Strukturelles Denken

Mathematik Lerneinheit 1.2
Strukturelles
Denken
Teil 2:
Gleichungen, Gleichungssysteme
Leitidee Polynome
Strategien, Konzepte, Anwendungen
Theorie, Übungen, Partnerinterviews,
Partnerinterviews,
dynamische Experimentiervorlagen,
Experimentiervorlagen,
Lernkontrollen
Durch Lernen erwerben wir Kenntnisse,
durch eigenes Denken Verständnis,
durch Üben Anwendungsbereitschaft.
Benno Frei ©2013/14
DialogMathe
Inhaltsverzeichnis
INHALTSVERZEICHNIS
4
Gleichungen praxisbezogen, Formeln...................................................................................... 153
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
5
Gleichungen mathematisch ........................................................................................................ 187
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
6
Definition Gleichung............................................................................................................. 187
Lösen einer Gleichung, Äquivalenzumformungen .......................................................... 192
Graphisches Lösen von Gleichungen ................................................................................. 200
Lösen einer Gleichung durch Faktorisieren ...................................................................... 203
Lösen von Gleichungen mit dem Rechner ......................................................................... 214
Algebratraining: Gleichungen ............................................................................................. 217
Gleichungssysteme ...................................................................................................................... 221
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
7
Umwandeln einer Formel .................................................................................................... 153
Graphische Interpretation: Diagramme ............................................................................. 160
Differential- und Integralrechnung..................................................................................... 164
Ursache-Wirkungs-Prinzip, lineare Denkweise ................................................................ 171
Beispiel Auslenkung einer Feder, Spannarbeit ................................................................. 176
Übungen: Interpretation von Formeln ............................................................................... 178
Modell: Newtonsches Gravitationsgesetz.......................................................................... 180
2x2 Gleichungssysteme......................................................................................................... 221
3x3 Gleichungssysteme......................................................................................................... 227
Geometrische Interpretation von linearen Gleichungssystemen ................................... 232
Gauss‘sches Eliminationsverfahren .................................................................................... 244
Moderne Anwendungen aus der Technik ......................................................................... 252
Chemische Reaktionsgleichungen, mathematisches Ausgleichen ................................. 254
Physik, Gleichungssystem aus der Bewegungslehre ....................................................... 258
Ausblick Vektorräume als mathematische Struktur ........................................................ 267
Leitidee Polynome ........................................................................................................................ 271
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
Definition Polynom ............................................................................................................... 271
Graphische Darstellung eines Polynoms ........................................................................... 276
Anwendungen, Übungen, Repetitionstest........................................................................ 288
Algebraische Bestimmung von Polynomen ...................................................................... 294
Dynamische Darstellung von Polynomen ......................................................................... 297
Grafische Darstellung von mathematischen Objekten..................................................... 304
Repetitionstest Polynome ..................................................................................................... 308
„Durch Lernen erwerben wir Kenntnisse, durch eigenes Denken Verständnis,
durch Üben Anwendungsbereitschaft.“
© DialogMathe
Mathematik Lerneinheit 1.2
Skript Strukturelles Denken 2013/14
Teil 2: Gleichungen, Gleichungssysteme, Anwendungen, Leitidee Polynome
Theorie, Übungen, Partnerinterviews, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen
Von Benno Frei ©
Übersicht Gleichungen
ÜBERSICHT GLEICHUNGEN
DialogMathe
DialogMathe
Vorwort
Vorwort: Was vermittelt diese Lerneinheit?
Inhaltlich geht es um Gleichungen und Gleichungssysteme und viele
praktische Anwendungen. Zusätzlich werden im letzten Kapitel Polynome
besprochen. In der Geometrie hast du das mathematische Prinzip,
Gleichungen aufzustellen, um deine Unbekannten zu bestimmen, schon
angewendet. Gleichungen brauchst du in der Praxis um Problemstellungen zu
mathematisieren. Probleme werden von dir analysiert und in die Sprache der
Mathematik übersetzt, wo du sie dann lösen kannst. Die gefundenen
Lösungen müssen von dir interpretiert oder auf Plausibilität überprüft
werden. So gesehen sind Gleichungen ein Werkzeug, um Probleme zu lösen
und du lernst wie dieses Werkzeug effizient eingesetzt werden kann, um
Lösungen für deine zukünftigen Problemstellungen zu finden. Nebst der
Fähigkeit, Probleme zu lösen, lernst du verschiedene Darstellungsformen zu
gebrauchen. Der Wechsel zwischen Darstellungsformen fördert das
Verständnis und kann dir beim Lösen
von Problemen behilflich sein.
Kommst du mit dem Mathematikunterricht klar?
Es gibt nichts Ungerechteres als die
gleiche Behandlung von Ungleichen!
Lernen ist eine höchst persönliche
Angelegenheit, auch während des
Mathematikunterrichts. Jeder einzelne
Lernende muss auf der Basis seines
mathematischen Know-how, seines
Lerntyps und seiner aktuellen Wahrnehmungsfähigkeit motiviert werden,
sich neuen Inhalten zu öffnen. Der Unterricht soll sich daher zuvorderst an
den Fähigkeiten jedes einzelnen Lernenden orientieren und nicht an der
Erfüllung von Lehrplänen. Die Forderung jede einzelne Konstellation im
Mathematikunterricht berücksichtigen zu wollen, ist und bleibt sicherlich ein
Wunschtraum. Doch mit einem breiten Angebot an Methoden, Lernformen,
Lernzugängen, einer positiven Fehlerkultur (zulassen von Fehlern und der
angstfreie, konstruktive Umgang damit) und einem motivierenden Lernklima
können viele verschiedene Konstellationen angesprochen werden.
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
I
DialogMathe
Vorwort
Du musst dir den Spass an der Mathematik erhalten!
Wenn du Spass an der Mathematik hast, so entwickelt sich eine nach oben
führende Spirale mit einem virtuosen Kreis, der mit Belohnung beginnt und
zur Freude an der Mathematik führt. Es wird mehr Mathematik getrieben,
woraus ein besseres Verstehen und eine Verbesserung der Fähigkeiten folgen,
was zu besseren Leistungen und wieder zur Belohnung führt.
Wichtig ist, dass wir die richtige Einstellung finden und uns selbständig mit
mathematischen Problemen befassen. Wir benötigen individuelle Anregung,
um entsprechend motiviert zu werden.
Befindest du dich in einer nach unten führenden Spirale, mit einem
Teufelskreis aus Frustration, Angst, Vermeidung, fehlendem Lernen,
fehlender Kompetenz, schlechter Leistung, Bestrafung und erneuter
Frustration? Dann analysiere deine Situation und finde heraus, wie du einen
Wechsel in den virtuosen Kreis herbeiführen kannst!
Durch Lernen erwerben wir Kenntnisse, durch eigenes Denken Verständnis,
durch Üben Anwendungsbereitschaft. Diskutiere mit deinen Lernpartnern
über Mathematik und schreibe jeweils die Resultate in dein Lernjournal. Wer
über Mathematik reden und schreiben kann, der hat sie verstanden!
II
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
DialogMathe
Vorwort
Überblick Lerneinheit 1.2 strukturelles Denken Teil 2
Kapitel 4:
Gleichungen praxisbezogen, Formeln
In diesem Kapitel lernst du Formeln zu interpretieren, in Modellen zu denken
und Zusammenhänge durch Analogien zu erkennen. Mit Hilfe von
Diagrammen werden algebraische Zusamenhänge visualisiert. Es werden
wichtige mathematische Konzepte vorgestellt, die in der Physik und Technik
Anwendung finden. Algebraische Definitionen werden geometrisch
interpretiert, wobei das Erkennen von mathematischen Strukturen zum
Verständnis der Natur beiträgt.
Kapitel 5:
Gleichungen mathematisch
Eine kurze Theorie führt dich in die Gleichungslehre ein. Definitionen und
Sätze sind die Grundlagen für das Verständnis im Umgang mit Gleichungen.
Strategien zum Lösen von Gleichungen werden dir bei den Anwendungen
hilfreich sein. Auch hier werden wir mit zwei verschiedenen Repräsentationsformen arbeiten. Durch Gleichungen mit Parametern werden Probleme
dynamisiert.
Kapitel 6:
Gleichungssysteme
In diesem Kapitel diskutieren wir das Auflösen von Gleichungssystemen.
Durch die geometrische Interpretation von Gleichungssystemen gewinnen wir
Verständnis für dessen Lösbarkeit.
Anwendungen aus der Chemie, Physik und der Technik., die auf
Gleichungssysteme führen, werden besprochen. Zum Schluss wird dir der
theoretische Begriff des Vektorraumes vorgestellt.
Kapitel 7:
Leitidee Polynome
Das Kapitel ist eine Vorbereitung für die Funktionslehre. Du lernst spezielle
Terme algebraisch und graphisch zu interpretieren, wobei der Wechsel
zwischen den beiden Repräsentationsformen dir Verständnis bringen soll.
Mit Hilfe von Parametern werden Terme dynamisiert und analysiert.
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
III
Vorwort
DialogMathe
Notizen
IV
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
DialogMathe
Umwandeln einer Formel
4 Gleichungen praxisbezogen, Formeln
Was ist eine Formel?
Formeln treten sehr häufig in technischen und naturwissenschaftlichen
Anwendungen auf. Sie geben in Gleichungsform den Rechengang an, wie
gewünschte Grössen berechnet werden können.
4.1 Umwandeln einer Formel
Oft ist es notwendig, aus einer Formel bestimmte Grössen zu berechnen, die
Formel also umzuformen. Da Formeln Gleichungen sind, werden sie wie diese
nach der gewünschten Grösse aufgelöst. Die zu berechnende Grösse ist die
Gleichungsvariable, nach der die Gleichung aufgelöst werden muss.
4.1.1
Beispiel: Bewegung
Stell dir vor du bewegst dich mit konstanter (gleichbleibender)
Geschwindigkeit z.B. v = 3 ms−1 . Du legst also jede Sekunde drei Meter Weg
zurück. Mache eine Skizze für die Bewegung und zeichne für die ersten 5
Sekunden die Positionen ein.
Die Bewegung kann durch die Gleichung s = v ⋅ t beschrieben werden, wobei
s der zurückgelegte Weg in Metern und t die dazu benötigte Zeit in Sekunden
bedeuten.
In der Physik lernst du diese Gleichung als Weg-Zeit-Gesetz für eine
gleichförmige Bewegung kennen. Wir sagen das Weg-Zeit-Gesetz ist ein
Modell für die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit. Bewegungen, bei
denen diese Voraussetzung nicht gilt, können nicht durch dieses Modell
beschrieben werden.
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
153
DialogMathe
Gleichungen praxisbezogen, Formeln
Anwendung des Weg-Zeit-Gesetzes
Willst du wissen, welchen Weg du nach einer Minute zurückgelegt hast, wenn
du dich mit der Geschwindigkeit v = 3 ms−1 bewegst, so lässt sich das mit
dem Weg - Zeit - Gesetz ermitteln:
s = v ⋅ t = 3ms−1 ⋅ 60s = 180m .
Möchtest du wissen, welche Gechwindigkeit nötig ist, um in t = 25s den Weg
s = 550m zurückzulegen, so ist kein weiteres Gesetz notwendig, sondern du
kannst die Grundgleichung s = v ⋅ t nach v auflösen. Dazu müssen wir die
Gleichung durch t dividieren:
s = v⋅t
|: t
s
s 550m
= v oder v = =
= 22ms−1
t
t
25s
Weiter können wir die Gleichung s = v ⋅ t auch nach der Zeit t auflösen, indem
wir durch die Geschwindigkeit v dividieren.
s = v⋅t
|: v
s
s
= t oder t =
v
v
So erfahren wir z.B. wie viel Zeit wir benötigen, wenn wir s = 100 m mit einer
Geschwindigkeit v = 20 ms−1 zurücklegen:
t=
s
100m
=
= 4s
v 20ms−1
Zusammenfassung
Das Weg-Zeit-Gesetz besteht aus den drei Grössen Weg s, Geschwindigkeit v
und Zeit t. Sind zwei bekannt, so lässt sich die dritte mit Hilfe der
Grundgleichung s = v ⋅ t berechnen:
v=
s
s
und t = .
t
v
Beachte: Es ist nicht nötig alle drei Gleichungen auswendig zu lernen, da die
letzten beiden durch Umformen aus der Grundgleichung ermittelt werden
können.
154
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DialogMathe
4.1.2
Umwandeln einer Formel
Beispiel: Dopplereffekt
Frequenz einer Welle bei bewegter Quelle: f = f0 ⋅
c
c−v
c : Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle (z.B. Schall)
v : Geschwindigkeit der Quelle
f0 : Frequenz der Welle bei ruhender Quelle
Applet
Beispiel zum Doppler-Effekt. (http://www.walter-fendt.de/ph14d/doppler.htm)
Ein Notarztwagen fährt mit eingeschaltetem Martinshorn an einer Person
vorbei, die an der Strasse steht.
Dadurch, dass sich der Notarztwagen der Personen
nähert, kommen die Wellenfronten in kürzeren
Zeitabständen an.
Wenn sich das Fahrzeug von der Person entfernt, sind
die zeitlichen Abstände zwischen den eintreffenden
Wellenfronten verlängert.
Auflösen nach der Frequenz f0 der Welle bei ruhender Quelle
c
f = f0 ⋅
/ ⋅( c − v )
c−v
f ⋅ ( c − v ) = f0 ⋅ c
/:c
f ⋅(c − v )
v
= f ⋅  1 − 
c
c 

Auflösen nach der Geschwindigkeit v der Quelle
c
f = f0 ⋅
/ ⋅( c − v )
c−v
f ⋅ ( c − v ) = f0 ⋅ c
/ ausmultiplizieren
f0 =
f ⋅ c − f ⋅ v = f0 ⋅ c
/ +f ⋅ v
f ⋅ c − f0 ⋅ c = f ⋅ v
/:f
f ⋅ c − f0 ⋅ c
=v
f
→
/ − f0 ⋅ c
v=c−
f0 ⋅ c
f
= c ⋅  1 − 0 
f
f 

