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Zur Erinnerung
Stichworte aus der Mittlere und momentane Geschwindigkeit und
2. Vorlesung: Beschleunigung
Differenzen-Quotient, Differential-Quotient
Umgang mit Differentialen
Darstellung einer Bahnkurve r(t)
Ermittelung von r(t) bei gleichförmiger Bewegung
und bei (beliebig zeitabhängiger) Beschleunigung
(Integration)
Zusammensetzung von Bewegungen
schräger Wurf
Experimentalphysik I SS 2011
3-1
Schiefer Wurf (1)
Anfangsbedingung:
x(t  0)  y (t  0)  0 z (t  0)  h
vx (t  0)  v0 x vz (t  0)  v0 z v y (t  0)  0
Bewegungsgleichungen in x, y, z lösen:
x(t )  v0 xt
1
y (t )  0 z (t )  v0 z  t  gt 2  h
2
Form der Bahnkurve?
z (t )  z ( x) durch Einsetzen von
Bahnkurve:
z ( x)  
x
v0 x
1 g 2 v0 z
x 
xh
2
2 v0 x
v0 x
Scheitelpunkt: Def.: vz (t  t S )  0
1 v02z
z (t S ) 
h
2 g
Experimentalphysik I SS 2011
t
vz (t S )  v0 z  gt S  0  t S 
x(t S )  v0 z
v0 z
g
v0 x
g
3-2
Schiefer Wurf (2)
Bahnkurve:
z ( x)  
1 g 2 v0 z
x 
xh
2
2 v0 x
v0 x
Größte Wurfweite: Bedingungen: z ( xw )  0 und
v0 z
1 g
x

w
2 v02x
v0 x

xw 
h0
2v0 z  v0 x
g
v02  2  sin  cos 0 x
xw 
g
v02  sin 2
xw 
g
dxw
dxw

0

 ...  cos 2
Maximum:
d
d
   45
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3-3
Schiefer Wurf (3)
Freier Fall

horizontaler Wurf
Anfangsbedingungen:
z (t  0)  h x(t  0)  0 v  (v0 x ,0,0) a  (0,0, g )
Freier Fall
Horizontaler Wurf
z-Komp.
x-Komp
1
z (t )   gt 2  h
2
1 2
1 2
x
(
t
)

at  v0 x t  x0
z (t )   gt  h
2
2
x(t )  v0 xt
t Fall 
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2h
g
t End 
2h
g
3-4
Winkeleinheiten
Bogenmaß: Das Bogenmaß eines Winkels ist
die Länge des Bogens, der durch
den Winkel auf dem Einheitskreis
bestimmt wird.
R=1m
Winkel a im Bogenmaß:
aB 
L
R
Einheit: Radiant, Formelzeichen: rad
Beispiel:
a B  1 rad
Näherung für sina: sin a B  a B
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2  R
 2 rad 
R
360
 a Grad 
 5717'45' '  57
2
 a B  1
a Grad  360  a B 
3-5
Bogenmaß und sina
Zusammenhang
sina  a:
Näherung für sina:
lim sin a B  a B
a B 0
sin da  da
da: infinitesimal kleine Größe (= „beliebig“ klein)
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3-6
Raumwinkel (1)
Definition:
Einheit:
Kugelfläche:
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1 sr = Raumwinkel, unter dem die Fläche
S = 1 m2 der Oberfläche einer Kugel mit
Radius R = 1 m vom Mittelpunkt der Kugel
aus erscheint.
W  Steradiant = 1 sr
S K  4R 2
 „voller“ Raumwinkel
W K  4
3-7
Raumwinkel (2)
Beispiel:
Raumwinkel für 1/8
der Kugeloberfläche
(Oktant)
gesamte Kugeloberfläche:
 4R 2
Voller Raumwinkel:
Oberfläche Oktant:
W K  4
4R 2 R 2
SOk 

