∆EΥKΛEI∆HΣ

∆EΥKΛEI∆HΣ
Eine Sprache zum Zeichnen von Figuren der Euklidischen Geometrie
Christian Obrecht
c 2000–2003, Christian Obrecht.
Copyright Übersetzung: Peter Bartke
Es ist gestattet, von diesem Handbuch unveränderte Kopien anzufertigen und zu verteilen, wenn
der Copyright-Vermerk und diese Erlaubnis auf allen Kopien vorhanden sind.
i
Inhaltsverzeichnis
Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1
Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Installation (Unix/Linux) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Installation (Windows) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2
Benutzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1
2.2
2.3
2.4
3
5
6
7
7
Referenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
4
Zeichnen eines Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Weiteres zu Dreiecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eine Eigenschaft von Parallelogrammen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Satz von Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Strecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Interaktive Zuweisungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Einstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Zeichenbefehle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Spurkommandos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
PSTricks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.15.1 Optionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.15.2 Parameter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.15.3 Warnhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
Inkreis und Winkelhalbierende. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Feuerbachkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gleichschenkliges Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kollineare Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Winkel im Parallelogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Addition von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tangenten an einen Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eine Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eine Parabel mit Brennpunkt und Leitgerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
21
22
22
23
23
24
24
25
Konzeptindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Kommandoindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Einleitung
1
Einleitung
Eukleides ist eine Sprache, die der Erstellung von Zeichnungen zur zweidimensionalen euklidischen Geometrie dient. Die Software besteht aus zwei Teilen: deukleides ist ein Compiler,
mit dem geometrische Figuren innerhalb eines (LA)TEX-Dokuments gesetzt werden können. Diese
Figuren können in das EPS-Format und mit Hilfe von pstoedit auch in andere Vektorgrafikformate verwandelt werden. Voraussetzung für die Benutzung von Eukleides ist eine funktionsfähige
TEX-Installation und ein Postscript-Betrachter. Das andere Programm, xdeukleides, ist ein
X-Window Frontend, mit dem interaktive geometrische Figuren erzeugt werden können. Mit
diesem Programm ist es aber auch möglich, mit Eukleides geschriebene Programme zu editieren
und zu optimieren.
Der Autor der Sprache Eukleides und der beiden Programme deukleides und
xdeukleides ist Christian Obrecht ([email protected]). Die Heimatseite für Eukleides ist
http://perso.wanadoo.fr/obrecht/. Kommentare und Fehlerberichte in englischer Sprache
sind willkommen.
Die Übersetzung der Dokumentation und die Anpassung der Schlüsselwörter an
den deutschen Sprachgebrauch stammt von Peter Bartke ([email protected]).
Kommentare und Fehlerberichte hierzu sind ebenfalls willkommen.
Version dieser Deukleides-Dokumentation: 2.1a.
Kapitel 1: Software
2
1 Software
Die folgenden Dateien können von http://www.inf.fu-berlin.de/~bartke/deukleides/
heruntergeladen werden (Stand: 9.7.2003):
Paket
deukleides.0.9.2rev2.tar.gz
Inhalt
Paket mit den Quellen zu deukleides, der
deutschen Version von Eukleides. Enthält die
Dokumentation im Texinfo-Format.
xdeukleides.0.9.2rev2.tar.gz
184 kB
Paket mit den Quellen zu xdeukleides, der
deutschen Version von xeukleides. Enthält die
Dokumentation im Texinfo-Format.
xdeukleides.0.9.2rev2.exe
3025 kB Selbstinstallierendes Win32-Binärpaket von
XDeukleides, der GUI-Version von Deukleides,
kompiliert mit der MinGW-Umgebung. Mit
Dokumentation im Windows Help Format
und der gtk+-Runtime für Win32, die auch
gesondert erhältlich ist.
deukleides.0.9.2rev2-w32.zip
358 kB
Win32 Binärpaket von deukleides, der
deutschen Version von Eukleides, kompiliert in
der MinGW-Umgebung. Zur Benutzung mit
Cygwin oder MinGW (MSYS). Enthält die fertige
Dokumentation.
gtk+-runtime.zip
3100 kB Win32 Binärpaket von gtk+. Bereits enthalten
im selbstinstalliernden Binärpaket von XDeukleides. Hergestellt mit der MinGW-Umgebung
aus den Quellen von gtk+ für Win32. Die
Anleitung dazu befindet sich im xdeukleidesQuellpaket.
Die Dokumentation ist in den Quellpaketen enthalten und gestattet die Generierung der Formate info, dvi, ps, pdf und html. So wurden die folgenden Versionen aus der dort enthaltenen
Texinfo-Quelle hergestellt:
Datei
deukleides-2.1a.dvi
deukleides-2.1a.ps
deukleides-2.1a.pdf
deukleides-2.1a-html.zip
Kilobyte
229 kB
Kilobyte
172 kB
389 kB
179 kB
136 kB
Inhalt
Dokumentation im dvi-Format.
Dokumentation im Postscript-Format.
Dokumentation im PDF-Format.
Offline Dokumentation von Deukleides
im HTML-Format.
Installation (Unix/Linux)
1. Die Pakete flex, bison, texinfo, eine (LA)TEX-Installation und das (LA)TEX-Paket
PSTricks müssen auf dem System vorhanden sein; für die Übersetzung von xdeukleides
wird auch GTK+ 1.2 benötigt. Das kann unter Linux z.B. in der Regel durch Nachinstallation von der betreffenden Pakete der Distribution sichergestellt werden. Nötig
ist außerdem pstoedit (für die Umwandlung in andere Vektorgrafikformate), das von
http://www.pstoedit.net erhältlich ist.
2. Die Quellpakete von Deukleides und XDeukleides werden in einem beliebigen Verzeichnis
(mit root-Rechten) entpackt, z.B. in /usr/src/packages/SOURCES.
3. Im Makefile sind gegebenenfalls die Pfade in den Macros PREFIX, INFODIR,
LOCALHOST und INSTDIR an die Standards des verwendeten Unix/Linux-Systems
Kapitel 1: Software
4.
5.
6.
7.
8.
3
anzupassen.
Die vorgegebenen Pfade sind:
/usr/local/bin für Programme,
/usr/share/info für die Info-Dokumentation, /usr/local/man für die Manualseiten und
/usr/share/doc/packages/deukleides für die Web- bzw. druckfähige Dokumentation
und die Beispielprogramme. Dann folgt jeweils für beide Pakete:
make
make install
Als normaler Benutzer legt man z.B. ein Unterverzeichnis euklid im Heimatverzeichnis
an und kopiert die Beispiel-Dateien aus dem Unterverzeichnis samples dorthin. Übrigens:
deukleides und xdeukleides haben verschiedene Beispielsammlungen.
Test der Installation: Wenn die (LA)TEX-Installation komplett ist, also auch die Makropakete
fancyhdr, fancyvrb, amssymb, mathcomp und das Ghostview-Programm gv vorhanden
sind, sollte ein makefigure parallelogram unter XWindows das Bild eines der Beispielprogramme herstellen und anzeigen.
Aufsuchen der installierten Dokumentation:
Einstellen des Browsers auf
http://localhost/doc/deukleides/ (oder im Dateisystem auf die entsprechende Datei).
Installation (Windows)
1. XDeukleides in der Form von xdeukleides.0.9.2rev2.exe installiert sich selbst dank Inno
Setup (http://www.jrsoftware.org). Bei Anwahl der vorgegeben Optionen wird ein Icon
auf dem Desktop und eine Gruppe unter Programme erzeugt; dort gibt es auch die Dokumentation als Winhelp-Datei.