Auflösen nach der Ausbreitungsgeschwindigkeit c der Welle
c
f = f0 ⋅
/ ⋅( c − v )
c−v
f ⋅ ( c − v ) = f0 ⋅ c
/ ausmultiplizieren
f ⋅ c − f ⋅ v = f0 ⋅ c
/ +f ⋅ v
f ⋅ c − f0 ⋅ c = f ⋅ v
/ c ausklammern
c ⋅ ( f − f0 ) = f ⋅ v
/ : ( f − f0 )
c=
/ − f0 ⋅ c
f
⋅v
f − f0
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155
DialogMathe
Gleichungen praxisbezogen, Formeln
4.1.3
Übungen: Auflösen einer Formel
Ohmsches Gesetz U = R ⋅ I
Löse die Formel nach R auf.
Löse die Formel nach I auf.
Arbeit eines elektrischen Gleichstroms W = U ⋅ I ⋅ t
Druck p =
Löse die Formel nach U auf.
Löse die Formel nach t auf.
Löse die Formel nach F auf.
Löse die Formel nach A auf.
F
A
Fläche eines Dreiecks A = 21 ⋅ g ⋅ h
Löse die Formel nach h auf.
Winkelgeschwindigkeit ω =
Löse die Formel nach g auf.
2π
T
Löse die Formel nach T auf.
Kapazität eines Plattenkondensators
C = ε⋅
Löse die Formel nach A auf.
Umkreisradius in einem Dreieck r =
Löse die Formel nach d auf.
a ⋅b ⋅c
4A
Löse die Formel nach a auf.
156
A
d
Löse die Formel nach A auf.
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Umwandeln einer Formel
Höhe eines gleichseitigen Dreiecks h =
a
⋅
2
3
Löse die Formel nach a auf.
Gesetz von Boyle – Mariotte
p1 = p2 ⋅
V2
V1
Löse die Formel nach p2 auf.
Parallelschaltung von Widerständen
I1 =
Löse die Formel nach V2 auf.
R2
⋅I
R1 2
Löse die Formel nach I2 auf.
Leistung eines elektrischen Gleichstroms P =
Löse die Formel nach R auf.
Kinetische Energie W =
Löse die Formel nach R1 auf.
U2
R
Löse die Formel nach U auf.
m 2
⋅v
2
Löse die Formel nach m auf.
Energie in einem Kondensator
W=
Löse die Formel nach v auf.
C ⋅ U2
2
Löse die Formel nach C auf.
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Löse die Formel nach U auf.
157
DialogMathe
Gleichungen praxisbezogen, Formeln
Mittellinie eines Trapezes m =
a+c
2
Löse die Formel nach a auf.
Massenträgheitsmoment einer Kugel
Löse die Formel nach c auf.
I = 52 ⋅ m ⋅ r 2
Löse die Formel nach m auf.
Löse die Formel nach r auf.
Volumen eines Kegels V = 31 ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ h
Löse die Formel nach h auf.
Löse die Formel nach r auf.
Umfang eines Rechtecks U = 2 ⋅ ( a + b )
Löse die Formel nach a auf.
Fahrenheit – und Celsiusgrade
Löse die Formel nach b auf.
C = 59 ⋅ ( F − 32 )
Löse die Formel nach F auf.
Fläche eines Trapezes
A=
a+c
⋅h
2
Löse die Formel nach h auf.
158
Löse die Formel nach a auf.
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Umwandeln einer Formel
Oberfläche eines Zylinders O = 2π ⋅ r ⋅ ( r + h )
Löse die Formel nach h auf.
Inkreisradius beim Dreieck r =
2A
a+b+c
Löse die Formel nach A auf.
Klemmspannung
Löse die Formel nach b auf.
UK = UL − I ⋅ Ri
Löse die Formel nach UL auf.
Übersetzungsverhältnis (Flaschenzug) n =
Löse die Formel nach r auf.
Senkrechter Wurf
h=
Löse die Formel nach I auf.
R−r
2R
Löse die Formel nach R auf.
v + v0
⋅t
2
Löse die Formel nach v auf.
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Löse die Formel nach t auf.
159
DialogMathe
Gleichungen praxisbezogen, Formeln
4.2 Graphische Interpretation: Diagramme
Die Gleichung s = v ⋅ t beschreibt den Weg s in Abhängigkeit der Zeit t, wobei
der Weg s auch durch die Geschwindigkeit v beeinflusst wird. Da wir die Zeit
variieren ist t die Variable und die konstant gehaltene Geschwindigkeit v der
Parameter. Die Abhängigkeit des Weges s von der Zeit t können wir in einem
Diagramm darstellen:
Wir interpretieren die
Zahlenpaare (t|s) als Punkte in
einem Koordinatensystem.
Das Diagramm ordnet einer
Zeit t den Weg s zu.
Direkte Proportionalität
Alle Punkte ( t | s ) , die wir durch s = v ⋅ t erhalten, liegen auf einer Geraden.
Abhängigkeiten dieser Form nennen wir direkte Proportionalitäten. Wenn wir
die Zeit verdoppeln, so verdoppelt sich auch der Weg!
Die Gleichung s = v ⋅ t zeigt uns, dass der Weg auch direkt proportional zur
Geschwindigkeit v ist. Wie beeinflusst der Parameter v das Diagramm?
Dies können wir mit unserem
Rechner erkunden, wenn wir v
als Schieberegler definieren.
Damit lässt sich die
Geschwinigkeit v als Parameter
für unsere Bewegung variieren.
Wir stellen fest, dass v die Neigung (Steigung) der Geraden im s-t-Diagramm
bestimmt. Die Geschwindigkeit wird auch als Änderungsrate des Weges
bezeichnet!
160
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
DialogMathe
Graphische Interpretation: Diagramme
Anders verhält sich die Abhängigkeit t von v: t =
s
v
Halten wir den Weg s konstant und verdoppeln die Geschwindigkeit v, so
halbiert sich die Zeit t. Abhängigkeiten dieser Form nennen wir indirekte
Proportionalitäten.
Indirekte Proportionalität
Die Zeit t ist proportional zu
Das t-v-Diagramm t ( v ) =
1
oder indirekt proportional zu v .
v
s
ist eine Hyperbel.
v
Was bewirkt die Änderung des Weges im Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm?
Die Gleichung t =
s
zeigt uns, dass die Zeit t direkt proportional zum Weg s
v
ist. Wie beeinflusst der Parameter s das Diagramm?
Dies können wir mit unserem
Rechner erkunden, wenn wir s
als Schieberegler definieren.
Damit lässt sich der Weg s als
Parameter für unsere Bewegung
variieren.
Wir stellen fest, dass der Weg s die Kurven (Hyperbeln) nach oben verschiebt!
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161
DialogMathe
Gleichungen praxisbezogen, Formeln
4.2.1
Beispiel: Gleichmässig beschleunigte Bewegung
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz:
v = v0 + a ⋅ t
Löse die Formel nach a auf.
Löse die Formel nach t auf.
Zeichne das v-t-Diagramm. Welche Informationen enthält dieses Diagramm?
(Anfangsgeschwindigkeit v0 , Beschleunigung a )
Weg-Zeit-Gesetz:
s = v0 ⋅ t +
a
2
⋅ t2
Löse die Formel nach v0 auf.
Löse die Formel nach a auf.
Warum kannst du die Gleichung nicht von Hand nach t auflösen?
Löse die Formel mit Hilfe des Rechners nach t auf und interpretiere das
Resultat.
162
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
DialogMathe
4.2.2
Graphische Interpretation: Diagramme
Partnerinterview mathematische Analogien
Partnerinterview mathematische Analogien
Zeit: 15 Minuten
Analysiere die Analogien der folgenden zwei Bewegungen in den Formeln
und in den Diagrammen (Steigung, Fläche).
Gleichförmige Bewegung
Definition: v = konstant
Gleichmässig beschleuinigte
Bewegung aus der Ruhe ( v 0 = 0 )
Definition: a = konstant
s = v⋅t
s=
Steigung v =
a
2
⋅ t2
∆s
= konstant
∆t
v = konstant
Diagramm: Fläche = Weg
∆v
=0
Steigung a =
∆t
v = a⋅t
Diagramm: Fläche = Weg
∆v
= konstant
Steigung a =
∆t
Beschleunigung a = 0
a = konstant
Diagramm: Fläche = Geschwinigkeit
Für allgemeine Bewegungen (Beschleunigung a nicht konstant) gibt es ein
mathematisches Prinzip um Änderungsraten (Steigung) und Flächen unter
den Kurven zu bestimmen (Differential- und Integralrechnung).
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163
DialogMathe
Gleichungen praxisbezogen, Formeln
4.3 Differential- und Integralrechnung
Obwohl die Differenzial- und Integralrechnung nicht im Lehrplan der
technischen BMS aufgeführt ist, werden wir uns kurz in diesem Kapitel damit
beschäftigen. Der Grund liegt in meinen Erfahrungen, die ich selbst als
Lernender gemacht habe. Ich hatte Mühe die „Schulphysik“ zu verstehen.
Das Verständnis für die Physik kam erst, als ich die Differenzial – und
Integralrechnung zur Verfügung hatte.
Was ist Differenzial- und Integralrechnung?
Die Differenzial- und Integralrechnung ist eine weit entwickelte Methode des
Umgangs mit funktionalen Beziehungen, welche in den wissenschaftlichen
und mathematischen Problemen auftauchen. Seit ihren Anfängen ist sie eine
Sprache zur Beschreibung des quantitativen Zusammenhangs verschiedener
Grössen und liefert Werkzeuge zur Erforschung dieser Zusammenhänge. Die
grosse Faszination, welche sie auszuüben vermag, liegt wesentlich in ihren
vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten und ihren Beziehungen zu anderen
Wissenschaften. Sie liefert die Grundlage zur Möglichkeit der Mathematisierung konkreter Probleme, welche es erlaubt, die Probleme genauer zu erfassen
und Prognosen über den Verlauf zu erstellen. So basieren sowohl die Berechnungen der Planetenbahnen, Voraussagen über den Verlauf chemischer Reaktionen, die Wetterprognosen wie auch Prognosen über wirtschaftliche oder
soziale Entwicklungen auf Modellen, welche die Werkzeuge der Differenzialund Integralrechnung verwenden.
4.3.1
Prinzip für die Definition einer Momentangrösse
Physikalische Grössen sind im allgemeinen Momentangrössen d.h. sie ändern
sich ständig. Um solche Momentangrössen zu beschreiben, entwickelte
Newton seine Fluxionsrechnung (1670 – 1680) die heutige Differential-und
Integralrechnung.
Eigentlich sind die Definitionen von Momentangrössen sehr anschaulich, da
sie von Messprinzipien ausgehen und erst nachträglich durch Abstraktion
164
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
DialogMathe
Differential- und Integralrechnung
ihre exakte Form erhalten. Dieses Prinzip wollen wir verstehen und dann
verstehen wir auch, dass in der Praxis eine Momentangrösse immer nur
angenähert gemessen werden kann.
Momentangrösse als Grenzwert
Wir nehmen die Durchschnittsgrösse für ein Zeitintervall ∆ t = t 2 − t1 . Dann
lassen wir ∆ t immer kleiner werden bis als Grenzwert ∆ t = 0 wird, dann ist
t 2 = t1 und wir haben die Momentangrösse im Zeitpunkt t1 .
Die Grenzwertbildung wird in der Mathematik ausführlich studiert
(Differentialquotient, Ableitung). In der Praxis bei der Messung sollte ∆ t sehr
klein gewählt werden, was die Messtechnik nicht immer erlaubt.
Beispiel Geschwindigkeit als Momentangrösse
Um die Geschwindigkeit v
eines Autos zu messen müssen
wir den zurückgelegten Weg ∆s
und die dazu benötigte Zeit ∆t
ermitteln. Daraus ergibt sich die
Durchschnittsgeschwindigkeit:
v=
∆s
(Sekantensteigung)
∆t
Momentangeschwindigkeit als Grenzwert
Bei der Momentangeschwindigkeit müssen wir ∆t gegen Null streben lassen:
v=
∆s
lim
∆t → 0 ∆ t
(Tangentensteigung, lim = Limes, Grenzwert)
Beispiel für Genzwertbildung: Freier Fall
Weg-Zeit-Gesetz: s(t) = 5 t 2
(s =
g
2
⋅ t2 ,
g
2
≈ 5ms−2
)
Wir wollen die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t1 ermitteln. Dazu lassen wir
die Bewegung bis t 2 weiterlaufen und bestimmen ∆s = s ( t2 ) − s ( t1 ) und mit
∆t = t 2 − t1 die Geschwindigkeit v ( t1 ) =
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
∆s
.
∆t
165
DialogMathe
Gleichungen praxisbezogen, Formeln
t1
t2
∆t
s(t1)
s(t2)
∆s
v(t1)
[s]
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
[s]
3
2.9
2.8
2.7
2.6
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
2.01
2.001
2.0001
2.00001
2.000001
2.0000001
2.00000001
2.000000001
[s]
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.01
0.001
0.0001
0.00001
0.000001
0.0000001
0.00000001
0.000000001
[m]
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
[m]
45
42.05
39.2
36.45
33.8
31.25
28.8
26.45
24.2
22.05
20.2005
20.020005
20.00200005
20.0002
20.00002
20.000002
20.0000002
20.00000002
[m]
25
22.05
19.2
16.45
13.8
11.25
8.8
6.45
4.2
2.05
0.2005
0.020005
0.00200005
0.000200001
0.00002
0.000002
0.0000002
0.00000002
[ms ]
25
24.5
24
23.5
23
22.5
22
21.5
21
20.5
20.05
20.005
20.0005
20.00005
20.000005
20.00000048
20
20
-1
Die Tabelle verdeutlicht uns den Grenzübergang:
Wir lassen t 2 = 3s nach t1 = 2s streben d.h. ∆t = t 2 − t1 gegen Null.
Dann strebt auch ∆s gegen Null (in der Zeit ∆t = 0 bewegt sich der Körper
um ∆s = 0 ).
Wir erhalten für die Geschwindigkeit den Differenzenquotient v =
∆s 0
= ,
∆t 0
wobei sich für die Geschwindigkeit als Grenzwert v = 20ms −1 ergibt.
Der Grenzwert lässt sich als Differentialquotient formal exakt bestimmen :
v=
∆s
lim
∆t → 0 ∆ t
=
ds ɺ
=s
dt
(zeitliche Ableitung schreiben wir mit einem Punkt: „s Punkt“)
Für die zeitliche Ableitung von s(t) = 5 t 2 erhalten wir: sɺ (t) = 10 ⋅ t
(v = g⋅ t)
ɺ
und für die Geschwindigkeit v(t1 ) = s(2)
= 10 ⋅ 2 = 20 ms−1
Beispiel : Momentan – und Durchschnittsgeschwindigkeit
Das Weg-Zeit-Gesetz eines Körpers ist gegeben durch:
s(t) = 5 ⋅ t 3 + 4 ⋅ t [ t in Sekunden ergibt s in Metern].
Bestimme die Momentangeschwindigkeiten v(t) mit deinem Rechner und
berechne die Geschwindigkeiten zu den Zeitpunkten t1 = 4s und t 2 = 8s .
166
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
DialogMathe
Differential- und Integralrechnung
Wir erhalten: v(t) = 15 ⋅ t 2 + 4 und v(4s) = 244ms−1 ; v(8s) = 964ms−1 .
Wie gross ist die Durchschnittsgeschwindigkeit v im Zeitintervall [ 4s; 8s ] ?
v =
∆ s s ( 8 ) − s ( 4 ) 2592m − 336m
=
=
= 564ms−1
∆t
8−4
4s
Definition: Momentangeschwindigkeit und Momentanbeschleunigung
Die Momentangeschwindigkeit v ist die zeitliche Ableitung des Weges s(t).
v=
∆s
lim
∆t → 0 ∆ t
=
ds
= sɺ
dt
(sprich: s Punkt )
Die Geschwindigkeit entspricht der Steigung im Weg-Zeit-Diagramm.
Die Momentanbeschleunigung a ist die zeitliche Ableitung der
Geschwindigkeit v(t).
a=
Merke:
∆v
lim
∆t → 0 ∆ t
=
dv
= vɺ
dt
(sprich: v Punkt )
Da die Geschwindigkeit die erste Ableitung von s(t) ist, ergibt sich die
Beschleunigung als zweite Ableitung von s(t): a = vɺ = ɺɺs . Die Beschleunigung
entspricht der Steigung im Geschwindigkeits-Zeit- Diagramm.
Umkehrung der Differentialrechnung : Integralrechnung
Bei der gleichförmigen Bewegung und bei der gleichmässig beschleunigten
Bewegung haben wir gelernt, dass wir den zurückgelegten Weg eines Körpers
als Fläche unter der v(t)-Kurve erhalten.
Kennen wir nun die Geschwindigkeit v(t), so können wir auch im
allgemeinen Fall den zurückgelegten Weg als Fläche unter der v(t)-Kurve
berechnen. Die Fläche erhalten wir durch ein bekanntes Verfahren in der
Analysis: Die Integration. Da die Geschwindigkeit v(t) nicht konstant ist, gilt
das Weg-Zeit-Gesetz der gleichförmigen Bewegung s = v ⋅ t nicht!
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167
DialogMathe
Gleichungen praxisbezogen, Formeln
Wir können nun aber die Bewegung in kleine Zeitintervalle ∆ t i unterteilen, so
dass während eines Zeitintervalls ∆ t i die Geschwindigkeit vi näherungsweise
konstant angesehen werden kann. So lassen sich die Wegstücke ∆ si
berechnen: ∆ si ≈ v i ⋅ ∆ t i
Den total zurückgelegten Weg s erhalten wir als Summe der Wegstücke ∆ si .
Wenn wir die Bewegung in n Zeitintervalle ∆ t1, ∆ t 2 ,⋯ ,∆ t i ,⋯ , ∆ t n unterteilen,
so erhalten wir für den Weg
s≈
n
∑ ∆ si ≈
i =1
n
∑ vi ⋅ ∆ ti
i =1
Grenzübergang:
Machen wir die Unterteilung
unendlich fein (n → ∞ ) d.h.
∆ t i → 0 , so geht die Summe in
das Integral über (
∑
→
∫
) und
wir erhalten exakt den Weg s.
s=
lim
n →∞
n
t2
i =1
t1
∑ v i ⋅ ∆ ti =
∫ v dt
Beispiel: gleichmässig beschleunigte Bewegung: v(t) = a ⋅ t
s = ∫ v dt =
t2
∫ ( a ⋅ t ) dt
t1
t2
=  a2 ⋅ t 2  =
t1
a
2
⋅ t 22 − a2 ⋅ t12
Dreiecksfläche bzw. Trapezfläche!
Unser CAS-Rechner kann auch integrieren:
Analog zu s = ∫ v dt gilt für die Geschwindigkeit v = ∫ a dt d.h. die
Geschwindigkeit ist die Fläche unter der Beschleunigungs –Zeit- Kurve.
168
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
DialogMathe
Differential- und Integralrechnung
Beispiel freier Fall
Beschleunigung: g ≈ 10 ms−2 (konstant)
( v = g ⋅t )
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz: v(t) = 10 t
Weg-Zeit-Gesetz: s(t) = 5 t 2
Integrieren
(s =
g
2
⋅ t2
)
Differenzieren
Graphische Interpretation (Graphisches Differenzieren und Integrieren)
Zusammenhang
Weg – Geschwinigkeit
2
ds d ( 5 ⋅ t )
ɺ
v= s=
=
= 10 ⋅ t
dt
dt
Die Geschwindigkeit ist die
Tangentensteigung im
Wegdiagramm.
Geschwindigkeit =
Änderungsrate des Wegs
Zusammenhang
Geschwindigkeit - Weg
s = ∫ v dt =
to
∫ ( 10 ⋅ t ) dt
0
t
o
=  5 ⋅ t 2  = 5 ⋅ t o2
0
Der Weg ist die Fläche im
Geschwindigkeitsdiagramm
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
169
DialogMathe
Gleichungen praxisbezogen, Formeln
4.3.2
Anwendung: Trägheitsnavigation
Es ist heute möglich geworden, sehr genaue Beschleunigungsmesser zu
bauen. Diese haben die bemerkenswerte Eigenschaft, die Beschleunigung in
einer vorgewählten Richtung zu messen und als elektrische Spannung für die
Weiterverarbeitung darzustellen. Durch elektronisches Integrieren erhalten
wir daraus die Geschwindigkeit. Durch nochmaliges Integrieren erhalten wir
aus der Geschwindigkeit den momentanen Ort (Position). Nach diesem
Prinzip funktioniert die unheimliche Präzision von Interkontinentalraketen.
Dabei ist der Zielpunkt fest einprogrammiert, und die Rakete findet ihr Ziel
auch bei grossen äusseren Störungen (Winde usw.).
Mathematisch integrieren (Fläche unter der Kurve berechnen, Zustand)
Die Beschleunigung a(t) eines Flugkörpers wird gemessen, daraus wird der
t
Geschwindigkeitszuwachs ∆v = ∫ a(t') dt' berechnet und damit v(t).
t1
t
Mit v(t) wird der Wegzuwachs ∆x = ∫ v(t') dt' berechnet und damit x(t).
t1
Beschleunigung
Geschwindigkeit
Weg (Position)
Beschleunigungsmesser
Fläche im a-t-Diagramm
Fläche im v-t-Diagramm
t
a(t) gemessen
v(t) = v(t1 ) +
∫ a(t') dt'
t1
t
x(t) = x(t1 ) +
∫ v(t') dt'
t1
x(t) vergleichen mit der vorgegebenen Bahnkurve. Abweichungen können
durch die Beschleunigung a(t) mit Hilfe des Triebwerks korrigiert werden.
Dazu muss a(t) bestimmt werden:
170
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DialogMathe
Ursache-Wirkungs-Prinzip,
Prinzip, lineare Denkweise
Mathematisch differenzieren (Steigung der Tangente berechnen,
berechnen, Änderungsrate)
Änderungsrate
Weg (Position)
Geschwindigkeit
Beschleunigung
Bahnkurve
Steigung
Steigung
im x-t-Diagramm
im v-tt-Diagramm
x(t)
ɺ
v(t) = x(t)
ɺ = ɺɺ
a(t) = v(t)
x(t)
4.4 Ursache-Wirkungs
Wirkungs-Prinzip, lineare Denkweise
Das Denken in Ursache und Wirkung ist eine lineare Denkweise,
Denkweise die durch
die Frage „Warum?“ erforscht wird. Diese kausale Frage mag bei einfachen
einfach
Zusammenhängen sinnvoll sein. Beziehungen als dauerhafte Interaktionen
können mit dieser Denkweise jedoch nicht angemessen beschrieben werden.
Im Bereich der unbelebten Materie sind kausale Zusammenhänge
Zusammenhänge von
blossem
em Nacheinander relativ einfach abzugrenzen.
Im zwischenmenschlichen Bereich ist das wesentlich komplexer.
Angemessener ist es also, die Aktionen und Reaktionen
Reaktionen nicht linear sondern
als Kreislauf - zirkulär - zu beschreiben (siehe Vorwort).. In dem Begriff
Teufelskreis wird die Zirkularität einer solchen Situation verdeutlicht. Ein
zwischenmenschlicher Teufelskreis kann als ein kybernetischer Regelkreis
beschrieben
schrieben werden.
Lerneinheit 1.2
.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
171
DialogMathe
Gleichungen praxisbezogen, Formeln
Mathematische Strukturgleichheit
Ein Ziel der Wissenschaft ist es, in der Vielzahl der Erscheinungen,
Gemeinsamkeiten zu erkennen. Mathematik ist das mächtigste Instrument für
das quantitative Denken, für Vergleiche und Vorhersagen. Das ist ein Grund
dafür, dass Ergebnisse in der Wissenschaft in mathematischer Form
dargestellt werden. Zudem ist die Verständigung über Zahlen und Formeln
leichter als über Worte. Oft geht jedoch mit der Mathematik die Anschaulichkeit verloren. Ein weiterer Grund für die Bedeutung der Mathematik ist, dass
viele Erscheinungen in der Wissenschaft durch in der Struktur identische
Gleichungen beschrieben werden können, die gleichartige Lösungen haben.
Diese sich mathematisch zeigende Strukturgleichheit, können wir ausnützen
um Erscheinungen anhand von Analogien schneller zu verstehen.
4.4.1
Modell: Stationärer Fluss
Prinzip: Wirkung proportional Ursache
Ist die Ursache zeitlich konstant, so ergibt sich eine zeitlich konstante Wirkung
z.B. in der Transporttheorie ein stationärer Fluss d.h. pro Zeiteinheit fliesst
durch einen Querschnitt immer gleichviel „Substanz“.
Das Ohmsche Gesetz U = R ⋅ I ist ein Musterbeispiel für einen stationären
Fluss. In der Gleichstromlehre ist der elektrische Strom I proportional zur
angelegten Spannung U. Der Proportionalitätsfaktor ist der Widerstand R.
172
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
DialogMathe
4.4.2
Ursache-Wirkungs-Prinzip, lineare Denkweise
Modell stationärer Fluss in der Elektrizitätslehre (Ohmsches Gesetz)
(stationär heisst, dass der Fluss konstant bleibt)
Es gilt: Wirkung proportional Ursache!
Beim elektrischen Strom I fliesst
Ladung Q. Damit Ladung fliessen kann,
braucht sie als Ursache eine Spannung
U (Potentialdifferenz ∆ V = V2 − V1 ).
Stell dir vor, du beobachtest den
Querschnitt A eines Kupferdrahtes und
zählst wie viel Ladung ∆Q pro
Zeiteinheit ∆t hindurchfliesst. Daraus lässt sich die Stromstärke I bestimmen:
I = ∆∆Qt . Es gilt weiter: Der Strom I ist proportional zur Spannung U
1 ⋅ U (Leitwertdenken, Leitwert G = 1 ) oder
I=R
R
U = R ⋅ I (Widerstandsdenken)
Von welchen Grössen hängt der Widerstand R ab? R ist abhängig einerseits
von der Geometrie des Leiters (Länge L, Querschnitt A), andererseits vom
Material (Leitfähigkeit σ ). Überlege dir, welche der drei Grössen direkt
proportional (steht im Zähler) und welche indirekt proportional (steht im
Nenner) zum Widerstand ist.
Widerstand: R =
•
L
A⋅σ
(Leitwert:
1 A⋅σ
=
)
R
L
Verdoppeln wir die Länge L des Drahtes, so wird auch der Widerstand
R verdoppelt.
•
Verdoppeln wir den Querschnitt A des Drahtes, so wird der
Widerstand R halbiert.
•
Ist die Leitfähigkeit σ um den Faktor 2 grösser, so ist der Widerstand R
um den Faktor 2 kleiner.
Überlege dir, welche Grösse du erhälst, wenn du Ursache mal Wirkung
rechnest!
Das Ohmsche Gesetz , kann in Analogie (stationärer Fluss) auf andere Gebiete
der Physik übertragen werden.
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
173
DialogMathe
Gleichungen praxisbezogen, Formeln
Teilbereich der Physik
Ursache
„Substanz“
Wirkung
Elektrizitätslehre
Spannung U = ∆V
Ladung
Ladungsfluss
Wärmelehre
Temperaturdifferenz
Wärme
Wärmefluss
Hydrodynamik
Druckdifferenz
Wasser
Wasserfluss
Feuchte
Dampfdruckdifferenz Wasserdampf Dampffluss
4.4.3 Partnerinterview Modell stationärer Fluss in der Wärmelehre
Partnerinterview Modell stationärer Fluss in der Wärmelehre
Zeit: 15 Minuten
Zur Berechnung der Wärmeleitung kann die Analogie zum elektrischen Strom
verwendet werden. Diskutiere das Modell!
Modell stationärer Fluss in der Wärmelehre
Zeichne entsprechnende Grössen in die untenstehende Skizze ein.
Stell dir folgende Fragen:
Was ist ein Wärmestrom (Definition, physikalische Einheiten)
Was ist die Ursache für einen Wärmestrom?
Von welchen Grössen ist der Wärmewiderstand abhängig?
174
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
DialogMathe
4.4.4
Ursache-Wirkungs-Prinzip, lineare Denkweise
Analogien Elektrizitätslehre / Wärmelehre
Es treten Analogien zum elektrischen Strom auf, die die Anwendung des
ohmschen Gesetzes und der kirchhoffschen Regeln bei der Wärmeübertragung ermöglichen. So ist die Behandlung der Wärmeleitung
(Widerstand R) und die Wärmespeicherung (Kapazität C) mit den Methoden
der Elektrotechnik möglich.
Elektrizitätslehre
Wärmelehre
Elektrischer Widerstand R
Wärmewiderstand R
Elektrische Spannung U
Temperaturdifferenz ∆ϑ
(Potentialdifferenz ∆V )
Elektrischer Strom I
ɺ
Wärmestrom Q
Elektrische Leitfähigkeit σ
Wärmeleitfähigkeit λ
Elektrische Kapazität C
Wärmekapazität C = c ⋅ m
Wärmefluss oder Entropiefluss?
In der Wärmelehre wird immer noch gestritten, welches Modell verwendet
werden soll. Die Analogie kann hier etwas Licht ins Dunkel bringen, indem
wir das Produkt Ursache mal Wirkung betrachten.
Ursache mal Wirkung
Elektrizitästlehre
ɺ = P (Leistung)
U ⋅ I = ∆V ⋅ Q
Wärmelehre
ɺ schon eine Leistung ist handelt
Da Q
ɺ um Lesitung mal
es sich bei ∆T ⋅ Q
Temperatur
∆p ⋅ Vɺ = P (Leistung)
Strömungslehre
Definition Entropie: S =
Q Wärmemenge
=
= "reduzierte Wärme"
T
Temperatur
Temperaturdifferenz x Entropiefluss = Leistung ( ∆T ⋅ Sɺ = P )
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
175
DialogMathe
Gleichungen praxisbezogen, Formeln
4.5 Beispiel Auslenkung einer Feder,
Feder Spannarbeit
4.5.1 Partnerinterview
w Spannarbeit einer Feder
Partnerinterview Spannarbeit einer Feder
Zeit: 15 Minuten
Eine Feder wird langsam durch die Kraft F um die Länge x von der
kräftefreien Lage ausgezogen. Welche Arbeit W verrichtet die Kraft F ?
Federgesetz : F = D ⋅ x
( D = Federkonstante)
Die Kraft F ist nicht
n
konstant längs des Weges x! Mit dem Konzept der
Integralrechnung erhalten wir:
lim (
n→∞
n
x
i =1
0
∑ Fi ⋅ ∆ x i ) = ∫ F(x) dx
Summe der Rechtecksflächen = Dreiecksfläche (unendlich feine Unterteilung)
Auftrag:
Überdenke nochmals das Konzept der Integralrechnung mit Hilfe des
untenstehenden
n F-x- Diagramms.
xo
W=
∫ F(x) dx =
0
176
xo
x
 D ⋅ x 2  o = D ⋅ x 2 − D ⋅ 02 = D ⋅ x 2
D
⋅
x
dx
=
∫
 2

