dem U-Kern
und dem Joch haben wir ebenfalls die oben genannten Werte ausgelesen und in Tabelle
2 vermerkt. Die drei Kurven sind in Abbildung 7 visualisiert. In dem Schaubild lässt
sich gut erkennen, dass eine in unserem Fall durch Papier verursachte Unterbrechung
des Transformatorkerns mit einem nicht magnetisierbaren Material die zugehörige Hysteresekurve zunehmend in die Länge zieht“, der Flächeninhalt jedoch gleich bleibt. Es
”
handelt sich also um eine Scherung. In Abschnitt 2.3 wurde gezeigt, dass der Flächeninhalt der Hysterekurve ein Maß für die Energie ist. Da Uein bei den Messungen mit Spalt
konstant gehalten wurde, folgt, dass auch die Energie im System konstant ist, woraus
die konstante Fläche, welche von den Kurven eingeschlossen wird, resultiert. Das Papier
verringert jedoch die Suszeptibilität des Eisenkerns, weshalb nach Gl. (12) auch B abnimmt, was den veränderten Kurvenverlauf erkärt. Diese Abnahme ist durch Vergleich
der Werte aus Tabelle 1 sowie 2 ersichtlich.
Uein [V]
150
150
150
Papierdicke
1
2
3
Ur [V]
0,0072 ±0, 0001
0,0040 ±0, 0001
0,0036 ±0, 0001
Uc [V]
0,0080 ±0, 0001
0,0088 ±0, 0001
0,0112 ±0, 0001
Ux [V]
0,0472 ±0, 001
0,0696 ±0, 001
0,0904 ±0, 001
Uy [V]
0,0240±0, 0005
0,0240 ±0, 0005
0,0240 ±0, 0005
Tabelle 2: Die Spannungswerte der Hysteresekurven mit Papierschicht für die Remanenz,
die Koerzitivfeldstärke und der X- und Y -Koordinate der Sättigungsinduktion, ausgelesen aus den CSV-Dateien.
19
4 Auswertung Ferromagnetische Hysteresekurve“
”
Abbildung 7: Darstellung der drei Hysteresekurven mit Papierschicht. Die Eingangsspannung betrug jeweils Uein = 150 V.
4.2 Remanenz, Koerzitivfeldstärke & Sättigungsinduktion
Um aus den aufgenommenen Spannungswerte nun die Werte für Remanenz Br , Koerzitivfeldstärke Hc und Sättigungsinduktion Bs zu bestimmen werden folgende Formeln
benötigt:
n1
R1 l
R2 C
B = UY ·
n2 A
H = UX ·
20
(32)
(33)
4 Auswertung Ferromagnetische Hysteresekurve“
”
Für l erhalten wir durch Summieren der doppelten Länge und Breite l = 0, 48 m. Für
die Querschnittsfläche erhalten wir A = 0, 00152m2 . Für die Längenmessungen schätzen
wir die Ungenauigkeit auf ±1, 5 mm. Als Fehler erhalten wir für δl = 0, 006 m und
δA = 0, 00012 m. Die Fehler für Br , Hc und Bs lassen sich nach Fehlerfortpflanzung
bestimmen.
∂H ∂H δl
(34)
δH = δUX + ∂UX ∂l n1
n1
=
δUX + UX
δl
(35)
R1 l
R1 l2
∂B ∂B δUY + δB = ∂A δA
∂UY =
R2 C
R2 C
δUY + UY
δA
n2 A
n2 A2
(36)
(37)
Die errechneten Werte für alle Messungen sind in Tabelle 3 zusammengefasst.
