Lösungsskizzen zu Blatt 9 - Fachbereich Mathematik

Universität Hamburg
Fachbereich Mathematik
Winter 2016/17
Janko Latschev
Grundlagen der Mathematik
Übungsblatt 9
Präsenzaufgaben
(P16) Symmetrien des Quadrats
D
C
s4
A
s1
B
s2
s3
Wir betrachten in dieser Aufgabe ein Quadrat und seine Symmetrien.
a) Beschreiben Sie alle 8 Symmetrien des Quadrats, d.h. alle Abbildungen, welche
das Quadrat wieder auf sich selbst abbilden.
Ein Quadrat hat die folgenden 8 Symmetrien:
• die Identität e sowie die Drehungen d1 , d2 und d3 um 90◦ , 180◦ und 270◦ (jeweils
in mathematisch positiver Richtung, also gegen den Uhrzeigersinn), und
• 4 Spiegelungen an den in der Skizze eingezeichneten Geraden, welche wir mit
s1 bis s4 bezeichnen wollen.
b) Stellen Sie eine Tabelle auf, die für jedes Paar dieser Symmetrien deren Verknüpfung (in der entsprechenden Reihenfolge) beschreibt.
Die folgende Tabelle beschreibt die jeweiligen Verknüpfungen a ◦ b, wobei a die
Zeile und b die Spalte beschreibt. Da wir jeweils die Wirkung der Abbildung a ◦
b beschreiben, erhalten wir das Ergebnis, indem wir auf das Quadrat Q erst b
und dann a anwenden, und die so erhaltene Abbildung in unserer Liste aus a)
identifizieren. Dabei genügt es, die Wirkung auf den Ecken zu betrachten.
Bitte wenden!
e
d1
d2
d3
s1
s2
s3
s4
e
e
d1
d2
d3
s1
s2
s3
s4
d1
d1
d2
d3
e
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s1
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d3
e
d1
d2
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s1
s1
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e
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d2
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s2
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s1
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d2
d3
e
d1
s4
s4
s1
s2
s3
d1
d2
d3
e
c) Man kann nachprüfen, dass diese Symmetrien eine Halbgruppe bilden. Bilden sie
auch eine Gruppe?
Aus der Tabelle sieht man leicht, dass jedes Element der Halbgruppe ein inverses
Element besitzt: e, d2 , und die Spiegelungen si sind zu sich selbst invers, und d1
ist invers zu d3 . Also ist die Halbgruppe eine Gruppe.
d) Ist diese Halbgruppe/Gruppe kommutativ?
Die Gruppe der Symmetrien des Quadrats ist nicht kommutativ, denn es gilt zum
Beispiel d1 ◦ s1 = s2 , aber s1 ◦ d1 = s4 .
Die Drehungen bilden aber zum Beispiel eine kommutative Untergruppe.
(P17) Äquivalenzrelationen im Alltag
Geben Sie zwei eigene Beispiele, wie und wo Äquivalenzrelationen im Alltag vorkommen. Was ist jeweils die zugrundeliegende Menge? Wie ist die Relation definiert? Was
sind die Äquivalenzklassen?
Hier einige Beispiele für Äquivalenzrelationen aus dem Alltag:
• Die Schülerinnen und Schüler einer Schule (Grundmenge) werden in verschiedene Klassen eingeteilt (Äquivalenzklassen), d.h. zwei SchülerInnen sind äquivalent,
wenn sie in dieselbe Klasse gehen.
• Die in Hamburg gemeldeten Autos (Grundmenge) können wir nach Herstellern unterscheiden, d.h. zwei Autos nennen wir äquivalent, wenn sie vom selben Hersteller
gebaut wurden.
• Wohnzimmermöbel (Grundmenge: alle momentan (in Deutschland?) benutzten
Wohnzimmermöbel) kann man nach Funktion klassifizieren: z.B. Stühle, Tische,
Schränke, Regale, Lampen (Äquivalenzklassen). Die genaue Wahl der verschiedenen Kategorien hängt vom Ziel der Klassifizierung ab. Um wirklich alle Möglichkeiten abzudecken, sollte man hier noch eine Äquivalenzklasse “andere” einführen,
für alles, was sich nicht in eine der genannten Gruppen einsortieren lässt.
Siehe nächstes Blatt!
Übungsaufgaben mit Abgabetermin Mo, 17.12.16, zu Beginn der Vorlesung
(A23) Bruchrechnung
(4 Punkte)
Stimmt die folgende Aussage? Finden Sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel:
Für alle a, b, c, d ∈
N mit ab < dc gilt
a
a+c
c
<
< .
b
b+d
d
Hinweis: Schreiben Sie als erstes die Bedingung
chung zwischen natürlichen Zahlen um.
a
b
<
c
d
zu einer äquivalenten Unglei-
Beweis: Nach Voraussetzung gilt ad < bc, so dass a(b+d) = ab+ad < ab+bc = b(a+c),
und somit ab < a+c
b+d . Analog gilt d(a + c) = ad + cd < bc + cd = c(b + d), und somit
c
a+c
b+d < d .
(A24) Verknüpfung von Abbildungen nicht kommutativ
(3 Punkte)
Zeigen Sie an einem selbstgewählten Beispiel, dass die Halbgruppe (Abb(X, X), ◦) der
Abbildungen X → X mit der Verknüpfung als Operation für eine Menge X mit mindestens 2 Elementen nicht kommutativ ist.