2 o
2
2 o
0
0
Lerneinheit 1.2
.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
DialogMathe
Merke:
Beispiel Auslenkung einer Feder, Spannarbeit
Die Spannarbeit W einer Feder ist die Fläche unter der F-x-Kurve
Kurve
( Kraft-Weg-Diagramm
Diagramm ) :
4.5.2
W
=
F⋅x
D ⋅ x2
=
2
2
Anwendungen Feder
Beispiel Spannarbeit
Gegeben ist eine Feder mit der Federkonstanten D = 100Nm−1 .
a) Welche Kraft muss aufgewendet werden um die Feder bei der
Auslenkung x1 = 5 cm zu halten?
b) Welche Arbeit wird verrichtet um die Feder
von der Ruhelage um x1 = 5 cm auszuziehen?
c) Welche Arbeit wird verrichtet um die Feder
von x1 = 5 cm auf x 2 = 10 cm zu spannen?
Knacknuss: Federspanner
Ein Federkraftmesser mit dem Messbereich 25 N hängt von der Decke und
zieht gleichzeitig an einem anderen
Federkraftmesser, der am Fussboden
befestigt ist. Professor Ratlos fragt sich,
ob er den oberen Federkraftmesser
überdehnt, wenn er zusätzlich ein
Massestück
sestück von 1 kg anhängt? Was
zeigen die beiden Kraftmesser an, wenn
wir das Kilogramm an den oberen
Kraftmesser hängen?
Lerneinheit 1.2
.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
177
DialogMathe
Gleichungen praxisbezogen, Formeln
4.6 Übungen: Interpretation von Formeln
4.6.1
Interpretation Kreisbewegung/Winkelgeschwindigkeit
Interpretiere die Formel der Winkelgeschwindigkeit ω =
4.6.2
2π
.
T
Abhängigkeiten Dreiecksfläche Umkreisradius
Formel für den Umkreisradius r in einem Dreieck: r =
a ⋅b ⋅c
4A
a,b,c: Seitenlängen , A: Dreiecksfläche
Widerlege oder bestätige folgende Behauptung:
Wird die Fläche eines Dreiecks verdoppelt, so wird der Umkreisradius halbiert.
178
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
DialogMathe
4.6.3
Übungen: Interpretation von Formeln
Analogie: Ohmsches Gesetz / Bewegungsgleichung
Zeichne die Diagramme und diskutiere die Analogie.
Ohmsches Gesetz U = R ⋅ I
Gesetz / Formel
Bewegungsgleichung F = m ⋅ a
Diagramm
Ursache
Wirkung
Widerstand
Die Masse m (Widerstand) eines Körpers gegen Bewegungen wird in der
Bewegungslehre Trägheit genannt.
4.6.4
Analogie: Bewegung / Feder
Zeichne die Diagramme und diskutiere die Analogie.
Formel
Bewegung
Feder
v = a ⋅ t (linear)
F = D ⋅ x (linear)
Diagramm
Formel
a
D 2
⋅ x (quadratisch)
2
s = ⋅ t 2 (quadratisch)
W =
Der Weg s ist die Fläche im
Die Spannarbeit W ist die Fläche im
Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm.
Kraft-Weg-Diagramm.
2
Diagramm
Zusammenhang
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179
DialogMathe
Gleichungen praxisbezogen, Formeln
4.7 Modell: Newtonsches Gravitationsgesetz
Zwei Massen ziehen sich an. Mit Hilfe der folgenden Gleichung kann die
Anziehungskraft F von zwei Massen m 1 und m 2 im Abstand r berechnet
werden, wobei γ = 6,673 ⋅ 10
F= γ⋅
4.7.1
−11
Nm2 kg−2 die Gravitationskonstante ist.
m1 ⋅ m 2
r2
Allgemeiner experimenteller Befund
Irgend zwei Massen m 1 und m 2 ziehen sich an.
m 1 übt auf m 2 eine Anziehungskraft F2,1 aus.
Ebenso übt m 2 nach actio = reactio eine gleich
grosse entgegengesetzte gerichtete Anziehungskraft F1,2 auf m 1 aus.
Notation: F2,1 : Kraft auf Körper 2 ( m 2 ) herrührend von Körper 1 ( m 1 )
F1,2 : Kraft auf Körper 1 ( m 1 ) herrührend von Körper 2 ( m 2 )
Wird eine Masse (z.B. m 1 ) bei gleichem Abstand r
der Zentren verdoppelt, so werden die
Anziehungskräfte ebenfalls doppelt so gross.
Wird z.B. m 1 verdreifacht und m 2 vervierfacht, so werden bei gleichem
Abstand r der Zentren die Anziehungskräfte verzwölffacht (3 mal 4 = 12)
Die Anziehungskräfte sind proportional zu m 1 und proportional zu m 2 .
Wird bei gleichbleibenden Massen m 1 ,
m 2 der Abstand r verdoppelt, so sinken
die Anziehungskräfte auf 41 .
Wird der Abstand r verfünffacht, so sinken die Anziehungskräfte auf
Die Anziehungskräfte sind proportional zu
1
25
.
1
.
r2
Die Messung der äusserst kleinen Kräfte geschieht im Labor mit der
Gravitationswaage.
Beispiel:
180
m 1 = 2kg , m 2 = 1 kg , r = 10cm
→
F1,2 = F2,1 = 1,3 ⋅ 10 − 8 N
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
DialogMathe
Modell: Newtonsches Gravitationsgesetz
Gravitationsgesetz von Newton
Befinden sich zwei Massenpunkte 1 und 2 mit den Massen m 1 und m 2 im
Abstand r, dann ziehen sie sich mit den Kräften F1,2 = − F2,1 an, wobei gilt:
F1,2 = F2,1 = γ ⋅
m1 ⋅ m 2
r2
Die Gravitationskonstante γ ist universell und muss experimentell bestimmt
werden: γ = 6,673 ⋅ 10 −11 Nm 2kg −2
Beachte Modell Massenpunkt
Das Newtonsche Gravitationsgesetz gilt nur für Massenpunkte.
Massenpunkte
Beim Massenpunkt handelt es sich um ein Denkmodell, bei dem die räumliche
Ausdehnung eines Körpers ausser Betracht bleibt. Wir betrachten einen
Körper als punktförmig, d.h. die
die gesamte Masse des Körpers ist auf einen
Punkt „zusammengeschrumpft“. So lassen sich grundlegende
Zusammenhänge
hänge leichter erkennen und mathematisch einfacher darstellen.
4.7.2
Anziehungskräfte zwischen Menschen
Ein Junge und ein Mädchen sitzen in einem Abstand von r = 1m auf einem
Sofa. Ihre Massen betragen mM = 50kg , mJ = 100kg .
Welche Anziehungskraft übt das Mädchen auf den Jungen aus?
Welche Anziehungskraft übt der Junge auf das Mädchen aus?
FJ,M = γ ⋅
mJ ⋅ mM
100kg ⋅ 50kg
= 6,673 ⋅ 10 −11 Nm2kg − 2
= 3,34 ⋅ 10 − 7 N
2
r
( 1m )2
FM,J = FJ,M = 3,34 ⋅ 10 − 7 N (actio = reactio)
Lerneinheit 1.2
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181
DialogMathe
Gleichungen praxisbezogen, Formeln
Die Anziehungskräfte sind sehr klein, so dass wir sie im Alltag nicht
wahrnehmen. Jedoch spüren wir die Anziehungskraft der Erde!
4.7.3
Wichtige Anwendung des Gravitationsgesetzes: Gewichtskraft
Wir nehmen für m 1 die Erdmasse M, und für m 2 eine Probemasse m und
messen mit einer Federwaage die Anziehungskraft auf m herrührend von M.
Daten
Erdmasse: M = 5,976 ⋅ 10 24 kg
Probemasse: m = 1kg
mittlerer Erdradius:
RE = 6,371 ⋅ 10 6 m
An der Erdoberfläche gilt:
FG = γ ⋅
M ⋅ m
5,976 ⋅ 10 24 kg ⋅ 1kg
− 11
2
−2
=
⋅
⋅
6,673
10
Nm
kg
2
R2E
 6,371 ⋅ 10 6 m 
=
6,673 ⋅ 5,976 10 −11 ⋅ 10 24
Nm 2kg − 2 ⋅ kg ⋅ kg
⋅
⋅
2
6,3712
m2
( 10 6 )
= 0,982 ⋅ 10 1 ⋅ N = 9,82 N
Für eine allgemeine Probemasse m gilt: FG = 9,82 ⋅ m [ m in kg → FG in N ]
Feststellungen und Bezeichnungen
Ein Körper mit der Masse m wird mit einer Kraft in Richtung Erdmittelpunkt
angezogen. Diese Kraft heisst Schwerkraft (Gewichtskraft, Kurzzeichen FG
oder G) des Körpers. FG ist proportional zur Masse m . Da die Gewichtskraft
immer und überall proportional zur Masse m ist, definieren wir: FG = m ⋅ g
g = Proportionalitätsfaktor genannt Fallbeschleunigung , [Einheiten : Newton
pro Kilogramm = Nkg−1 = ms−2 ], g hängt vom Himmelskörper und vom Ort
und Höhe auf diesem ab.
m = Masse des Körpers , [Einheit : kg]
FG = Gewichtskraft des Körpers = Kraft mit welcher der Himmelskörper die
Masse m anzieht. [Einheit : N]
182
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
DialogMathe
Modell: Newtonsches Gravitationsgesetz
Die gleichen Überlegungen können wir bezüglich irgendeines Himmelskörpers machen. Für Mond und Jupiter ergeben sich folgende Verhältnisse:
FG (Mond) ≈
1
F (Erde) ; FG (Jupiter) ≈ 2,5 FG (Erde)
6 G
Fallbeschleunigung an der Oberfläche eines Himmelskörpers
FG = γ ⋅
M⋅m
γ ⋅M
=
⋅m = g⋅m
2
R
R2
mit
g=
γ ⋅M
,
R2
wobei γ die universelle Gravitationskonstante ist, M die Masse und R der
Radius des Himmelskörpers.
Ist der Himmelskörper die Erde, so heisst g die Erdbeschleunigung.
Beispiele :
g n = 9,80665 ms − 2 (Normwert, Paris)
g = 9,80590 ms − 2 (in St. Gallen)
g A = 9,7803 ms − 2 (am Äquator)
g P = 9,8322 ms − 2 (am Nordpol)
g = 9,81 ms − 2 (für Rechnungen mit dem Taschenrechner)
g ≈ 10 ms -2 (für Kopfrechnungen und Abschätzungen)
Die Gewichtskraft FG eines Körpers hängt ab:
•
Vom Ort auf der Erdoberfläche
•
Von der Meereshöhe h: r = RE + h
Grund: Abplattung der Erde, unregelmässige
Massenverteilung im Erdinnern.
Pol : kleinere Entfernung (r) ergibt grössere Gewichtskraft ( FG )
Äquator : grössere Entfernung (r) ergibt kleinere Gewichtskraft ( FG )
4.7.4
Abhängigkeiten der Erdbeschleunigung
Überprüfe die folgende Behauptung auf ihre Richtigkeit. Die Antwort ist
rechnerisch zu begründen!
Behauptung: Hätte die Erde doppelte Masse und doppelten Radius, so wäre
die Erdbeschleunigung nur halb so gross.
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
183
DialogMathe
Gleichungen praxisbezogen, Formeln
Die Erdbeschleunigung g = g ( γ,M,R ) ist abhäbgig von der
Gravitationskonstanten γ , der Erdmasse M und dem Erdradius R.
g =
γ ⋅ M
R2
Veränderung: γ' = γ ,
g' =
4.7.5
M' = 2M , R' = 2R
γ' ⋅ M'
γ ⋅ 2M
2 γ ⋅M
1
=
= ⋅ 2 = ⋅ g ⇒ Behauptung ist richtig
2
2
4
2
R'
R
( 2R )
Vergleich: Modell / Realität
Gewichtskraft: FG = γ ⋅
M⋅m
r2
Modell : Massenpunkt
Die gesamte Masse M der Erde ist
„zusammengeschrumpft“ auf einen
Punkt im Ursprung.
→ FG ∝
1
für r ∈ ] 0 , ∞
r2
[
Real : M ist eine Kugel
1
r2
→
FG ∝
→
FG ∝ r
FG ∝
M
r2
für r ∈ [ R E , ∞ [
für r ∈ ] 0 , R E ]
und M ∝ r 3 ,denn M = ρ ⋅ V = ρ ⋅
4π 3
r
3
Wenn wir ins Erdinnere gehen, nimmt die Masse der Erde ab. Die Masse
ausserhalb trägt nichts mehr bei zur Gravitationskraft (Satz von Gauss in der
Feldtheorie).
184
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DialogMathe
4.7.6
Modell: Newtonsches Gravitationsgesetz
Fernwirkungstheorie / Nahwirkungstheorie
Fernwirkungstheorie
Das Gravitationsgesetz beschreibt uns quantitativ die Wechselwirkung von
zwei Massen aufeinander. Es ist eine durch Erfahrung bestätigte Regel für den
Zusammenhang von physikalischen Grössen ( m1 , m 2 , r ). Das Gravitationsgesetz gibt uns keine Erklärung, warum sich zwei Massen anziehen. Die
Massen wirken über Distanz durch den leeren Raum aufeinander. Sie tun dies
auf geheimnisvolle Weise. Direkt und ohne „Zwischending“ (Medium,
Vermittler). Beispiel : Wenn wir die Masse m1 verdoppeln, so wird die Kraft
F2,1 auf die Masse m 2 herrührend von m1 auch verdoppelt. Es stellt sich die
Frage: Wie merkt m 2 , dass wir m1 verdoppelt haben? Wir können dieses
Problem beseitigen, indem wir eine neue Theorie (Anschauung) entwickeln
eine sogenannte Feldtheorie (Nahwirkungstheorie).
Nahwirkungstheorie
Die Massen verändern den sie umgebenden Raum. Die Veränderung wird
durch das Gravitationsfeld beschrieben. Die Wechselwirkung von zwei
Massen m1 und m 2 erklärt sich dabei so:
Interpretation der
Gravitationsfeld
Massenanziehung:
m1 erzeugt ein
m1
Gravitationsfeld.
m 2 befindet sich im Feld,
m2
welches eine Kraft FG auf m 2
ausübt.
m1 verändert den umgebenden Raum. Um m1 existiert deshalb ein
Gravitationsfeld, herrührend von m1 allein. m 2 befindet sich in diesem Feld
(wie eine Sonde oder ein Empfänger!) und spürt es direkt an ihrem Ort. Das
Feld von m1 wirkt am Ort von m 2 auf sie.
Die Nahwirkungstheorie verwendet also eine Art Vermittler (das
Gravitationsfeld) für die Kraft. Alle modernen physikalischen Theorien sind
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185
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Gleichungen praxisbezogen, Formeln
nach diesem Muster aufgebaut. Wie können wir das Gravitationsfeld
definieren? Das Gravitationsfeld wird mittels einer Feldstärke g über eine
FG
Kraftwirkung definiert: g =
m
Die Definition einer neuen physikalischen Grösse muss auch ein Prinzip
angeben, das die Messung der Grösse erlaubt. Messvorschrift: Bestimmung
der Feldstärke g in einem Raumpunkt P: Nehme eine Sonde mit der
Probemasse m und gehe damit zum Raumpunkt P. Bestimme die Kraft FG auf
die Probesonde. Dividiere die erhaltene Kraft durch die Probemasse m.
Mathematische Analogie
Coulomb’sches Gesetz
Newton‘sches
(Kräftewirkung von zwei
Gravitationsgesetzes
Ladungen)
Kraftgesetz
F1,2 = F2,1 = k ⋅
Analoge Grössen
WW-Teilchen
Q1 ⋅ Q 2
r2
F1,2 = F2,1 = γ ⋅
m1 ⋅ m 2
r2
Ladung Q
Masse m
Es gibt positive und
Warum gibt es keine
negative Ladungen.
negative Masse?
Photonen
Gravitonen
Die Feldtheorie erklärt das
1
Kraftgesetz.
r2
Eine Punktquelle erzeugt ein Feld konstanter Feldstärke. Im Abstand r von
der Quelle verteilt sich die Feldstärke auf eine Kugeloberfläche ( 4π ⋅ r 2 ) , d.h.
da die Fläche mit r 2 zunimmt, nimmt die Feldstärke mit r 2 ab.
Quantisierung
In den Feldtheorien werden die Felder quantisiert. Eine Quelle strahlt nicht
kontinuierlich, sondern sie strahlt Energiepakete ab (Quanten).
Durch dieses Konzept entstehen Wechselwirkungsteilchen, die die
Kraftwirkungen erklären.
186
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DialogMathe
Definition Gleichung
5 Gleichungen mathematisch
Was ist eine Gleichung?
In der Mathematik erhalten wir eine Gleichung, wenn wir zwei Terme
gleichsetzen. Probleme lösen heisst Gleichungen aufzustellen, diese zu lösen
und die Lösungen zu interpretieren. Das Auflösen von Gleichungen hängt
vom Gleichungstyp ab. Es ist sinnvoll für die wichtigsten Gleichungstypen
Auflösungsstrategien parat zu haben, wobei der Rechner uns diese Arbeit,
wenn nötig, abnehmen kann. Strategien zum Lösen von Gleichungen können
jedoch auch unser Verständnis für die gestellten Problemstellungen fördern.
Darstellungsformen
Bei angewandten Problemen macht es meistens Sinn, die abstrakten
Gleichungen zu interpretieren. Unser Rechner gibt uns die Chance
Gleichungen zu visualisieren. So lassen sich Methoden entwickeln , um nebst
der algebraischen Darstellungsform auch die graphische für die
Problemlösung einzusetzen. Der erfahrene Praktiker benutzt beide
Darstellungsformen und gewinnt an Verständnis, indem er die Möglichkeit
ausnutzt, zwischen den Darstellungsformen zu wechseln.
5.1 Definition Gleichung
Definition Gleichung
Werden zwei Terme gleichgesetzt, so entsteht eine Gleichung: T1 = T2
5.1.1 Partnerinterview Definition Gleichung
Partnerinterview Definition Gleichung
Zeit: 5 Minuten
Entscheide, ob eine Gleichung vorliegt oder nicht? Begründe kurz!
1.
3x − 2 = 5 − 5x
2.
4x − 3 = 12
3.
3 ⋅ ( 6x − 2 ) + 3x
4.
4 + 9 = 13
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187
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Gleichungen mathematisch
5.
3+5= 4
6.
( 3x + 5 )2
7.
( 3x + 5 )2 = 1
8.
2x − : 3 = 5x
9.
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
10.
an ⋅ am = an + m
11.
a+b =a
Eine Gleichung kann ohne Variablen als Behauptung (Nr. 4 und Nr. 5) oder
als Forderung (Nr. 9, Nr. 10 und Nr. 11) aufgefasst werden. Damit sind
folgende Fragen sinnvoll:
•
Ist die Behauptung wahr oder falsch?
•
Ist die Forderung erfüllt oder nicht?
Enthält eine Gleichung Variablen (Nr. 1, Nr. 2 und Nr. 7), so müssen die
Fragen umformuliert werden:
•
Für welchen Wert der Variablen ist die Behauptung wahr resp. falsch?
Dies bedeutet, dass erst nach der Belegung der Variablen mit konkreten
Werten aus der Grundmenge, entschieden werden kann, ob die Behauptung
wahr oder falsch ist. Der Wahrheitswert hängt bei einer Gleichung mit
Variablen von der Belegung ab!
5.1.2 Aussage, Aussageform
Definition Aussageform
Eine Behauptung , die mindestens eine Variable enthält, deren Wahrheitswert
also von der wählbaren Belegung der Variablen abhängt, heisst Aussageform.
Sobald wir in einer Aussageform alle Variablen konkret belegen, geht die
Aussageform in eine Aussage über.
Definition Aussage
Eine Behauptung, die entweder wahr oder falsch ist, heisst Aussage.
188
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Definition Gleichung
Partnerinterview Aussage
Zeit: 5 Minuten
Bei welchen der nachfolgenden Behauptungen handelt es sich um Aussagen?
Bestimme bei den Aussagen jeweils den Wahrheitswert.
Behauptung
Aussage?
Wahrheitswert
Bern ist die Hauptstadt der Schweiz.
Ja
Nein
5 ist eine Primzahl
Ja
Nein
2+5=9
Ja
Nein
2x + 5 = 21
Ja
Nein
Wie geht es dir?
Ja
Nein
Bring mir das Buch!
Ja
Nein
( a − b )2 = a2 − 2ab + b2
Ja
Nein
2 ⋅ ( a ⋅ b ) = 2a2 ⋅ 2b2
Ja
Nein
2
Eine Gleichung mit Variablen (Unbekannten) ist eine Aussageform. Sie wird
zu einer wahren oder einer falschen Aussage, wenn die Variable durch Zahlen
aus der Grundmenge ersetzt werden.
Lösungsmenge einer Gleichung
Eine Gleichung zu lösen bedeutet, aus einer vorgegebenen Grundmenge alle
Werte zu bestimmen, welche die Gleichung (Aussageform) zu einer wahren
Aussage machen. Es gibt Gleichungen, für die mehrere solcher Werte
existieren. Man spricht deshalb von einer Lösungsmenge L der Gleichung.
5.1.3 Einteilung der Gleichungen
Wir unterscheiden identische Gleichungen (Identitäten) und
Bestimmungsgleichungen.
Identitäten
Identitäten sind Gleichungen, die allgemeine algebraische Warheiten
enthalten.
Beispiele: 6 + 3 = 9
( a − b )2 = a2 − 2ab + b2
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189
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Gleichungen mathematisch
a2 = a
Für die vorkommenden Variablen dürfen beliebige reelle Zahlen eingesetzt
werden. Die Gleichung ist immer erfüllt.
Bestimmungsgleichungen
Bestimmungsgleichungen sind Gleichungen, die nur für gewisse Werte der
Variablen erfüllt sind.
Wir unterscheiden bei den Bestimmungsgleichungen zwischen algebraischen
Gleichungen und transzendenten Gleichungen.
Beispiele algebraische Gleichungen
Gleichungen 1. Grades (lineare Gleichungen)
8x + 7 = 25
Die Unbekannte kommt in der ersten Potenz vor.
Gleichungen 2. Grades (quadratische Gleichungen)
x 2 + 5x − 24 = 0
Die Unbekannte kommt in der zweiten Potenz vor.
Gleichungen 3. Grades (kubische Gleichungen)
x 3 + 6x 2 − 3x − 2 = 0
Die Unbekannte kommt in der dritten Potenz vor.
Gleichungen n-ten Grades
an xn + an −1xn −1 + an − 2 xn − 2 + ⋯⋯ + a2 x 2 + a1x + a0 = 0
Die Unbekannte kommt in der n-ten Potenz vor.
Wurzelgleichungen
2x + 3 =
2x 2 + x − 1
Die Unbekannte kommt mindestens einmal unter einer Wurzel vor.
Beispiele transzendente Gleichung
Exponentialgleichung:
e x + e2x = 2
Logarithmische Gleichung:
log ( 2x ) + log ( x ) = 4
Goniometrische Gleichung:
sin ( x ) − cos ( x ) = 0,5
Kombiniert:
190
sin ( x ) ⋅  e− x + 1 = ln ( x )
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Definition Gleichung
Partnerinterview Gleichungstypen
Zeit: 10 Minuten
Bestimme bei den nachfolgenden Gleichungen möglichst genau den
Gleichungstyp.
Kennst du Strategien um die Gleichung zu lösen?
Nr.
Gleichung
1.
5x 2 − 12x + 2 = 0
2.
3x + 4 = 4x + 2
3.
2x = 8
4.
( 3x − 1) ⋅ ( x + 3 ) = 0
5.
cos ( x ) = 0,5
6.
a ⋅b = a ⋅ b
7.
x +3 = x−2
8.
x 2 + 2x − 4 = x 2 + 3
9.
x ⋅ ( x 2 + 2x − 4 ) = 3
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Gleichungstyp
191
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Gleichungen mathematisch
5.2 Lösen einer Gleichung, Äquivalenzumformungen
Viele praktische Probleme lassen sich in knapper Form mit Hilfe von
Gleichungen formulieren. Mit Gleichungen lassen sich Sachverhalte oder
Abläufe in der Wirtschaft, in der Technik und in den Naturwissenschaften
beschreiben. Unbekannte Grössen, die in Gleichungen auftreten, können in
systematischer Weise ermittelt werden, was einen grossen Teil
mathematischer Arbeit ausmacht. Der sichere Umgang mit Gleichungen ist
daher von grosser Bedeutung.
Das Lösen einer Gleichung kann auf unterschiedliche Arten erfolgen. Dazu
gehören:
•
Äquivalenzumformungen
•
Graphische und numerische Verfahren
•
Spezielle Auflösungsverfahren
Grundlegend im Umgang mit Gleichungen sind die Äquivalenzumformungen. Darunter verstehen wir solche Umformungen einer Gleichung, die die
Lösungsmenge nicht verändern. Auf diese Weise umgeformte Gleichungen
sind, was die Lösungsmenge betrifft, äquivalent ( = gleichwertig).
Auflösungsstrategie
Ziel dieser Umformungen ist es, die Gleichungsvariable zu isolieren, d.h.
allein auf eine Gleichungsseite zu bringen.
Eine unveränderte Lösungsmenge ist bei Umformungen einer Gleichung nicht
selbstverständlich, wie wir noch sehen werden. Es gibt Umformungen, bei
denen Lösungen dazukommen oder wegfallen können.
Äquivalenzumformungen
Eine Äquivalenzumformung einer Gleichung liegt vor, wenn wir
1. beide Seiten vertauschen
2. auf beiden Seiten der Gleichung entweder denselben Term addieren oder
subtrahieren.
3. beide Seiten der Gleichung mit demselben Term multipliziert oder durch
denselben Term dividieren. Achtung! Der Term darf nicht gleich 0 sein.
192
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Lösen einer Gleichung, Äquivalenzumformungen
5.2.1 Äquivalenzumformungen mit dem Rechner
Beispiel: 3x − 2 = 21 x
Strategie:
Die Unbekannte x auf einer Seite isolieren!
Schritt 1:
Gleichung mit 2 Multiplizieren (Gleichung in Klammern setzen und mit 2
( 3x − 2 = 21 x ) ⋅ 2
multiplizieren)
→
2 ⋅ ( 3x − 2 ) = x
Schritt 2:
Linke Seite ausmultiplizieren. exp and ( 2 ⋅ ( 3x − 2 ) = x )
Schritt 3:
Beidseitig x subtrahieren
( 6x − 4 = x ) − x → 5x − 4 = 0
Schritt 4:
Beidseitig 4 addieren
( 5x − 4 = 0 ) + 4 → 5x = 4
Schritt 5:
Gleichung mit 5 dividieren
→ 6x − 4 = x
( 5x = 4 ) : 5 → x =
4
5
Bei der umgeformten Gleichung x = 54 ist die Lösung direkt ablesbar!
Die Lösung dieser Gleichung ist auch Lösung der ursprünglichen Gleichung
(da nur Äquivalenzumformungen benutzt wurden).
Probe ( x = 54 einsetzen) : 3 ⋅ 54 − 2 = 21 ⋅ 54
12 − 2 = 1 ⋅ 4 2
5
2
5
2 = 2
5 5
⇒
wahre Aussage (Identität)
x = 54 ist eine Lösung der Gleichung.
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193
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Gleichungen mathematisch
5.2.2 Partnerinterview Äquivalenzumformungen
Partnerinterview Äquivalenzumformungen
Zeit: 10 Minuten
Welche der folgenden Umformungen sind Äquivalenzumformungen?
Nr.
Gleichung
Umformung
1.
7x − 4 = 3x
+4
2.
7x − 4 = 3x
− 3x
3.
7x − 4 = 3x
⋅0
4.
7x − 4 = 3x
⋅a
5.
7x − 4 = 3x
:3
6.
7x − 4 = 3x
:a
7.
x ⋅ ( 3 − x ) = 4x
:x
Äquivalenzumformung?
Merke
Division durch die Variable ist keine Äquivalenzumformung.
Daher: Nie durch die Variable dividieren!
Beispiel
x ⋅ ( 3 − x ) = 4x
(Voraussetzung x ≠ 0)
:x
3−x = 4
+x
x = −1 →
x ⋅ ( 3 − x ) = 4x
−4
Seitenvertauschen
L = { −1}
Linke Seite ausmultiplizieren
3x − x 2 = 4x
+ x2
0 = x2 + x
− 3x
Re chte Seite faktorisieren
0 = x ⋅ ( x + 1)
x = 0 und x + 1 = 0
→ L = { − 1, 0 }
Bei der Division durch x verlieren wir die Lösung x = 0!
194
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Lösen einer Gleichung, Äquivalenzumformungen
5.2.3 Übungen
Auflösen von Gleichungen mit Hilfe von Äquivalenzumformungen.
Beispiel 1
2x + 3 = 4
2x + 3 = 4 / −3
2x
=1 /:2
x=
Beispiel 2
1
2
u + 2 = 3 ⋅ ( 2u − 1)
u + 2 = 3 ⋅ ( 2u − 1)
u + 2 = 6u − 3
/ auf der rechten Seite ausmultiplizieren
/ −u / +3
5 = 5u
/ Seiten vertauschen
5u = 5
/:5
u=1
Übung 1 bis 5: Löse die Gleichungen auf. Gib jeweils die Äquivalenzumformungen an.
Übung 1
a)
x +1= 3
b)
x−2=5
c)
2x = 5
d)
x
=1
2
e)
3x + 1 = 0
f)
x
−1= 0
4
g)
3x 1
=
4
2
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195
Gleichungen mathematisch
h)
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2x 1
− =0
5 2
Übung 2
a)
4x = 0
b)
a
=2
5
c)
3m
=0
5
d)
1
= 2k
5
e)
0, 3n = 0, 4
f)
e
= 0,1
2
g)
s
− 0,2 = 0
5
h)
p
− 0,2 = 0
0,1
196
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Lösen einer Gleichung, Äquivalenzumformungen
Übung 3
a)
3c − 4 = 2c
b)
u
− 1 = 2u
2
c)
2v + 3 = − v + 2
d)
−4a + 0,5 = a + 2
e)
0,1 ⋅ b + 2 = b + 0, 2
f)
c
− 1 = 2c − 11
3
Übung 4
a)
x + 2 = 3⋅(2 − x)
b)
4y − ( 1 + y ) = 0
c)
2 ⋅ ( 1 − 4x ) = − ( 1 + 2x )
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Gleichungen mathematisch
d)
k + 2 ⋅ ( 1 − 3k ) = 2 − k
e)
1 − ( c + 1) = 2 − 3c
f)
0,1 ⋅ ( d + 3 ) = 0,02 + 0,3 ⋅ d
DialogMathe
Übung 5
a)
r
− 3 = 0,2 + 2r
0,1
b)
0,5d +
c)
k 4−k
=
2
3
d)
m+4
= 3m
3
e)
a−2=
f)
 w − 4  ⋅ 0,1 = w
 0,3