Uein [V]
50
70
90
110
130
150
170
190
210
230
250
150
150
150
Br [T]
0,19 ±0, 004
0,33 ±0, 004
0,44 ±0, 004
0,59 ±0, 021
0,67 ±0, 021
0,81 ±0, 021
0,88 ±0, 021
0,94 ±0, 042
1,02 ±0, 042
1,04 ±0, 042
1,09 ±0, 042
0,30 ±0, 004
0,17 ±0, 004
0,15 ±0, 004
Hc [A/m]
50,83 ±1, 68
65,00 ±1, 85
70,00 ±1, 92
87,50 ±3, 18
87,50 ±3, 18
95,83 ±3, 28
102,08 ±3, 36
116,67 ±5, 63
120,83 ±5, 68
125,00 ±5, 73
133,33 ±5, 83
83,33 ±2, 08
91,67 ±2, 19
116,67 ±2, 50
Bs [T]
0,29 ±0, 004
0,47 ±0, 004
0,60 ±0, 004
0,73 ±0, 021
0,87 ±0, 021
1,04 ±0, 021
1,14 ±0, 021
1,29 ±0, 042
1,41 ±0, 042
1,46 ±0, 042
1,64 ±0, 042
1,01 ±0, 0021
1,01 ±0, 0021
1,01 ±0, 0021
Tabelle 3: Die aus den Spannungsmesswerten bestimmten Remanenzen, Koerzitivfeldstärken und Sättigungsinduktionen. Die letzten drei Zeilen zeigen die Ergebnisse für die Messung mit Papierschicht bzw. Schichten (1-3 Schichten
aufsteigend dargestellt).
21
4 Auswertung Ferromagnetische Hysteresekurve“
”
4.3 Neukurve
Aus den berechneten Werten für die Sättigungsinduktion lässt sich nun auch die Neukurve konstruieren. Dazu müssen die Werte über dem entsprechenden H aufgetragen
werden, wodurch sich die Neukurve ergibt. Dies ist der Fall, weil auf der Neukurve stets
die Punkte mit maximalem B bei angelegtem H liegen (es muss hier keine Remanenz
überwunden werden). H erhält man mit Gleichung (32) aus den Werten für Ux . Die Messungen mit Papierschicht sind zur Erstellung der Nullkurve allerdings nicht verwendbar.
Die Fehler von δH lassen sich mit Gleichung (35) berechnen. Die benötigten Ergebnisse
sind in Tabelle 4 niedergeschrieben. Die Verbindungslinie der Werte ist in Abbildung 4.3
dargestellt.
Abbildung 8: Annäherung an die Neukurve des eisernen Transformatorkern
22
4 Auswertung Ferromagnetische Hysteresekurve“
”
Bs [T]
H [A/m]
0,29 ±0, 004
85,83 ±2, 11
0,47 ±0, 004
104,17 ±2, 34
0,73 ±0, 021
154,17 ±7, 14
0,60 ±0, 004
0,87 ±0, 021
1,04 ±0, 021
1,14 ±0, 021
104,17 ±2, 34
181,25 ±7, 47
225,00 ±8, 02
266,67 ±8, 54
1,29 ±0, 042
345,83 ±14, 74
1,46 ±0, 042
533,33 ±17, 08
1,41 ±0, 042
1,64 ±0, 042
475,00 ±16, 35
857,29 ±21, 13
Tabelle 4: Die Sättigungsinduktion und die dazugehörigen magnetischen Feldstärken.
4.4 Fehlerdiskussion
Zusammenfassend kann man sagen, dass sich die Hysteresekurven mit diesem Versuchsaufbau sehr gut erzeugen ließen. Alle Messungen lieferten eine charakteristische
Kurve. Bei der Betrachtung der Werte wird deutlich, dass mit eine höhere Eingangsspannung auch ein stärkeres Magnetfeld erzeugt. Remanenz, Koerzitivfeldstärken und
Sättigungsinduktion nehmen dabei kontinuierlich zu, bis die maximale Sättigung des Materials erreicht wird. Bei den Messungen mit einer bzw. mehrerer Papierschichten lässt
sich gut deren störende“ Wirkung erkennen, die Remanenz nimmt mit der Erhöhung
”
der Papierschichten ab. Der Eisenkern lässt sich also nicht mehr so einfach magnetisieren.
Unsere Annäherung an die Neukurve kann prinzipiell als gelungen angesehen werden.