2. Deukleides braucht (LA)TEX und eine Shell. Als Shell-Umgebung kommen in Frage: MinGW
(MSYS), das Minimale GNU System für Windows, http://mingw.sourceforge.net, oder
die Cygwin-Tools von http://www.cygwin.com. Für die (LA)TEX-Implementierung gibt es
drei Alternativen:
− teTeX unter Cygwin (http://www.cygwin.com),
− fpTeX alias TeXLive (http://www.fptex.org), oder
− MikTeX (http://www.miktex.org).
• Empfehlung: Installation des Binärpakets deukleides.0.9.2rev2-w32.zip im Wurzelverzeichnis einer Cygwin/teTeX-Installation, z.B. c:\cygwin. Dazu braucht man:
− Cygwin-Basis
− texinfo
− recode
− teTeX-Vollinstallation
− Ghostscript
pstoedit wird als Win32-Applikation installiert und das Installationsverzeichnis in
den Systempfad aufgenommen (/etc/profile). Dann funktionieren auch die mitgelieferten Skripte deuk2eps und deuk2edit. Die Arbeitsweise entspricht der unter
Unix/Linux. Vom Kompilieren der Quellen von Deukleides in der Cywin-Umgebung
wird abgeraten. Einige Skripte (texi2dvi z.B.) bereiten Schwierigkeiten.
• Ist dagegen etwa fpTeX/TeXLive unter Windows bereits verfügbar, so installiert man
Cygwin-Basis, läßt die teTeX-Installation und Ghostscript weg und installiert wie oben
deukleides.0.9.2rev2-w32.zip. Wünschenswert wäre in diesem Fall die Integration
von Deukleides in eine der verfügbaren Arbeitsumgebungen (z.B. WinShell, NTEmacs,
gVim, WinEDT ).
fpTeX oder MikTeX-Nutzer haben die Win32-Versionen von Ghostview und gsview32
sicher bereits installiert:
Kapitel 1: Software
4
• Von http://www.cs.wisc.edu/~ghost/ Ghostscript (AFPL Ghostscript Version 8.0),
gs800w32.exe. Der Standard Installationspfad ist c:\gs\gs8.00.
• Postscript Viewer für Windows gsview32,
Version gsv44w32.exe von
http://www.cs.wisc.edu/~ghost/gsview/
Der
Standard-Installationspfad
ist c:\ghostgum\gsview.
• Vektorgrafik-Konverter pstoedit, Version pstoedit 3.33: Herunterladen der Datei
pstoeditsetup.exe von http://www.pstoedit.net/pstoedit/, Ausführen dieser
Datei, Angabe des Installationpfads c:\ghostgum\pstoedit (nicht ändern, nur parallel
zum Verzeichnis gsview wird pstoedit in gsview eingebunden).
• Konfiguration (Anreicherung des Systempfades):
− Der Pfad /usr/local/bin muß im Cygwin-Systempfad (siehe /etc/profile) enthalten sein.
− Die Installationspfade der Pakete gs, gsview und pstoedit werden der Shell bekannt
gegeben:
PATH=/usr/local/bin:/cygdrive/c/gs/gs8.00/bin:...:$PATH,
eingetragen etwa in /etc/profile, oder in einer gesonderten ausführbaren Datei
/etc/profile.d/deukleides.sh. (Die Punkte im Pfadnamen sind entsprechend
auszufüllen!)
3. Test der Installation:
− Öffnen Beispieldatei von XDeukleides (aus Programme\xdeukleides\samples),
Anzeige des Bildes,
− Öffnen einer Beispieldatei (s. /usr/share/doc/packages/deukleides/samples) zu
Deukleides in einem Editor,
− Schreiben der minimalen (TeX-, LaTeX-, AMSTeX-) Datei dreieck.etex (siehe
Kurzanleitung im Handbuch).
(Autor: Peter Bartke)
Kapitel 2: Benutzung
5
2 Benutzung
In diesem Abschnitt wird die Handhabung der Programme deukleides und xdeukleides
erläutert und die Benutzung der Shell-Skripte deuk2eps und deuk2edit erklärt.
2.1 Zeichnen eines Dreiecks
Die Sprache Eukleides wurde so entworfen, daß sie der traditionellen Sprechweise in der
euklidischen Geometrie möglichst nahe kommt. Um beispielsweise ein Dreieck zu zeichnen, muß
man lediglich
A B C Dreieck
zeichne(A, B, C)
hinschreiben.
Wenn man diese zwei Zeilen in einer Datei abspeichert, z.B. in dreieck.euk, so erzeugt
$ deukleides dreieck.euk
die folgende Ausgabe:
% Erzeugt von deukleides *.*.*
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psset{unit=1.0000cm}
\pspicture*(-2.0000,-2.0000)(8.0000,6.0000)
\pspolygon(0.0000,0.0000)(6.0000,0.0000)(2.2500,3.6742)
\endpspicture
Der Ausgabetext ist PSTricks-Code; er kann wörtlich in eine (LA)TEX-Datei übernommen
werden (Achtung: das PSTricks-Paket muß zu Beginn geladen werden).
Das Dokument enthält dann die folgende Zeichnung:
Es gibt einen kürzeren Weg, das Dreieck zu Gesicht zu bekommen: Das Shellskript deuk2eps
erzeugt eine Datei im EPS-Format, die mit GhostView angesehen werden kann. Das Skript
deuk2edit erlaubt darüberhinaus, die Zeichnung in Vektorgrafikformate zu übersetzen, zum
Beispiel in jene, die xfig oder sketch verwenden (deuk2edit benutzt pstoedit). Um etwa die
Zeichnung mit Sketch zu editieren, braucht man nur
$ deuk2edit dreieck.euk sk
einzugeben.
Häufig ist es eleganter, nur eine einzige Datei zu verwalten, in der Text und Grafik zusammen
enthalten sind. Das ist mit deukleides möglich, wenn die -f Aufrufoption von deukleides
und spezielle Kommentarzeilen genutzt werden, die mit %--eukleides und %--end beginnen.
Zum Beispiel kann man die folgenden Zeilen (mit einem beliebigen Texteditor) schreiben:
Kapitel 2: Benutzung
6
\input pstricks
Dies ist ein allgemeines schiefwinkliges Dreieck:\par
%--eukleides
A B C Dreieck
zeichne(A, B, C)
%--end
\bye
und diesen deukleides-Code als dreieck.etex sichern. Die Kommandozeile
$ deukleides -f dreieck.etex > dreieck.tex && tex dreieck.tex
macht daraus eine DVI-Datei. Diese Datei kann mit
$ dvips -o dreieck.ps dreieck && gv dreieck.ps
in das Postscript-Format gewandelt und mit GhostView angesehen werden.
Jemand ohne (LA)TEX-Kenntnisse kann sich des Skripts makefigure bedienen. Beispielsweise
bewirkt
makefigure dreieck
einen Ghostview-Aufruf mit dem von deukleides flüchtig erzeugten Code. Zeichnung und
Quellcode werden zusammen angezeigt und können ausgedruckt werden.
Zur Übersetzung von .euk-Quellen stehen zwei Skripte zur Verfügung: e2d übersetzt von
Eukleides nach Deukleides und d2e in umgekehrter Richtung. Aufruf z.B. (unter Unix):
e2d isosceles.euk > gleichschenkligesDreieck.euk
2.2 Weiteres zu Dreiecken
Das X-Window Programm xdeukleides ist ein graphisches Frontend für die Sprache Eukleides. Es läßt sich in zwei Modi betreiben, dem Editiermodus und dem View-Modus. Man startet
xdeukleides im Editiermodus mit der Datei aus dem ersten Abschnitt so:
$ xdeukleides dreieck.euk
Für den Start im View-Modus füge man die -V-Option hinzu. Zwischen beiden Modi kann man
mit der ESC-Taste umschalten. Da der Editiermodus auf dem GTK+-Texteditor-Widget beruht,
hat xdeukleides alle Merkmale eines einfachen Texteditors. Unter anderem gibt es folgende
nützliche Kurzkombinationen zum Editieren:
Alt-F
Alt-B
Alt-D
Ctrl-W
Ctrl-U
Ctrl-K
Ctrl-X
Ctrl-C
Ctrl-P
Ein Wort vorwärts bewegen.
