Kapitel 2 – Algebra

Kapitel 2
Algebra und Arithmetik
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 1
Kapitel 2: Algebra
Inhalt
2.1 Zahlbereiche
N, Z, Q, R
2.2 Terme und (Un-) Gleichungen
Lineare und quadratische Gleichungen, Nullstellen von Polynomen
und gebrochenrationalen Funktionen, Ungleichungen
2.3 Lineare Gleichungssysteme
Verfahren (insb. Gauß-Algorithmus) und Anwendungen
2.4 Spezielle Funktionen
Potenzen und Wurzeln, Exponentialfunktion und Logarithmen,
Winkelfunktionen, …
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 2
Kapitel 2: Algebra
Seite 1
1
2.1 Zahlbereiche
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 3
Kapitel 2: Algebra
Zahlbereiche
Man nennt die Mengen N, Z, Q, R zusammen mit ihren Operationen
(+, –, ∙, .) Zahlbereiche. Es handelt sich um Erweiterungen in dem
Sinne, dass
- die Mengen ineinander enthalten sind (N  Z  Q  R),
- die Operationen sich fortsetzen, und
- jeweils neue Operationen hinzukommen.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 4
Kapitel 2: Algebra
Seite 2
2
2.1.1 Die natürlichen Zahlen N
Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen
0, 1, 2, 3, 4 ...;
die Menge der natürlichen Zahlen wird mit N bezeichnet.
Nach DIN-Norm 5473 gehört die Null zu den natürlichen Zahlen!
Zur Bedeutung der natürlichen Zahlen schreibt L. Kronecker (1823 1891): „Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere
ist Menschenwerk.“
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 5
Kapitel 2: Algebra
Primzahlen
Seien a und b natürliche Zahlen. Wir sagen “a teilt b”
(geschrieben a  b), falls es eine natürliche Zahl z gibt mit b = za.
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl > 1, die als natürliche Teiler nur
1 und sich selbst hat.
Anders ausgedrückt: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl,
die genau (nur!) zwei positive Teiler hat.
Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...
Die größte heute bekannte Primzahl ist 220.996.011 – 1, eine Zahl mit
6.320.430 Dezimalstellen.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 6
Kapitel 2: Algebra
Seite 3
3
Das Sieb des Eratosthenes
Wie findet man Primzahlen? Schwieriges Problem! Bis heute kennt
man keine Formel für Primzahlen!
Das Sieb des Eratosthenes (Eratosthenes von Kyrene 284 - 200 v.
Chr.).
Um alle Primzahlen  n zu finden, geht man wie folgt vor:
1.Schreibe die Zahlen 2, 3, ..., n auf.
2. Die erste Zahl ist eine Primzahl. Streiche alle Vielfachen dieser
Zahl!
3. Die erste freie Zahl ist die nächste Primzahl. Streiche alle
Vielfachen dieser Zahl.
Usw.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 7
Kapitel 2: Algebra
Aufgabe
Bestimmen Sie mit dem Sieb des Eratosthenes alle Primzahlen unter
100.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 8
Kapitel 2: Algebra
Seite 4
4
Darstellung einer nat. Zahl durch Primzahlpotenzen
Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie.
Für jede natürliche Zahl n  2 gibt es eindeutig bestimmte
Primzahlen p1, p2, ..., pr und eindeutig bestimmte positive ganze
Zahlen e1, e2, ..., er, so dass gilt:
n = p1e1p2e2...prer.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 9
Kapitel 2: Algebra
Faktorisierungsweltrekord (2003)
18819.881292.060796.383869.723946.165043.980716.356337.
941738.270076.335642.298885.9715234.665485.319060.606504.
743045.317388.011303.396716.199692.321205.734031.879550.
656996.221305.168759.307650.257059
=
3980.750864.24064.937397.125500.550386.491199.064362.
342526.708406.385189.575946.388957.261768.583317
×
472.772146.107435.302536.223071.973048.224632.914695.
302097.116459.852171.130520.711256.363590.397527
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 10
Kapitel 2: Algebra
Seite 5
5
Unendlichkeit der Primzahlen
Satz (Euklid). Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Mit anderen Worten: Die Folge der Primzahlen bricht nie ab.
Nochmals anders gesagt: Es gibt keine größte Primzahl!
Zu jeder vorgegebenen Grenze gibt es immer noch eine Primzahl,
die größer als diese Grenze ist!
Beweis. Der Beweis erfolgt durch Widerspruch.