Der dritte Wert fällt jedoch etwas aus dem Schema.
Die von uns abgeschätzten Fehler scheinen plausibel zu sein. Der größte Anteil des Fehler ist auf die Ungenauigkeit der Spannungswerte zurückzuführen. Das Oszilloskop selbst
hat dabei kaum einen Einfluss. Die Schwankung der Werte ist wohl eher auf störende
Effekte, wie leichte Erschütterungen und magnetische Felder anderer im Raum befindlicher Gegenstände zurückzuführen. Auch kann ein kleinerer systematischer Fehler nicht
23
5 Versuchsdurchführung Erdinduktor“
”
ausgeschlossen werden, da wir die Wirkwiderstände der Kabel und der anderen Bauteile
vernachlässigt haben.
5 Versuchsdurchführung Erdinduktor“
”
5.1 Aufbau
Der Erdinduktor ist in Abbildung 9 dargestellt. Er bestand hauptsächlich aus zwei Spulen L1 mit n1 = 35 Windungen, R1 = 1,42 Ω, Imax = 3 A und L2 mit n2 = 1000,
R2 = 237 Ω, Innenradius ri = 106 mm, Außenradius ra = 110 mm. Die gegenseitige Induktivität der Spulen war mit L12 = 13, 54 mH angegeben. Beiden Spulen waren auf
einen um 180 ° umklappbaren Spulenkörper gewickelt. Die erste Spule ließ sich zudem
über einen Tastenschalter an ein regelbares Gleichspannungsnetzgerät mit integriertem
Ampermeter anschließen. Die zweite Spule war während des gesamten Versuchs mit einem ballistischen Galvanometer verbunden (siehe Abbildung 10). Dieses Galvanometer
mit einem Innenwiderstand von Ri = 24 Ω diente uns zusammen mit einem kleinen
Fernrohr als primäres Messgerät.
Abbildung 9: Der Erdinduktor aus [8]
24
5 Versuchsdurchführung Erdinduktor“
”
Abbildung 10: Das ballistische Galvanometer aus [8]
5.2 Ablauf
Zuerst kalibrierten wir das Galvanometer. Hierzu wurde der Spulenkörper in die senkrechte Position gebracht. Daraufhin wurde die erste Spule mit dem Tastenschalter und
dem Netzgerät verbunden. Wir leiteten nun kurze Strompulse durch die Spule und nahmen dabei den maximalen Ausschlag des Galvonometers dkal auf. Die Messung wiederholten wir für fünf verschiedene Ströme, wobei wir für jeden Strom jeweils drei Messungen
durchführten. Die Ergebnisse sind dem Messprotokoll zu entnehmen.
Als nächstes trennten wir die Spule wieder vom Netzgerät und begannen mit der Messung
des Erdmagnetfeldes. Hierzu positionierten wir den Erdinduktor an fünf Verschiedenen
Stelle im und außerhalb des Gebäudes. Durch das schnelle Umklappen der Spule erzeugten wir eine Änderung des magnetischen Flusses. Der entstehende Induktionsstrom
wurde von uns mittels des maximalen Galvanometerausschlags d gemessen. Dabei bestimmten wir die Vertikalkomponente, indem die Spulenachse vertikal zum Untergrund
stand, sowie die beiden Horizontalkomponenten: einmal mit der Spulenachse parallel zur
Fensterfront des Praktikumsraums und einmal senkrecht zu dieser. Für alle drei Komponenten führten wir die Messung jeweils dreifach durch, um so eine möglichst gute
Genauigkeit zu erzielen. Als Orte für die Messung wählten wir den Versuchstisch im
AP-Trakt, die Pflastersteine direkt vor dem Fenster des Gebäudes, die Position neben
dem großen Lüftungsschacht, die Straße vor dem Z-Gebäude und den Bauhügel daneben.
Die Ergebnisse sind im Messprotokoll aufgeführt.