7


198
1
= 2d
2
a
+ 0,5
2
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DialogMathe
Lösen einer Gleichung, Äquivalenzumformungen
Übung 6 (komplexere Gleichungen)
a)
b)
h=
A 
b⋅A 
⋅a +
− 1 Löse die Gleichung nach b auf!
2 
2c 
w=
1 
1+ k 
 Löse die Gleichung nach m2 auf!
⋅ v 1 −
2  1 + m1 
m2 

c −b
2
⋅ ( y − 1) ⋅
h
z
c)
n = b− 2⋅
d)
a=
1 1
1  2
−
+
⋅
2b  c b ⋅ c  3
e)
A=
x a 1
x+3
− ⋅ x −
Löse die Gleichung nach x auf!
b 2 2
b 
b=−
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A2
m2 =
Löse die Gleichung nach b auf! b =
Löse die Gleichung nach c auf!
2c ⋅ ( a ⋅ A − 2h − 2 )
m1 ⋅ ( v − 2w )
k ⋅ v + 2w
4c ⋅ y + h ⋅ n ⋅ z − 4c
4y + h ⋅ z − 4
c=−
x=
4 ( b + 1)
3 ( 2a ⋅ b − 1)
2 ( 3a − 2b ⋅ A )
a ⋅(b − 2) − 4
199
DialogMathe
Gleichungen mathematisch
5.3 Graphisches Lösen von Gleichungen
5.3.1
Gleichungen vom Typ T ( x ) = 0
Beispiel: 2x − 5 = 0
Graphische Darstellung der Gleichung:
Linke Seite der Gleichung: y = f1(x) = 2x − 5 (Gerade)
Rechte Seite der Gleichung: y = 0 (x-Achse)
Lösung: Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse x = 2,5
Folgerung: Eine lineare Gleichung hat immer genau eine Lösung.
5.3.2
Gleichungen vom Typ T1 ( x ) = T2 ( x )
Beispiel: 2x − 5 = − x + 4
Graphische Darstellung der Gleichung:
Linke Seite der Gleichung: y = f1(x) = 2x − 5 (Gerade)
Rechte Seite der Gleichung: y = f 2(x) = − x + 4 (Gerade)
Lösung: x-Koordinate des Schnittpunkts der beiden Geraden x = 3
200
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
DialogMathe
5.3.3
Graphisches Lösen von Gleichungen
Gleichungen mit Parametern
Gegeben ist die Gleichung 10x − 3 = ax , ( a ∈ R )
a) Bei welchem Wert von a wird die Gleichung nicht erfüllbar?
b) Bei welchem Wert von a ist die Lösung der Gleichung 2?
Graphische Darstellung der Gleichung:
Linke Seite der Gleichung: y = f1(x) = 10x − 3 (Gerade)
Rechte Seite der Gleichung: y = f 2(x) = a ⋅ x (Gerade)
Den Parameter a als Schieberegler definieren.
a = 2,5
→
x = 0,4
a = −10
→
x = 0,15
a) Bei welchem Wert von a wird die Gleichung nicht erfüllbar?
Gleichung nach x auflösen:
10x − 3 = ax
/ −ax / +3
10x − ax = 3
/ x ausklammern
x ( 10 − a ) = 3
x=
/ : ( 10 − a ) ; a ≠ 10
3
10 − a
Beim Auflösen der Gleichung gibt es eine Bedingung für den Parameter a:
a ≠ 10 , d.h. für a = 10 hat die Gleichung keine Lösung.
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
201
DialogMathe
Gleichungen mathematisch
Graphische Interpretation für a = 10
Die beiden Geraden sind
parallel. Es gibt keinen
Schnittpunkt und somit keine
Lösung.
b) Bei welchem Wert von a ist die Lösung der Gleichung 2?
Für x = 2 in die Gleichung einsetzen und nach a auflösen:
10x − 3 = ax
→
20 − 3 = 2a
→
a = 8,5
Graphisch: Schieberegler
variieren bis x-Koordinate vom
Schnittpunkt 2 beträgt.
Diese Methoden funktionieren auch, wenn die Gleichungen nicht linear sind,
d.h. wenn die Terme T(x) beliebig sind.
Beispiel: x 3 − 3 ⋅ x 2 − 33 ⋅ x + 35 = 0
Lösungen: Drei Schnittpunkte
mit der x-Achse.
x1 = −5
x2 = 1
x3 = 7
202
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
DialogMathe
Lösen einer Gleichung durch Faktorisieren
5.4 Lösen einer Gleichung durch Faktorisieren
Lineare Gleichungen können durch Äquivalenzumformungen aufgelöst
werden. Dieses Verfahren ist bei quadratischen Gleichungen nicht mehr
zielführend. Bei diesen Gleichungen gibt es jedoch ein spezielles
Auflösungsverfahren, das die quadratische Gleichung auf zwei lineare
Gleichungen zurückführt. Um eine mögliche Strategie zum Lösen von
quadratischen Gleichungen zu entwickeln, benötigen wir folgende wichtige
Aussage:
„Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.“
Beispiel
x 2 + 4x + 3 = 5x + 9
1. Schritt:
Auf einer Seite der Gleichung muss Null stehen!
Dies können wir durch Äquivalenzumformungen erreichen.
x 2 + 4x + 3 = 5x + 9
/ −5x
/ −9
x −x−6 =0
2
2. Schritt:
Den quadratischen Ausdruck faktorisieren.
Wenn die Lösungen ganzzahlig sind, gelingt uns das, indem wir die Vieta –
Struktur ausnützen.
x2 − x − 6 = ( x + 2 ) ⋅ ( x − 3 )
( x + 2 ) und ( x − 3 ) heissen Linearfaktoren (x kommt in der ersten Potenz
vor). Die Lösungen der Gleichung ( x + 2 ) ⋅ ( x − 3 ) = 0 erhalten wir, indem
wir die einzelnen Linearfaktoren Null setzen:
x+2=0
→
x = −2
x−3 =0
→
x=3
Wir stellen fest:
Jeder Linearfaktor liefert uns eine Lösung der Gleichung. Kehren wir diesen
Sachverhalt um, so können wir auch sagen, dass jede Lösung der Gleichung
einen Linearfaktor ergibt.
Beispiel
Bestimme eine quadratische Gleichung, welche die beiden Lösungen x1 = 5
und x 2 = −3 hat.
( x − 5) ⋅( x + 3) = 0
ausmultiplizieren →
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
x2 − 2x − 15 = 0
203
DialogMathe
Gleichungen mathematisch
5.4.1 Partnerinterview Lösungen einer quadratischen Gleichung
Partnerinterview Lösungen einer quadratischen Gleichung
Zeit: 10 Minuten
Wie viele Lösungen hat eine quadratische Gleichung. Agumentiere mit Hilfe
der Linearfaktoren.
Diskutiere und Überdenke die folgenden Aussagen. Gib jeweils ein Beispiel
mit konkreten Zahlen an.
Eine quadratische Gleichung hat höchstens 2 Lösungen.
Beispiel:
Es gibt auch quadratische Gleichungen, die nur eine Lösung haben.
Beispiel:
Es gibt auch quadratische Gleichungen, die keine Lösung haben.
Beispiel:
204
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
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Lösen einer Gleichung durch Faktorisieren
5.4.2 Memo Linearfaktorzerlegung
Memo
Linearfaktorzerlegung
1) Quadratische Gleichung
Sind x1 und x2 die beiden Lösungen der normierten quadratischen Gleichung
x 2 + a1 x + a0 = 0 (normiert heisst a 2 = 1 ). Dann gilt: ( x − x1 ) ⋅ ( x − x 2 ) = 0
und x1 ⋅ x 2 = a0 , x1 + x 2 = − a1
Beweis:
( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 ) = x 2 − x 2 ⋅ x − x1 ⋅ x + x 1 ⋅ x 2 = x 2 + ( − x 2 − x 1 ) ⋅ x + x 1 ⋅ x 2
x 2 + ( − x1 − x 2 ) ⋅ x + x1 ⋅ x 2 = x 2 + a1 x + a0
Koeffizientenvergleich: a1 = − ( x1 + x 2 ) ; a0 = x1 ⋅ x 2
Linearfaktoren
( x − x1 ) und ( x − x2 ) heissen Linearfaktoren. Es gilt: Jeder Linearfaktor liefert
uns eine Lösung der Gleichung und umgekehrt jede Lösung der Gleichung
liefert uns einen Linearfaktor.
Satz von Vieta
Für eine normierte quadratische Gleichung x 2 + a1 x + a0 = 0 mit den reellen
Lösungen x1 und x2 gilt:
1. x1 + x 2 = − a1
2. x1 ⋅ x 2 = a0
3. ( x − x1 ) ⋅ ( x − x 2 ) = x 2 + a1 x + a 0
2) Kubische Gleichung
Ist x1 eine Lösung der kubischen Gleichung x3 + a2 x 2 + a1 x + a0 = 0 , so lässt
sich im Polynomterm der Linearfaktor x − x1 durch Division abspalten, und
es gilt:
x 3 + a 2 x 2 + a1 x + a 0 = q ( x ) ⋅ ( x − x1 ) , wobei q ( x ) vom Grad 2 ist.
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205
DialogMathe
Gleichungen mathematisch
Beispiel: x1 = −1 ist eine Lösung der Gleichung x3 − 6 x 2 + 3 x + 10 = 0 .
Zeige, dass x1 = −1 eine Lösung der Gleichung ist. Dazu müssen wir x1 in die
Gleichung einsetzen: ( −1) − 6 ⋅ ( −1) + 3 ⋅ ( −1) + 10 = −1 − 6 − 3 + 10 = 0
3
Spalte den Linearfaktor
x − x1 = x − ( −1) = x + 1 ab,
2
( x3 − 6 x2 + 3 x + 10 ) : ( x + 1) = x2 − 7x + 10
x3 + x 2
− 7 x 2 + 3 x + 10
indem du nebenstehende
− 7 x 2 − 7x
Polynomdivision ausführst.
10x + 10
10x + 10
0
Ergebnis: x3 − 6 x 2 + 3 x + 10 = ( x + 1) ⋅ ( x 2 − 7x + 10 )
Der quadratische Ausdruck kann durch die Vieta-Struktur weiter faktorisiert
werden: x 2 − 7x + 10 = ( x − 2 ) ⋅ ( x − 5 )
x3 − 6 x 2 + 3 x + 10 = ( x + 1) ⋅ ( x 2 − 7x + 10 ) = ( x + 1) ⋅ ( x − 2 ) ⋅ ( x − 5 )
x 2 = 2 und x 3 = 5
Übung 1
Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen durch Faktorisieren.
a)
x2 − x − 2 = 0
b)
x 2 − 6x + 9 = 0
c)
x4 − 1 = 0
Bestimme mit Hilfe des Rechners die Linearfaktorzerlegung der folgenden
Gleichung und gib die Lösungen an.
d)
x 6 − x 5 + 4x 4 + 2x 3 + 5x 2 − x − 2 = 0
e)
x 6 − 2x 5 + x 4 + x 2 − 2x + 1 = 0
206
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DialogMathe
Lösen einer Gleichung durch Faktorisieren
f)
x6 + 1 = 0
g)
x 5 + x 4 − 2x 3 − 2x 2 + x + 1 = 0
h)
x5 − x 4 + x − 1 = 0
Gleichungen, dessen Lösungen nicht ganzzahlig sind.
i)
x2 − 5 = 0
k)
x 2 − 10x + 1 = 0
l)
x 2 − 3x − 5 = 0
Übung 2
Ermittle die Lösungen der folgenden kubischen Gleichungen, wenn die
Lösung x1 gegeben ist.
a) x 3 + 3x 2 − 13x − 15 = 0 ; x1 = −1
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207
Gleichungen mathematisch
DialogMathe
b) x 3 − 19x + 30 = 0 ; x1 = 3
c) x 3 + 5x 2 − x − 5 = 0 ; x1 = −5
d) x 3 − 2x 2 + x − 2 = 0 ; x1 = 2
208
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Lösen einer Gleichung durch Faktorisieren
e) x 3 − 2x 2 − 4x + 8 = 0 ; x1 = −2
f) x 3 − 3x 2 + 3x − 1 = 0 ; x1 = 1
Übung 3
Bestimme eine Gleichung mit folgenden Eigenschaften:
a) Grad 3, Lösungen: x1 = −2 ,
x2 = 3 ,
x 3 = −5
b) Grad 2, keine Lösungen
c) Grad 4, nur die Lösung x1 = 1
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209
DialogMathe
Gleichungen mathematisch
5.4.3 Übungen: Gleichungen
Übung 1
Durch welche Umformung geht die Gleichung A in die Gleichung B über?
Bestimme die Lösungsmenge L A und LB .
Entscheide, ob die beiden Gleichungen äquivalent sind.
x2 − x = 0
B:
b) A :
x 2 = 2x
B:
x =2
c) A :
x2 = 4
B:
x =2
B:
7x = 8
d)
A : x 2 + 7x = x 2 + 8
e) A : ( x − 3 ) ⋅ ( x + 6 ) = 0
f) A :
x 2 = 25
g) A : ( x + 2 ) = 16
2
h) A : x ⋅ ( x 2 + 1) = x 2 + 1
Übung 2
x ⋅ ( x − 1) = 0
a) A :
B:
B:
B:
B:
x−3 =0
x =5
x+2 = 4
x =1
Für welchen Wert von m wird die Gleichung ( 4x − m ) ⋅ x = ( 3x 2 + 1) ⋅ m
linear?
210
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Übung 3
Lösen einer Gleichung durch Faktorisieren
Löse die folgenden Gleichungen nach x auf!
a)
( x + 1) ⋅ ( 4x − 3 ) = 2 ⋅ ( x + 1) ⋅ ( 2x + 3 )
b) ( x − 6 ) + ( x − 4 ) + ( 2x − 9 ) = ( x − 8 ) ⋅ ( 6x − 8 )
2
c)
2
2
( 5x + 1) ⋅ ( 2x − 1) − ( 2x + 1) ⋅ ( 3x − 5 ) = 4 ⋅ ( x + 3 ) ⋅ ( x − 1) − 4
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211
DialogMathe
Gleichungen mathematisch
Übung 4
Löse die folgenden Gleichungen nach x auf!
a)
3( x − 6 )
2( x − 3 )
x −1
x + 13
+ 15 +
= 25 +
−
4
3
2
5
b) 3x −
Übung 5
2x + 5
7x + 19
2x + 1
= 16 −
−
7
2
3
Löse die folgenden Gleichungen nach x auf!
a) ( a + b ) ⋅ ( x − b ) = a 2 − b 2
212
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Lösen einer Gleichung durch Faktorisieren
b)
a−x
x+b
=
b
a
c)
ax
bx
a+b
cx
−
=
−
m
n
2
3m
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213
DialogMathe
Gleichungen mathematisch
5.5 Lösen von Gleichungen mit dem Rechner
Solve() – Befehl
Im calculator, Taste menu, 3 Algebra, 1 Solve
Syntax: solve(Gleichung, Variable)
Wenn wir beim Ausarbeiten von mathematischen Problemen auf Gleichungen
stossen, die wir noch nicht von Hand lösen können, kann uns der Rechner
durch den solve() Befehl weiterhelfen und die Gleichung auflösen.
Beispiel: Lösen einer quadratischen Gleichung
2x 2 − 7x − 49 = 0 nach x auflösen
Lösungen: x1 = −3,5 und x 2 = 7
Beispiel: Lösen einer kubischen Gleichung
x 3 + 5x 2 − x − 5 = 0 nach x auflösen
Lösungen: x1 = −5 , x 2 = −1 und x3 = −1
Beispiel: Lösen einer Gleichung mit Parametern
h=
v + v0
⋅ t nach v auflösen
2
Lösung: v =
214
2h
− v0
t
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Lösen von Gleichungen mit dem Rechner
Beispiele aus den Übungen S 211 – S 213
Von Hand aufgelöste Gleichungen können mit dem Taschenrechner kontrolliert werden!
Übung 3a)
( x + 1) ⋅ ( 4x − 3 ) = 2 ⋅ ( x + 1) ⋅ ( 2x + 3 )
Verschiedene Auflösungsstrategien
1) Ausmultiplizieren
2) Gleichung durch x + 1 dividieren
Der Rechner warnt, dass die Lösungsmenge grösser sein kann.
Bei der Division durch den Linearfaktor x + 1 verlieren wir die Lösung x = − 1
3) Alternative: Nullform und faktorisieren
( x + 1) ⋅ ( 4x − 3 ) − 2 ⋅ ( x + 1) ⋅ ( 2x + 3 ) = 0
( x + 1) ⋅ [ 4x − 3 − 2 ⋅ ( 2x + 3 ) ] = 0
( x + 1) ⋅ [ 4x − 3 − 4x − 6 ] = 0
( x + 1) ⋅ [ −9 ] = 0
Übung 3b) ( x − 6 ) + ( x − 4 ) + ( 2x − 9 ) = ( x − 8 ) ⋅ ( 6x − 8 )
2
2
Die Gleichung hat keine Lösung: L = {
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2
}
215
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Gleichungen mathematisch
Übung 4b)
3x −
2x + 5
7x + 19
2x + 1
= 16 −
−
7
2
3
Strategie:
Nenner wegschaffen, d.h. Gleichung mit dem kgV der Nenner multiplizieren.
Übung 5a)
( a + b ) ⋅ ( x − b ) = a2 − b2
Übung 5b)
a−x
x+b
=
b
a
Lösung: x = a − b
Die Lösung hängt von den Parametern a und b ab. Wenn
a+b
=0
a⋅b
→
a+b = 0
→
a = −b
a = −b in die Gleichung eingesetzt:
Übung 5c)
216
→ L =R
−b − x
x+b
=
b
−b
→
−
x+b
x+b
=−
b
b
ax
bx
a+b
cx
−
=
−
m
n
2
3m
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Algebratraining: Gleichungen
5.6 Algebratraining: Gleichungen
Katzen frech am Ufer fauchen,
Enten rasch ins Wasser tauchen.
Vierzig Beine, achtzehn Tier’,
lös dies Rätsel zum Pläsier.
Aufgabe 1 bis 3
Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden
Gleichungen.
Beispiel
3
2−x
+
5x + 8
x2 − 4
−
2x + 1
( x + 2 )2
=
0
Nenner faktorisieren
Erster Bruch umformen:
−3
x−2
+
3
−3
=
2−x x−2
5x + 8
( x − 2 )( x + 2 )
Definitionsmenge:
−
2x + 1
( x + 2 )2
=
0
D = R \ { −2 ; 2 }
Strategie: Gleichung mit kgV der Nenner multiplizieren.
−3
x−2
+
5x + 8
x
2 )( x + 2 )
−
(
−
2x + 1
(x + 2)
2
=
/ ⋅ ( x − 2 )( x + 2 )
0
2
−3 ( x + 2 ) + ( 5x + 8 ) ( x + 2 ) − ( 2x + 1) ( x − 2 ) = 0
2
−3x 2 − 12x − 12 + 5x 2 + 18x + 16 − 2x 2 + 3x + 2 = 0
9x + 6 = 0
/ −6
9x = −6
x=−
Kontrollieren, ob x = −
/:9
2
3
2
in der Definitionsmenge enthalten ist.
3
Lösungsmenge L = { − 32 }
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217
DialogMathe
Gleichungen mathematisch
Aufgabe 1
218
a)
x
4x − 20x + 25
b)
24x + 1
1
5x − 2
3x + 2
+
=
−
2
4
4x − 16
3x + 12
2x − 32
2
−
1
4x − 10
+
10
4x − 25
2
=
0
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DialogMathe
Aufgabe 2
Algebratraining: Gleichungen
a)
b)
Aufgabe 3
4x + 6
2
x+3
−
=
2x
3
x
1
2
1
− 2
=
x−2
x
x − 2x
a) 2ax − 4a2 = bx − 4ab + b2
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219
DialogMathe
Gleichungen mathematisch
b)
c)
220
1
a+b
+
a+b
x
=
1
a−b
+
a−b
x
x2 − 4a2
8ax − 3x
1
−
= 1−
2
2
2
2
4a − 2x
x + 4ax + 4a
2x − 8a
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DialogMathe
2x2 Gleichungssysteme
6 Gleichungssysteme
Bei einer Gleichung, die mehr als eine Unbekannte hat, können die Unbekannten nicht bestimmt werden. Bei Problemen, die n Unbekannte besitzen,
brauchen wir n Gleichungen.
Wir sprechen dann von einem n x n - Gleichungssystem.
6.1 2x2 Gleichungssysteme
Die Gleichung 2x + y = 5 mit den Unbekannten (x ; y) hat unendlich viele
Lösungen, z.B. die Zahlenpaare
… ( −1; 7 ) , ( 0 ; 5 ) , ( 1; 3 ) , ( 2 ; 1) , ( 3 ; − 1) , ( 4 ; − 3 ) …
Die Gleichung x + 2y = 4 mit den Unbekannten (x ; y) hat unendlich viele
Lösungen, z.B. die Zahlenpaare
… ( −1; 2,5 ) , ( 0 ; 2 ) , ( 1; 1,5 ) , ( 2 ; 1) , ( 3 ; 0,5 ) , ( 4 ; 0 ) …
Die beiden Gleichungen haben genau ein Zahlenpaar ( 2 ; 1) gemeinsam.
Dieses Zahlenpaar erfüllt beide Gleichungen und ist die Lösung des
Gleichungssystems
2x + y = 5
x + 2y = 4
.
L = { ( 2 ; 1) }
6.1.1 Auflösungsverfahren für 2x2 Gleichungssysteme
Wir lernen drei verschiedene Verfahren kennen, die es uns gestatten die
Lösung von 2 x 2 – Gleichungssystemen zu bestimmen.
Strategie: Eine Unbekannte eliminieren.
Einsetzmethode
( 1) 2x + y = 5
( 2 ) x + 2y = 4
Gleichung (1) nach y auflösen und in Gleichung (2) einsetzen.
( 1 ) 2x + y = 5 → y = 5 − 2x
( 2 ) x + 2y = 4 → x + 2 ⋅ ( 5 − 2x ) = 4 → x + 10 − 4x = 4 → x = 2
Nun lässt sich auch y bestimmen: y = 5 − 2x = 5 − 4 = 1
Damit erhalten wir die Lösung des Gleichungssystems: L = { ( 2 ; 1 ) }
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221
DialogMathe
Gleichungssysteme
Gleichsetzmethode
( 1) 2x + y = 5
( 2 ) x + 2y = 4
Gleichung (1) und Gleichung (2) nach y auflösen und dann gleichsetzen.
( 1) 2x + y = 5 → y = 5 − 2x
( 2 ) x + 2y = 4 → y = 2 − 2x
5 − 2x = 2 − x
2
→
3x = 3
2
→
x=2
L = { ( 2 ; 1) }
y = 5 − 2x = 5 − 4 = 1
Additionsmethode
( 1) 2x + y = 5
( 2 ) x + 2y = 4
Wenn wir die Gleichungen mit Zahlen multiplizieren, ändert sich die Lösungsmenge nicht. Wir dürfen auch Gleichungen addieren.
Bei der Additionsmethode multiplizieren wir die Gleichungen derart, dass
beim Addieren der beiden Gleichungen eine Unbekannte eliminiert wird.
z.B. y eliminieren: Gleichung (1) mit −2 multiplizieren.
( 1) − 4x − 2y = −10
x + 2y = 4
( 2)
− 3x = −6
2x + y = 5
→
→
4+y =5
x=2
→
y =1
L = { ( 2 ; 1) }
6.1.2 Übungen 2x2 Gleichungssysteme
Löse folgende Gleichungssysteme nach x und y auf. Wähle jeweils eine
geeignete Methode.
a)
222
x + y = 10
x−y=4
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DialogMathe
2x2 Gleichungssysteme
b)
c)
d)
e)
5x + 7y = 176
5x − 3y = 46
x = 3y − 19
y = 3x − 23
2x + 4y = 0
4x + 7y = 0
2x + 7y = 16
6x + 21y = 48
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223
DialogMathe
Gleichungssysteme
f)
224
x = 3y − 19
18y = 6x + 38
g)
2 3
+ = 13
x y
1 2
+ =8
x y
h)
1 1 1
+ =
x y 2
1
1
1
−
=
2x 2y 12
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2x2 Gleichungssysteme
Lösungen:
a) L = { ( 7 ; 3 ) } b) L = { ( 17 ;13 ) } c) L = { ( 11; 10 ) } d) L = { ( 0 ; 0 ) }
f) L = {
e) L = R x R
6.1.3
}
g) L = { ( 1 ; 1 ) }
2 3
h) L = { ( 3 ; 6 ) }
Substitution
1 1 1
+ =
x y 2
1
1
1
−
=
2x 2y 12
Aufgabe h)
Substitution: u =
→
u+v =
1
x
; v=
1
y
1
2
1
1
1
u− v =
2
2
12
1
2
1
u−v =
6
2
2u
=
3
u+v =
u=
1
2
→
v=
1 1
=
6 y
→
y=6
u+v =
v=
→
1 1
=
3 x
1
−u
2
→
→
v=
x=3
1 1 1
− =
2 3 6
L = {( 3 ; 6 )}
Übungen
Löse mit Hilfe einer geeigneten Substitution!
a)
3
4
= 5 −
x+y
x−y
9
2
−
= −1 −
x+y
x−y
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b)
33
24
+
= 5
2
 + 3y 
 5y − 3 
x


x 



55
144
+
= 17
 2 + 3y 
 5y − 3 
x


x 



225
DialogMathe
Gleichungssysteme
6.1.4
Partnerinterview Gleichungssysteme, Auflösungsverfahren
Partnerinterview Gleichungssysteme, Auflösungsverfahren
Zeit: 10 Minuten
Was ist ein Gleichungssystem?
Was ist die Lösung eines Gleichungssystems?
Was für Typen von Gleichungssystemen kennst du?
Diskutiere die drei Auflösungsstrategien für ein lineares Gleichungssystem
mit zwei Gleichungen (Gl. 1 und Gl. 2) und zwei Unbekannten (x und y).
Einsetzmethode
Gleichsetzmethode
Additionsmethode
226
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
DialogMathe
3x3 Gleichungssysteme
6.2 3x3 Gleichungssysteme
6.2.1 Auflösen eines Gleichungssystems
Das Auflösen eines linearen Gleichungssystems ist eine Arbeit, die heutzutage
von Rechnern durchgeführt wird. Stelle dir vor, du stehst als Ingenieurin oder
als Biologe vor einem Problem, das du mit linearen Gleichungssystemen lösen
kannst. Dann wirst du die nötigen Rechnungen auf einem Computer durchführen. Bei der Benützung von Rechnern ist man bemüht, mit möglichst
wenig Angaben durchzukommen. Deshalb wird ein Gleichungssystem in der
Form eines Zahlenschemas angegeben. Das Gleichungssystem
x + 3y + 2z = 5
(1)
−2x + 2y − z = 1
− x + y − z = −2
beispielsweise wird auf das folgende Schema reduziert:
1 3
2
5
−2 2 −1
1
−1 1 −1 −2
(2)
Ein solches Schema, bei dem Zahlen in Zeilen und Spalten angeordnet sind,
nennen wir eine Matrix. Die Bedeutung der Zahlen ist in unserem Fall klar:
Die Zeilen entsprechen den einzelnen Gleichungen. Bei den Zahlen handelt es
sich um die Faktoren, mit denen die Unbekannten multipliziert werden bzw.
um die rechten Seiten der Gleichungen. Die Faktoren, mit denen die Unbekannten in einem linearen Gleichungssystem multipliziert werden, nennen
wir auch Koeffizienten.
Bei der Benützung eines Rechners gehen wir meist auf folgende Weise vor:
Zuerst setzen wir das Gleichungssystem in ein Zahlenschema um. Dieses
Schema geben wir dem Rechner ein. Wir erhalten als Resultat ein neues
Schema, das wir wieder als Gleichungssystem interpretieren. Aus diesem
äquivalenten, aber einfacheren System können wir die Lösungen dann leicht
ermitteln. Wir haben zum Beispiel das Schema (2) in unseren Rechner eingegeben und das folgende Resultat erhalten:
(3)
1
3
2
5
0
0
1
0
0.375 1.375
1
5
Es entspricht dem Gleichungssystem
x + 3y +
2z = 5
(4)
y + 0,375 z = 1,375
z=5
Dieses System hat genau eine Lösung. Wir können sie durch Einsetzen berechnen. Sie lautet (– 3.5, – 0.5, 5).
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
227
DialogMathe
Gleichungssysteme
Beispiel
Auflösen von Hand
x + 3y − 5z = 22 Gl. 1
2x − y − 3z = 2
Gl. 2
3x + 2y + z = 15
Gl. 3
Auflösen mit Computer
3 − 5 22 
 1
 2 −1 − 3 2 


 3
2
1 15 

Matrix A und Vektor b:
 1
 0

 0

Elimination von x
(Additionsmethode)
Gl. 2 + (– 2)Gl.1
Gl.3 + (– 3)Gl.1
x + 3y − 5z = 22
Gl. 1
0x − 7y + 7z = −42
Gl. 2
0x − 7y + 16z = −51
Gl. 3
3
( A | b)
−5
22 
7 − 42 
16 − 51 
−7
−7
TR: ref(A|b)
Elimination von y
Gl.3 +(– 1)Gl.2
x + 3y − 5z = 22
Gl. 1
0x − y + z = − 6
Gl. 2
0x + 0y + 9z = −9
Gl. 3
(– 1)Gl.2 und Gl.3/9
x + 3y − 5z = 22
Gl. 1
0x + y − z = 6
Gl. 2
0x + 0y + z = −1
Gl. 3
Rückwärts einsetzen z = − 1
Gl.2 : y − z = 6
→ y +1= 6 → y = 5
Gl1: x + 3y − 5z = 22
→ x + 15 + 5 = 22 → x = 2










1
3
−5
0
0
−1
0
1
9
1
3
−5
0
0
1
0
−1
1
22 
− 6 
− 9 
22 
6 
− 1 
TR: rref(A|b)
 1
 0