Wir nehmen an, dass die Aussage des Satzes falsch ist, dass es
also nur endlich viele, sagen wir s, Primzahlen gibt. Man kann also
prinzipiell die Folge der s Primzahlen hinschreiben: p1 (= 2), p2 (=
3), p3, ..., ps; die Zahl ps wäre also die größte Primzahl.
Diese Annahme müssen wir zu einem Widerspruch führen.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 11
Kapitel 2: Algebra
Euklids Trick
Wir betrachten die Zahl n = p1p2...ps + 1.
Da n nach Annahme keine Primzahl sein kann, wird n durch eine
der Primzahlen p1, p2, ..., ps geteilt (weil es keine anderen
Primzahlen gibt)! Also gibt es ein solches pi, das n teilt:
pi  n = p1p2...ps + 1.
Ferner teilt pi auch das Produkt p1p2...ps. Das heißt:
pi  p1p2...ps.
Dann teilt pi auch die Differenz dieser beiden Zahlen:
pi  p1p2...ps + 1 – (p1p2...ps) = 1.
Also müßte die Primzahl pi die Zahl 1 teilen: Widerspruch! 
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 12
Kapitel 2: Algebra
Seite 6
6
2.1.2 Die ganzen Zahlen Z
Die natürlichen Zahlen N sind abgeschlossen bzgl. Summenbildung.
D.h. für je zwei natürliche Zahlen n, m ist auch die Summe n + m
immer eine natürliche Zahl.
Die Differenz zweier natürlicher Zahlen muss jedoch keine natürliche
Zahl sein (z.B. 3 - 5  N). Um eine Menge zu erhalten, die auch bzgl.
Differenzbildung abgeschlossen ist, müssen wir N erweitern.
Wir definieren die Menge der ganzen Zahlen wie folgt:
Z := N  { -n | n  N }.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 13
Kapitel 2: Algebra
Rechengesetze in Z
Um mit den ganzen Zahlen rechnen zu können, müssen wir auf der
Menge Z noch Rechenregeln definieren.
Wir definieren (wie üblich) für n, m  N:
(-n) + (-m) = - (n + m)
(-n)  (-m) = n  m („minus mal minus gibt plus“)
usw.
Warum definieren wir die Rechenregeln gerade so?
Mit diesen Regeln gelten die üblichen Gesetze: Kommutativgesetz,
Assoziativgesetz, Distributivgesetz, ... („Permanenzprinzip“)
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 14
Kapitel 2: Algebra
Seite 7
7
2.1.3 Die rationalen Zahlen Q
Der Quotient zweier ganzer Zahlen ist i. A. keine ganze Zahl. Man kann
also i. A. nicht (ohne Rest) dividieren. Die Menge Z der ganzen Zahlen
ist nicht abgeschlossen bzgl. der Division.
Man erhält die rationalen Zahlen, indem man fordert, dass die Division
abgeschlossen sein soll, d.h. dass jede Zahl ≠ 0 ein multiplikatives
Inverses haben soll.
Die Menge der rationalen Zahlen besteht aus den Bruchzahlen.
(Achtung: 1/2 und 2/4 sind verschiedene Brüche, stellen aber die
gleiche Bruchzahl dar.)
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 15
Kapitel 2: Algebra
Bruchrechnung
p
heißt p Zähler und q Nenner.
q
p
a p
Für jede ganze Zahl a  0 stellen die Brüche q und a  q dieselbe
rationale Zahl dar. Das bedeutet: Erweitern und Kürzen mit einer
ganzen Zahl  0 ändert den Wert eines Bruches nicht.
Bei einem Bruch
p1
p2
Seien q und q zwei rationale Zahlen. Wir definieren ihre Summe
1
2
durch p  q  p  q
1
2
2
1
.
q1  q2
p1 p 2 p1  p 2


.
Wir definieren ihr Produkt durch
q1 q 2 q1  q 2
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 16
Kapitel 2: Algebra
Seite 8
8
Der Körper der rationalen Zahlen
Definition: Eine Menge K mit + und  bildet einen Körper, wenn
– die beiden Operationen assoziativ und kommutativ sind,
– es ein neutrales Element 0 bzgl. der Addition und ein neutrales
Element 1  0 bezüglich der Multiplikation gibt,
– jedes Element ein additives Inverses und jedes von 0
verschiedene Element ein multiplikatives Inverses hat,
– das Distributivgesetz gilt.
Ein Körper ist eine Struktur, in der man wie gewohnt rechnen kann.
Satz. Die Menge Q der rationalen Zahlen bildet zusammen mit +
und  einen Körper. Man spricht auch vom Körper der rationalen
Zahlen.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 17
Kapitel 2: Algebra
Aufgabe
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 18
Kapitel 2: Algebra
Seite 9
9
Brüche sind endliche oder periodische Dezimalbrüche!