Ein Wort rückwärts bewegen.
Ein Wort vorwärts löschen.
Ein Wort rückwärts löschen.
Die aktuelle Zeile löschen.
Zum Ende der Zeile löschen.
Den ausgewählten Bereich in das Clipboard bewegen.
Den ausgewählten Bereich in das Clipboard kopieren.
Den ausgewählten Bereich vom Clipboard aus einfügen.
Das gezeichnete Dreieck ist ein optimales schiefwinkliges Dreieck, d.h. es hat einen spitzen
Winkel, der so weit wie möglich von der Form des rechtwinkligen oder gleichseitigen Dreiecks entfernt ist. Ist eine andere Dreiecksform gewünscht, so bietet Eukleides ein reichhaltiges Sortiment
von Möglichkeiten, Dreiecke zu definieren, beispielsweise ersetze man die Anweisung Dreieck
durch rechtwinkligesDreieck, gleichschenkligesDreieck oder gleichseitigesDreieck.
Die Dreiecksanweisungen können durch einige optionale Parameter gesteuert werden, z.B.
definiert
Kapitel 2: Benutzung
7
A B C Dreieck(6, 5, 4)
ein Dreieck ABC, so daß AB = 6 cm, BC = 5 cm und AC = 4 cm.
Ein anderes Beispiel:
A B C gleichschenkligesDreieck(6, 50:)
definiert ein gleichschenkliges Dreieck ABC so daß AB = 6 cm und die Winkel an den Ecken A
und B gleich 50◦ sind.
2.3 Eine Eigenschaft von Parallelogrammen
Wir zeigen nun, wie man die folgende Zeichnung erzeugt:
Zuerst definieren wir das Parallelogramm und sein Zentrum:
A B C D Parallelogramm
O = Schwerpunkt(A, B, C, D)
Damit können wir folgendes zeichnen:
zeichne(A, B, C, D) ; zeichne(O)
und die Diagonalen:
zeichne(Strecke(A, C), punktiert)
zeichne(Strecke(B, D), punktiert)
Schliesslich zeichnen wir die Markierungen auf den Diagonalen, Doppelstriche:
markiere(Strecke(O, A), doppelt)
markiere(Strecke(O, C), doppelt)
und Kreuze:
markiere(Strecke(O, B), Kreuz)
markiere(Strecke(O, D), Kreuz)
2.4 Der Satz von Thales
Wir betrachten nun ein Beispiel interaktiver geometrischer Figuren mit xdeukleides. Es
demonstriert, daß jedes einem Halbkreis einbeschriebene Dreieck einen rechten Winkel besitzt.
In der Figur soll es möglich sein, die zum rechten Winkel gehörende Ecke auf dem Halbkreis zu
bewegen, indem die Pfeiltasten nach links oder rechts betätigt werden. Zuerst definieren wir die
Punkte A, B und den Kreis C mit Durchmesser AB:
A = Punkt(0, 0) ; B = Punkt(6, 0)
C = Kreis(A, B)
Die Punkte A und B werden hier mit Hilfe von Koordinaten definiert. Ist nichts spezifiziert, wird
die Figur in einem Rahmen gezeichnet, dessen linker unterer Punkt die Koordinaten (−2; −2)
Kapitel 2: Benutzung
8
und dessen rechter oberer Punkt die Koordinaten (8, 6) hat. Danach definieren wir die interaktive
Variable t:
t interaktiv(60, -2, 0, 180, "A", rechts)
Dies bedeutet folgendes: der Anfangswert von t ist 60, die untere Grenze ist 0, die obere
Grenze ist 180. Im View-Modus wird jedesmal, wenn die rechte (linke) Pfeiltaste gedrückt
wird, −2 zu dieser Variablen addiert (subtrahiert). Statt rechts kann auch der Bezeichner
oben verwendet werden, um die Variable an die Benutzung der Auf- und Abwärts-Pfeiltasten
zu binden. Schließlich zeigt "A" an, welchem Zustand die Variable entspricht. Wenn der ViewModus gestartet wird, befindet sich das Programm im Zustand A. Es gibt 26 verschiedene
Zustände, die den Buchstaben von A bis Z entsprechen; demzufolge kann man 52 interaktive
Variable in einer Zeichnung definieren. Um von einem Zustand in den nächsten umzuschalten,
muß nur die entsprechende Taste gedrückt werden. Wir definieren nun einen Punkt M auf dem
Kreis C mit:
M = Punkt(C, t:)
Auf den zweiten Parameter folgt ein Doppelpunkt. Dieser zeigt an, daß hier ein Winkelparameter
vorliegt. Die Variable t entspricht dem Argument (in Grad) des Punktes M in Bezug auf den
Mittelpunkt von C. Dann zeichnen wir die obere Hälfte des Kreises C und das Dreieck ABM ,
das einen rechten Winkel an der Ecke M hat.
Farbe(hellgrau)
zeichne(C, 0:, 180:)
Farbe(schwarz)
zeichne(A, B, M)
Am Ende zeichnen wir das übliche Zeichen für den rechten Winkel ein:
markiere(A, M, B, rechterWinkel)
Beim Betrachten dieser Zeichnung ergibt sich zu Anfang etwa folgendes Bild:
Durch Drücken der Funktionstaste F1 kann man den aktuellen Wert der Variable t festhalten (‘Schnappschuß’). Dann wird der Anfangswert von t im Quellcode durch den aktuellen
Wert ersetzt und das Programm schaltet in den Editiermodus um. Aller Quellcode, der für
xdeukleides geschrieben wurde, kann auch mit deukleides benutzt werden (die interaktiven
Variablen werden hier einfach auf ihren Anfangswert gesetzt).
Kapitel 3: Referenz
9
3 Referenz
Dieser Abschnitt enthält das Referenz-Handbuch für die Sprache Eukleides.
3.1 Syntax
Eine Eukleides-Quelldatei kann enthalten:
• Kommentare, d.h. beliebige Textzeilen, die mit ‘%’ anfangen.
• Einfache Anweisungen, d.h. ein Variablenbezeichner, gefolgt von einem ‘=’ und einem Ausdruck.
• Mehrfachzuweisungen, d.h. eine (durch Leerzeichen getrennte) Variablenliste, gefolgt
von (ohne ‘=’ !) einem Mehrfachzuweisungs-Kommando (Dreieckszuweisungen, Polygonzuweisungen, Schnitt-Zuweisungen . . . ).
• Interaktive Zuweisungen, bestehend aus einem Variablenbezeichner, dem (durch Leerzeichen
getrennt) das Schlüsselwort interactive und diverse Parameter folgen.
• Grafik-Anweisungen, d.h. Kommandos zum Setzen von Parameterwerten, Anweisungen
zum Zeichnen oder Spurkommandos.
Variablenbezeichner sind alphanumerisch und unterscheiden Groß- und Kleinschreibung; das
erste Zeichen muß ein Buchstabe sein. Sonst sind auch Ziffern, der Unterstrich _ und der
Apostroph ’ zugelassen. Variablen können Objekte speichern: Zahlen, Vektoren, Geraden,
Strecken, Kreise, Kegelschnitte. Eine Quellcodezeile kann mehr als eine Zuweisung oder mehr
als ein Kommando enthalten; sie müssen dann durch Semikola getrennt werden. Ein Semikolon
am Zeilenende ist erlaubt, aber unnötig.