 0

0
0
1
0
0
1
2 
5 
− 1 
Simult(A,b)
Lösung: ( 2 | 5 | −1)
Solve(Gleichungssystem,Variablen)
228
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6.2.2
3x3 Gleichungssysteme
Anwendungen 3x3 Gleichungssysteme
Anwendung 1: Bewegungsaufgabe
Ein Radfahrer hat eine Geschwindigkeit von 25 km/h auf ebenem Gelände,
von 15 km/h bergaufwärts und 30 km/h abwärts. Wie viel ebenen, ansteigenden und absteigenden Weg enthält unter diesen Voraussetzungen eine Strasse
von 100km, wenn der Radfahrer 4 Stunden 24 Minuten braucht, um sie in der
einen Richtung, und 4 Stunden 36 Minuten, um sie in der anderen Richtung
zu durchfahren?
Lösung
Informationen in einer Tabelle strukturieren
Gelände
Geschwindigkeit in km/h
Weglänge in km
s
s = v⋅t → t =
v
eben
25
x
x
Einführen von Unbekannten :
1
x + y + z = 100
x +
aufwärts
15
y
abwärts
30
z
y
z
y + z = 100
x
y
z
22
+
+
=
6x + 10y + 5z = 660
25 15 30
5
6x + 5y + 10z = 690
x
y
z
23
3
+
+
=
25 30 15
5
Gleichung 1 : Gesamte Weglänge
Gleichung 2 : Zeit für Hinweg
Gleichung 3: Zeit für Rückweg (y und z vertauschen)
2
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x = 50
y = 22
z = 28
229
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Gleichungssysteme
Anwendung 2: zerstreuter Professor
Ein „zerstreuter Professor“ besitzt Fünf- , Zehn- und Zwanzigrappenmünzen,
total 65 Stück. Beim Zusammenzählen erhält er Fr. 9,25. Er merkt jedoch, dass
er die Anzahl Zehner und Zwanziger verwechselt hat. Beim erneuten Zusammenzählen erhält er Fr. 7,65. Diesmal hat der Unglückliche aber die Anzahl der Fünfer und Zehner verwechselt.
Wie viele Fünfer, Zehner und Zwanziger besitzt er?
230
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3x3 Gleichungssysteme
Anwendung 3: Politik
In einem Gemeindeparlament sitzen 63 Mitglieder aus den Parteien SP, CVP
und FDP. Nach einem Jahr wechseln zwei CVP – Leute zur FDP. Dadurch hat
die CVP nur noch 8 Mitglieder mehr im Parlament als die FDP.
Bei der nächsten Wahl verliert die FDP 7 Sitze, davon zwei an die SP. Andere
bis jetzt nicht im Parlament vertretene Parteien bleiben auch weiterhin ohne
Sitz. Dadurch hat die CVP dreimal so viele Vertreter wie die FDP.
Wie viele Mitglieder jeder Partei waren ursprünglich im Gemeindeparlament?
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231
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Gleichungssysteme
6.3 Geometrische Interpretation von linearen Gleichungssystemen
Im Zusammenhang mit Gleichungssystemen treten immer wieder Fragen
bezüglich der Lösbarkeit auf:
Existenz: Hat jedes System eine Lösung?
Eindeutigkeit: Kann es mehrere Lösungen geben?
Worin unterscheiden sich die Lösungen?
Lineares Gleichungssystem: Die Unbekannten kommen nur in der ersten
Potenz vor, d.h. Potenzen höherer Ordnung z.B. x 2 + y 5 = 1 oder kleinerer
1
1
Ordnung z.B. x 2 + y 5 = 1 oder mit der wurzelschreibweise
x +5 y =1
kommen nicht vor.
6.3.1
Einführendes Beispiel 2x2 Gleichungssystems
In Kapitel 6.1 haben wir gesehen, dass die Gleichung 2x + y = 5 mit den
Unbekannten (x ; y) unendlich viele Zahlenpaare als Lösungen hat.
Zahlenpaare, die die Gleichung 2x + y = 5 erfüllen.
x
……
–1
0
1
2
3
4
……
y
…….
7
5
3
1
–1
–3
……
Wir interpretieren nun diese Zahlenpaare (x ; y) als Punkte P ( x | y ) in einem
Koordinatensystem. Wenn wir die Gleichung 2x + y = 5 nach y auflösen,
können wir dies mit Hilfe des Rechners machen: f1(x) = y = −2x + 5 .
Der Rechner setzt für x alle reellen Zahlen ein und berechnet für jedes x den
zugehörigen y-Wert, den er dann graphisch im Koordinatensystem darstellt.
232
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Geometrische Interpretation von linearen Gleichungssystemen
Wir stellen fest: Alle Punkte P ( x | y ) , dessen Koordinaten (x ; y) die
Gleichung 2x + y = 5 erfüllen, liegen auf einer Geraden.
Wir interpretieren die zweite Gleichung von Kapitel 6.1 auf die gleiche Art.
Zahlenpaare, die die Gleichung x + 2y = 4 erfüllen.
x
……
–1
0
1
2
3
4
……
y
…….
2,5
2
1,5
1
0,5
0
……
Auflösen der Gleichung nach y: f 2(x) = y = − 21 x + 2
Wir stellen auch hier fest:
Alle Punkte P ( x | y ) , dessen
Koordinaten (x ; y) die
Gleichung x + 2y = 4 erfüllen,
liegen auf einer Geraden.
Im Kapitel 6.1 haben wir festgestellt, dass die beiden Gleichungen genau ein
Zahlenpaar ( 2 ; 1) gemeinsam haben.
Dieses Zahlenpaar erfüllt beide Gleichungen und ist die Lösung L = { ( 2 ; 1) }
des Gleichungssystems
2x + y = 5
x + 2y = 4
.
Geometrische Interpretation der Lösung eines 2x2-Gleichungssystems
Die Lösung des Gleichungssystems ist das Zahlenpaar,
dessen Punkt auf beiden
Geraden liegt. Diesen Punkt
erhalten wir als Schnittpunkt
der beiden Geraden, die durch
die beiden Gleichungen
beschrieben werden.
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233
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Gleichungssysteme
6.3.2 Parameter der Geradengleichung
Um eine Gerade graphisch zu interpretieren, muss die Gleichung nach y aufgelöst werden. Wir erhalten Gleichungen der Form: y = m ⋅ x + q
Fragestellung: Wie beeinflussen die beiden Parameter m und q die Gerade?
Dies können wir mit unserem Rechner untersuchen.
Wir geben die Gleichung f1( x ) = m ⋅ x + q in den Rechner ein, wobei wir die
beiden Parameter m und q als Schieberegler definieren.
Experimentiere mit den beiden Parametern m und q.
Wie ändert sich die Gerade, wenn m variiert wird!
Bedeutung von m
Mache die Fallunterscheidung:
m positiv
m negativ
Was ergibt sich für den Spezialfall m = 0?
Wie ändert sich die Gerade, wenn q variiert wird!
Bedeutung von q
234
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Geometrische Interpretation von linearen Gleichungssystemen
6.3.3 Beispiele: Lösungen von 2x2 Gleichungssystemen
Die Anzahl Lösungen eines 2 x 2 Gleichungssystems lassen sich durch eine
geometrische Interpretation der beiden Gleichungen ermitteln. Dabei lassen
sich die folgenden drei Fälle unterscheiden:
Geometrisch
Die Geraden
Die Geraden sind
Die Geraden liegen
Geraden
schneiden sich in
parallel.
aufeinander.
einem Punkt.
Schnittpunkt =
gemeinsamer
Punkt
Unendlich viele
Algebraisch
ein Schnittpunkt
kein Schnittpunkt
genau 1 Lösung
keine Lösung
Schnittpunkte
unendlich viele
Lösungen
Gleichungssystem
Kriterien
g : y = m1 ⋅ x + q1
m1 ≠ m2
m1 = m2
m1 = m2 und
h : y = m 2 ⋅ x + q2
q1 , q2 beliebig
q1 ≠ q2
q1 = q2
Was lässt sich über die Anzahl Lösungen der folgenden Gleichungssysteme
sagen. Wir lösen die Gleichungen jeweils nach y auf und interpretieren diese
als Geraden.
Beispiel 1
x + 2y + 6 = 0
x + 3y + 9 = 0
→
y = − 21 x − 3
y = − 31 x − 3
m1 ≠ m2 (Steigungen der beiden Geraden sind verschieden!)
→ Geraden schneiden sich. Es gibt genau einen gemeinsamen Punkt,
nämlich den Schnittpunkt.
Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung.
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235
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Gleichungssysteme
Beispiel 2
8x + 2y − 12 = 0
4x + y − 1 = 0
→
y = − 4x + 6
y = − 4x + 1
m1 = m2 (Steigungen der beiden Geraden sind gleich!)
→ Geraden sind parallel. Es gibt keinen gemeinsamen Punkt.
Das Gleichungssystem hat keine Lösung.
Beispiel 3
x − 5y − 5 = 0
3x − 15y − 15 = 0
→
y = 51 x − 1
y = 51 x − 1
m1 = m2 und q1 = q2 (Steigungen der beiden Geraden und der Schnittpunkt
mit der y-Achse sind gleich!)
Die beiden Geraden sind parallel und haben einen gemeinsamen Punkt.
→ Geraden liegen aufeinander. Es gibt unendlich viele gemeinsame Punkte.
Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.
Bestimmung der Lösungen
Wir wollen die Lösungen der drei Beispiele von Hand mit der Additionsmethode und mit dem Rechner durch den solve()-Befehl ermitteln.
Beispiel 1
Gleichung 1 mit ( −1) multiplizieren.
− x − 2y − 6 = 0
x + 3y + 9 = 0
y+3 =0
→ y = −3
x = −2y − 6 = 6 − 6 = 0
→ L = { ( 0; −3 ) }
Mit dem Rechner ergibt sich:
236
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Beispiel 2
Geometrische Interpretation von linearen Gleichungssystemen
Gleichung 2 mit ( −2 ) multiplizieren.
8x + 2y − 12 = 0
− 8x − 2y + 2 = 0
− 10 = 0
Bei der Elimination einer Variablen verlieren wir beide!
Übrig bleibt eine falsche Aussage.
Daraus folgt, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat.
L ={
}
Mit dem Rechner ergibt sich:
Der Taschenrechner zeigt als Lösung die beiden ursprünglichen Gleichungen
an (Exact – Modus) oder er gibt false zurück (Apprx – Modus)!
Beispiel 3
Gleichung 1 mit ( −3 ) multiplizieren.
− 3x + 15y + 15 = 0
3x − 15y − 15 = 0
0=0
Auch hier verlieren wir beide Variablen!
Übrig bleibt aber eine wahre Aussage.
Daraus folgt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat.
{
L = (x; y)
}
x ∈ R und y = 51 x − 1 = { ( x ; y )
y ∈ R und x = 5 ⋅ ( y + 1) }
Mit dem Rechner ergibt sich:
Der Taschenrechner zeigt die Lösung mit Hilfe eines Parameters c1 ∈ R an.
Für c1kann eine beliebige Zahl eingesetzt werden.
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237
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Gleichungssysteme
6.3.4 Partnerinterview Lösungen eines 2x2 Gleichungssystems
Partnerinterview geometrische Interpretation
Lösungen eines 2x2 Gleichungssystems
Zeit: 10 Minuten
Diskutiere folgende Feststellungen
Die Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit zwei Unbekannten kann als
Gerade interpretiert werden.
Somit lässt sich die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems mit zwei
solchen Gleichungen als Schnittfigur von zwei Geraden interpretieren.
Es gibt drei Fälle:
1) Die Geraden schneiden sich, das System hat eine Lösung.
(Lösung: Koordinaten des Schnittpunktes)
2) Die Geraden sind parallel, das System hat keine Lösung.
3) Die Geraden fallen zusammen, das System hat unendlich viele
Lösungen. (Lösungen: Alle Punkte auf der Geraden)
Auftrag
Diskutiere die drei Fälle. Mache Beispiele!
238
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Geometrische Interpretation von linearen Gleichungssystemen
6.3.5 Partnerinterview Anzahl Lösungen eines Gleichungssystems
Partnerinterview
Anzahl Lösungen eines Gleichungssystems
Zeit: 10 Minuten
Bestimme im folgenden Gleichungssystem den Parameter a so, dass das
Gleichungssystem
x − ay − a = 0
2x − 4y − 2 = 0
a) genau eine Lösung hat.
b) keine Lösung hat.
c) unendlich viele Lösungen hat.
Diskutiere eine Lösungsidee, wie du die drei Fälle unterscheiden kannst.
Entwickle dann eine Lösungsstrategie für das oben gestellte Problem.
Versuche das Problem mit deinem Rechner zu lösen!
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239
DialogMathe
Gleichungssysteme
x − ay − a = 0
Das Gleichungssystem
2x − 4y − 2 = 0
mit dem Parameter a kann auf ver-
schiedene Arten mit dem Rechner diskutiert werden.
1. Methode:
Gleichungssystem auflösen und die Lösungen diskutieren!
Mit dem Rechner ergibt sich:
Da der Term a – 2 im Nenner der Lösung vorkommt, ist diese für a = 2 nicht
definiert (Division durch Null). Daraus ergeben sich die zwei möglichen Fälle:
a = 2 : Das Gleichungssystem hat keine Lösung.
a ≠ 2 : Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung:
2. Methode:
Beide Gleichungen nach y auflösen.
y=
1
a
x −1
y=
1
2
x−
( 2 a− a ; 2a−−a1 )
1
2
Daraus ergeben sich die zwei möglichen Fälle:
Geraden parallel:
1
a
=
→
1
2
a = 2 . Das Gleichungssystem hat keine Lösung.
Geraden schneiden sich: a ≠ 2 . Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung.
3. Methode:
Graphisch mit dem Rechner (Parameter a dynamisch mit Schieberegler!)
Gerade 1: f1( x ) =
240
1
2
x−
1
2
,
Gerade 2: f 2 ( x ) =
1
a
x −1
Für a = 2 ergeben sich parallele
Für a = 1,5 ergibt sich der Schnittpunkt
Geraden.
(3;1). Gleichungssystem hat genau eine
Gleichungssystem hat keine Lösung
Lösung x = 3, y = 1
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DialogMathe
Geometrische Interpretation von linearen Gleichungssystemen
6.3.6 Übungen: Lösungen von 2x2 Gleichungssystemen
Was kannst du über die Anzahl Lösungen der folgenden Gleichungssysteme
sagen (Begründe deine Antwort grafisch!)
Gleichungssystem
Anzahl Lösungen
A
2x − 10y = 10
y = 51 x − 1
B
1x + 1y = 3
3
2
1x + 1y =1
4
6
C
x + 2y + 6 = 0
x + 3y + 9 = 0
Löse die drei Gleichungssysteme von Hand und mit dem Rechner auf!
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
241
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Gleichungssysteme
6.3.7 Partnerinterview Lösungen eines 3x3 Gleichungssystems
Partnerinterview Vektorgeometrie
Lösungen eines 3x3 Gleichungssystems
Zeit: 15 Minuten
Erweiterung
Wir versuchen jetzt die Fragen für ein lineares Gleichungssystem mit drei
Gleichungen und drei Unbekannten zu beantworten. Die Lösungsmenge einer
linearen Gleichung mit drei Unbekannten kann als Ebene im Raum interpretiert werden. Somit lässt sich die Lösungsmenge eines Gleichungssystems mit
drei solchen Gleichungen als Schnittfigur von drei Ebenen interpretieren.
Fragen
1) Wie sehen die verschiedenen Möglichkeiten für die gegenseitige Lage dreier Ebenen im Raum aus und welche Typen von Schnittfiguren entstehen?
2) Welche Fälle können beim Lösen eines linearen Gleichungssystems mit
drei Gleichungen und drei Unbekannten auftreten?
Es gibt vier mögliche Schnittfiguren, wobei zu verschiedenen Modellen die
gleiche Figur gehören kann. Stelle den Zusammenhang zwischen den Schnittfiguren und der Lösbarkeit der zugehörigen Gleichungssysteme her. Beantworte dazu folgende Fragen:
3) Wie sieht die Schnittfigur aus?
4) Wie viele Lösungen gibt es?
Beispiel
Bei einem Modell mit nur zwei Ebenen könnten wir schreiben: Die Schnittfigur ist eine Gerade. Es gibt unendlich viele Lösungen, wobei
alle die Gleichung der Schnittgeraden erfüllen
müssen.
242
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
DialogMathe
Geometrische Interpretation von linearen Gleichungssystemen
6.3.8 Geometrische Interpretation linearer 3x3 Gleichungssysteme
Punkt – eine Lösung
Die Schnittfigur ist ein Punkt. Das
Gleichungssystem hat (genau) eine
Lösung. Diesen Fall bezeichnen
bezeichn wir
als Normalfall.
Gerade – unendlich viele Lösungen
Die Schnittfigur ist eine Gerade. Das
Gleichungssystem hat unendlich
viele Lösungen. Sie erfüllen die
Gleichung der Schnittgeraden.
Ebene – unendlich viele Lösungen
Die Schnittfigur ist eine Ebene. Das
Gleichungssystem hat unendlich
viele Lösungen. Sie erfüllen die
Gleichung der Ebene.
Leere Menge – keine Lösung
Der Durchschnitt der drei Ebenen
ist leer. Das Gleichungssystem hat
keine Lösung.
Hier wären auch noch drei ParallelParalle
ebenen möglich.
möglich
Hier wären auch noch
drei Parallelebenen
möglich.
Lerneinheit 1.2
.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
243
DialogMathe
Gleichungssysteme
6.4 Gauss‘sches Eliminationsverfahren
Das Gauss‘sche Eliminationsverfahren ist ein schematisches Verfahren zur
Bestimmung der Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen. Es wurde
um 1850 von Carl Friedrich Gauss aufgestellt. Der Algorithmus gehört zu den
wichtigsten numerischen Verfahren der Mathematik. Für diesen Algorithmus
spricht heute unter anderem die einfache Implementierbarkeit in Computern.
Ein lineares 3x3 Gleichungssystem hat die Form:
a11 ⋅ x + a12 ⋅ y + a13 ⋅ z = b1
a21 ⋅ x + a22 ⋅ y + a23 ⋅ z = b2
a31 ⋅ x + a32 ⋅ y + a33 ⋅ z = b3
Dieses kann durch eine Matrix A und einen Vektor b beschrieben werden.
 a11 a12 a13
( A | b ) mit A =  a21 a22 a23
a
 31 a32 a33

 b1


 ; b =  b2
b

 3






Der Algorithmus wird in zwei Etappen gegliedert.
1. Vorwärtselimination
2. Rückwärtseinsetzen
Im ersten Schritt wird das Gleichungssystem in die Dreiecksform gebracht.
Das heisst, dass die Elemente unter der Hauptdiagonalen, das sind im obigen
Beispiel a21 = a31 = a32 = 0 , Null sein müssen. Die Umformung erfolgt wie
beim Additionsverfahren.
 a11

A = 0
0

a12
a22
0
*
a13 | b1 

a23 * | b2* 
a33 * | b3* 
Im zweiten Schritt werden von der letzten Zeile ausgehend die Variablen
ausgerechnet und in die darüber liegende Zeile eingesetzt.
Ein lineares Gleichungssystem kann eindeutig, mehrdeutig oder gar nicht
lösbar sein. Die Unterscheidung in diese Fälle ist nach der ersten Etappe des
Verfahrens möglich.
Fall: a33* ≠ 0 , das Gleichungssystem hat genau eine Lösung.
244
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
DialogMathe
Gauss‘sches Eliminationsverfahren
 a11

A = 0
0

a12
a22*
0
a13 | b1 

a23 * | b2* 
0 | b3 * 
Fall: a33* = 0 , wenn b3* ≠ 0 Gleichungssystem hat keine Lösung.
b3* = 0 Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.
Beispiel
Gleichungssystem
drei Gleichungen mit drei Variablen.
7x + 3y − 5z = − 12
Zeilen dürfen wir:
- vertauschen
- mit einer Zahl multiplizieren
- durch eine Zahl dividieren
- addieren
- subtrahieren
Gl. 1
x − 2y + 4z =
5
Gl. 2
−4x + y − 3z =
1
Gl. 3
Es wird zeilenweise gearbeitet.
Rechenschema ; Umformung soll ergeben:
* bedeutet irgendeine Zahl
x
y
z
|
7 3 −5 | −12
1 −2
4 | 5
−4 1 −3 | 1
x
y
z
x
y
z |
* * * | *
0 * * | *
0 0 * | *
|
Spalten dürfen ebenfalls vertauscht werden, wenn jeweils
die Variable x, y oder z
mitgenommen wird
Rückwärtseinsetzen
7 3
−5 | −12
0 −19 41 |
41
0 0
5 | −14
Gleichungssysteme mit Rechner
solve(Gleichungssystem, Variablen)
Löst ein n x n Gleichungssystem (auch nicht lineare).
simult(Matrix, Vektor)
Löst ein n x n Gleichungssystem (A | b) mit dem Gaussalgorithmus.
ref(Matrix)
Berechnet die Diagonalform einer Matrix (A | b).
rref(Matrix)
Berechnet die reduzierte Diagonalform einer Matrix (A | b).
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
245
DialogMathe
Gleichungssysteme
6.4.1 Lineare 2x2 Gleichungssysteme
Beispiel 1: Genau eine Lösung
3x + 3y = 9
−x+ y=3
L = {( 0 | 3 )}
Schnittpunkt von zwei Geraden!
Beispiel 2: Keine Lösung
8x + 2y = 12
4x + y = 1
Beim Auflösen verlieren wir beide Variablen:
8x + 2y = 12
− 8x − 2y = − 2
0 = 10
L ={
246
}
→
falsche Aussage
→ keine Lösung
Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt!
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
DialogMathe
Gauss‘sches Eliminationsverfahren
Beispiel 3: Unendlich viele Lösungen
9x − 3y = 21
3x − y = 7
Beim Auflösen verlieren wir beide Variablen:
9x − 3y = 21
−9x + 3y = − 21
0=0
⇒
→
wahre Aussage
→ unendlich viele Lösungen
L = { ( x | y ) I x ∈ R ; y = 3x − 7 }
Gerade: y = 3x − 7 oder 3x − y − 7 = 0
Vektorielle Darstellung (siehe Lerneinheit 3 Vektorgeometrie)
Gleichungssystem:
x=
7
3
+ 31 ⋅ t
y=
t
( t ∈ R : Parameter, frei wählbar)
x 7 
1
Gerade: r =   =  3  + t ⋅  3 
y 0
1 
1 
 3 Richtungsvektor der Geraden:   , Normalenvektor:   = n
3
 −1 
Die Komponenten 3 und –1 des Normalenvektors sind die Koeffizienten der
Geradengleichung: 3x − y − 7 = 0
 3  x 
Darstellung einer Geraden: n ⋅ r + c = 0 , Beispiel oben:     − 7 = 0
 −1   y 
Aufgabe
Bestimme den Normalenvektor zu den gegebenen Geraden:
g1 :
2x + 5y + 10 = 0
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
g2 :
−x+y+2=0
247
DialogMathe
Gleichungssysteme
6.4.2 Lineare 3x3 Gleichungssysteme
Beispiel 1: Genau eine Lösung
3x + 7y + z = 10
4x + 5y + 6z = 16
x + 2y + 3z = 7
Genau eine Lösung, die drei Ebenen schneiden sich in einem Punkt.
L = {(
248
1
2
|1 |
3
2
)}
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
DialogMathe
Gauss‘sches Eliminationsverfahren
Beispiel 2: Keine Lösung
x + y + 8z = 6
2x + 3y + 4z = 12
3x + 4y + 12z = 24
Die letzte Zeile 0 = 1 ergibt eine falsche Aussage, d.h. das Gleichungssystem
hat keine Lösung: L = {
}.
Die drei Ebenen besitzen keine gemeinsamen Punkte.
Lerneinheit 1.2
.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
249
DialogMathe
Gleichungssysteme
Beispiel 3: Unendlich viele Lösungen (Gerade)
x + y + 8z = 12
2x + 3y + 4z = 12
3x + 4y + 12z = 24
2 Gleichungen / 3 Unbekannte
Gleichungssystem unterbestimmt, unendlich viele Lösungen
Lösung: Schnittgerade von zwei Ebenen
t ∈ R Parameter (frei wählbar)
x = 24 − 20t
y = − 12 + 12t
z=
t
x
24 
 −20 
  


r =  y  =  −12  + t ⋅  12  (Gerade)
z  0
 1
  



250
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
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Gauss‘sches Eliminationsverfahren
Beispiel 4: Unendlich viele Lösungen (Ebene)
x + 2y − 3z = −2
− 2x − 4y + 6z = 4
5x + 10y − 15z = −10
1 Gleichung / 3 Unbekannte
Gleichungssystem unterbestimmt, unendlich viele Lösungen
Die drei Ebenen fallen zusammen!
Lösung: Ebene
u, v ∈ R Parameter (frei wählbar)
x = −2 − 2u + 3v
y=
z=
u
v
x
−2
 −2 
3
   



r =  y  =  0  + u ⋅  1  + v ⋅  0  (Ebene)
z  0 
 0 
1 
   
 
 