Sei p/q eine Bruchzahl. Man erhält den zugehörigen Dezimalbruch
(„Kommazahl“), indem man p durch q teilt. Dabei gibt es zwei Fälle:
1. Fall: Irgendwann entsteht als Rest bei der Division 0. Dann
entstehen ab dieser Stelle immer nur Nullen. D.h. es liegt ein endlicher
Dezimalbruch vor.
Beispiel: 3/8 = 3 : 8 = 0,375
2. Fall. Alle Reste sind  0. Da die Reste < q sind, müssen sie sich
nach spätestens q–1 Schritten wiederholen. Es liegt ein periodischer
Dezimalbruch vor. Die Periodenlänge ist  q– 1.
Beispiel: 3/7 = 3 : 7 = 0,428571
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 19
Kapitel 2: Algebra
Beispiel: rein periodische Dezimalbrüche
Beispiele:
0, 3 
3 1
 .
9 3
0,17 
17
.
99
0, 875 
0, 9 
875
.
999
9
 1.
9
Allgemein: 0, z1z 2 z k =
z1 10k 1  z 2 10k 2    z k 1 10  z k
10k  1
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 20
Kapitel 2: Algebra
Seite 10
10
2.1.4 Die reellen Zahlen R
Grundvorstellung: Die reellen Zahlen sind genau die Dezimalbrüche.
Dezimalbrüche können endlich, periodisch oder nichtperiodisch sein.
Ein nicht-endlicher, nichtperiodischer Dezimalbruch ist eine reelle Zahl,
die nicht rational ist.
Beispiele für solche irrationalen Zahlen:
0,1010010001000010000010000001…
2 = 1,41421356237309504880168872420969807856967187537 …
 = 3,1415926535897932384626433832795028841971693993 …
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 21
Kapitel 2: Algebra
Die Entdeckung der Irrationalität
Die Entdeckung der Irrationalität bei den Pythagoräern (ca. 500 v.
Chr.) war ein Schock. Denn sie waren davon überzeugt, dass „alles
Zahl ist“, und das heißt „rationale“, und damit im wesentlichen
„ganze“ Zahl ist.
Sie entdeckten am regelmäßigen Fünfeck, dass es Zahlen gibt,
- die unzweifelhaft existieren, da sie geometrische Größen sind,
- von denen man aber beweisen kann, dass man sie nicht durch
einen Bruch darstellen kann.
Satz. Das Verhältnis von Länge einer Diagonale zur Seitenlänge
eines regulären Fünfecks ist keine rationale Zahl.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 22
Kapitel 2: Algebra
Seite 11
11
Wurzeln sind irrational
Der berühmteste Irrationalitätsbeweis ist der für 2.
Satz. 2 ist keine rationale Zahl.
Beweis durch Widerspruch. Angenommen, es gibt eine Bruchzahl m/n
mit m/n = 2. Daraus folgt (m/n)2 = 2, also m2 = 2n2.
Nun kommt in m2 die Primzahl 2 in gerader Anzahl vor, während sie
in 2n2 in ungerader Anzahl vorkommt: Widerspruch. 
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 23
Kapitel 2: Algebra
Formale Definition von R
Die reellen Zahlen kann man formal definieren, indem man fordert,
dass jede Intervallschachtelung genau eine reelle Zahl erfasst.
Eine Folge [an, bn] von abgeschlossenen nichtleeren Intervallen heißt
eine Intervallschachtelung, falls sie folgende Eigenschaften hat:
(a) [a1, b1]  [a2, b2]  [a3, b3]  [a4, b4]  …
(b) für alle e > 0 gibt es eine Nummer N, so dass für alle n  N die
Ungleichung bn–an < e gilt („die Intervalle werden beliebig klein“).
Diese Idee ist im Grunde sehr alt, formal beschrieben wurde sie von B.
Bolzano (1781 – 1848).
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 24
Kapitel 2: Algebra
Seite 12
12
Ausblick: C
Es gibt auch noch einen Erweiterungskörper von R, nämlich die
komplexen Zahlen C.
Eine komplexe Zahl hat die Form
z = a + ib,
wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit ist, für die
gilt
i² = -1.
Mehr dazu im 2. Semester.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 25
Kapitel 2: Algebra
2.2 Terme und (Un-) Gleichungen
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 26
Kapitel 2: Algebra
Seite 13
13
Variablen
Eine Variable (auch Unbekannte genannt) ist irgend eine Folge von
Buchstaben und Zahlen.