Wir benutzen folgende Notation, um die Parameter einer Anweisung zu beschreiben:
• x, y, z : Zahl.
• a, b : Winkelparameter.
• A, B, C, D, E, F , G : Punkt.
• u, v : Vektor.
• l : Gerade.
• s : Strecke.
• c : Kreis.
• cc : Kegelschnitt.
• str : Zeichenkette.
• f : Flag.
Ein Winkelparameter ist ein zahlenwertiger Ausdruck, gefolgt von einem Doppelpunkt ‘:’
(Grad) oder ‘<’ (Bogenmaß). Eine Zeichenkette ist jeder (maximal einzeilige) in doppelte
Anführungszeichen eingeschlossene Text. In xdeukleides werden zur besseren Textdarstellung
Dollarzeichen in Zeichenketten übergangen (mathematischer Modus in TEX).
Zur Spezifikation optionaler Parameter werden eckige Klammern verwendet.
3.2 Zahlen
Für Berechnungen mit den üblichen arithmetischen Operatoren sind die Symbole (, ), +, -,
*, / und ^ (Potenzierung) zu verwenden.
Kapitel 3: Referenz
10
Die folgenden numerischen Funktionen sind verfügbar: abs(x), sqrt(x), exp(x), ln(x),
sin(x), cos(x), tan(x), asin(x), acos(x), atan(x), deg(x) (Zur Umwandlung vom Bogenmaß in Grad), rad(x) (zur Umwandlung von Grad ins Bogenmaß).
Es ist nur eine Konstante vordefiniert: pi.
Daneben sind folgende zahlenwertigen Funktionen verfügbar:
• Abszisse(A) oder Abszisse(u)
• Ordinate(A) oder Ordinate(u)
• Abstand(A, B) oder Abstand(A, l)
• Länge(u) oder Länge(s)
• Radius(c)
• grosseHalbachse(cc)
Die Hälfte der großen Hauptachse, falls cc eine Ellipse oder Hyperbel ist; der halbe Abstand
der Leitgerade vom Brennpunkt, falls cc eine Parabel ist.
• kleineHalbachse(cc)
Die Hälfte der kleinen Hauptachse, falls cc eine Ellipse oder Hyperbel ist; null, falls cc eine
Parabel ist.
• Exzentrizität(cc)
• Argument(cc, A)
Argument eines Punktes A in Bezug auf die interne Parameterdarstellung von cc. Falls A
nicht auf cc liegt, gibt Argument das Argument des Bildes von A unter einer Projektion auf
cc zurück. Die Richtung der Projektion ist diejenige der Hauptachse, falls cc eine Parabel
ist, des Zentrums, falls cc eine Ellipse ist, und der Hauptachse, falls cc eine Hyperbel ist.
• Höhe(A, B, C)
Abstand zwischen Punkt B und der Gerade AC.
Schließlich gibt es alle möglichen Winkelmeßfunktionen. Die Ergebnisse werden in Grad
berechnet. Eukleides kann mit gerichteten Winkeln umgehen. Deshalb gibt Winkel eine vorzeichenbehaftete Zahl größer als −180 ◦ oder kleiner gleich 180◦ zurück.
• Winkel(u) oder Winkel(l) oder Winkel(s)
Polarwinkel des Objekts.
• Winkel(cc)
Polarwinkel der Hauptachse des Kegelschnitts cc.
• Winkel(u, v)
Winkelmaß des Winkels zwischen Vektor u und Vektor v.
• Winkel(A, B, C)
Maß des Winkels 6 ABC. (Der Winkel 6 ABC ist der Winkelsektor, der entsteht, wenn man
einen Kreisbogen um B vom Punkt A aus gegen den Uhrzeigersinn zu Gerade AB zieht).
6 ABC ist also verschieden von 6 CBA.
3.3 Vektoren
Zur Berechnung der üblichen Vektoroperationen lassen sich die Symbole (, ), +, -, * (Multiplikation mit einer Zahl oder Skalarprodukt zweier Vektoren), / (Division durch eine Zahl)
verwenden.
Die vektorwertigen Funktionen sind:
• Vektor(x, y)
Vektor mit Abszisse x und Ordinate y.
Kapitel 3: Referenz
11
• Vektor(x, a)
Vektor der Länge x und Argument a.
• Vektor(A, B)
Vektor von Punkt A nach Punkt B.
• Vektor(l)
Einheitsvektor mit derselben Richtung wie Gerade l.
• Vektor(s)
Vektor vom Anfang der Strecke s zum Ende von s.
• Drehung(u, a) Drehung des Vektors u um den Winkel a.
3.4 Punkte
Die punktwertigen Funktionen sind:
• Punkt(x, y)
Punkt mit Abszisse x und Ordinate y.
• Punkt(x, a)
Punkt mit Radialkoordinate x und Polarwinkel a.
• Punkt(l, x)
Punkt mit Abszisse x auf der gerichteten Gerade l. (In Eukleides haben alle Geraden eine
implizite Richtung).
• Punkt(s, x)
Punkt mit Abszisse x auf der gerichteten Gerade, die die Strecke s enthält. (Der Ursprung
wird auf den Anfang von s gesetzt. Strecken haben wie Geraden eine implizite Orientierung.)
• Punkt(c, a)
Punkt mit Argument a (in Grad) auf dem Kreis c.
• Punkt(cc, x)
Punkt auf dem Kegelschnitt cc. Die Zahl x ist das Argument für die interne Parameterdarstellung von cc. Bei Parabeln wird diese Darstellung auf der Quadratfunktion aufgebaut,
bei Ellipsen und Hyperbeln auf der Sinus- und Cosinusfunktion.
• Schwerpunkt(A [, x], B [, y])
Schwerpunkt von A und B mit Koeffizient x und y (Standard: 1 und 1). Eine ähnliche
Syntax gilt für 3 oder 4 Punkte.
• Schnitt(l, l 0 )
Schnitt der Geraden l und l 0 .
• Abszisse(l, x)
Punkt mit Abszisse x auf Gerade l.
• Ordinate(l, y)
Punkt mit Ordinate y auf der Gerade l.
• Mittelpunkt (s)
• Anfang(s)
• Ende(s)
• Zentrum (c)
• Zentrum (cc)
Falls cc eine Parabel ist, ist das Ergebnis der Scheitel.
• Höhenschnittpunkt(A, B, C)
Höhenschnittpunkt des Dreiecks ABC, d.h. der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.
• Verschiebung(A, u)
Kapitel 3: Referenz
12
• Spiegelung(A, l)
• Drehung(A, B [, a])
Drehung um den Mittelpunkt B mit Winkel a (Standard: 180 ◦ ).
• Streckung (A, B, x)
Streckung, d.h. Dehnung oder Schrumpfung mit Zentrum B und Streckungsverhältnis x.
• Projektion(A, l [, l 0 ])
Projektion des Punktes A auf Gerade l in Richtung der Geraden l 0 (Standard: senkrecht zu
Gerade l).
3.5 Geraden
Die interne Repräsentation von Geraden in Eukleides basiert auf Abszisse und Ordinate
eines Punktes und einem Polarwinkel. Geraden besitzen damit eine implizite Orientierung. Die
geradenwertigen Funktionen sind:
• Gerade(A, B)
• Gerade(A, u)
• Gerade(s)
• Gerade(A, a)
Gerade mit Polarwinkel a, die den Punkt A enthält.