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
251
DialogMathe
Gleichungssysteme
6.5 Moderne Anwendungen aus der Technik
Heute werden viele Vorgänge mit Hilfe
von linearen Gleichungssystemen
Gleichungs
erfasst:
•
das Auftreten von Spannungen
Spannun
in
einem Gabelschlüssel
Gabelschlüs
•
das Versickern von Wasser
Wasse unter einem Staudamm
•
die Ausbreitung des Schalles in einem Autoinnenraum
•
Computer
Computer-Tomographie
Die Liste der Beispiele ist fast unerschöpflich.
unerschöpflich. In jedem Fall müssen sehr grosgro
se lineare Gleichungssysteme gelöst werden. Diese Systeme haben oft TauTa
sende von Gleichungen und entsprechend viele Unbekannte.
Es braucht natürlich eine grosse Vorbereitung, bis man bei diesen Problemen
Pro
auf lineare Gleichungssysteme
Gleich
kommt. 1973 hat eine neue Technik die medimed
zinische Diagnostik revolutioniert. (Das Wort 'Diagnostik' stammt aus dem
Griechischen und bedeutet die Fähigkeit, Krankheiten zu erkennen.) Diese DiD
agnosetechnik heisst Computer-Tomographie.
Computer
Sie stützt sich auf RöntgenRöntge
strahlen, lineare Gleichungssysteme und Computer. Beim herkömmlichen
Röntgen werden
den ganze Körperpartien durchleuchtet. Bei der ComputerComputer
Tomographie hingegen werden Röntgenstrahlen nur durch eine schmale
Schicht des Körpers geschickt. Messungen
Messungen und Computerberechnungen lieli
fern dann ein Bild dieser Körperschicht, ein sogenanntes Tomogramm. Figur 2
zeigt eine bemalte Holzfigur aus dem 17. Jahrhundert. Daneben sehen Sie das
Tomogramm eines Querschnittes durch den Kopf. Der Querschnitt liegt etwa
et
auf Nasenhöhe.
Fig. 2
252
Fig. 3
Lerneinheit 1.2
.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
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Moderne Anwendungen aus der Technik
Die Ausbuchtungen in Figur 3 rühren von der Nase (oben) und den Haarlocken her. Im Innern ist deutlich die Maserung des Holzes zu sehen. Der
weisse Rand schliesslich zeigt die dicke Schicht aus bleihaltigen Farben, mit
denen der Kopf bemalt worden ist.
Beispiel aus der Technik
Für ein technisches Problem erhalten wir das folgende Gleichungssystem.
x1 + 2x2 + x 4 = 3
Löse es mit Hilfe deines Rechners.
x3 + 2x 4 = 5
x 4 + x5 = 5
a) Gib das Zahlenschema an, welches du in den Rechner eingibst.
b) Lass das Gleichungssystem durch den Gaussalgorithmus lösen und
gib das vom Rechner berechnete Zahlenschema an.
c) Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem? Begründe kurz!
d) Welches sind die freien Variablen?
e) Gib die allgemeine Lösung in vektorieller Form an.
Lösungen
1 2 0 1 0 3 
0 0 1 2 0 5  ;


 0 0 0 1 1 5 
1
0

0

0
 0
2 0 0 − 1− 2 
0 1 0 − 2 − 5

0 0 1 1 5 

0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 
c) Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Es handelt sich um
ein unterbestimmtes Gleichungssystem (3 Gleichungen / 5 Unbekannte).
In den letzten beiden Zeilen befinden sich lauter Nullen.
d) x 5 und x 2 sind die freien Variablen!
 x1
x
2

x =  x3

 x4
x
 5
  −2 
 1
 −2 
  0 
 0
 1 
 

 


 =  −5  + u ⋅  2  + v ⋅  0 
 

 


  5 
 −1 
 0 
 

 


 1
 0 
  0 
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253
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Gleichungssysteme
6.6 Chemische Reaktionsgleichungen, mathematisches Ausgleichen
Nach Peter Bützer (mein Chemielehrer). "Old chemists are excellent.
Otherwise they would have been eliminated by their experiments."
Interessantes zur Chemie auf der Internetseite: http://www.buetzer.info/
Chemie lernt als wichtigsten Teil die Prozesse und die Abläufe, die Dynamik,
die Kybernetik zu verstehen - auch wenn sie als Grundlage Strukturen und
Zustände hat.
Können statt Knobeln
Das Ausgleichen von chemischen Reaktionsgleichungen ist, vor allem wenn es
keine trivialen Gleichungen sind, ein „Pröbeln“. In Prüfungen wird diese
Aufgaben zu einem wirklichen Stress – ein unnötiger Stress. Gibt es ein
mathematisches Verfahren, das uns diese Arbeit abnimmt? Natürlich, das
mathematische Prinzip: Unbekannten einführen, Gleichungen aufstellen.
Im Folgenden lernen wir dieses Verfahren kennen.
Chemische Voraussetzungen
1. Auf beiden Seiten der Reaktionsgleichung hat es gleich viele Atome
jeder Sorte.
2. Die stöchiometrischen Koeffizienten sind ganzzahlig und minimal.
6.6.1
Beispiel Eisenherstellung
Chemische Reaktionsgleichung mit den stöchiometrischen Koeffizienten a, b, c
und d als Unbekannte.
a ⋅ C + b ⋅ Fe 2O3 → c ⋅ Fe + d ⋅ CO 2
Gleichungssystem für die drei beteiligten Elemente C, Fe und O
Element
Gleichung
C
a =d
Fe
2b = c
O
3b = 2d
Wir erhalten nur drei Gleichungen für vier Unbekannte!
254
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6.6.2
Chemische Reaktionsgleichungen, mathematisches Ausgleichen
Übung: Auflösen einer Brausetablette mit Zitronensäure
a ⋅ H8C6O7 + b ⋅ CaCO3 → c ⋅ Ca3 ( H5C6O7 )2 + d ⋅ CO2 + e ⋅ H2O
Gleichungssystem
Element
Gleichung
H
C
O
Ca
a=
c=
b=
d=
e=
Resultat: 2H8C6O7 + 3CaCO3 → Ca3 ( H5C6O7 )2 + 3CO2 + 3H2O
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Gleichungssysteme
6.6.3
Übung: Herstellung von Hexamethylentetramin
a ⋅ HCOH + b ⋅ NH3 → c ⋅ ( CH2 )6 N4 + d ⋅ H2O
Gleichungssystem
Element
Gleichung
H
C
O
N
a=
c=
b=
d=
Resultat: 6HCOH + 4NH3 → ( CH2 )6 N4 + 6H2O
6.6.4
Eine Knacknuss
In der Literatur ist die folgende Reaktion beschrieben:
a ⋅ NaJO3 + b ⋅ H2O + c ⋅ SO3 → d ⋅ Na2 SO 4 + e ⋅ H2 SO 4 + f ⋅ J2
Gleichungssystem
256
Element
Gleichung
Na
a = 2d
J
a =2f
O
3a + b + 3c = 4d + 4e
H
2b = 2e
S
c=d+e
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Chemische Reaktionsgleichungen, mathematisches Ausgleichen
a, d und f sind Null: Resultat H2O + SO3 → H2SO 4
Daraus folgt, dass die Reaktion so wie sie angegeben wurde, nicht abläuft.
a ⋅ NaJO3 + b ⋅ H2O + c ⋅ SO3 → d ⋅ Na2 SO 4 + e ⋅ H2 SO 4 + f ⋅ J2
Notwendige Korrektur: SO3 durch SO2 ersetzen.
a ⋅ NaJO3 + b ⋅ H2O + c ⋅ SO 2 → d ⋅ Na 2SO 4 + e ⋅ H2SO 4 + f ⋅ J2
Im Gleichungssystem Gleichung für Element O ersetzen durch
O
3a + b + 2c = 4d + 4e
Resultat: 2NaJO3 + 4 H2O + 5 SO2 → Na 2SO 4 + 4 H2SO 4 + J2
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Gleichungssysteme
6.7 Physik, Gleichungssystem aus der Bewegungslehre
6.7.1
Algebraische Behandlung von Bewegungsaufgaben
Die gleichmässig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit kann
durch fünf Grössen beschrieben werden. Diese stehen in Beziehung zueinander durch das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz und das Weg-Zeit-Gesetz.
Wir haben also zwei Bestimmungsgleichungen, d.h. wenn wir von den fünf
Grössen drei vorgeben, dann können wir die restlichen zwei bestimmen.
t : Zeit ; s : zurückgelegter Weg ; v A : Anfangsgeschwindigkeit
v E : Endgeschwindigkeit
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz:
vE = v A + a ⋅ t
s = vA ⋅ t +
Weg-Zeit-Gesetz:
; a : Beschleunigung
a
⋅ t2
2
Beispiel: Gegeben: v A , v E , s
Gesucht: a , t
Wir können das folgende Gleichungssystem nach a und t auflösen.
(Beachte, dass die zweite Gleichung quadratisch in t ist)
vE = v A + a ⋅ t
s = vA ⋅ t +
(1)
a 2
⋅t
2
(2)
Lösung: z.B. Gleichung (1) nach t auflösen und in Gleichung (2) einsetzen.
vE = v A + a ⋅ t
s = vA ⋅ t +
a 2
⋅t
2
→
t =
vE − v A
a
(3)
/ (3) einsetzen
v − vA
a  vE − v A 
s = vA ⋅ E
+
⋅

a
2 
a

2as = 2v A ⋅ ( vE − v A ) + ( vE − v A )
2
/ ⋅ 2a
2
2as = 2 v A v E − 2 v A 2 + vE2 − 2 v A v E + v A 2
2as = vE2 − v A 2
a =
t =
258
vE2 − v A 2
2s
/ : 2s
in Gleichung (3) einsetzen
vE − v A
2s
( vE − v A ) ⋅ 2s
( vE − v A ) ⋅ 2s
=
=
=
= t
2
2
a
( vE − v A ) ⋅ ( vE + v A )
( vE + v A )
vE − v A
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Physik, Gleichungssystem aus der Bewegungslehre
Auflösen des Gleichungssystems mit dem Rechner
vE = v A + a ⋅ t
s = vA ⋅ t +
a 2
⋅t
2
Syntax :
 Gleichung1