Beispiele: x, y, z, X, Y, Z, a, b, c, p, r, x1, f17, SUMME, PRODUKT1-5,
MONTAG, Student, ...
Vorstellung: Statt einer Variablen können wir eine Zahl einsetzen.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 27
Kapitel 2: Algebra
Terme
Definition: Jede reelle Zahl ist ein Term, jede Variable ist ein Term.
Wenn man Terme zueinander addiert, voneinander subtrahiert,
miteinander multipliziert oder durcheinander dividiert, erhält man
wieder einen Term. Wenn man auf einen oder mehrere Terme ‚in der
Mathematik übliche„ Operationen (Potenzieren, Differenzieren, sin,
cos, mod, ...) anwendet, erhält man wieder einen Term.
Beispiele: Terme sind
1, 0, , 65537, x, Y,
x+y, f+m, 5a, fit + fun, (a+b)2, x5+3x2+7, (x+1)/(x–1),
xy, sin(x2), (x5–3x+1)„, 3000 mod 17, …
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 28
Kapitel 2: Algebra
Seite 14
14
Polynome
Besonders wichtige Terme sind die Polynome.
Polynome (auch: ganzrationale Funktionen) haben die Form
mit reellen Koeffizienten a0, …, an.
Beispiele: x3 + x + 1, x, x1000, 5x8 – 3x2 + 4.
Keine Polynome sind 2x, sin(x), ln(x), 1/x, x.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 29
Kapitel 2: Algebra
Gleichungen
Definition: Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein
Gleichheitszeichen verbunden sind.
Beispiele: 7 = 5, x = 1, x2 = 1, x2 + y2 = 1, ...
Definition: Eine Lösung einer Gleichung ist ein Satz von reellen
Zahlen (pro Variable eine Zahl), so dass diese in die Gleichung
eingesetzt, die Gleichung zu einer wahren Aussage machen.
Bemerkung: Eine Gleichung kann keine Lösung, genau eine Lösung,
endlich viele Lösungen oder unendlich viele Lösungen haben (siehe
Beispiele oben).
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 30
Kapitel 2: Algebra
Seite 15
15
Typen von Gleichungen
Wir betrachten vorerst nur Gleichungen in einer Unbekannten x.
Lineare Gleichung: Die Unbekannte kommt nur in der ersten Potenz
vor.
Beispiele: 3x + 5 = 14, 512x – 7 = 13.000 + 11x, ...
Quadratische Gleichung: Die Unbekannte kommt in zweiter Potenz
(also als x2) vor; kleinere Potenzen dürfen auch vorkommen.
Beispiele: x2 = 2, 7x2 + 13x + 2 = 0, 7x + 5x2 = 5 – 1000x2, ...
Gleichung n-ten Grades: In ihr kommt die Unbekannten als n-te
Potenz vor; kleinere Potenzen dürfen auch vorkommen.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 31
Kapitel 2: Algebra
Maximalzahl von Lösungen
Satz. Jede lineare Gleichung hat höchstens eine Lösung.
Satz. Jede quadratische Gleichung hat höchstens zwei Lösungen.
Verallgemeinerung:
Satz. Jede Gleichung n-ten Grades hat höchstens n Lösungen.
Anwendung: Wenn wir n Lösungen einer Gleichung n-ten Grades
gefunden haben, brauchen wir nicht weiter zu suchen.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 32
Kapitel 2: Algebra
Seite 16
16
Wie erhält man Lösungen?
0. Probieren
1. Systematisches Testen (etwa mit Hilfe einer Wertetabelle)
2. Graphische Lösungsverfahren
3. Algebraische Lösungsverfahren
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 33
Kapitel 2: Algebra
1. Lösungsmethode: Systematisches Probieren
Grundidee: Man rechnet für einige Werte von x die rechte und die
linke Seite aus und „pirscht“ sich so an eine Lösung „heran”.
Beispiel: Wir wollen die Gleichung x2 + 3x = 108 lösen.
x
0
–1
1
20
L.S.
0
–2
4
460 130 88
R.S.
108 108 108 108 108 108 108 108 108
10
8
9
–10 –12
108 70
108
Lösungen: 9 und –12.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 34
Kapitel 2: Algebra
Seite 17
17
2. Lösungsmethode: Graphisches Verfahren
Rezept: Man fasst L.S. und R.S. als Funktion auf und zeichnet die
Graphen. Die Stellen, an denen sich die Graphen schneiden, sind
die Lösungen. Klar: An diesen Stellen gilt: L.S. = R.S.
Beispiel: x2 = 10x – 9.
