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Übungen zur Darstellenden Geometrie
SS 10 - 6
1. Man zeichne ein regelmäßiges Sechseck mit dem Mittelpunkt M0 und einer Seitenlänge
von 3 cm.
Man gebe sich nun eine Gerade a und einen Punkt M1 vor, so dass gilt:
¬ M1 = M0, ¬ M1 ∈ a, ¬ a || M1M0, ¬ a ⊥ M1M0.
Durch eine perspektive Affinität A mit a als Achse werde M0 auf M1 abgebildet.
Man konstruiere das Bild des gegebenen Sechseckes bei der perspektiven Affinität A.
2. Man konstruiere das Bild des Umkreises des gegebenen Sechseckes aus Aufgabe 1 bei
der perspektiven Affinität A.
3. Man konstruiere (nur mit Zirkel und Lineal) den Grundriss A’B’C’D’E’ eines regelmäßigen
Fünfeckes, dessen Ebene mit der Projektionstafel π einen Winkel von der Größe 45° einschließt. Nur der Punkt A liege in der Bildebene. Der Umkreisradius des Fünfeckes habe
eine Länge von 4 cm.
Zur Konstruktion verwende man keine weiteren Risse als den Grundriss des Objektes.
4. Bez. einer orthonormierten Basis seien im 2 zwei konjugierte Halbmesser einer Ellipse k
mit dem Mittelpunkt M durch die Punkte M(0|0), P(3,5|1,5) und Q(1,5|-1,5) gegeben. Man
konstruiere die Achsen der Ellipse sowie näherungsweise die Ellipse selbst in voneinander getrennten Bildern.
5. Bez. einer orthonormierten Basis seien im 2 der Haupt- und der Nebenscheitelkreis
einer Ellipse k gegeben durch die Gleichungen x2 + y2 = 9 bzw. x2 + y2 = 4.
Man löse in jeweils separaten Zeichnungen folgende Aufgaben:
(a) näherungsweise punktweise Konstruktion von k
(b) Konstruktion der Tangenten an k durch den Punkt P(4,5|0)
(c) Konstruktion der Tangenten an k durch den Punkt P(0|3,5)
(d) Konstruktion der Tangenten an k durch den Punkt P(4,5|-2,5)
(die Aufgaben b) bis d) sind zu lösen ohne k explizit zu konstruieren)
6. Bez. einer orthonormierten Basis seien im 2 der Haupt- und der Nebenscheitelkreis
einer Ellipse k gegeben durch die Gleichungen
25
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2
2
x 2 + y 2 = bzw. x + y =
4
4
Man löse in jeweils separaten Zeichnungen durch Konstruktion folgende Aufgaben:
(a) näherungsweise Konstruktion von k vermittels ihrer Scheitelkrümmungskreise
(b) ermitteln der Koordinaten der Schnittpunkte einer Sekante s der Ellipse für s mit der
Gleichung y = x – 1,5
(c) Konstruktion der Tangente an k im Punkt P(3|
5
5)
6
(die Aufgaben b) und c) sind zu lösen ohne k explizit zu konstruieren)
7. Der Kreis k ist mit der jeweils angegebenen perspektiven Affinität A abzubilden:
(a) k = [ M(0|0), r = 6,5 cm];
A [a: x = -6,5, M → M*(-2|-3,5)]
(b) k = [ M(-4|-3), r = 5 cm];
A [a: 3x + 2y = -6, M → M*(1,4|3)]
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Übungen zur Darstellenden Geometrie
SS 10 - 6
8.
Das durch die Grundfläche ABC mit A(4|1|0), B(3|5|0) und C(1|3|0) sowie die Kantenrichtung s = A A mit A (5|4,5|4) festgelegte, auf π1 stehende schiefe Prisma ist mit der zu
s normalen Ebene ε durch A zu schneiden.
Das sich als Normalschnitt ergebende Schnittpolygon ABC ist zusätzlich in wahrer Grösse und Gestalt zu konstruieren.
9.
Die gerade sechsseitige Pyramide Φ mit dem regelmäßigen Grundflächenpolygon
P1P2…P6 in π1 und der Spitze S(4|5|8) ist mit der durch P1(6,5|6,5|0), K(0|15|0) und
L(0|2|7) festgelegten Ebene ε zu schneiden.
10. Man bilde die nebenstehend
dargestellte „Pythagorasfigur“
entsprechend der vorgegebenen perspektiven Affinität ab
und stelle anhand der sich ergebenden Konstruktion die Invarianten perspektiv affiner
Abbildungen heraus.
(Hinweis: Abbildung zuvor auf A-4Format vergrößern)
11. Man konstruiere jeweils die
perspektiv affinen Bilder aller
Punkte in den Abbildungen a)
bis c).