Aufgaben DREIECKE

Übungsbeispiele
Dreiecke
Mag. Thomas Höfferer
Aufgaben
DREIECKE
Fläche von Dreiecken:
D 1. Gegeben sind die drei Seiten eines allgemeinen Dreiecks. Bestimme die Fläche und die
drei Höhen der einzelnen Dreiecke.
a
13
21
21
a.)
b.)
c.)
b
14
28
85
c
15
35
104
A
ha
hb
hc
Ähnliche Dreiecke:
D 2. Zwei ähnliche Dreiecke haben die Seiten a, b, c bzw. d, e, f. Dabei entsprechen
einander a und d. b und e sowie c und f. Ergänze die folgende Tabelle:
a.)
b.)
c.)
a
8
8
4
b
10
12
c
14
14
d
3
e
f
3
35
6
D 3. Ein Leitungsmast wirft einen Schatten von 6,0 m
Länge. Wie hoch ist er, wenn daneben eine
senkrecht stehende 2 m lange Stange einen Schatten
von 1,5 m wirft?
a:d
2:3
b:e
c:f
h
2m
1,5 m
6m
D 4. Wie hoch ist ein Turm, der einen Schatten von 25 m
Länge wirft, wenn die Schattenlänge einer 2 m
langen Messlatte 0,8 m beträgt?
h
2m
0,8 m
25 m
D 5. Im Gelände soll eine gerade Linie g
zwischen zwei Punkten A und B,
zwischen denen ein Haus liegt,
ausgesteckt werden. Dazu wird eine
weitere gerade Linie h am Haus
vorbeigeführt. Bestimme die Lage der
Punkte C und D auf g durch Berechnung
ihrer Normalabstände x und y von h.
B g
D
C
Haus
2m
y
x
A
2m
2m
h
2m
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Übungsbeispiele
Dreiecke
Mag. Thomas Höfferer
D 6. Von einem Dreieck sind die Seitenlängen a =7 cm, b = 4 cm und der Umfang u =19
cm gegeben. Man bestimme den Umfang jenes dazu ähnlichen Dreiecks, dass durch
die Seitenlänge a.) a’ = 3 cm b) c’ = 2,625 cm festgelegt ist!
D 7. Von einem Dreieck sind die Seitenlänge a = 4 cm und die Höhe ha = 3 cm gegeben.
Die Fläche des dazu ähnlichen Dreiecks mit dem Bestimmungsstück a.) a’ = 6 cm
b.) ha’ =15 cm ist zu berechnen.
Rechtwinkelige Dreiecke:
D 8. Gegeben sind rechtwinkelige Dreiecke. Bestimme die fehlenden Längen (Maße in cm
bzw cm2):
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
f.)
g.)
h.)
i.)
j.)
k.)
l.)
m.)
n.)
a
3
5
6
4
b
4
c
h
p
q
A
13
4,8
3,2
70
66,216
18
720
990
99
32,612
4
6
69,753
10
10
8
4
4
5
5
3
3
4
D 9. Gegeben sind gleichschenkelige Dreiecke. Bestimme die fehlenden Längen (Maße in
cm bzw. cm2):
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
f.)
g.)
h.)
a
6
32,5
c
4
ha
hc
A
u
31,5
4
6
8
12
8
22
20
6
202,42
22,703
20748
35
D 10.Gegeben sind gleichseitige Dreiecke. Bestimme die fehlenden Längen (Maße in cm
bzw. cm2):
a.)
b.)
c.)
a
6
h
A
2,5
30
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Übungsbeispiele
Dreiecke
Mag. Thomas Höfferer
D 11.Von einem kreisförmigen Baumstamm mit Durchmesser 30 cm soll
a.) ein quadratischer Balken der Seite a,
b.) ein rechteckiger Balken mit einem Seitenverhältnis a : b = 5 : 7 geschnitten werden.
Berechne jeweils die Seitenlängen.
D 12.Aus einem Blechstück, das die Form eines gleichschenklig-rechtwinkeligen Dreiecks
mit der Hypotenuse c = 12,0 cm besitzt, soll eine möglichst große Kreisscheibe heraus
geschnitten werden. Wie groß ist ihr Durchmesser?
a
D 13. Berechne die Stablängen x und y des Krangerüstes in, wenn a =
2,00 m ist.
D 14.Von dem dargestellten Dachbinder ist s = 15,00 m
und h = 4,00 m. Berechne a, b und c.
a x
y
a/2
a
h
b
c
s
a3
D 15.Berechne die unbekannten Längen (Maße in m).
3,6
a2
a7
a5 a6
3
3
3
D 16.Berechne die Länge der senkrechten Verbindungen x
und y (Maße in m).
4
6
D 17.Eine Welle mit dem Durchmesser d = 100 mm wird
um
h = 6 mm abgeflacht. Berechne das Maß x.
4
y
x
a1
a4
6
4
h
x
d
x
D 18.Welche Länge x muss ein Werkstück mit einem
Sägeblatt vom Durchmesser d = 150 mm angeschnitten
werden, bis erstmals eine gewünschte Schnitttiefe h =
30 mm erreicht wird? Entwickle zuerst eine Formel für
x und rechne danach speziell.
d
h
D 19.Ein Rohr vom Durchmesser d = 100 mm enthält drei
Kabelleitungen. Welchen Wert x darf ihr Durchmesser höchstens
erreichen? Führe die Rechnung zuerst allgemein!
d
x
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Übungsbeispiele
Dreiecke
Mag. Thomas Höfferer
D 20.Berechne die Höhe H eines zweilagigen
Stapels von Rohren mit Durchmesser
d = 40,0 cm. Führe die Rechnung zuerst
allgemein. Wie lautet die allgemeine Formel
für die Höhe H, wenn der Stapel aus n Lagen
besteht?
H
d
D 21.Ein Garagenschwingtor beruht auf einer
Dreiecksmechanik. Seine Länge DE ist 2,20 m, weiters
ist AB = BD = BC = 55 cm. C gleitet vertikal, in A und
B sind drehbare Verbindungen. Wie hoch über dem
Boden liegen D und E, wenn das Garagentor um 30°
gegenüber der Horizontalen geneigt ist? Welche
Bahnkurve beschreibt der Punkt D?
A
D
B
C
x
E
D 22.Berechne das Maß e und die Fläche des Blechstückes allgemein und dann für a = 8 mm, b - 138 mm
und h = 85 mm.
y
b
h
a
e
a
D 23.Drücke die Größe r durch eine Formel in Abhängigkeit
von R aus.
r
R
D 24.Drücke den Radius x des gotischen Spitzbogens
formelmäßig in Abhängigkeit von r aus.
x
r
r
Trigonometrie des rechtwinkeligen Dreiecks
D 25.Gegeben sind rechtwinkelige Dreiecke. Bestimme die fehlenden Längen (Maße in cm
bzw. cm2):
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
f.)
g.)
h.)
a
84
91
96
b
80
c