Sei X eine beliebige Menge mit mindestens zwei Elementen. Wir wählen 2 Elemente aus
X aus und nennen sie a und b. Nun betrachten wir die beiden konstanten Abbildungen
f : X → X, definiert als f (x) = a, sowie g : X → X, definiert als g(x) = b. Dann gilt
f ◦ g = f , aber g ◦ f = g, und f 6= g.
(A25) Noch eine Äquivalenzrelation
Auf
(3+2 Punkte)
N0 × N0 betrachten wir folgende Relation:
(a, b) ∼ (a0 , b0 )
: ⇐⇒
a) Zeigen Sie, dass diese Relation auf
a + b0 = a0 + b.
N0 × N0 eine Äquivalenzrelation ist.
Reflexivität und Symmetrie sind trivial. Für die Transitivität argumentieren wir
wie folgt: Sind (a, b), (a0 , b0 ) und (a00 , b00 ) drei Paare natürlicher Zahlen mit (a, b) ∼
(a0 b0 ) und (a0 , b0 ) ∼ (a00 , b00 ), so gilt also
a + b0 = a0 + b
und
a0 + b00 = a00 + b0 .
Addieren wir zur ersten Gleichung b00 und zur zweiten Gleichung b, so erhalten wir
die neuen Gleichungen
a + b0 + b00 = a0 + b + b00
und
a0 + b + b00 = a00 + b0 + b,
Bitte wenden!
also auch
a + b0 + b00 = a00 + b0 + b.
Mit der Kürzungsregel für die Addition der natürlichen Zahlen aus Aufgabe (P10)
d) folgt nun auch a + b00 = a00 + b, d.h. (a, b) ∼ (a00 , b00 ).
b) Beschreiben Sie die Äquivalenzklassen von (0, 0) und von (1, 0).
Es gilt
[(0, 0)] = {(k, k) | k ∈
N0} ⊂ N0 × N0
und
[(1, 0)] = {(k + 1, k) | k ∈
N0} ⊂ N0 × N0
(A26) Heiteres Zahlenraten
(2+3+3 Punkte)
In der allerersten Vorlesung hatten wir ein Spiel wie das folgende gespielt:
• Man denke sich eine beliebige Zahl, und multipliziere diese mit 6.
• Zum Ergebnis addiere man 4.
• Dieses Ergebnis multipliziere man mit 2.
• Zu diesem Ergebnis addiere man 100.
• Das Resultat multipliziere man mit 3.
• Nun bilde man so oft die Quersumme, bis das Ergebnis einstellig ist.
• Die so erhaltene Zahl multipliziere man mit 5.
• Wenn man nun vom Ergebnis 3 subtrahiert, so erhält man 42.
a) Stellen Sie eine Formel für das Ergebnis der ersten 5 beschriebenen Schritte auf.
Bezeichnen wir die Anfangszahl mit x, so lautet die Formel
3 · (2 · (6x + 4) + 100) = 36x + 324.
b) Begründen Sie, warum das Ergebnis der Rechnung immer 42 lautet, egal mit welcher Zahl man startet.
Die Koeffizienten des in a) gefundenen Ausdrucks sind beide durch 9 teilbar, so dass
der Ausdruck für alle Anfangszahlen x durch 9 teilbar ist. Nach Aufgabe (A21) c)
sind dann auch die Quersummen, die nun gebildet werden, alle durch 9 teilbar. Da
wir am Schluss des sechsten Schrittes ein einstelliges Ergebnis haben, muss diese
Zahl 9 lauten. Die übrigen Rechnungen liefern dann das Ergebnis 5 · 9 − 3 = 42.
Siehe nächstes Blatt!
c) Beweisen Sie, dass man vor dem sechsten Schritt an beliebiger Stelle die Operation
“Quersumme bilden” einfügen darf, ohne dass sich am Resultat etwas ändert.
Die Teilbarkeitsregel von Aufgabe (A21) c) kann man etwas verschärfen, es gilt
nämlich:
Behauptung: Der Rest bei Division durch 3 oder 9 ändert sich nicht, wenn man
von einer Zahl zu ihrer Quersumme übergeht.
Eventuell haben Sie dies in Ihrer Lösung von Aufgabe (A21) c) bereits im Wesentlichen mitbewiesen: In der Lösungsskizze haben wir jedenfalls argumentiert,
dass die Differenz x − Q(x) einer natürlichen Zahl und ihrer Quersumme durch 9
teilbar ist. Das heißt aber, dass
x = Q(x) + 9k
N
für ein k ∈ . Ist nun Q(x) = 9q + r, so folgt x = 9q + r + 9k = 9(q + k) + r, so
dass x und Q(x) bei Division durch 9 denselben Rest lassen.
Für unsere Frage bedeutet dies Folgendes: Wenn wir an einer beliebigen Stelle vor
dem sechsten Schritt des Verfahrens die Operation “Quersumme bilden” einfügen,
ändert sich der Rest bei Division durch 9 nicht. Insbesondere sind wir dann wie
oben vor dem ursprünglichen sechsten Schritt wieder bei einer Zahl angekommen,
welche durch 9 teilbar ist, und der Rest des Verfahrens funktioniert wie vorher.