• Gerade(c, a)
Tangentengerade des Kreises c im Punkt mit dem Argument a (bezogen auf den Kreismittelpunkt von c).
• Gerade(cc, x)
Tangentengerade cc im Punkt mit dem Argument x (bezogen auf die interne Parameterdarstellung). Bei Parabeln basiert die Repräsentation auf der Quadratfunktion, bei Ellipsen
auf dem Kosinus und Sinus, bei Hyperbeln auf Tangens und Cosecans.
• Parallele(l, A) oder Parallele(s, A)
• Senkrechte(l, A) oder Senkrechte(s, A)
• Mittelsenkrechte(s)
Mittelsenkrechte, d.h. senkrechte Winkelhalbierende der Strecke s.
• Winkelhalbierende(A, B, C)
Winkelhalbierende des 6 ABC
• Winkelhalbierende(l, l 0 )
Winkelhalbierende des von den Geraden l und l 0 gebildeten spitzen Winkels.
• Höhe(A, B, C)
Höhe des Dreiecks ABC, die die Ecke A enthält.
• Seitenhalbierende(A, B, C)
Seitenhalbierende des Dreiecks ABC, das Ecke A enthält.
• Verschiebung(l, u)
• Spiegelung(l, l 0 )
Spiegelung an der Gerade l 0 .
• Drehung(l, A [, a])
Drehung um Mittelpunkt A mit dem Winkelmaß a (Standard: 180 ◦ ).
• Streckung (l, A, x)
Ähnlichkeitsabbildung, d.h. eine Streckung oder Stauchung mit Mittelpunkt A und Streckungsverhältnis x.
Kapitel 3: Referenz
13
3.6 Strecken
Die interne Repräsentation von Strecken basiert auf einem Anfangs- und einem Endpunkt.
Deshalb besitzen Strecken eine implizite Orientierung. Die streckenwertigen Funktionen sind:
• Strecke(A, B)
• Strecke(A, u)
• Strecke(A, x, a)
Strecke der Länge x mit Polarwinkel a, deren Anfangspunkt A ist.
• Strecke(c, a)
Strecke vom Mittelpunkt des Kreises c zu einem Punkt mit Argument a (bezogen auf den
Mittelpunkt des Kreises c).
• Verschiebung(s, u)
• Spiegelung(s, l)
• Drehung(s, A [, a])
Drehung um den Punkt A mit Winkel a (Standard: 180 ◦ ).
• Streckung (s, A, x)
Ähnlichkeitsabbildung, d.h. eine Streckung oder Stauchung mit Zentrum A und Streckungsverhältnis x.
3.7 Kreise
Die kreiswertigen Funktionen sind:
• Kreis(A, B)
Kreis mit Durchmesser AB.
• Kreis(A, B, C)
Umkreis des Dreiecks ABC.
• Kreis(A, x)
Kreis mit Mittelpunkt A und Radius x.
• Inkreis(A, B, C)
• Verschiebung(c, u)
• Spiegelung(c, l)
• Drehung(c, A [, a])
Drehung mit Zentrum A und Winkel a (Standard: 180 ◦ ).
• Streckung (c, A, x)
Ähnlichkeitsabbildung, d.h. eine Streckung oder Stauchung mit Zentrum A und Streckungsverhältnis x.
Es gibt noch folgende Mehrfachzuweisungen:
• A B Schnitt(l, c)
• A B Schnitt(c, c0 )
Falls die beiden Objekte sich berühren, wird den Variablen derselbe Punkt zugeordnet.
3.8 Kegelschnitte
Die kegelschnittwertigen Funktionen sind:
• Kegelschnitt(A, l, x)
Kegelschnitt mit Brennpunkt A, Leitgerade l und Exzentrizität x.
Kapitel 3: Referenz
14
• Kegelschnitt(A, B, x)
Kegelschnitt mit Brennpunkten A und B. Zahl x ist die Hälfte des Abstands zwischen den
Scheiteln (d.h. Hauptachse für Ellipsen und Hyperbeln).
• Parabel(A, l)
Parabel mit Brennpunkt A und Leitgerade l.
• Parabel(A, x, a)
Parabel mit Scheitel A, so daß x der halbe Brennpunktabstand und a das Winkelmaß
zwischen Hauptachse und Horizontalrichtung ist.
• Ellipse(A, x, y, a)
Ellipse mit Mittelpunkt A, so daß x der halben Hauptachse, y der halben Nebenachse und
a dem Polarwinkel der Hauptachse entspricht.
• Hyperbel(A, x, y, a)
Hyperbel mit Mittelpunkt A, so daß x der halben Hauptachse, y der halben Nebenachse
und a dem Polarwinkel der Hauptachse entspricht.
• Verschiebung(cc, u)
• Spiegelung(cc, l)
• Drehung(cc, A [, a])
Drehung um Zentrum A mit Winkel a (Standard: 180 ◦ ).
• Streckung (cc, A, x)
Ähnlichkeitsabbildung, d.h. eine Streckung oder Stauchung mit Zentrum A und Streckungsverhältnis x.
Es gibt außerdem die folgenden drei Mehrfachzuweisungen:
• A B Brennpunkte(cc)
• A B Ecken(cc)
• A B Schnitt(l, cc)
3.9 Dreiecke
Eine Dreieckszuweisung ist eine Liste von drei Variablennamen, gefolgt von einem der
Schlüsselwörter Dreieck, rechtwinkligesDreieck, gleichschenkligesDreieck oder
gleichseitigesDreieck und einigen optionalen Parametern. Ist die erste Variable ein bereits
definierter Punkt, so wird das Dreieick von diesem Punkt aus konstruiert, sonst wird dieser
Punkt in den Ursprung gelegt. Der optionale Parameter b ist der Polarwinkel der Strecke AB
(Standard: 0◦ ). Alle Möglichkeiten, ein Dreieck zu definieren, sind:
• A B C Dreieck[(x [, b])]
Definiert ein allgemeines Dreieck mit AB = x (Standard: 6). Das Dreieck ist ein optimales
allgemeines Dreieck, d.h. es ist ein spitzwinkliges Dreieck, dessen Form soweit wie möglich
von der Form eines rechten oder gleichschenkligen Dreiecks entfernt ist.
• A B C Dreieck(x, y, z [, b])
Definiert ein allgemeines Dreieck mit AB = x, BC = y und AC = z.
• A B C Dreieck(x, a, a0 [, b])]
Definiert ein allgemeines Dreieck mit AB = x, Winkelmaß von Winkel BAC gleich a,
Winkelmaß von 6 CBA gleich a0 .
• A B C rechtwinkligesDreieck[(x, y [, a])]
Definiert ein rechtwinkliges Dreieck (rechter Winkel in A) mit AB = x und AC = y (Standard: 6 und 4.5).
Kapitel 3: Referenz
15
• A B C rechtwinkligesDreieck(x, a [, b])
Definiert ein rechtwinkliges Dreieck (rechter Winkel in B) mit AB = x und Winkelmaß von
Winkel 6 BAC gleich a.
• A B C gleichschenkligesDreieck[(x, a [, b])]
Definiert ein gleichschenkliges Dreieck mit AB = x und Winkelmaß der Winkel 6 BAC und
6 CBA gleich a (Standard: 6 und 39 ◦ ).
• A B C gleichschenkligesDreieck(x, y [, b])
Definiert ein gleichschenkliges Dreieck mit AB = x und AC = BC = y.
• A B C gleichseitigesDreieck[(x [, b])]
Definiert ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge x (Standard: 6).