25
6 Auswertung Erdinduktor“
”
6 Auswertung Erdinduktor“
”
6.1 Kalibrierung
∆Φm
Zunächst wollen wir aus den ersten Messungen den Kalibrierfaktor Skalenteile
bestimmen.
Dieser lässt sich mit Hilfe einer Regressionsgrade ermitteln. Hierzu wird die magnetische
Flussänderung ∆Φm durch die Spulen benötigt. Diesen erhält man unter Verwendung
des Faradayschen Induktionsgesetzes (siehe Kapitel 2.5) und dem gegebenen Wert für
die gegenseitige Induktion L12 und der Windungszahl n2 . In unserer Messung ändert
sich der Strom schlagartig um ∆I. Daraus folgt für ∆Φm :
n2 · ∆Φm = L12 · ∆I
L12
∆I
⇒ δΦm =
n2
(38)
(39)
Die Ergebnisse für ∆Φm sind zusammen mit den gemittelten maximalen Galvanometerausschlägen dkal samt Standardabweichung σdkal in Tabelle 5 gelistet. Für die Ungenauigkeit der Strommessung nehmen wir einen Fehler von δ∆I = 0, 01 A an. Der Fehler
δ∆Φm ergibt sich dann zu:
δ∆Φm =
∆I [A]
0,7
1,0
1,5
1,7
1,8
∆Φm [µWb]
9,48
13,54
20,31
23,02
24,37
L12
δ∆I
n2
δ∆Φm [µWb]
0,14
0,14
0,14
0,14
0,14
dkal [Skalenteile]
8,40
11,97
18,23
20,53
21,57
(40)
σdkal [Skalenteile]
0,10
0,06
0,06
0,06
0,15
Tabelle 5: Die errechneten Werte für den magnetischen Fluss, sowie die gemittelten Werte für den Galvanometerausschlag.
Trägt man nun die Werte für ∆Φm über den Galvanometerausschlägen auf, so erhält
man die gesuchte Regressionsgrade. Diese ist in Abbildung 6.1 dargestellt.
26
6 Auswertung Erdinduktor“
”
Abbildung 11: Die Regressionsgerade der Änderung der magnetischen Flussdichte aufgetragen über dem maximalen Galvanometerausschlag.
Die Steigung der Regressionsgerade ist nun genau unser gesuchter Kalibrierungsfaktor
K. Die Grafik wurde mit QtiPlot erstellt und mit dem Programm lässt sich nun auch
die Steigung bestimmt. Wir erhalten:
K = 1, 1224
(41)
6.2 Das Erdmagnetfeld
Sowohl die vertikale Komponente B⊥ als auch die horizontalen Komponeneten Bk1,2 des
Erdmagnetfeldes lassen sich mit dem erhaltenen Kalibrierfaktor nun unter Verwendung
von Gleichung (29) bestimmen. Hierzu dienen die übrigen Messwerte. Die Fläche A
27
6 Auswertung Erdinduktor“
”
erhalten wir über:
A = πri2 = 0, 0353 m2
(42)
Da wir in jeder Position dreifach gemessen haben, lässt sich aus den Werten der arithmetische Mittelwert samt Standardabweichung σd bilden. Die Horizontalkomponenete
des Magnetfeld Bk ergibt sich dann zu:
Bk =
q
Bk21 + Bk22
(43)
Die Fehler der senkrechten sowie der beiden parallelen Komponenten berechnen sich
wie folgt:
∂Bx · δd = K · δd
δBx = ∂d 2A
(44)
Für den Fehler δBk erhält man demzufolge:
∂Bk ∂Bk δBk1 + δBk = ∂Bk δBk2
∂Bk1 2
Bk1
Bk2
K
K
=q
δdk1 + q
δdk2
·
·
Bk21 + Bk22 2A
Bk21 + Bk22 2A
(45)
(46)
Für Bges erhält man nun die Formel:
Bges =
q
2
B⊥
+ Bk2
(47)
Der Fehler hierfür berechnet sich nach dem gleichen Prinzip wie in (45):
δBges
∂Bges ∂Bges δBk + = ∂B⊥ δB⊥
∂Bk Alle Ergebnisse sind in Tabelle 6 zusammengefasst.
