Grundlagen der Mathematik: 15. Geometrische Konstruktion

Skript
Mathematik für Sek I und Sek II
Grundlagen der Mathematik
15. Geometrische Konstruktion
10:12 Minuten
00:25 Als den Alten Ägyptern aufgetragen wurde, das landwirtschaftliche Gebiet um den Nil herum zu vermessen, verwendeten sie eine
Reihe von Werkzeugen. Seile, Stangen und Massstäbe. Ihre Berechnungen und Messungen waren sehr genau und ihr Können in der damaligen Zeit unübertroffen.
00:43 Dank ihrer Fertigkeit im Vermessen konnten sie auch die Pyramiden errichten.
00:59 Im Bereich der Geometrie waren aber die Alten Griechen führend.
01:06 Die Griechen übernahmen die Vermessungstechniken der Ägypter und erforschten die Struktur von Diagrammen als wissenschaftliche
Disziplin.
01:17 Das Zeichnen von Diagrammen mit Kreisen und Geraden war
ein interessanter Zeitvertreib und eine akademische Übung, die den
griechischen Gelehrten Vergnügen bereitete.
01:27 Sie benutzten dafür einen Massstab ohne Beschriftung und einen faltbaren Zirkel.
01:42 Die Griechen glaubten, dass das Erforschen des Wesens von
Diagrammen unter Verwendung einfacher Geräte wichtiger ist als das
Messen ihrer tatsächlichen Länge.
01:56 „Das Verwenden anspruchsvollerer und komplexerer Geräte ist
für einen Philosophen wie mich unwürdige Handarbeit.“
02:09 Euklid war sozusagen der Vater der griechischen Geometrie.
Sein Buch Elemente enthält fünf elementare Regeln. Die fünf Postulate
der Euklidischen Geometrie. Drei davon beziehen sich auf die geometrische Konstruktion.
02:22 1. Eine Gerade kann von jedem zu jedem Punkt gezeichnet
werden.
02:32 2. Eine Gerade kann beliebig verlängert werden.
02:40 3. Ein Kreis kann mit einem beliebigen Mittelpunkt und einem
beliebigen Radius gezeichnet werden.
03:02 Zeit für einige Konstruktionen gemäss diesen Regeln.
03:08 1. Das Konstruieren einer lotrechten Gerade im Mittelpunkt einer
Strecke.
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Grundlagen der Mathematik: 15. Geometrische Konstruktion
03:16 Zeichne zwei gleiche Kreise mit dem Mittelpunkten A und B. Die
Kreise überschneiden sich an zwei Punkten. Die Gerade, die diese
zwei Punkte verbindet ist das Lot im Mittelpunkt AB.
03:34 2. Das Konstruieren einer Winkelhalbierenden.
03:39 Eine Winkelhalbierende schneidet Winkel entzwei.
03:42 Zuerst zeichnest du einen Kreis mit dem Mittelpunkt O an der
Stelle, wo sich die Geraden X und Y schneiden. Dieser Kreis schneidet
X und Y in den Punkten A und B. Mit den Punkten A und B als Mittepunkte zeichnest du nun zwei Bögen mit dem gleichen Radius. Diese
Bögen schneiden sich im Punkt P. Wenn du die Punkte O und P mit
einer Geraden verbindest, erhältst du die Winkelhalbierende des Winkels XOY.
04:12 Weiter geht es mit der Konstruktion von zwei gleichen Winkeln.
04:22 Um zwei gleiche Winkel zu konstruieren, musst du zuerst einen
Teil eines Kreises mit dem Mittelpunkt O und dann einen Teil eines
anderen Kreises mit dem gleichen Radius und dem Mittelpunkt P
zeichnen. Bestimme nun die Distanz zwischen den Punkten A und B
im Winkel XOY. Mit dieser Distanz kannst du einen Teil eines Kreises
mit dem Mittelpunkt C zeichnen. Das Ergebnis ist Punkt D.
04:46 Wenn du P und D verbindest erhältst du einen zweiten gleichen
Winkel.
04:56 Unter Verwendung dieser Methode kann man komplexe Diagramme konstruieren.
05:01 Reguläres Dreieck
05:12 Reguläres Sechseck
05:25 Umkreismittelpunkt eines Dreiecks
05:37 Reguläres, in einen Kreis eingeschriebenes Fünfeck
06:08 Und das alle nur mit einem Zirkel und Lineal.
06:24 In der griechischen Geometrie gab es aber auch drei ungelöste
Diagramme.
06:34 1.Kann man einen Kubus mit dem doppelten Volumen eines
beliebigen anderen Kubus erzeugen?
06:48 2.Kann man einen beliebigen Winkel gleichmässig durch drei
teilen?
07:00 3.Kann man ein Quadrat mit der gleichen Fläche wie der eines
Kreises erzeugen?
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07:11 Diese drei Fragen bereiteten Mathematikern für beinahe zweitausend Jahre Kopfzerbrechen. Die Antworten wurden erst im neunzehnten Jahrhundert gefunden.
07:29 Dank vieler mathematischer Interpretationen kam man zum
Schluss, dass man diese drei Aufgaben nicht unter Verwendung der
traditionellen griechischen Konstruktionsgeometrie lösen konnte.
07:47 Selbst ohne markierte Strichteilung konnten die alten Griechen
grossartige geometrische Figuren erstellen. Etwa die Ellipse, die Parabel, die Hyperbel, die kubische Kurve oder die quadratische Kurve.
08:17 Der moderne Mensch verwendet nur selten die antike griechische Konstruktionsgeometrie.
08:25 Aber die griechische Geometrie hat zweifelsohne wichtige Beiträge in etlichen Gebieten geleistet. Etwa in der modernen Architektur
und in der Malerei.
08:39 Fast jedes berühmten Bauwerk und jede berühmte Skulptur
wurde mit Hilfe des goldenen Schnittes entworfen.
08:45 Die antiken Griechen benutzten einen genauen goldenen Schnitt
unter Verwendung geometrischer Konstruktionsmethoden.
08:54 Der französische Mathematiker Gaspard Monge konnte dreidimensionale Objekte dadurch in zwei Dimensionen darstellen.
09:08 Diese Methode nannte man darstellende Geometrie und sie ist
heute ein wichtiger Bestandteil bautechnischer Entwürfe und Planung.
09:35 Einfachen Mittel und hartnäckige Prinzipien…
09:41 …haben in hohem Masse zur menschlichen Geschichte und
Zivilisation beigetragen.
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