Die Funktion, die der linken Seite entspricht, ist y = x 2, also die
Normalparabel. Die Funktion, die der rechten Seite entspricht, ist
y = 10x – 9: die Gleichung einer Geraden mit Steigung 10 und yAchsenabschnitt –9.
Die Graphen der beiden Funktionen schneiden sich an den Stellen
x = 1 und x = 9; also sind dies die Lösungen.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 35
Kapitel 2: Algebra
3. Lösungsmethode: Algebraische Methoden
Eine Gleichung geht aus einer anderen durch eine Äquivalenzumformung hervor, wenn beide Gleichungen die gleichen Lösungen haben.
Die Idee ist, eine Gleichung durch Äquivalenzumformungen solange
umzuformen, bis man zu einer so einfachen Gleichung kommt,
an der man die Lösungen direkt ablesen kann.
Satz. Folgende Operationen sind Äquivalenzumformungen:
(1) Addition oder Subtraktion einer Zahl.
(2) Multiplikation mit einer Zahl  0 oder Division durch eine Zahl  0.
(3) Addition oder Subtraktion eines Vielfachen der Unbekanten x.
(4) Addition oder Subtraktion eines Vielfachen von x2, …
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 36
Kapitel 2: Algebra
Seite 18
18
Quadratische Gleichungen
Durch Äquivalenzumformungen können wir jede quadratische
Gleichung auf die Form ax2 + bx + c = 0 bzw. (indem wir durch a
dividieren) auf die Form x2 +px + q = 0 bringen.
Der Grundmechanismus für alle Lösungsverfahren für quadratische
Gleichungen ist die quadratische Ergänzung.
Diese beruht auf der 1. bzw. 2. binomischen Formel.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 37
Kapitel 2: Algebra
Ein Beispiel
Wir betrachten x2 – 10x + 9 = 0.
Wenn die linke Seite x2 – 10x + 25 wäre, dann würden wir
schreiben: x2 – 10x + 25 = (x – 5)2, und könnten die Gleichung lösen.
Wir addieren auf jeder Seite die Zahl 16 (Äquivalenzumformung)
x2 – 10x + 9 + 16 = 16,
x2 – 10x + 25 = 16
(x – 5)2 = 16.
Wir „ziehen auf beiden Seiten die Wurzel“ und erhalten x – 5 = 4.
Achtung: Die Gleichung z2 = 16 hat zwei Lösungen, 4 und –4.
Die Gleichung hat die Lösungen x = –4+5 = 1 und x = 4+5 = 9.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 38
Kapitel 2: Algebra
Seite 19
19
Die p,q-Formel
Satz. Sei x2 + px + q eine quadratische Gleichung. Diese hat die
Lösungen
x1,2 = –p/2  (p /2)2 – q
Insbesondere gilt: Die Gleichung ist genau dann lösbar, wenn p2/4 
q ist. In diesem Fall hat sie genau dann nur eine Lösung, wenn p2/4
= q ist, und sonst zwei Lösungen.
Beweis. Wir führen die quadratische Ergänzung durch, indem wir auf
beiden Seiten p2/4 – q addieren:
x2 + px + p2/4 = x2 + px + q + p2/4 – q = p2/4 – q.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 39
Kapitel 2: Algebra
Beweis
Daraus folgt (x + p/2)2 = p2/4 – q,
also
x + p/2 =  (p/2)2 – q, und somit x1,2 = –p/2  (p/2)2 – q
Die Wurzel hat genau dann eine Lösung, wenn p2/4 – q  0, also
p2/4  q ist.
Die Lösung ist genau dann eindeutig, wenn die Wurzel gleich Null ist,
also wenn p2/4 = q ist. 
Achtung! Der Übergang von x2 = a zu x = a (“auf beiden Seiten
die Wurzel ziehen”) ist keine Äquivalenzumformung, sondern eine
Verlustumformung. Denn die Lösung x = –a geht dabei verloren.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 40
Kapitel 2: Algebra
Seite 20
20
Beispiele
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 41
Kapitel 2: Algebra
Aufgaben
1. Lösen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen:
(a) 4x2 – 1 = 0,
(b) x2 – 4x + 1 =0,
(c) (2x – 3)2 = (x – 1) (x – 4) + 9x,
(d) 3x2 – 4ax + a2 = 0.
2. Für welche Werte von c hat die Gleichung x2 – (c + 2) x + 1 = 0
genau 0, 1 bzw. 2 Lösungen?
3. Beweisen Sie den Satz von Vieta: Sind x1 und x2 die Lösungen
der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0, so gilt:
x1 + x2 = – p und x1  x2 = q.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 42
Kapitel 2: Algebra
Seite 21
21
Aufgabe
Definition. Sei AB eine Strecke. Ein Punkt S auf AB teilt AB im
goldenen Schnitt, falls sich die größere Teilstrecke M zur kleineren
Teilstrecke m so verhält wie die Gesamtstrecke zum größeren Teil.