28
(48)
6 Auswertung Erdinduktor“
”
Messort
1
2
3
4
5
dB⊥
3,03 ±0, 06
3,10 ±0, 10
7,53 ±0, 06
2,57 ±0, 06
2,60 ±0, 10
dBk1
1,07 ±0, 06
0,40 ±0, 10
11,47 ±0, 15
0,37 ±0, 06
0,80 ±0, 00
dBk2
0,93 ±0, 06
0,47 ±0, 06
2,73 ±0, 06
1,77 ±0, 06
1,77 ±0, 06
B⊥ [µT]
48,22 ±0, 92
49,28 ±1, 59
119,77 ±0, 92
40,80 ±0, 92
41,33 ±1, 59
Bk [µT]
22,53 ±1, 30
9,77 ±1, 73
187,40 ±2, 58
28,69 ±1, 09
30,83 ±0, 84
Bges [µT]
53,23 ±1, 38
50,24 ±1, 90
222,41 ±2, 66
49,88 ±1, 38
51,57 ±1, 77
Tabelle 6: Die gemittelten Galvanometerausschläge in Skalenteilen und die berechneten
Komponenten des Erdmagnetfeldes
Um unsere Ergebnisse vergleichen zu können, mitteln wir unsere Werte für den magnetischen Fluss und berechnen die magnetische Feldstärke H:
H=
B
µ0
(49)
Als Fehler nehmen wir hier die Standardabweichung an. Die dritte Messung wird
aufgrund der extremen Abweichung nicht mitberücksichtigt. Für die Vertikal- und Horizontalkomponente erhalten wir somit:
H⊥ = 35, 74 ± 3, 55 A/m
(50)
Hk = 18, 27 ± 7, 53 A/m
(51)
Diese Werte lassen sich nun mit den Literaturangaben für die magnetischen Feldstärke
vergleichen:
Komponente
⊥
k
H [A/m]
35,74 ±3, 55
18,27 ±7, 53
Hlit [A/m]
33,00
16,40
Diskrepanz ∆H [A/m]
2,74 ±3, 55
1,87 ±7, 53
Tabelle 7: Vergleich zwischen unseren Ergebnissen für das Erdmagnetfeld und den Literaturwerten aus [8]
Als letztes sollen noch der Inklinationswinkel ϑ, sowie der Winkel φ zwischen der
von uns bestimmten magnetischen Nordrichtung und der Fensterfront bestimmt werden.
Der Inklinationswinkel lässt sich mit der Beziehung aus Gleichung (31) berechnen. Den
Winkel φ erhält man über:
φ = arctan
29
Bk1
Bk2
(52)
6 Auswertung Erdinduktor“
”
Die Fehler der beiden Winkel errechnen sich zu:
∂ϑ ∂ϑ δBk
δϑ = δB⊥ + ∂B⊥ ∂Bk ∂φ ∂φ δBk1 + δφ = ∂Bk δBk2
∂Bk1 2
(53)
(54)
Die Ergebnisse sind in Tabelle 8 aufgeführt.
Messort
1
2
3
4
5
ϑ [°]
64,96 ±1, 68
78,79 ±2, 29
32,58 ±0, 56
54,89 ±1, 63
53,28 ±1, 80
φ [°]
48,81 ±2, 68
40,60 ±6, 23
76,59 ±0, 26
11,73 ±1, 85
24,36 ±1, 89
Tabelle 8: Der berechneten Inklinationswinkel sowie die Winkel zwischen dem von uns
bestimmten magnetischen Nordpol und der Fensterfront
Um die Ergebnisse zu bewerten, bilden wir wieder den Mittelwert samt Standardabweichung. Der 3. Wert wird jeweils wieder nicht berücksichtigt, da er zu stark von den
übrigen Werten abweicht. Als Vergleichsgröße bilden wir die Diskrepanz zwischen den
Mittelwerten und den Literaturangaben. Um den von uns bestimmten Deklinationswinkel zu erhalten, lesen wir den Winkel α zwischen der Fensterfront und der geographischen
Nordrichtung aus dem Lageplan der Universität Konstanz aus GoogleMaps ab und erhalten α = 21 ° (s. Abbildung. 12).