3.10 Vielecke
Eine Viereckszuweisung ist eine Liste von 4 Variablennamen, gefolgt von einem der
Schlüsselwörter Parallelogramm, Rechteck or Quadrat und einigen optionalen Parametern.
Ist der erste Variablenname ein bereits definierter Punkt, wird das Viereck von diesem Punkt
aus konstruiert, sonst wird für diesen Punkt der Ursprung genommen. Der optionale Parameter
b ist der Polarwinkel AB (Standard: 0 ◦ ). Die Möglichkeiten, ein Viereck zu definieren sind:
• A B C D Parallelogramm[(x, y, a [, b])]
Definiert ein Parallelogramm mit AB = x, AD = y und Winkelmaß von 6 BAD gleich a
(Standard: 5, 4 und 75◦ ).
• A B C D Parallelogramm(u, v [, b])
Definiert ein Parallelogramm, bei dem der Vektor von A nach B gleich u und der Vektor
von A nach D gleich v ist.
• A B C D Rechteck[(x, y [, b])]
Definiert ein Rechteck mit AB = x und AD = y (default: 6 und 6/φ mit φ = goldener
Schnitt).
• A B C D Quadrat[(x [, b])]
Definiert ein Quadrat mit AB = x (Standard: 4).
Es gibt eine Fünfeckszuweisung:
• A B C D E Fünfeck(F , x, a)
Definiert ein Fünfeck mit Mittelpunkt F , Radius x so daß der Polarwinkel der Strecke F A
gleich a ist.
Es gibt eine Sechseckszuweisung:
• A B C D E F Sechseck(G, x, a)
Definiert ein Sechseck mit Mittelpunkt G, Seitenlänge x so daß der Polarwinkel der Strecke
GA gleich a ist.
3.11 Interaktive Zuweisungen
Eine interaktive Zuweisung ist das folgende Kommando:
• x interaktiv(y, z, [ x0 , x00 ,] str, f )
In deukleides wird die Variable x einfach gleich y gesetzt. In xdeukleides kann während
der Anzeige der Wert der numerischen Variable x mit Hilfe der Pfeiltasten verändert werden.
Der anfängliche Wert von x ist y, das Inkrement ist z. Die optionalen Parameter x 0 und x00 sind
untere und obere Grenzen von x. Die Zeichenkette str muß einen Großbuchstaben enthalten.
Um x zu ändern muß man erst die zugehörige Taste drücken (der Anfangszustand ist A). Die
Kapitel 3: Referenz
16
zulässigen Werte von f sind rechts (in diesem Fall wird x durch Drücken des Rechtspfeils
vergrößert und durch Drücken des Linkspfeils verkleinert) oder oben (in diesem Fall wird x
durch Drücken des Hochpfeils vergrößert und durch Drücken des Abpfeils verkleinert).
3.12 Einstellungen
An Einstellanweisungen gibt es:
• Kasten(x, y, x0 , y 0 [, z])
• Rahmen(x, y, x0 , y 0 [, z])
In deukleides wird der sichtbare Rahmen gesetzt, bei Kasten werden Objekte zusätzlich
am Rand abgeschnitten. Die linke untere Ecke hat die Koordinaten (x, y), die obere rechte
Ecke (x0 , y 0 ), der optionale Parameter setzt die Einheitslänge auf z cm (Standard: 1).
In xdeukleides wird das Bild so gezeichnet, daß der gegebene Rahmen auf die Zeichenfläche
paßt. Dazu wird der größte Maßstab genommen.
Die Anweisung Kasten setzt den sichtbaren Rahmen, deshalb ist das Bild in der Regel
von zwei grauen Streifen umgeben. Das Kommando Rahmen setzt den kleinsten sichtbaren
Rahmen, also wird die ganze Zeichenfläche genutzt. Parameter z hat hier keinen Effekt.
Falls kein Rahmen angegeben wird, werden Standardwerte genommen: (−2, −2, 8, 6).
• Farbe(f )
Setzt die Farbe auf f . Zulässige Werte für f sind schwarz (Standard), dunkelgrau, grau,
hellgrau, weiss, rot, grün, blau, hellblau, magenta und gelb.
• Farbe str
In deukleides wird die Farbe auf str gesetzt (sie muß eine gültige PSTricks-Farbe sein).
Hat bei xdeukleides keine Wirkung.
• Strichstärke(x)
In deukleides wird die aktuelle Strichstärke mit x multipliziert. Die Standard-Strichstärke
ist 0.5 pt. Hat bei xdeukleides keine Wirkung.
• Stil(f )
Setzt den aktuellen Zeichenstil auf f . Zulässige Werte für f sind durchgezogen,
strichliert und punktiert. Der Standard-Zeichenstil ist durchgezogen.
• Tricks str
Fügt in deukleides einen führenden ‘\’ dem str hinzu und gibt die Zeichenkette verbatim
aus. Die Zeichenkette muß gültigen TEX-Code enthalten. Hat bei xdeukleides keine
Wirkung.
• Font str
Ändert unter xdeukleides den aktuellen Font. Die Zeichenkette str muß eine gültige XLFD
sein. In deukleides ist die Anweisung wirkungslos.
3.13 Zeichenbefehle
Die Anweisungen zum Zeichnen sind:
• zeichne(A [, f [, x]])
Zeichnet Punkt A mit einer Form gemäß f und einem Skalierungsfaktor x (Standard: 1).
Zulässige Werte von f sind Scheibe, Kasten, Kreuz und Plus (default: Scheibe). Der
Skalierungsfaktor ist ohne Bedeutung in xdeukleides.
• zeichne(u, A [, f ])
Zeichnet den Vektor u ab dem Punkt A. Falls f vorhanden ist, wird der augenblickliche Zeichenstil überlagert. Zulässige Werte für f sind durchgezogen, strichliert und
punktiert.
Kapitel 3: Referenz
17
• zeichne(l [, f [, f 0 ]])
Zeichnet die Gerade l. Falls f angegeben ist, wird der aktuelle Zeichenstil überlagert.
Zulässige Werte für f sind durchgezogen, strichliert und punktiert. Zulässige Werte
für f 0 sind ganz, Strahl und Rückstrahl (default: ganz).
• zeichne(s [, f [, f 0 ]])
Zeichnet Strecke s. Falls f angegeben ist, wird der aktuelle Zeichenstil überlagert. Zulässige
Werte für f sind durchgezogen, strichliert und punktiert. Zulässige Werte für f 0 sind
ungerichtet, Pfeil, Rückwärtspfeil und Doppelpfeil (Standard: ungerichtet).
• zeichne(c [, f ])
Zeichnet den Kreis c. Falls f angegeben ist, wird der aktuelle Zeichenstil überlagert.
Zulässige Werte für f sind durchgezogen, strichliert und punktiert.
• zeichne(c, a, a0 , [, f [, f 0 ]])
Zeichnet einen Kreisbogen c vom Punkt mit Argument a zum Punkt mit Argument a 0 .
Falls f angegeben ist, wird der aktuelle Zeichenstil überlagert. Zulässige Werte für f sind
durchgezogen, strichliert und punktiert. Zulässige Werte für f 0 sind ungerichtet,
Pfeil, Rückwärtspfeil und Doppelpfeil (Standard: ungerichtet).
• zeichne(cc [, f ])
Zeichnet den Kegelschnitt cc. Falls f angegeben ist, wird der aktuelle Zeichenstil überlagert.
Zulässige Werte für f sind durchgezogen, strichliert und punktiert.
• zeichne(cc, x, y [, f ])
Zeichnet einen Bogen des Kegelschnitts cc. Die Zahl x ist das Argument des Anfangspunkts
(bezogen auf die interne Parameterdarstellung von cc), die Zahl y ist das Argument des
Endpunkts. Falls f angegeben ist, wird der aktuelle Zeichenstil überlagert. Zulässige Werte
für f sind durchgezogen, strichliert und punktiert.