Zeigen Sie: Ein Punkt S teilt eine Strecke AB genau dann im goldenen
Schnitt, wenn
M / m = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618
ist.
Die Zahl (1 + √5) / 2 wird mit Φ („phi“) nach dem Bildhauer Phidias
bezeichnet, der in seinen Werken den goldenen Schnitt oft genutzt hat.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 43
Kapitel 2: Algebra
Φ in der Kunst
Viele Künstler verwendeten den goldenen Schnitt bewusst, da sich
dieses Verhältnis als besonders ästhetisch erwiesen hat.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 44
Kapitel 2: Algebra
Seite 22
22
Aufgabe
Eine zweiziffrige Zahl hat die Quersumme 5. Vertauscht man die Ziffern
und multipliziert die neue Zahl mit der ursprünglichen, so ist das
Produkt um 560 größer als die ursprüngliche Zahl.
Wie lautet die ursprüngliche Zahl?
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 45
Kapitel 2: Algebra
Beispiel: Biquadratische Gleichung
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 46
Kapitel 2: Algebra
Seite 23
23
Beispiel: Lösen durch Ausklammern
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 47
Kapitel 2: Algebra
Wurzelgleichungen
Idee: Man isoliert die Wurzel, quadriert dann die Gleichung und
rechnet dann weiter.
Achtung: Beim Quadrieren gewinnt man eine Lösung (Gewinnumformung). Daher muss man am Ende überprüfen, ob die
gefundenen Zahlen wirklich Lösungen der Ausgangsgleichung sind.
Beispiel: x – x + 2 = 0.
Isolieren der Wurzel: x +2 = x + 2.
Quadrieren: x2 = x + 2
Lösen: x1 = 2, x2 –1
Probe: nur 2 ist eine Lösung.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 48
Kapitel 2: Algebra
Seite 24
24
Aufgaben
Lösen Sie die folgenden Wurzelgleichungen:
x  13  4x  4
3x  7  3x  15  4
x  5  x  12  1  0
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 49
Kapitel 2: Algebra
Nullstellen von Polynomen
Satz. Sei f ein Polynom,
(a) Sei x1 eine Nullstelle, d.h. eine Lösung der Gleichung f = 0.
Dann kann man f schreiben als f = (x – x1)g, wobei g ein Polynom
ist. („Man kann dann einen Linearfaktor abspalten“.)
(b) Sei n der Grad von f. Wenn f die n verschiedene Lösungen
x1, x2, …, xn hat, dann gilt
f = a(x – x1) (x – x2) … (x – xn) mit a  R.
(c) Sei f = x2 + px + q ein quadratisches Polynom mit Nullstellen x1
und x2. Dann gilt f = (x – x1) (x – x2).
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 50
Kapitel 2: Algebra
Seite 25
25
Polynomdivision
Um das Polynom g in f = (x – x1)g zu bestimmen, kann man eine
Polynomdivision durchführen.
Beispiel:
Die Nullstellen von g sind dann die restlichen Nullstellen von f. Im Beispiel hat g die Nullstellen -2 und -3, also hat f die Nullstellen 1, -2, -3.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 51
Kapitel 2: Algebra
Beispiel
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 52
Kapitel 2: Algebra
Seite 26
26
Aufgaben
Lösen Sie die folgenden Gleichungen:
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 53
Kapitel 2: Algebra
Gebrochenrationale Funktionen
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 54
Kapitel 2: Algebra
Seite 27
27
Beispiel 1: Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 55
Kapitel 2: Algebra
Beispiel 2: Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 56
Kapitel 2: Algebra
Seite 28
28
Polstellen
Beispiele:
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 57
Kapitel 2: Algebra
Ungleichungen
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 58
Kapitel 2: Algebra
Seite 29
29
Beispiel 1
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 59
Kapitel 2: Algebra
Beispiel 2
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 60
Kapitel 2: Algebra
Seite 30
30
Beispiel 3
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 61
Kapitel 2: Algebra
Aufgaben
Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Ungleichungen:
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 62
Kapitel 2: Algebra
Seite 31
31
2.3 Gleichungssysteme
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 63
Kapitel 2: Algebra
Gleichungssysteme
Definition. (a) Ein Gleichungssystem besteht aus mehreren
Gleichungen, in denen in der Regel mehrere Variable vorkommen.