8
2
Raumwinkel unter dem der Oktant vom Kreismittelpunkt aus
gesehen wird:
WOk  SOk ( R  1) 
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
2
3-8
Winkelgeschwindigkeit
Bogenlänge: s  r  
Bahngeschwindigkeit: v 
Mittlere
Winkelgeschwindigkeit:
s

r
r 
t
t

t
d
Winkelgeschwindigkeit:  
 
dt
 
Einheit
   rad / s  s 1
Bahn-  Winkelgeschw. v  r  
Beispiel: Was ist bei beiden Ritzeln gleich:
Bahngeschwindigkeit
oder
Winkelgeschwindigkeit?
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3-9
Vektorbeziehungen bei der Kreisbewegung
Winkelgeschwindigkeit ω macht Angabe über die
„Schnelligkeit der Drehung“
Drehung ist (auch) charakterisiert durch Richtung der
Drehachse (Vektor)!
Definition von : 

 



Eigenschaften:    (t )
 



ist ein (polarer) Vektor
Richtung der Drehachse
 
Vektorbeziehung: v    r    r
Für r  ω 
v r
„Rechte-Hand-Regel“
Drehsinn:
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3-10
Gleichförmige Kreisbewegung (1)
Parameterdarstellung:
x(t )  R  cos t
d
Mit

dt
y(t )  R  sin t
x 2  y 2  R 2 cos 2 t  R 2 sin 2 t
 R 2 sin 2 t  cos 2 t   R 2
x2  y2  R2
 Gleichung für einen Kreis
Gleichförmige oder beschleunigte Bewegung?
Es gilt : v    R

wobei R und ω const.
v  const.

Aber: v ändert ständig seine Richtung
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3-11
Gleichförmige Kreisbewegung (2)
Vektordarstellung der
 
Bahngeschwindigkeit: v  v  eˆt  v  eˆt
mit ê t : tangentialer Vektor
Übergang
  d
deˆt  eˆt  d
deˆt
d 
 eˆt 
  
dt
dt
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3-12
Gleichförmige Kreisbewegung (3)
Beschleunigung: a 
deˆ
dv d (v  eˆt ) dv

  eˆt  v  t
dt
dt
dt
dt
0
Richtung der
Beschleunigung: Aus
eˆt2  1 
a  v
Gleichförmige Kreisbewegung
d (eˆt  eˆt )
0
dt
und damit
deˆt
deˆ
deˆ
 eˆt  eˆt  t  2  eˆt  t  0
dt
dt
dt
Wenn
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eˆt 
deˆt
dt
deˆt
deˆ
 0  eˆt  t
dt
dt
av
(„a senkrecht zu v“)
a  r
(„a antiparallel zu r“)
v
a
dann ist
und
3-13
Gleichförmige Kreisbewegung (4)
Zentripetal- Die Beschleunigung bei der Kreisbewegung ist radial
beschleunigung: (in Richtung auf den Kreismittelpunkt) gerichtet und
heißt Zentripetalbeschleunigung.
deˆt
a  v
dt
a  R 
deˆt
mit
dt
a   R 2  rˆ   2 r
deˆt

dt

deˆt
   rˆ
dt

a  R 2
 R  cos t 
dr     R  sin t 
r 

  v

Komponentendt    R  cos t 
 R  sin t 
schreibweise:
2
dv     R  cos t 
2
2

a
 




r


R

 rˆ
2

dt     R  sin t 
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3-14
Allgemeine (krummlinige) Bewegung (1)
Weder gleichförmig-gradlinige Bewegung
(a parallel zu v)
noch gleichförmige Kreisbewegung
(a senkrecht zu v)
Beschleunigung: a 
deˆ
dv d (v  eˆt ) dv

  eˆt  v  t
dt
dt
dt
dt
 at  a n
dv
 eˆt
dt
Normalbeschleunigung: a  v  deˆt
n
dt
Tangentialbeschl.: a t 
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
Beschleunigung in Richtung v