α
Abbildung 12: Lageplan des AP-Trakts mit eigezeichnetem Winkel α
30
6 Auswertung Erdinduktor“
”
Die Differenz zwischen α und φ (Mittelwert) ergibt unseren Deklinationswinkel.
Winkel
ϑ
ϕ
Mittelwert [°]
62,98 ±11, 74
9,88 ±16, 58
Literaturwert [°]
63,60
1,67
Diskrepanz [°]
0,62 ±11, 74
8,21 ±16, 58
Tabelle 9: Vergleich zwischen unseren Ergebnissen für den Inklinations- sowie den Deklinationswinkel und dem Literaturwert aus [1]
6.3 Fehlerdiskussion
Die berechneten Werte für den magnetischen Fluss und die Magnetfeldstärke des Erdmagnetfeldes sind mehrheitlich gelungen. Ein Vergleich mit den Literaturwerten bestätigt
dies, da die Diskrepanz kleiner als deren Fehler ist. Einzig die dritte Messung, welche
wir vor dem großen Lüftungsschacht in der Nähe des AP-Trakts durchgeführt haben,
weist gravierende Abweichungen auf. Schon während der Messung sind uns diese aufgefallen, doch auch eine erneute Messung brachte keine kleineren Werte hervor. Da unsere
Werte deutlich zu groß waren, muss wohl auf ein weiteres Magnetfeld in unmittelbarer
Umgebung des Messortes geschlossen werden. Der Lüftungsschacht selbst war mit einem
Eisengitter abgedeckt. Dieses ferromagnetische Gitter könnte magnetisiert gewesen sein
und so unsere Messung gestört haben. Allgemein verlief das Ablesen am Galvanometer
nach einer kleinen Eingewöhnungsphase problemlos. Exakte Messungen konnten allerdings mit Sicherheit nicht durchführen werden. Dazu ist das Erdmagnetfeld zu gering.
So haben kleine Störfaktoren wie Erschütterungen oder anderen Magnetfelder deutlichen Einfluss auf die Messergebnisse. Es ist daher auch nicht verwunderlich, dass unsere
Werte teilweise sehr unterschiedlich sind. Außerdem war es schwierig, den Erdinduktor
bei weiter vom Praktikumsraum entfernten Messorten wirklich parallel zur Fensterfront
auszurichten. Auch die Ablesemethode am Galvanometer ist nur von begrenzter Genauigkeit.
Gleiches gilt für die Winkelbestimmung. Auch hier liegen unsere Werte teilweise recht
weit auseinander. Da die bestimmten Winkel auf den Werten für das Magnetfeld aufbauen, liegen hierbei die gleichen Fehlerquellen vor. Der Wert für den Inklinationswinkel
scheint valide, die Diskrepanz ist weitaus größer als deren Fehler. Das gleiche gilt für
den Deklinationswinkel, jedoch sollte dieser Wert nicht allzu hoch eingestuft werden,
31
7 Fragen und Aufgaben Ferromagnetische Hysteresekurve“
”
weil unsere Ergebnisse hier sehr stark schwanken.
7 Fragen und Aufgaben Ferromagnetische
”
Hysteresekurve“
1. Wann stößt die Näherung, die bei der Betrachtung der RC-Integratorschaltung gemacht wurde, an ihre Grenzen?
Bei dieser Näherung wurde die am Kondensator abfallende Spannung vernachlässigt.
Diese muss also gering sein, damit die Näherung funktioniert. Deshalb muss die
Aufladevorgang des Kondensators groß sein im Vergleich zur Periodendauer T der
Wechselspannung. Dies ist in unserem Fall gegeben, es gilt: T = 50−1 s = 0.02 s.