(b) Ein Gleichungssystem heißt linear, wenn alle Gleichungen in ihm
lineare Gleichungen sind. Wir betrachten nur lineare Gleichungssyst.
Beispiel: Folgendes Gleichungssystem ist linear
3x + 2y + z = 5
2x + 7y – 3z = 0
x + 2z = 2
Folgendes Gleichungssystem ist nicht linear:
x2 + 2z = 1
3x + yz = 0.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 64
Kapitel 2: Algebra
Seite 32
32
Lösungen linearer Gleichungssysteme
Probleme: 1. Ist ein gegebenes lineares Gleichungssystem lösbar?
D.h.: besitzt es (mindestens) eine Lösung? Eine Lösung besteht
dabei aus einem Satz von Zahlen (für jede Unbekannte eine), die
Lösung jeder Gleichung des Systems sind.
2. Wie berechnet man die Lösungen?
Bemerkung: Es gibt lineare Gleichungssysteme, die keine Lösung
haben, solche, die genau eine Lösung haben und solche, die
unendlich viele Lösungen haben.
Beispiele:
x+y=1
x+y=1
x+y=1
x+y=2
x–y=1
2x + 2y = 2
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 65
Kapitel 2: Algebra
Idee der Lösungsverfahren
Es gibt verschiedene Lösungsmethoden.
Mathematisch laufen letztlich alle auf das Gleiche hinaus.
Grundlegende Idee: Forme das Gleichungssystem so um,
dass am Ende nur eine Gleichung mit einer Unbekannten übrig
bleibt.
1. Einsetzungsverfahren
2. Gleichsetzungsverfahren
3. Additions- (Subtraktions-)verfahren
4. Verfahren von Gauß
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 66
Kapitel 2: Algebra
Seite 33
33
Einsetzungsverfahren
Rezept: Man löst eine Gleichung nach einer Unbekannten auf, setzt
dann dies anstelle der Unbekannten in die anderen Gleichungen ein.
So erhält man ein Gleichungssystem, das eine Unbekannte und eine
Gleichung weniger hat.
Dann kann man auf das neue System erneut dieses Verfahren (oder
ein anderes) anwenden.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 67
Kapitel 2: Algebra
Beispiel zum Einsetzungsverfahren
x+y–z=1
2x + 3y + 4z = 5
x + 2y + z = 2
Wir lösen die erste Gleichung nach z auf und erhalten z = x + y – 1.
Dies setzen wir in die zweite und dritte Gleichung ein und erhalten
5 = 2x + 3y + 4(x + y – 1)
2 = x + 2y + x+y – 1,
also
9 = 6x + 7y
3 = 2x + 3y
Daraus erkennt man die Lösung x = 3/2, y = 0, z = 1/2.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 68
Kapitel 2: Algebra
Seite 34
34
Gleichsetzungsverfahren
Rezept: Man löst alle Gleichungen nach einer Unbekannten (oder
einem Vielfachen der unbekannten auf). Dann setzt man die
erhaltenen Gleichungen gleich und erhält dadurch eine System mit
einer Unbekannten weniger und einer Gleichung weniger.
Beispiel. Wir benutzen obiges Beispiel.
Wir multiplizieren die erste und die dritte Gleichung mit 2 (dabei
verändern sich die Lösungen dieser Gleichungen nicht –
Äquivalenzumformungen!), und also auch die Lösung des gesamten
Systems nicht.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 69
Kapitel 2: Algebra
Beispiel
Danach sieht das Gleichungssystem so aus:
2x + 2y – 2z = 2
2x + 3y + 4z = 5
2x + 4y + 2z = 4
Nun lösen wir die drei Gleichungen nach 2x auf:
2x = 2 – 2y + 2z
2x = 5 – 3y – 4z
2x = 4 – 4y –2z
Wir setzen die erste und zweite, sowie die erste und dritte Gleichung
gleich (man könnte auch andere Paare wählen) und erhalten
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 70
Kapitel 2: Algebra
Seite 35
35
Beispiel (Fortsetzung)
2 – 2y + 2z = 5 – 3y – 4z
2 – 2y + 2z = 4 – 4y –2z,
also
y + 6z = 3
2y + 4z = 2
das heißt
y + 6z = 3
y + 2z = 1.
Daraus ergibt sich (Gleichsetzungsverfahren) 3 – 6z = 1 – 2z,
also 2 = 4z, d.h. z = ½. Damit folgt y = 0 und also x = 3/2.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 71
Kapitel 2: Algebra
Additions- bzw. Subtraktionsverfahren
Rezept: Wir multiplizieren eine Gleichung so, dass bei Addition oder
Subtraktion mit einer anderen Gleichung eine Unbekannte wegfällt.