nur Richtungsänderung
3-15
Allgemeine (krummlinige) Bewegung (2)
Koordinatensysteme: Zwei Gruppen von Einheitsvektoren:
(a) fixiert auf der Bahn eˆt  eˆt (t) und
zeitlich veränderlich:
deˆt (t )
0
dt
eˆn  eˆn(t)
deˆn (t )
0
dt
(b) raumfest:
deˆ y
deˆ x
 0,
0
dt
dt
Darstellung hier beschränkt auf Ebene (2 - dim)
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3-16
Allgemeine (krummlinige) Bewegung (3)
Koordinatentrans- eˆt  (cos , sin  ,0)  cos   eˆ x  sin   eˆ y
formation:

ê y
ê x

 cos(  )  eˆ x  sin(  )  eˆ y
2
2
  sin   eˆ x

cos  eˆ y
eˆn 
deˆt
   sin   eˆ x    cos   eˆ y
dt
   ( sin   eˆ x  cos   eˆ y )



eˆn
deˆt
   eˆn
dt
mit
an  v 
deˆt
dt


deˆt
v
 v    eˆn
dt
an  v    eˆn
Normalbeschleunigung: also an  v  
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3-17
Allgemeine (krummlinige) Bewegung (4)
Annäherung
Durch Kreisbögen
ds  r  d 
d 1

ds r
d d ds 1

  v
dt ds dt r
Gesamtbeschleunigung: a 
at

an

a
a
Allgemeiner
Zusammenhang
a(v, dv/dt, r):
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4
 dv   v 
a     2 
 dt   r 
2
a
deˆ
dv
 eˆt  v  t
dt
dt
d
dv
 eˆt  v  t  eˆn
dt
dt
dv
v2
 eˆt   eˆn
dt
r
3-18
2.5 Kräfte
Masse m: Vergleich mit Standard
Beschleunigung a:
Dim a 
L
T2
messen durch Rückgriff auf Längen- und
Zeitstandard
Kraft F: Wenn wir die Beschleunigung a eines Körpers der Masse m
beobachten, sagen wir auf den Körper wirkt eine Kraft
Eigenschaften:
F
m
F  m  a , wir beobachten:
a
wichtige Konsequenz
a0  F 0
F
ist ein Vektor
F
kann aus der Summe von Kräften resultieren:
Fges   Fi
i
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3-19
Kräfte bei (schiefer) Ebene
Gleichgewichts- a  0
bedingung:
Komponentenzerlegung:
 Fges  F1  F2  0
 F1   F2
F , F
Normalkomponente: F  N  0
Beschleunigung
a = 0  zur Oberfläche
Parallelkomponente:
F  0
Beschleunigung a  0
parallel zur Oberfläche
(solange Freibung  F
)
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3-20
Messung von Kräften
Messung von F über Beschleunigung i.d. Regel
„unpraktisch“ - statische Methoden meist besser

Dehnung einer Feder:
Verformung elastischer Körper, z.B. Feder
Fx  D  ( x0  x)
Stationärer Zustand
Fges  0  FFeder  FGravitation
Massenbestimmung:
FFeder  D  ( x0  x)  Fx
FGrav.  mg  m( g ,0,0)
Fx  FGrav.  D  ( x0  x)  mg  0
m
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D
 ( x0  x) 
g
Bestimmung der Masse m
3-21
Messung von Kräften
Dehnungsmessstreifen:
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3-22
Vektorielle Kräftebilanz
für a = 0 erforderliche
Gegenkraft G
G
Bedingung für a = 0:
Fg = m g
Fg
die Komponenten  Fg heben sich auf
die Komponenten  Fg addieren sich zu G
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3-23
Zugkräfte bei Aufhängung an Drähten
FZ1
FZ2
Fg
FZ1
FZ2
Fg
Fz,i >> Fg
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3-24
Addition von Kräften
Vektorielle Kräftebilanz:
Zugkräfte bei Aufhängung
an Drähten:
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3-25
2.6 Grundgleichungen der Mechanik
Impuls p: Definition des Bewegungszustandes eines Körpers:
p  mv
Zentrale Größe in der Mechanik
Zusammenhang
mit der Kraft:
dp
d
dm
dv
 p  (m  v) 
v  m
dt
dt
dt
dt
dp
dv
dm