Als Maß für die Aufladezeit des Kondensators kann man die Zeitkonstante
τ = C · R2 = 0, 51 s der RC-Schaltung heranziehen. Damit gilt: T < τ , die Näherung ist also gerechtfertigt.
2. Erklären Sie die Scherung der Hysteresekurve beim Einbringen des Papiers.
S. Abschnitt 4.1.
3. Wie erklären Sie sich die Punktsymmetrie der Hysteresekurve um den KoordinatenNullpunkt?
Um die Magnetisierung eines Ferromagneten in einem Magnetfeld umzukehren,
muss letzters umgepolt werden. B und M ändern dann nur ihre Vorzeichen, nicht
aber ihre Beträge, es gilt: B(H) = −B(−H) (allerdings nicht bei jungfräulichen
Ferromagneten, welche jedoch nicht vorliegen, wenn eine vollständige Hysteresekurve gegeben ist). Deshalb ist die Hysteresekurve punktsymmetrisch um den Ursprung.
32
7 Fragen und Aufgaben Ferromagnetische Hysteresekurve“
”
4. Was versteht man unter Weißschen Bezirken? Was sind Bloch-Wände?
S. Abschnitt 2.2.3.
5. Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt der Hysteresekurve ein Maß für die Energie ist,
die beim einmaligen Umfahren der Kurve als Wärme auftritt (Verlust).
S. Abschnit 2.3.
6. Beschreiben Sie gerade auch unter Einbeziehung der Überlegungen zum Flächeninhalt der Hysteresekurve die unterschiedlichen Anforderungen an Materialien für
Permanentmagnete, magnetische Speichermaterialien (Festplatten), Elektromagnete und Transformatoren hinsichtlich Remanenz und Koerzitivfeldstärke.
An Permanentmagnete und magnetische Speichermaterialien wird die Anforderung gestellt, möglichst störresistent zu sein. D.h., äußere, ungewollte Magnetfelder
sollen deren Magnetisierung nur möglichst wenig ändern. Folglich werden hierfür
magnetisch weiche Materialien benötigt, deren Hysteresekurve flach verläuft. Dadurch wird eine große Fläche eingeschlossen, es ist also viel Energie zum Umpolen
notwendig.
Elektromagnete und Transformatoren dagegen sollen möglichst leicht umgepolt
werden können und beim Ausschalten soll kaum ein Feld zurückbleiben (geringe
Remanenz). Deshalb werden hierfür magnetisch harte Marterialien mit einer steilen
Hysteresekurve verwendet, die nur wenig Fläche einschließt. Hier ist dementsprechend wenig Energie zum Umpolen nötig.
7. Was ändert sich beim Übergang von einem geschlossenen (z.B. U-Kern mit Joch)
zu einem offenen (z. B. U-Kern ohne Joch) ferromagnetischen Kern?
Bei einem geschlossenen Kern verlaufen die magnetischen Feldlinien ausschließlich
innerhalb desselben, bei einem offenen Kern hingehen verlaufen diese zwangsläufig
auch durch Luft (magnetische Feldlinien sind immer geschlossen). Da die Permea-
33
8 Fragen und Aufgaben Erdinduktor“
”
bilität von Luft deutlich geringer ist als die von Eisen, nehmen und die magnetische
Induktion ab.
8. Erklären Sie die Messung der Neukurve mit der in diesem Versuch verwendeten
Anordnung.
S. Abschnitt 4.3.
9. Wie müssen Sie vorgehen, um den Eisenkern wieder zu entmagnetisieren?
Hierbei gibt es mehrere Möglichkeiten: Der Eisenkern kann über die Curie-Temperatur
erhitzt werden, wodurch die Weissschen Bezirke ihre Ausrichtung verlieren. Dies
tritt auch bei starken Krafteinwirkungen (Erschütterung) auf. Außerdem kann
natürlich die Koerzitivfeldstärke Hc angelegt werden, um eine Entmagnetisierung
herbeizuführen.