• zeichne(A, B, C, [, f ])
Zeichnet das Dreieck ABC. Falls f angegeben ist, wird der aktuelle Zeichenstil überlagert.
Zulässige Werte für f sind durchgezogen, strichliert und punktiert.
• zeichne(A, B, C, D [, f ])
Zeichnet das Viereck ABCD. Falls f angegeben ist, wird der aktuelle Zeichenstil überlagert.
Zulässige Werte für f sind durchgezogen, strichliert und punktiert.
• zeichne(A, B, C, D, E, [, f ])
Zeichnet das Fünfeck ABCDE. Falls f angegeben ist, wird der aktuelle Zeichenstil
überlagert. Zulässige Werte für f sind durchgezogen, strichliert und punktiert.
• zeichne(A, B, C, D, E, F [, f ])
Zeichnet das Sechseck ABCDEF . Falls f angegeben ist, wird der aktuelle Zeichenstil
überlagert. Zulässige Werte für f sind durchgezogen, strichliert und punktiert.
• zeichne(str, A, [ x, ] a)
Druckt den in str enthaltenen Text im Abstand x (Standard: 0.3) und mit Argument a
bezogen auf Punkt A.
• zeichne(str, s, [ x, ] a)
Druckt den in str enthaltenen Text im Abstand x (Standard: 0.3) und mit Argument a
bezogen auf den Mittelpunkt der Strecke s.
• zeichne(x, [str, ] A, [ y, ] a)
Druckt den Wert von x, optional formatiert mit str (unter Benutzung der C-Syntax) im
Abstand y (Standard: 0.3) und mit Argument a, bezogen auf Punkt A.
• zeichne(x, [str, ] s, [ y, ] a)
Druckt den Wert von x, optional formatiert mit str (unter Benutzung der C-Syntax) im
Abstand y (Standard: 0.3) und mit Argument a, bezogen auf den Mittelpunkt der Strecke
s.
Kapitel 3: Referenz
18
• zeichne(x, x0 , str, A, [ y,] a)
Druckt die Werte von x und x0 , formatiert mit str (unter Benutzung der C-Syntax) im
Abstand y (Standard: 0.3) und mit Argument a, bezogen auf Punkt A.
• zeichne(x, x0 , str, s, [ y,] a)
Druckt die Werte von x und x0 , formatiert mit str (unter Benutzung der C-Syntax) im
Abstand y (Standard: 0.3) und mit Argument a, bezogen auf den Mittelpunkt der Strecke
s.
• markiere(s [, f [, x]])
Markiert die Strecke s mit einem f entsprechenden Symbol und dem Skalierungsfaktor x
(Standard: 1). Zulässige Werte für f sind einfach, doppelt, dreifach und Kreuz (Standard: einfach).
• markiere(A, B, C [, f [, x]])
Markiert den 6 ABC mit einem f entsprechendem Symbol und einem Skalierungsfaktor x (Standard: 1). Zulässige Werte für f sind einfach, doppelt, dreifach, Strich
(runde Winkelmarkierung mit Strich), rechterWinkel, punktiert (Winkelmarkierung
eines rechten Winkels mit Punkt), Pfeil, Rückwärtspfeil (Standard: einfach).
3.14 Spurkommandos
Ein Spurkommando gestattet es, den Ort eines Punktes in Abhängigkeit von einer numerischen Variable zu zeichnen. Die Syntax ist:
• Spur(x, x0 , x00 [, f ])
Dieser Anweisung muß in geschweiften Klammern wenigstens ein punktwertiger Ausdruck
folgen, der von der Variablen x abhängt. Die Parameter x 0 und x00 sind untere und obere Grenzen von x. Der Ausdruck muß für jeden Wert des Intervalls definiert werden. Falls das nicht
geschieht, kann es zu flüchtigen Ergebnissen oder manchmal (in deukleides) zu Fehlermeldungen kommen. Innerhalb der Klammern ist es möglich, beliebige Folgen von Anweisungen vor dem
Ausdruck zu plazieren, um z.B. Zwischenberechnungen durchzuführen. Falls f angegeben ist,
wird der aktuelle Zeichenstil überlagert. Zulässige Werte für f sind durchgezogen, strichliert
und punktiert.
3.15 PSTricks
Das Programm deukleides erlaubt die Einbindung von beliebigen PSTricks-Makros mit (von
deukleides) berechneten Parametern. Damit ist das Zeichnen beliebiger PSTricks-Objekte an
Orten möglich, die von einer Eukleides-Zeichnung festgelegt sind.
Die Syntax ist so gewählt, daß sie dem recht nahe kommt, was man als PSTricks-Code direkt
in einem (LA)TEX-Dokument schreiben würde. Ein PSTricks-Makro beginnt mit einem Backslash
\, gefolgt vom PSTricks-Makronamen (Beispiel: \pscircle). Dann kommt optional eine Liste
von in eckige Klammern ([]) eingeschlossenen PSTricks-Optionen; die Optionen werden durch
Kommata getrennt. Darauf folgt in der Regel eine von runden Klammern umschlossene optionale
Liste von Parametern, die wieder durch Kommata getrennt sind. Das folgende einfache Beispiel
zeigt alle Möglichkeiten; danach erläutern wir die Syntax im Detail.
A B C gleichseitigesDreieck
zeichne(A, B, C, punktiert)
\pscurve[Pfeils="->"](A, B, C)
Dies erzeugt folgende Zeichnung:
Kapitel 3: Referenz
19
3.15.1 Optionen
Optionen werden in der Form option=wert angegeben. Hierbei ist option ein gültiger
PSTricks-Optionsname und wert entweder eine Zeichenkette (in doppelten Anführungszeichen,
beispielsweise arrows="->") oder ein durch Eukleides auswertbarer numerischer Ausdruck (etwa
Radius=Abstand(A,B)). Die Anführungszeichen werden von deukleides vor der Ausgabe des
PSTricks-Codes entfernt. Eigentlich sollten alle in PSTricks dokumentierten Optionsnamen
auch ohne Anführungszeichen funktionieren. Sollte es Probleme geben, hilft vermutlich das
Einschließen in Anführungszeichen wie in diesem Beispiel: "obskurerParameter"=3.145.
A B C gleichseitigesDreieck
zeichne(A, B, C, punktiert)
\pscurve[showpoints="true", linewidth=.05, arrows="->"](A, B, C)
Diese Modifikationen des Anfangsbeispiels ergeben folgendes Bild:
3.15.2 Parameter
Parameter zu PSTricks-Makros bilden eine Kommaliste, in der Punktausdrücke, numerische
Ausdrücke oder Zeichenketten in Anführungszeichen zulässig sind. Eukleides-Punkte erhalten
bei der Ausgabe die Form (x,y), Zeichenketten und numerische Ausdrücke werden in geschweifte
Klammmern eingeschlossen. Die Anweisung
\psline("<<->>", A, B)
wird damit in folgenden PSTricks-Code übersetzt:
Kapitel 3: Referenz
20
\psline{<<->>}(0.0000,0.0000)(6.0000,0.0000)
3.15.3 Warnhinweise
In dieser kurzen Dokumentation ist es nicht möglich, auch nur ansatzweise die vielen
Möglichkeiten von PSTricks zu erläutern. In der dem PSTricks-Paket beigegebenen Dokumentation findet man ausführliche Hilfestellung, ebenso in dem Buch “The LATEX Graphics
Companion” von M. Goosens, F. Mittelbach und S. Rahtz.