solve 
, Variable, Variable 
 Gleichung2



t=
a=
2s
v A + vE
(
− v A2 − v E2
2s
)
=
v E2 − v A2
2s
Beachte das Vorzeichen im Zähler! a ist positiv, wenn v E > v A .
6.7.2 Arbeiten mit CAS-Bausteinen
CAS-Bausteine sind eine sehr sinnvolle Anwendung, wenn es darum geht,
ein Problem schnell und immer wieder zu lösen. Da der Baustein vom
Benutzer selbst erarbeitet werden muss und der Baustein in der Regel eine
allgemeine Lösung ist (Baustein mit Variablen), ist es eine wunderschöne
Übung, um allgemeine Lösungsansätze herauszufinden. Mit einem Baustein
lässt es sich wunderbar experimentieren, d.h. mit wenigen Handgriffen kann
man verfolgen, wie sich eine Funktion oder Anderes verändern.
Der CAS-Baustein für die gleichmässig beschleunigte Bewegung
Aus 5 Grössen können auf 10 verschiedene Arten 2 ausgewählt werden d.h. es
gibt 10 verschiedene Typen von Bewegungsaufgaben. Diese können alle durch
einen CAS-Baustein erfasst werden.
glsgbb(x,y): Gleichungssystem für
gleichmässig beschleunigte Bewegung
als CAS-Baustein. Der CAS-Baustein
glsgbb(x,y) benötigt für die Platzhalter x
und y als Eingabe zwei Grössen der
gleichmässig beschleunigten Bewegung ( a, v A , v E , s, t ).
Diese beiden Grössen werden dann vom Baustein berechnet.
Aufruf des CAS-Bausteins
glsgbb(a,t): Der Baustein soll für uns die Beschleunigung a und die Zeit t
berechnen. Wenn wir nur glsgbb(a,t) eingeben, dann gibt uns der Rechner die
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259
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Gleichungssysteme
Formeln für die Beschleunigung a und die Zeit t. Wir können aber auch die
gegebenen Grössen mitliefern, dann erhalten wir Zahlenwerte.
Beispiel oben: Im Datenblatt eines Autos wird folgende Information gegeben:
Abbremsen von 100 auf 0 km/h auf einem Weg von 38,5 Metern.
Bewegungsaufgabe: Gegeben: v A =
100
, v = 0, s = 38,5 ; Gesucht: a, t
3,6 E
Die Beschleunigung beträgt a = −10ms−2 (negativ, weil es sich um einen
Bremsvorgang handelt) und die Zeit t = 2,77s (Bremszeit).
Beispiele
Im technischen Datenblatt beim Maserati GranSport 4.2 V8 Coupé sind
folgende Werte angegeben:
Beispiel 1: Beschleunigung von 0 auf 100 km/h in 4,8 Sekunden.
Gegeben: v A = 0 ms −1 , vE = 27,8 ms−1 , t = 4,8 s ; Gesucht: a und s
Beispiel 2: Abbremsen von 100km/h auf 0 auf einem Weg von 36 Metern.
Gegeben: v A = 27,8 ms−1 , vE = 0 ms−1 , s = 36 m ; Gesucht: a und t
Übung
Benütze den CAS-Baustein glsgbb(x,y) um die Formeln zu überprüfen!
a
t
VA
VE
s
Gegeben
Gegeben
Gegeben
vA + a ⋅ t
vA ⋅ t +
Gegeben
Gegeben
vE − a ⋅ t
Gegeben
Gegeben
vE − v A
a
Gegeben
Gegeben
vE − v A
t
Gegeben
Gegeben
Gegeben
Gegeben
Gegeben
s a⋅t
−
t
2
s a⋅t
+
t
2
Gegeben
2s 2v A
−
t
t2
Gegeben
260
2as + v A2 − v A
a
Gegeben
vE −
vE2 − 2as
a
Gegeben
Gegeben
v E2 − 2as
2as + v A2
a 2
⋅t
2
a
vE ⋅ t − ⋅ t 2
2
2
vE − v A2
2a
vE + v A
⋅t
2
Gegeben
Gegeben
2s
− vA
t
Gegeben
Gegeben
Gegeben
2vE
2s
− 2
t
t
Gegeben
2s
− vE
t
Gegeben
Gegeben
vE2 − v A2
2s
2s
vE + v A
Gegeben
Gegeben
Gegeben
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Physik, Gleichungssystem aus der Bewegungslehre
6.7.3 Beispiel: Anhalteweg - Innerorts 60 km/h statt 50 km/h
Im Strassenverkehr ist eine der Situation angepasste
Geschwindigkeit erforderlich. Tritt unerwartet ein
Hindernis auf, so muss der Verkehrsteilnehmer
rechtzeitig anhalten können. Gelingt das nicht, so kommt es zur Kollision,
deren Schwere von der Kollisionsgeschwindigkeit abhängt.
Unfallstatistik
Untersuchungen zeigen, dass
bei Verkehrsunfällen von
PKW’s mit Fussgängern die
Verletzungsschwere wesentlich von der Kollisionsgeschwindigkeit abhängig ist.
Bei 30 km/h werden 5%, bei
50 km/h 50% und bei 70 km/h
praktisch alle angefahrenen
http://www.upi-institut.de/upi42.htm
Fussgänger getötet.
Geschwindigkeit und Anhalteweg
Anhalteweg = Reaktionsweg + Bremsweg
s = v a ⋅ tR +
v a2
2a
va : Anfangsgeschwindigkeit, tR : Reaktionszeit, a : Bremsbeschleunigung
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Gleichungssysteme
Der Anhalteweg kann durch das Diagramm berechnet werden.
Reaktionsweg = v a ⋅ t (Rechteckfläche)
va : Anfangsgeschwindigkeit;
Bremsweg =
t : Reaktionszeit (0,5s bis 1,5s)
va2
(Dreieckfläche)
2a
a : Bremsbeschleunigung (zwischen −5 m / s2 und −12 m / s2 )
Aufgabenstellung
Analysiere die folgende Verkehrssituation: Vor zwei gleiche Autos, eines mit
der Geschwindigkeit 50 km/h das andere mit 60 km/h, springt plötzlich einige
Meter vor uns ein spielendes Kind auf die Strasse, so dass wir ein Bremsmanöver einleiten müssen. Welche Geschwindigkeit hat das Auto mit 60 km/h
noch dort, wo das Auto mit 50 km/h zum Stillstand kommt?
Nimm für die Reaktionszeit tR = 1s an und ermittle die Verzögerung aus dem
technischen Datenblatt des Autos: Abbremsen von 100 auf 0 km/h auf einem
Weg von 38.6 Metern.
Bewegungsaufgaben können in verschiedenen Darstellungsformen gelöst
werden: Algebraisch mit Gleichungen oder graphisch mit Diagrammen.
Algebraische Behandlung
Den «CAS-Baustein» glsgbb ( x, y ) definieren. Das Gleichungssystem für die
gleichmässig beschleunigte Bewegung eingeben und lösen. 3 der 5 Variablen
a, v a , v e , s, t müssen jeweils gegeben sein, damit die andern beiden durch das
Gleichungssystem bestimmt werden können.
Das Gleichungssystem kann auch zur Berechnung des Anhaltewegs genutzt
werden: Die Bewegung muss in zwei Abschnitte aufgeteilt werden:
262
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Physik, Gleichungssystem aus der Bewegungslehre
Reaktionsphase: tr Reaktionszeit,
Abbremsphase: tb Bremszeit
Dabei muss die Endgeschwindigkeit v e
den Wert Null annehmen.
Wie gross ist die Geschwindigkeit in
der Bremsphase (Beachte: 0 ≤ t ≤ tb ),
nachdem das Auto den Weg s zurückgelegt hat? Da die Endgeschwindigkeit
durch eine Wurzel berechnet wird, enthält das Resultat die Bedingung, dass
der Ausdruck unter der Wurzel positiv sein muss.
Ist s < tr ⋅ v a , so wird der Wurzelausdruck negativ. Wir befinden uns noch in
der Reaktionsphase und es ist v e = v a .
Die beiden Terme lassen sich nun als «CAS-Bausteine» definieren und
benützen: Anhalteweg sanh ( va, tr,a ) mit v a [ km / h ]
Kollisionsgeschwindigkeit kolv ( va, tr,a,s ) nach dem zurückgelegtem Weg s
Fährt ein Auto mit 50 km/h, so beträgt sein Anhalteweg 23.53 m. Fährt es jedoch mit 60 km/h beträgt nach dieser Strecke die Kollisionsgeschwindigkeit
42.67 km/h.
Folgende Fragestellungen lassen sich mit diesen beiden «CAS-Bausteinen»
ebenfalls beantworten:
Wie gross müsste die Reaktionszeit tr sein, um mit 60 km/h den gleichen
Anhalteweg wie mit 50 km/h zu erreichen?
Wie ändert sich der Anhalteweg, wenn die Bremsen nicht in einem einwandfreien Zustand sind, z.B. a = − 5 m / s2 ?
Wie ändert sich der Anhalteweg, wenn die Reaktion (tr = 2 s), z.B. durch
Alkoholkonsum oder Telefonieren während der Fahrt, eingeschränkt ist?
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263
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Gleichungssysteme
Der «CAS-Baustein» kolv liefert nicht immer ein Ergebnis. So findet der Rechner für va = 50 km/h, tr = 2 s, a = − 10 m / s2 und s = 23.53 m keine reelle
Zahl. Wie gross ist in diesem Fall die Kollisionsgeschwindigkeit?
Experimentiere mit dem «CAS-Baustein» und analysiere!
Graphische Behandlung
«CAS-Baustein» v ( va,a, tr, t ) als abschnittweise Funktion definieren:
Während der Reaktionszeit tr ist die Geschwindigkeit konstant va, im Zeitintervall [ tr ; tr + tb ] nimmt sie dann linear ab.
Mit f1( x ) = v ( 50,10,1, x ) ergibt sich das nebenstehende v-t-Diagramm.
Den Anhalteweg erhält man als Fläche unter der Funktion. Diese lässt sich
mit graphischem Integrieren ermitteln: s = 23.53 m .
Beträgt die Geschwindigkeit nicht 50, sondern 60 km/h, f 2 ( x ) = v ( 60,10,1, x ) ,
so kann die Kollisionsgeschwindigkeit vkol mit einem Schieberegler ermittelt
werden, wobei man mit ts die rechte Grenze der Fläche variieren kann.
[Anleitung: Punkt T auf die x-Achse setzen und dessen x- Koordinate der
Variablen ts des Schiebereglers zuordnen. Den Schnittpunkt V einer Senkrechten zur x-Achse durch T mit dem Graph f2 bestimmen. Die y-Koordinate von
V ( 11.87 m / s = 42.72 km / h ) repräsentiert die Kollisionsgeschwindigkeit
nach der Strecke s = 23.53 m ]
264
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Physik, Gleichungssystem aus der Bewegungslehre
Mit dem «CAS-Bausteins» v ( va,a, tr, t ) lässt sich auch einer der drei Parameter va, a oder tr mit Hilfe eines Schiebereglers dynamisieren.
So lässt sich z. B. die Reaktionszeit tr der Variablen trs des Schiebereglers zuordnen. Dadurch lässt sich die Reaktionszeit mit Hilfe des Schiebereglers im
Diagramm variieren.
Graphische Behandlung von Bewegungsaufgaben (Diagramme, Funktionen)
Es gilt: v =
∆s
∆t
→
∆s = v ⋅ ∆t
Die Geschwindigkeit ist die Steigung im s-t-Diagramm.
Der zurückgelegte Weg ist die Fläche im v –t-Diagramm.
Analog: a =
∆v
∆t
→
∆v = a ⋅ ∆t
Die Beschleunigung ist die Steigung im v- t- Diagramm.
Die Geschwindigkeit ist die Fläche im a- t -Diagramm.
v -t -Diagramm beim Anhalten
Das v-t-Diagramm kann als Graph einer abschnittsweise linearen Funktion
dargestellt werden. Geschwindigkeit
va = 50km / h (13.9m / s) Reaktions-
zeit t = 1.2s Bremsbeschleunigung
a = −10 m / s2
Der zurückgelegte Weg s lässt sich durch die Berechnung der Fläche
bestimmen. Das graphische Integrieren kann durch einen Schieberegler mit
einer variablen rechten Grenze ta animiert werden. Damit lässt sich das
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
265
DialogMathe
Gleichungssysteme
s-t-Diagramm (gepunktete Linie) wie folgt ermitteln: Flächenwert s einer
Funktion f2 zuordnen. Schnittpunkt S vom Graph f2 mit einer Senkrechten
durch ta bestimmen. Geometriespur für S aktivieren und den Schieberegler
von ta = 0 bis ta = 2.59s variieren.
Interpretation: Wir erkennen die beiden Bereiche: Der Reaktionsweg nimmt
linear zu (konstante Geschwindigkeit, Rechteckfläche, Gerade), der Bremsweg
nimmt quadratisch zu (linear abnehmende Geschwindigkeit, Dreieckfläche,
Parabel).
s-t-Diagramm beim Anhalten
Umgekehrt ist die Steigung im s-t-Diagramm durch das v-t-Diagramm
gegeben.
Aus der im v-t-Diagramm erhaltenen Geometriespur lässt sich die Funktionsgleichung des s-t-Diagramms ermitteln.
Aus der Funktion s50(x) lässt sich durch graphisches Ableiten das
v-t-Diagramm als Geometriespur (analog wie oben beschrieben) darstellen,
wobei die abschnittsweise definierte Funktion s50(x) durch die beiden
Funktionen f2 und f3 dargestellt werden. Für den Reaktionsweg wird der
Schieberegler tr, für den Bremsweg der Schieberegler tb verwendet.
266
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Ausblick Vektorräume als mathematische Struktur
6.8 Ausblick Vektorräume als mathematische Struktur
Definition Gruppe
Ein Paar ( G , ) mit einer Menge G und einer inneren zweistelligen
Verknüpfung : G x G → G : ( a,b ) ֏ a b heisst Gruppe,
wenn folgende Axiome erfüllt sind:
Assoziativität
Für alle Gruppenelemente a, b und c gilt:
a (b c ) = (a b) c .
Neutrales Element
Es gibt ein neutrales Element e ∈ G , mit dem für alle
Gruppenelemente a gilt: a e = e a = a .
Zu jedem Gruppenelement a existiert ein Element
a −1 ∈ G mit a a −1 = a −1 a = e .
Inverses Element
Eine Gruppe ( G , ) heisst abelsch oder kommutativ, wenn die Verknüpfung
symmetrisch ist, d. h. wenn zusätzlich das folgende Axiom erfüllt ist:
Kommutativität
Für alle Gruppenelemente a und b gilt a b = b a .
Bei dieser Definition darf nicht übersehen werden, dass die Verknüpfung " "
eine innere Verknüpfung sein muss, dass sie also jedes Paar von Gruppenelementen a,b ∈ G auf ein Element abbildet, das auch wieder in der Gruppe liegt:
a b ∈ G . Diese Eigenschaft wird oft Abgeschlossenheit genannt (wobei diese
Bezeichnung eigentlich nur einen Sinn ergibt, wenn G in einer grösseren
Menge H als Teilmenge enthalten ist, auf der die Verknüpfung " " ebenfalls
definiert ist).
Definition Körper
Ein Körper ist im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine ausgezeichnete
algebraische Struktur, in der die Addition, Subtraktion, Multiplikation und
Division wie bei den „normalen“ (reellen) Zahlen durchgeführt werden
können.
Die Bezeichnung Körper wurde im 19. Jahrhundert von Richard Dedekind
eingeführt. Ein Tripel ( K , + , ⋅ ) , bestehend aus einer Menge K und zwei
binären Verknüpfungen " + " und " ⋅ " (die üblicherweise Addition und
Multiplikation genannt werden), ist genau dann ein Körper, wenn folgende
Eigenschaften für alle a,b,c ∈ K erfüllt sind:
Lerneinheit 1.2 | Strukturelles Denken | 2013/14 | BF©
267
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Gleichungssysteme
Additive Eigenschaften:
Assoziativität
a + (b + c ) = (a + b) + c
Kommutativität
neutrales Element
inverses Element
a+b =b+a
Es gibt ein Element 0 ∈ K mit 0 + a = a
Zu jedem a ∈ K existiert das additive Inverse −a mit
( −a ) + a = 0
Multiplikative Eigenschaften:
Assoziativität
a ⋅ (b ⋅ c ) = (a ⋅b) ⋅c
Kommutativität
neutrales Element
inverses Element
a⋅b = b⋅a
Es gibt ein Element 1 ∈ K mit 1 ⋅ a = a , und es ist 1 ≠ 0 .
Zu jedem a ∈ K { 0 } existiert das multiplikative
Inverse a −1 mit a −1 ⋅ a = 1.
Zusammenspiel von additiver und multiplikativer Struktur:
