Prof. S. Krauter Ähnlichkeitsgeometrie. WS 05-06

Prof. S. Krauter
Ähnlichkeitsgeometrie. WS 05-06.
Blatt01.doc
1. Beim maßstäblichen Vergrößern oder Verkleinern von Figuren mit dem
Längenänderungsfaktor k ändern sich verschiedene Maßeigenschaften in
unterschiedlicher Weise. Wie ändern sich dabei
Winkelgrößen bzw. Längen
bzw. Flächeninhalte
bzw. Rauminhalte?
2. a) Sie wollen mit einem Kopiergerät zwei Blätter vom Format DIN A4 auf ein
einziges solches Blatt verkleinert zusammenkopieren. Welchen Längenfaktor k
müssen Sie wählen? Probieren Sie dies am Kopiergerät aus.
b) Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Blattes, wenn man es mit dem Maßstab
2
1
=
k=
= 0,707 ≈ 71 % verkleinert? Probieren Sie dies am Kopierer aus.
2
2
c) Wie verändert sich der Flächeninhalt eines Blattes, wenn man es mit dem
Maßstab k = 2 = 1,414 ≈ 141 % vergrößert? Probieren Sie dies am Kopierer aus.
d) Die folgenden Werte sollten Sie sich – auch fürs tägliche Leben – merken. Für
Mathematiklehrer sind sie ein professionelles Muss:
2 =
2
2
( 2 )² = 2 ≈ 1,4²
0,7² ≈ 0,5
1
= 1,414 ≈ 141 %
2
( 14*14=196 )
=
2
= 0,707 ≈ 71 %
2
2
⎛ 2⎞
1
⎟ =
)² = ⎜⎜
(
≈ 0,7²
⎟
2
2
⎝ 2 ⎠
1
1,4² ≈ 2
( 7*7=49 )
0,7 * 1,4 ≈ 1 (7*14=98).
3. Der Flächeninhalt eines Rechtecks soll bei maßstäblicher Veränderung
a) verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht, ...
b) halbiert, gedrittelt, geviertelt, ...
werden. Welchen Maßstabsfaktor (für die Längen) muss man wählen?
4. Beweisen Sie mit Hilfe der Sätze über Winkel an Parallelen und der Kongruenzsätze
für Dreiecke folgenden
C
Satz von der Mittelparallele im Dreieck:
„Die Verbindungsstrecke zweier
Seitenmitten eines Dreiecks ist parallel zur
dritten Seite und halb so lang wie diese.“
Hinweis:
Zeigen Sie zuerst, dass die Parallelen zu AB
und zu AC durch die Mitte D von BC die
beiden Dreiecksseiten AC und AB halbieren.
E
A
D
F
B
5. a) Formulieren Sie die Umkehrung des 1. sowie des 2. Strahlensatzes.
b) Beweisen oder widerlegen Sie die Gültigkeit jeder dieser beiden Umkehrungen.
6. Folgende Behauptungen beziehen sich auf die nachstehende Zeichnung, in der die
drei parallel erscheinenden Geraden auch wirklich parallel sind.
Geben Sie für jede der folgenden
Aussagen an, ob sie wahr oder falsch
ist. Begründen Sie Ihre Angaben.
a m
=
c
o
a)
c)
e)
d)
f
e
=
b a
f)
j
j
g+i
=
k a+b
b)
k n
=
j
o
i
m
g
f
c d
=
b f
e
l
k
c
n
d
a
g
i
=
a b
b
o
h
7. Gegeben sind Strecken der Längen a und b. Konstruieren Sie allein mit Hilfe von
Zirkel und Lineal aus den gegebenen Strecken solche mit folgenden Längen:
a) a + b
c) a i b
b) a – b
d) a : b
8. Gegeben ist ein Koordinatensystem mit
Ursprung U. Die Einheit auf der x-Achse
misst 5 cm und auf der y-Achse 2 cm.
Die Strecke AB mit A(0; 0) und B(1; 0)
wird von jedem Punkt auf der x-Achse in
einem bestimmten Verhältnis innen bzw.
außen geteilt.
e) 1 : a
f)
a
y
1
UA
1 B
x
-1
Geben Sie in einer Wertetabelle für
Punkte T(x; 0) auf der Geraden AB jeweils das zugehörige Teilverhältnis
y = TV(AB, T) an und zeichnen Sie ein Schaubild für diese Teilverhältnisfunktion.
x
-2
-1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
2
3
4
TV(AB, T)
Wie lautet die Gleichung dieser Teilverhältnisfunktion?
9. Gegeben ist ein Dreieck ABC mit der Winkelhalbierenden g des Winkels γ.
Spiegeln Sie das Dreieck an dieser Winkelhalbierenden und beweisen Sie nun den
Winkelhalbierendensatz für Dreiecke:
C
Die Winkelhalbierende eines Dreiecks teilt die
Gegenseite im Verhältnis der anliegenden
Seiten: AD : DB = AC : BC.
g
A
D
B