p

m

 ma
Wenn
 0 , dann gilt:
dt
dt
dt
also:
F  ma 
dp
0 
dt
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dp
dt
p  const.  F  0
3-26
Newton‘sche Axiome(1)
1. Newtonsche Axiom: Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der
gleichförmigen gradlinigen Bewegung, solange keine Kraft
auf ihn wirkt ( = der Impuls p  m  v eines kräftefreien
Teilchens ist zeitlich konstant)
2. Newtonsche Axiom: Eine auf ein Teilchen wirkende Kraft führt zur
Änderung seines Impulses
F  p 
dp
dt
Einheit der Kraft:
F   1kg2m  1 Newton  1 N
s
3. Newtonsche Axiom: (3) „actio = reactio“
zwei Körper, die nur miteinander (aber nicht mit anderen
Körpern) wechselwirken, üben aufeinander gleich große,
aber entgegengesetzt gerichtete Kräfte aus.
F1  F2
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
p 1   p 2
3-27
Massenträgheit
Versuch zur
Massenträgheit :
schnell ziehen
M muss durch F2
beschleunigt werden,
erst dann kann
F1 zunehmen
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langsam ziehen
M muss nicht
beschleunigt werden
F1 = Mg + F2
3-28
Newton‘sche Axiome(2): „actio = reactio“
Gravitationsgesetz:
Kräfte F1 und F2 sind dem Betrage nach gleich !
(auch bei m1 <<< m2 !!)
Da a 
F
m
wird die kleine Masse stärker beschleunigt.
das „Apfel-Erde Problem“:
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3-29
Newton‘sche Axiome(3): „actio = reactio“
Federwaage:
F1
Luftkissenfahrbahn:
F2
F
a
m
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3-30
Newton‘sche Axiome(4): „actio = reactio“
Rakete:
Grundlage: Impulserhaltung („vereinfachte“ Darstellung!!)
F
dp
dv
dM
 M  v
dt
dt
dt
v 
Ausströmgeschwindigkeit des „Treibstoffes“ =
konstant
F  M  a Rakete  v 
dM
dt
M
a Rakete  v 
M
s. Demtröder Bd. 1, Proportional zur relativen Massenänderung (bei v = konst.)
Kap. 2.6.3 (Vergleich Wasser  Luft im Experiment)
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3-31
2.6.2 Schwere und träge Masse
Träge Masse: Eigenschaft eines Körpers der Masse m ohne
Krafteinwirkung im Bewegungszustand zu
verharren
 „Trägheit“  träge Masse mT
Schwere Masse: Gewicht einer Masse verursacht durch FGrav.  mg
(Gravitationsanziehung)
 schwere Masse ms
ms  1 kg  FG  1 kg  9,81
m
 9,81 N
2
s
Messungen, die abzielen auf Messung von
(a) Trägkeit und (b) Gewicht, zeigen :
mT  ms 
mT
 10 10
Einstein postuliert mT  mS da beide Größen
ununterscheidbar (Gedanken-Versuch)
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3-32
2.6.3 Beliebiges Kraftfeld
a
F
m
F  F (t )
F  F (t )
dv
 a  dv  a  dt
dt
dv F

dt m

 dv 
F
 dt
m
Also
t
F
v (t )   dt '  c1
m
0
Allgemeine
Bewegungsgleichung
in einem beliebigen
Kraftfeld:
r (t )   v (t ' )dt '
t F  ' t
r (t )     dt  dt   c1dt '  c2
0 
0
 0 m 
t
t
0
'
F und m können
zeitabhängig sein
F
 const. und Anfangsbedingungen v0 , r0
m
1
 r (t )  ma 2  v0t  r0
2
Wenn a 
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3-33