8 Fragen und Aufgaben Erdinduktor“
”
1. Wie hängen die magnetische Feldstärke und die magnetische Induktion zusammen?
S. Abschnitt 2.1.
2. Begründen Sie den Faktor 2 in der Gleichung (23).
S. Abschnitt 2.6.
3. Rechnen Sie die als Literaturwerte gegebenen magnetischen Feldstärken H in die
entsprechenden magnetischen Induktionen B um (für die Permeabilitätskonstante
von Luft kann in guter Näherung µr ≈ 1 gesetzt werden) und berechnen Sie auch
34
Abbildungsverzeichnis
hier den Gesamtbetrag sowie den Inklinationswinkel.
Gegeben ist:
Mit µ0 = 4 · 10−7
V·s
A·m
H⊥ = 33, 0 A/m
(55)
Hk = 16, 4 A/m
(56)
V·s
A·m
≈ 1, 2566 · 10−6
(aus [2], S. 98) und Gl. (12) erhält man:
B⊥ = 41, 5 µT
(57)
Bk = 20, 6 µT
(58)
Für B gilt dann:
B=
q
2
B⊥
+ Bk2 = 46, 3 µT
(59)
Nach Gl. (31) erhält man damit für den Inklinationswinkel:
ϑ = 63, 57 °
(60)
9 Anhang
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
Skizze Leiterschleifen . . .
Weisssche Bezirke . . . .
Hysteresekurve . . . . . .
Schaltplan Hysteresekurve
Transformatorkern . . . .
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35
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5
8
10
16
17
Literatur
6
7
8
9
10
11
12
Tabellenverzeichnis
Hysteresekurven . . . . . . . . . . .
Hysteresekurven mit Papierschicht .
Jungfräuliche Kurve . . . . . . . .
Erdinduktor . . . . . . . . . . . . .
ballistische Galvanometer . . . . .
Regressionsgerade . . . . . . . . . .
Lageplan AP-Trakt . . . . . . . . .
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18
20
22
24
25
27
30
Spannungswerte Hysteresekurven . . . . . . . . . . . .
Spannungswerte Hysteresekurven mit Papierschicht . .
Remanenz, Koerzitivfeldstärke und Sättigungsinduktion
Sättigungsinduktion und magnetische Feldstärke . . . .
Magnetischer Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Komponenten des Erdmagnetfeldes . . . . . . . . . . .
Diskrepanz Erdmagnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . .
Inklinationswinkel und Winkel bezüglich Fensterfront .
Diskrepanz Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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26
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29
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31
Tabellenverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Literatur
[1] NOAA (National Oceanic and Atmospheric Administration). http://
www.ngdc.noaa.gov. U. a. Datenbank das Erdmagnetfeld betreffend. Entnommen
am 08.07.2011.
[2] Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 2 - Elektrizität und Optik. SpringerVerlag, Berlin, Heidelberg, 5. Auflage, 2009.
[3] Eichler, Hans J., Heinz-Detlef Kronfeldt und Jürgen Sahm: Das neue
physikalische Grundpraktikum. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2. Auflage, 2005.
[4] Greiner, Walter: Klassische Elektrodynamik, Band 1. Wissenschaftlicher Verlag
Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 6. Auflage, 2002.
[5] Meschede, Dieter: Gerthsen Physik. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New
York, 23. Auflage, 2005.
36
Literatur
Literatur
[6] Nielaba, Peter & Fonin, Mikhail: Vorlesung IK2, Universität Konstanz. SS
2011.
[7] Nolting, Wolfgang: Grundkurs Theoretische Physik 3 - Elektrodynamik.
Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 8. Auflage, 2007.
[8] Runge, Bernd-Uwe: Erdinduktor. Anleitung zum physikalischen Anfängerpraktikum der Universität Konstanz. Entnommen am 18.06.2011.
[9] Runge, Bernd-Uwe: Ferromagnetische Hysteresekurve. Anleitung zum physikalischen Anfängerpraktikum der Universität Konstanz. Entnommen am 11.06.2011.
37