A
109
41,1°
182
56,6°
119
173
17,5°
36,9°
39,3°
7140
20
14406
11970
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Übungsbeispiele
Dreiecke
Mag. Thomas Höfferer
D 26.Ein 8 m hoher Fahnenmast wirft auf ebenen Gelände einen Schatten von 12,5 m.
Berechne den Höhenwinkel der Sonne (Neigungswinkel der Sonnenstrahlen zur
Horizontalen).
D 27.Ein Ballon ist mit einem 300 m langen Seil mit dem Erdboden verbunden. In welcher
Höhe befindet sich der Ballon, wenn windbedingt das Seil einen Winkel von 70° mit
dem Erdboden bildet?
D 28.Um die Höhe eines Mastes auf ebenem Gelände zu
bestimmen, misst man in einem Punkt A den
Höhenwinkel  = 23,4°. Danach bewegt man sich 5,0 m
in gerader Linie auf den Masten zu und misst dort (Punkt
B) den Höhenwinkel  =31,8°. Berechne die Masthöhe.
D 29.Die Skizze zeigt den Lichtdurchgang durch eine
Glasplatte der Dicke d = 28 mm. Berechne die
seitliche Versetzung s des Lichtstrahles, wenn  =
58° und  =32° ist.
α
β
A
B
α
d
s

D 30.Auf einem Berggipfel steht ein h = 75 m hoher
Sendemast. Von einem Ort A im Tal sieht man den
Fußpunkt des Mastes unter dem Höhenwinkel α = 17,7°,
die Spitze unter dem Höhenwinkel β = 24,3°. Wie hoch ist
der Berg? Berechne auch die horizontale Distanz d
zwischen A und dem Berggipfel.
h
x
A

α
D 31.Das Innsbrucker Rathhaus (20,1 m hoch) erscheint unter dem Höhenwinkel 38,2°. Um
welche Strecke muss man sich ihm nähern, damit es unter dem doppelten Höhenwinkel
zu sehen ist?
D 32.Von einem Berggipfel C sieht man zwei Punkte A und B im ebenen Flachland in
derselben Richtung unter den Tiefenwinkeln Α = 12,7° und  = 36,5°. Die Punkte A
und B liegen 1940 m voneinander entfernt. Wie hoch liegt der Berggipfel über der
Ebene?
D 33.Für den Bau einer Brücke muss die Flussbreite ermittelt werden. Dafür wird auf dem
einen Flussufer eine Standlinie AB =75 m gemessen, ein Punkt P des gegenüber
liegenden Ufers anvisiert und die horizontalen Winkel α = ∢ BAP = 54° und
 = ∢ ABP = 15° bestimmt.
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