Blatt 03

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. J. Hartl
WS 2013/14
Blatt 3
Elementargeometrie
In der Zeichenebene gilt: Die Winkelsumme im Dreieck beträgt zwei rechte Winkel,
kurz: zwei Rechte oder 2R. Dafür gibt es verschiedene ”Beweise”. Sind die beiden
folgenden Beweise einwandfrei?
a) Seien A, B, C drei Punkte in der Zeichenebene, die nicht auf einer Geraden
liegen. Dann bilden A, B, C die Ecken eines Dreiecks ABC mit den Innenwinkeln α = ∠CAB, β = ∠ABC, γ = ∠BCA. Die Bezeichnungen seien so
gewählt, das das Dreieck mit den Ecken A, B, C in dieser Reihenfolge ”linksherum”, ”entgegen dem Uhrzeigersinn” oder ”im mathematisch positiven
Sinn” umlaufen werde.
Dreht man nun die Gerade BA um B durch den Winkel β nach rechts auf
die Gerade BC, anschließend die Gerade BC um C durch den Winkel γ nach
rechts in die Lage AC und wieder anschließend die Gerade AC durch den
Winkel α nach rechts in die Lage AB, so hat man offenbar insgesamt die
Gerade BA um insgesamt zwei Rechte in die Lage AB gedreht. Folglich ist
α + β + γ = 2R.
b) Seien A, B, C drei Punkte in der Zeichenebene, die nicht auf einer Geraden liegen. Dann bilden A, B, C die Ecken eines Dreiecks ABC mit den Innenwinkeln
α = ∠CAB, β = ∠ABC, γ = ∠BCA. Wählt man nun auf der Strecke AB
einen inneren Punkt D, so zerlegt die Strecke CD das Dreieck ABC in zwei
Dreiecke ADC und DBC und den Winkel γ in zwei Teilwinkel ∠DCA =: γ1
und ∠BCD =: γ2 mit γ1 + γ2 = γ. Das Dreieck ADC hat die Innenwinkel α,
∠ADC =: δ1 und γ1 . Das Dreieck DBC hat die Innenwinkel ∠CDB =: δ2 ,
β und γ2 . Dabei ist δ1 + δ2 = 2R. Die Winkelsumme im Dreieck ABC ist
α + β + γ. Die Summe der Winkel in den beiden Dreiecken ADC und DBC
zusammen ist α + δ1 + γ1 + δ2 + β + γ2 . Da γ1 + γ2 = γ und δ1 + δ2 = 2R, ist
also die Summe der Winkel zweier Dreiecke gleich α + β + γ + 2R. Folglich ist
die Winkelsumme im Dreieck gleich 2R.
Der gute Christ soll sich hüten vor den Mathematikern und all denen, die leere Vorhersagen zu machen pflegen, schon gar dann, wenn diese Vorhersagen zutreffen. Es
besteht nämlich die Gefahr, dass die Mathematiker mit dem Teufel im Bunde den
Geist trüben und in die Bande der Hölle verstricken.
Augustinus von Hippo (354 - 430), Kirchenlehrer und Philosoph
(Jedoch werden unter Mathematikern hier Astrologen verstanden. Mathematiker im
heutigen Sinn wurden damals Geometer genannt. Im römischen Recht hieß es: Die
Kunst die Geometrie zu lernen und öffentlich zu betreiben ist von Wert, aber die
verdammenswerte mathematische Kunst ist verboten.)
Solche und ähnliche Zitate findet man z.B. auf der Seite http://www.familieahlers.de/wissenschaftliche witze/zitate.html