Besonders zu beachten ist: Es gibt keinen Mechanismus, der den erzeugten PSTricks-Code
auf Korrektheit prüft. Das bedeutet, daß sehr leicht fehlerhafter (LA)TEX-Code aus deukleides
heraus zu erzeugt werden kann, der dann nicht mehr kompilierbar ist. Von xdeukleides werden
zur Zeit alle PSTricks-Makros ignoriert.
Kapitel 4: Beispiele
21
4 Beispiele
Die folgenden Beispiele dienen dazu, die grundlegenden Möglichkeiten von Eukleides zu
demonstrieren. Es gibt darüberhinaus zwei weitere Sätze von Beispielen: einer für deukleides,
entstanden aus Geometrie-Übungsaufgaben, der andere mit interaktiven Geometriefiguren für
xdeukleides.
4.1 Inkreis und Winkelhalbierende
A B C Dreieck
zeichne(A, B, C)
zeichne(Inkreis(A, B, C))
zeichne(Winkelhalbierende(B, A, C), punktiert)
zeichne(Winkelhalbierende(A, B, C), punktiert)
zeichne(Winkelhalbierende(B, C, A), punktiert)
4.2 Der Feuerbachkreis
A B C Dreieck
a = Projektion(A, Gerade(B, C))
b = Projektion(B, Gerade(A, C))
c = Projection(C, Gerade(A, B))
zeichne(A, B, C)
zeichne(a) ; zeichne(b) ; zeichne(c)
zeichne(Strecke(A, a), punktiert)
zeichne(Strecke(B, b), punktiert)
zeichne(Strecke(C, c), punktiert)
Kapitel 4: Beispiele
zeichne(Schwerpunkt(A, B))
zeichne(Schwerpunkt(B, C))
zeichne(Schwerpunkt(C, A))
zeichne(Kreis(a, b, c))
4.3 Gleichschenkliges Dreieck
A B C gleichschenkligesDreieck
H = Projektion(C, Gerade(A, B))
zeichne(A, B, C)
zeichne(H)
zeichne(Strecke(C, H), strichliert)
markiere(B, H, C, rechterWinkel)
markiere(Strecke(A, H))
markiere(Strecke(B, H))
markiere(Strecke(A, C), Kreuz)
markiere(Strecke(C, B), Kreuz)
markiere(B, A, C, doppelt)
markiere(C, B, A, doppelt)
4.4 Kollineare Punkte
A B C D Quadrat
A B E gleichseitigesDreieck(4)
B F G gleichseitigesDreieck(4, 30:)
zeichne(A, B, C, D)
zeichne(A, B, E)
zeichne(B, F, G)
zeichne(Gerade(E, F), punktiert)
22
Kapitel 4: Beispiele
23
4.5 Winkel im Parallelogramm
A B C D Parallelogramm(5, 4, 105:)
zeichne(A, B, C, D)
markiere(B, A, D)
markiere(D, C, B)
markiere(C, B, A, doppelt)
markiere(A, D, C, doppelt)
4.6 Addition von Vektoren
A B C D Parallelogramm
zeichne(Strecke(A, B),
zeichne(Strecke(A, C),
zeichne(Strecke(A, D),
zeichne(Strecke(B, C),
zeichne(Strecke(D, C),
durchgezogen, Pfeil)
durchgezogen, Pfeil)
durchgezogen, Pfeil)
punktiert)
punktiert)
Kapitel 4: Beispiele
24
4.7 Tangenten an einen Kreis
+
O = Punkt(2, 2)
C = Kreis(O, 2)
A = Punkt(6.5, 2)
c = Kreis(O, A)
I J Schnitt(C, c)
Farbe(hellgrau)
zeichne(Gerade(A, I))
zeichne(Gerade(A, J))
Farbe(schwarz)
zeichne(O, Plus)
zeichne(A)
zeichne(c, punktiert)
4.8 Eine Spirale
Rahmen(-5, -4, 5, 4)
Spur(t, 0, 3*360)
{ Punkt(t/360, t:) }
Kapitel 4: Beispiele
4.9 Eine Parabel mit Brennpunkt und Leitgerade
F = Punkt(3, 1.5)
D = Gerade(Punkt(1, 0.5), -65:)
C = Parabel(F, D)
zeichne(F)
zeichne(D)
zeichne(C)
25
Konzeptindex
26
Konzeptindex
A
L
Abstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Allgemeine Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Arithmetische Operationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Länge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
B
Marken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Markierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Mehrfache Zuweisungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Mehrfachzuweisung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Mittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Mittelsenkrechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Bogenmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Brennpunkte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
D
deuk2edit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
deuk2eps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
deukleides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Drehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10, 11, 12, 13
Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 6, 11, 14
Drucken von Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Drucken von Zeichenketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
E
Einfache Zuweisungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Einstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
F
Farben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Fonts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Fünfecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
M
N
Numerische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
P
parallel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Parallelogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Polarwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
pstoedit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
PSTricks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 18
punktwertige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Q
Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
R
G
Geradenwertige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Gerichtete Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Gerichtete Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Gleichschenklige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Gleichseitige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Groß-/Kleinschreibung: Beachtung . . . . . . . . . . . . . . . 9
H
Höhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10, 12
Höhenschnittpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I
Implizite Orientierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12, 13
Interaktive Zeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Interaktive Zuweisungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 15
Interne Repräsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12, 13
K
Kegelschnitt-Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Kommentare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Kreiswertige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Rechtecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Rechtwinklige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
S
Scheitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Schiefwinklige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Schnappschuß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Schnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 13, 14
Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Sechsecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Seitenhalbierende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
senkrecht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
sichtbarer Rahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Spiegelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 12, 13
Spurkommandos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Standardrahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Streckenwertige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Streckung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 12, 13
Strichstärke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
T
Tastenkombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Konzeptindex
V
Variablenbezeichner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Vektoroperationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
vektorwertige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Verschiebung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 12, 13
Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 15
W
Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Winkelhalbierende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
27
Winkelparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
X
xdeukleides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Z
Zahlenwertige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Zeichenbefehle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Zeichenketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Zeichenstil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Zuweisungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Kommandoindex
28
Kommandoindex
A
H
abs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Abszisse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10, 11
acos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
asin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
atan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
hellblau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
hellgrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Höhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
16
12
13
I
Inkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
interaktiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
B
begin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
blau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Brennpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
C
K
Kasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kegelschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
kleineHalbachse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kreuz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
13
10
13
16
cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
L
D
ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
deg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Doppelpfeil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
doppelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Drehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10, 11, 12, 13
Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
dreifach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
dunkelgrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
durchgezogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
M
magenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
markiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Mittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
O
oben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Ordinate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10, 11
E
Ecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
einfach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
end . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
exp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Exzentrizität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
F
Farbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Font . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Fünfeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
P
Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Parallele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Parallelogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pfeil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
punktiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
12
15
16
10
16
11
11
16
Q
Quadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
G
ganz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
gelb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
gleichschenkligesDreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
gleichseitigesDreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
grosseHalbachse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
grün . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
16
12
14
14
16
10
16
R
rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Rahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Rechteck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
rechterWinkel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
rechts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
rot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Rückstrahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Rückwärtspfeil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Kommandoindex
S
Scheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Schnitt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 14
schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Sechseck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Seitenhalbierende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Senkrechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12, 14
sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Spiegelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 12, 13
Spur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
sqrt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Stil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Strahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Strecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Streckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 12, 13
Strich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
strichliert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Strichstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
T
29
tan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Tricks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
U
ungerichtet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
V
Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Verschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 12, 13
W
weiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Winkelhalbierende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Z
zeichne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Zentrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11