Beispiel. Wieder verwenden wir obige System. Wir multiplizieren die
erste und die dritte Gleichung jeweils mit 4 und erhalten
4x + 4y – 4z = 4
2x + 3y + 4z = 5
4x + 8y + 4z = 8
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 72
Kapitel 2: Algebra
Seite 36
36
Beispiel (Fortsetzung)
Jetzt addieren wir die ersten beiden Gleichungen und subtrahieren
die zweite von der letzten:
6x + 7y = 9
2x + 5y = 3.
Nun multiplizieren wir die letzte Gleichung mit 3 und subtrahieren
davon die erste; wir erhalten 8y = 0, also y = 0.
Damit ist x = 3/2 und z = ½.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 73
Kapitel 2: Algebra
Beispiel: Additionsverfahren und grafisch
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 74
Kapitel 2: Algebra
Seite 37
37
Der Gauß-Algorithmus
Rezept: Multipliziere die erste Gleichung so, dass beim Addieren
bzw. Subtrahieren von der zweiten Gleichung in dieser (zweiten)
Gleichung die Unbekannte x wegfällt. Dann multipliziere die erste
Gleichung so, dass bei Addition (bzw. Subtraktion) zu der dritten
Gleichung in dieser die Unbekannte x wegfällt. Usw.
Nun betrachten wir die (neue) zweite Zeile. Multipliziere diese so,
dass bei Addition bzw. Subtraktion mit der dritten Gleichung in dieser
die Unbekannte y wegfällt. Multipliziere nun die zweite Gleichung
so, dass bei Addition bzw. Subtraktion zur vierten Gleichung in
dieser die Unbekannte y wegfällt. Usw.
Usw.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 75
Kapitel 2: Algebra
Der Gauß-Algorithmus (Fortsetzung)
Am Ende hat man ganz unten eine Gleichung mit einer
Unbekannten.
Man löst diese Gleichung und setzt die Lösung in die zweitunterste
Gleichung ein.
Dann ist auch dies nur eine Gleichung mit einer Unbekannten.
Usw.
Bemerkung: C.F. Gauß hat die gesamten vorigen
Lösungsverfahren, die oft auch einen ‚guten Blick„ erfordern,
systematisiert. Im Grunde ist sein Verfahren ein perfektioniertes
Additions- bzw. Subtraktionsverfahren.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 76
Kapitel 2: Algebra
Seite 38
38
Beispiel 1
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 77
Kapitel 2: Algebra
Beispiel 2
Gleichungssystem:
–x + 2y + z = –2
3x –8y –2z = 4
x
1. Schritt:
+ 4z = –2
–x + 2y + z = –2
–2y + z = –2
2y + 5z = –4
2. Schritt:
–x + 2y + z = –2
–2y + z = –2
6z = –6.
Daraus folgt z = –1, y = 1/2, x = 2.
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 78
Kapitel 2: Algebra
Seite 39
39
Beispiel 3: unlösbar
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 79
Kapitel 2: Algebra
Beispiel 4: unendliche viele Lösungen
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 80
Kapitel 2: Algebra
Seite 40
40
Aufgaben
1. Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit dem GaußAlgorithmus:
x + 2y
+ z
=–2
3x  8y
– 2z
=
+ 4z
=2
x
4
2. Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem:
2x
+ 3y
 4z
= 8
2x
y
+ 5z
= 15
7x
+y
 2z
=3
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 81
Kapitel 2: Algebra
Aufgabe 1: Stromkreis
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 82
Kapitel 2: Algebra
Seite 41
41
Aufgabe 2: Stromkreis
Berechnen Sie I1, I2, I3 und Ic in folgendem Netzwerk.
(Lösung siehe Papula, Band 1)
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 83
Kapitel 2: Algebra
Aufgabe: Legierungen
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 84
Kapitel 2: Algebra
Seite 42
42
Aufgabe
Die beiden Freundinnen Anna und Berta treffen sich:
Anna: Hallo, wie geht‟s?
Berta: Gut, und selbst?
Anna: Auch gut, ich habe inzwischen drei Kinder.
Berta: Tatsächlich? Wie alt sind sie denn?
Anna: Das Produkt ihrer Lebensalter ist 36,
die Summe gleich Deiner Hausnummer.
Berta: Diese Information genügt mir nicht.
Anna: Stimmt. Also, das älteste ist blond.
Berta: Aha, jetzt kenne ich ihr Alter.
Wie alt sind Annas Kinder?
© Dr. Zschiegner
2008
Seite 85
Kapitel 2: Algebra
Seite 43
43