Distributivität
a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c und ( a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c
Definition Vektorraum
Ein Vektorraum über einem Körper ( K , + , ⋅ ) oder kurz K-Vektorraum ist eine
additive abelsche Gruppe (V, +), auf der zusätzlich eine Multiplikation mit
einem Skalar aus K erklärt ist: ⋅ : K x V → V . Diese Skalarmultiplikation
muss dabei für alle u,v ∈ V und a,b ∈ K die folgenden Bedingungen erfüllen:
Assoziativität
a ⋅ (b ⋅ v ) = (a ⋅b) ⋅ v
Distributivgesetze
a ⋅ ( u + v ) = a ⋅ u + a ⋅ v und ( a + b ) ⋅ v = a ⋅ v + b ⋅ v
neutrales Element
Neutralität der 1 des Körpers K: 1 ⋅ v = v
Ein Vektorraum ist eine algebraische Struktur, d.h. eine Menge von Elementen, die man zueinander addieren und die man mit Zahlen multiplizieren
kann, wobei die üblichen Rechenregeln gelten. Die Elemente eines Vektorraums werden allgemein als Vektoren bezeichnet. Beispiele für Vektoren sind
alle reellen Funktionen, lineare Gleichungen, Matrizen sowie die
geometrischen Vektoren im engeren Sinn. Die Theorie der Vektorräume ist
Gegenstand der linearen Algebra. Mengentheoretisch hat eine Menge die
Struktur eines Vektorraums, wenn eine assoziative und kommutative
Addition ihrer Elemente sowie eine S-Multiplikation mit Elementen eines
Körpers K erklärt sind, für die ein Assoziativ- und zwei Distributivgesetze
gelten. Für die Vektoraddition ist der Nullvektor das neutrale und der
Gegenvektor das inverse Element. Vektoren eines Vektorraums heissen linear
268
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Ausblick Vektorräume als mathematische Struktur
unabhängig, wenn es keine Linearkombination dieser Vektoren gibt, die den
Nullvektor erzeugt. Gibt es eine solche Linearkombination, nennt man die
Vektoren linear abhängig. Ein Vektorraum ist n-dimensional, wenn es in ihm
höchstens n linear unabhängige Vektoren gibt; durch Addition und
S-Multiplikation lässt sich in ihm jeder Vektor aus n Vektoren zusammensetzen; diese n erzeugenden Vektoren bilden eine Basis des Vektorraums.
Beispiel geometrischer Raum
Der Raum unserer Anschauung stellt einen 3-dimensionalen Vektorraum dar.
Alle Raumvektoren (darstellbar als Pfeile, die die einzelnen Raumpunkte fest legen) lassen sich mit Hilfe dreier Basisvektoren (z. B. e x , e y , ez ) durch
Multiplikation mit geeigneten Zahlen (Koordinaten genannt, z. B. x, y, z) und
anschliessender Addition erzeugen: v = x ⋅ e x + y ⋅ e y + z ⋅ e z .
Beispiel Euklidische Ebene
Ein anschaulicher Vektorraum ist die zweidimensionale Ebene R2 (in rechtwinkligen kartesischen Koordinaten) mit den Pfeilklassen (Verschiebungen
oder Translationen) als Vektoren und den reellen Zahlen als Skalaren.
Beispiel eines einfachen abstrakten Vektorraums
Vektorräume können jedoch auch abstrakter aussehen. So kann V etwa die
Menge der Geraden sein. Beispiele für Geraden sind etwa: f ( x ) = 2x + 3 ,
g ( x ) = 3x − 5 . Die Summe zweier Geraden ist wieder eine Gerade:
f ( x ) + g ( x ) = 2x + 3 + 3x − 5 = ( 2 + 3 ) x + ( 3 − 5 ) = 5x − 2
Der Nullvektor ist die Funktion: n ( x ) = 0x + 0 , d.h. n ( x ) = 0
Mit einem Skalar a = 3 aus der Menge der reellen Zahlen ist die
Skalarmultiplikation: a ⋅ f ( x ) = 3 ⋅ ( 2x + 3 ) = ( 3 ⋅ 2 ) x + ( 3 ⋅ 3 ) = 6x + 9
Vektorraum der Polynome
Die Polynome mit Koeffizienten aus einem Körper bilden, mit der üblichen
Addition und der Multiplikation mit einem Element des Körpers, einen
unendlich-dimensionalen Vektorraum. Für die Polynome, deren Grad durch
ein n ∈ N0 nach oben beschränkt ist, hat der resultierende Vektorraum die
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269
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Gleichungssysteme
Dimension n + 1. Beispielsweise ist die Menge aller Polynome vom Grad kleiner gleich 4 a + b ⋅ x + c ⋅ x 2 + d ⋅ x 3 + e ⋅ x 4 ein Vektorraum der Dimension 5.
Eine Basis bilden die Monome {1, x , x 2 , x 3 , x 4 } . Man kann zeigen, dass dieser
Vektorraum alle Bedingungen erfüllt.
Was bringt die Zukunft?
Oft besitzt ein Vektorraum neben seiner algebraischen auch noch eine damit
verträgliche topologische Struktur; er ist dann ein topologischer Vektorraum.
In vielen Vektorräumen ist es möglich, die Länge eines Vektors anzugeben,
die etwas abstrakter seine Norm genannt wird: der Vektorraum ist dann ein
normierter Raum. Eine Norm induziert stets eine Metrik und damit auch eine
Topologie. Oft ist es sinnvoll und möglich, auch den Winkel zwischen
Vektoren zu definieren. Das geschieht mit Hilfe des Skalarprodukts (nicht zu
verwechseln mit der Skalarmultiplikation!); der Vektorraum ist dann ein Innenproduktraum. In einem metrischen Raum ist das analytische Konzept der
Konvergenz anwendbar; ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge
konvergiert, heisst vollständig. Ein vollständiger normierter Raum heisst
Banach-Raum, ein vollständiger Innenproduktraum heisst Hilbert-Raum
(Norm durch ein Skalarprodukt induziert). Die Quantenmechanik (physikalische Theorie der Materie und dessen Wechselwirkungen) arbeitet mit Hilberträumen, deren Elemente Wellenfunktionen sind. Eine Metrik ist in der Mathematik eine Funktion, die je zwei Punkten eines Raums einen reellen Wert
zuordnet, der als Abstand der beiden Punkte voneinander aufgefasst werden
kann. Metriken geben einem Raum eine globale und eine lokale Struktur. Die
globale Struktur kommt in geometrischen Eigenschaften wie der Kongruenz
von Figuren zum Ausdruck. Die lokale metrische Struktur, also die Definition
kleiner Abstände, ermöglicht unter bestimmten zusätzlichen Voraussetzungen
die Einführung von Differentialoperationen.
Die verschiedenen topologischen Räume verallgemeinern die möglichen lokalen Strukturen metrischer Räume. Jeder metrische Raum ist ein topologischer
Raum mit der Topologie, die durch die Metrik induziert wird. Jeder metrische
Raum ist ein Hausdorff-Raum.
270
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Definition Polynom
7 Leitidee Polynome
In diesem Kapitel betrachten wir besondere Terme, so genannte Polynome.
Insbesondere interessieren wir uns für verschiedene Darstellungsformen.
Algebraische Termdarstellung: Polynomform, Linearfaktorzerlegung.
Numerische Darstellung: Wertetabelle eines Polynoms
Graphische Darstellung in einem Koordinatensystem: Graph eines Polynoms
7.1 Definition Polynom
Ein Polynom ist eine vielgliedrige algebraische Summe.
Wir betrachten spezielle Polynome p(x) der folgenden Art:
p(x) = an ⋅ xn + an −1 ⋅ xn −1 + ⋯⋯ + a2 ⋅ x 2 + a1 ⋅ x + a0
Das Polynom besteht aus Potenzen einer Variablen x, wobei die Koeffizienten
an ,an −1 ,⋯⋯ ,a 2 ,a1 ,a0 beliebige reelle Zahlen sind und der Exponent n eine
natürliche Zahl (Grad des Polynoms) ist.
Beispiel 1
Polynom 4. Grades: x 4 − 2x 3 − 13x 2 + 14x + 24
n = 4 ,a 4 = 1,a3 = −2 ,a2 = −13 ,a1 = 14 ,a0 = 24
Beispiel 2
Polynom 6. Grades: x 6 − x 5 + x 2 − x
n = 6 ,a 6 = 1,a5 = −1,a 4 = 0 ,a3 = 0 ,a 2 = 1,a1 = −1,a0 = 0
Beispiel 3
Polynom n - ten Grades: − 2x5 + 3x 4 − 5x 3 + 8x 2 − x − 7
Grad: n =
Koeffizienten:
a5 =
; a4 =
; a3 =
a2 =
; a1 =
; a0 =
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271
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Leitidee Polynome
7.1.1 Übungen Polynome
Aufgabe 1: allgemeine Polynome
allgemeines Polynom n - ten Grades:
an ⋅ xn + an −1 ⋅ xn −1 + ⋯⋯ + a2 ⋅ x 2 + a1 ⋅ x + a0
a) Gib ein allgemeines Polynom 3. Grades an.
b) Gib ein allgemeines Polynom 6. Grades an, bei dem a5 = a 4 = a1 = 0 ist.
c) Gib ein allgemeines Polynom 2. Grades an, bei dem a0 = 0 ist.
d) Gib ein allgemeines Polynom 1. Grades an.
Aufgabe 2: Beispiele für Polynome
Gib den Grad n und die Koeffizienten an ,an −1 ,⋯⋯ ,a 2 ,a1 ,a0 für folgende
Polynome an.
a)
2x 4 − 5x 3 − x 2 + 7x + 3
b)
− 4x 6 + 3x 5 + 2x 4 − x3 − x 2 + x + 10
c)
x 6 − 6x 3 − 2x 2 + 5x + 1
d)
x4 + 1
e)
5x 2 + 2x + 9
f)
x−5
272
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Definition Polynom
Aufgabe 3: Die Koeffizienten bestimmen ein Polynom
Schreibe das Polynom auf, das durch folgende Koeffizienten gegeben ist.
a)
a3 = 7 ,a2 = −5 ,a1 = −1,a0 = 21
b)
a6 = 1,a5 = 0 ,a 4 = 0 ,a3 = 0 ,a 2 = 1,a1 = 1,a0 = 1
c)
a3 = 1,a 2 = −2 ,a1 = 3 ,a0 = 0
Aufgabe 4: Grad und Koeffizienten von Polynomen
Bestimme den Grad n und die Koeffizienten der folgenden Polynome:
a) ( x + 1) ⋅ ( x − 1)
3
b) ( x − 1)
3
5
c) ( 2x + 3 )
4
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273
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Leitidee Polynome
7.1.2 Wertetabelle
Wir setzen für die Variable x einige Werte ein (z.B. – 3, – 2, – 1, 0, 1,2 ,3) und
berechnen den Wert des Polynoms z.B. für x = 2:
p(2) = 26 − 25 + 22 − 2 = 64 − 32 + 4 − 2 = 34
p( −3)
p(x)
x − 2x − 13x + 14x + 24
4
3
2
0
984
x −x +x −x
6
5
p( −2)
2
p( −1)
-24
102
p(0)
0
4
p(1)
24
0
24
0
p(2)
0
34
p(3)
-24
492
Für einige x-Werte wird der Wert des Polynoms Null, z.B. für x = – 3:
p( −3) = ( −3 ) − 2 ⋅ ( −3 ) − 13 ⋅ ( −3 ) + 14 ⋅ ( −3 ) + 24
4
3
2
= 81 − 2 ⋅ ( −27 ) − 13 ⋅ 9 + 14 ⋅ ( −3 ) + 24
= 81 + 54 − 117 − 42 + 24 = 0
In der oben aufgeführten Wertetabelle sehen wir, dass beim Polynom
p ( x ) = x 4 − 2x 3 − 13x 2 + 14x + 24
nebst p( −3) = 0 auch p( −1) = 0 und p(2) = 0 ist.
Wir können uns fragen, wie viele Werte x gibt es, so dass p(x) = 0 wird?
Die Antwort auf diese Frage gibt uns die Linerfaktorzerlegung des Polynoms.
7.1.3 Linearfaktorzerlegung
Untersuche den Zusammenhang zwischen dem Grad n eines Polynoms und
der Anzahl a der x-Werte, die den Wert Null für das Polynom ergeben.
Benutze dazu die folgenden zwei Funktionen deines Rechners:
Befehl: factor ( p ( x ) , x )
Befehl: exp and()
→ Faktorisieren von Polynomen
→ ausmultiplizieren der Linearfaktorzerlegung
Beispiel 1
p ( x ) = x 4 − 2x 3 − 13x 2 + 14x + 24 (Polynomform)
Faktorisieren mit Rechner:
factor(x 4 − 2x 3 − 13x 2 + 14x + 24) = ( x − 4 ) ⋅ ( x − 2 ) ⋅ ( x + 1 ) ⋅ ( x + 3 )
p(x) = ( x − 4 ) ⋅ ( x − 2 ) ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x + 3 )
heisst Linearfaktorzerlegung des Polynoms.
Linearfaktoren
Die Faktoren ( x − 4 ) , ( x − 2 ) , ( x + 1) , ( x + 3 ) heissen Linearfaktoren.
274
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Definition Polynom
Beispiel 2
p ( x ) = x6 − x5 + x 2 − x
Faktorisieren: factor(x 6 − x 5 + x 2 − x) = x ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x 4 + 1)
Der Faktor ( x 4 + 1) ist kein Linearfaktor (Polynom 4. Grades) und kann nicht
weiter zerlegt werden. Es handelt sich hier um einen so genannten Primfaktor.
Ausmultiplizieren von Polynomen (Linearfaktorzerlegung)
expand ( ( x − 4 ) ⋅ ( x − 2 ) ⋅ ( x + 1 ) ⋅ ( x + 3 ) ) = x 4 − 2x 3 − 13x 2 + 14x + 24
expand ( x ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x 4 + 1) ) = x 6 − x5 + x 2 − x
Übung 1
Gesucht ist ein Polynom mit folgenden Eigenschaften: Grad n = 4,
nur p ( 2 ) = 0 und p ( 1) = 0 , keine weiteren x-Werte so dass p ( x ) = 0 .
Lösung:
p( 2 ) = 0
→ Linearfaktor ( x − 2 )
p ( 1) = 0
→ Linearfaktor ( x − 1)
Vier Möglichkeiten
p ( x ) = ( x − 2 ) ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x 2 + 1)
p ( x ) = ( x − 2 ) ⋅ ( x − 1)
3
;
;
p ( x ) = ( x − 2 ) ⋅ ( x − 1)
2
p ( x ) = ( x − 2 ) ⋅ ( x − 1)
2
3
Übung 2
Gesucht ist ein Polynom mit folgenden Eigenschaften: Grad n = 3
nur p ( −2 ) = 0 , p ( −1) = 0 und p ( 0 ) = 0
Übung 3
Gibt es ein Polynom a) 3. Grades b) 4. Grades, so dass p ( x ) ≠ 0 ist für alle
x-Werte.
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275
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Leitidee Polynome
7.2 Graphische Darstellung eines Polynoms
Wir benutzen dazu das kartesische Koordinatensystem (zwei Achsen x und y,
die rechtwinklig zueinander stehen). Ins Koordinatensystem werden Punkte
P ( x | y ) eingezeichnet, wobei y = y ( x ) = p ( x ) der Wert des Polynoms an der
Stelle x ist.
Beispiel 1
y = x 4 − 2x 3 − 13x 2 + 14x + 24 (Polynomform)
y = ( x − 4 ) ⋅ ( x − 2 ) ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x + 3 ) (Linearfaktorzerlegung)
y
50
10
O
Schnittpunkt mit der y-Achse:
1
5 x
( 0 | 24 )
y = p ( 0 ) = 24
Schnittpunkte mit der x-Achse:
Nullstellen: y = p ( x ) = 0
Linearfaktoren
(4;0)
x − 2 = 0 → x = 2 → p( 2) = 0 → ( 2; 0)
x + 1 = 0 → x = −1 → p ( −1) = 0 → ( −1; 0 )
x + 3 = 0 → x = −3 → p ( −3 ) = 0 → ( −3 ; 0 )
x−4=0
276
→
x=4
→
p( 4) = 0
→
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Beispiel 2
Graphische Darstellung eines Polynoms
y = x 5 + 3x 4 − 5x 3 − 15x 2 + 4x + 12
y = ( x − 2 ) ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x + 2 ) ⋅ ( x + 3 )
y
10
O
Schnittpunkt mit der y-Achse:
1
x
( 0 | 12 )
y = p ( 0 ) = 12
Schnittpunkte mit der x-Achse:
Nullstellen: y = p ( x ) = 0
Linearfaktoren
x−2=0
→
x −1= 0
→
x +1= 0
→
x+2=0
→
x+3=0
→
(2;0)
x = 1 → p ( 1) = 0 → ( 1; 0 )
x = −1 → p ( −1) = 0 → ( −1; 0 )
x = −2 → p ( − 2 ) = 0 → ( − 2 ; 0 )
x = −3 → p ( −3 ) = 0 → ( −3 ; 0 )
x=2
→
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p( 2) = 0
→
277
DialogMathe
Leitidee Polynome
7.2.1 Übungen Koordinatensystem
Übung 1: Polynomterm graphisch darstellen
Gegeben ist der Polynomterm T ( x ) = −0,5x 3 − x 2 + 2,5x + 3 . Erstelle eine Wertetabelle und skizziere das Polynom in einem Koordinatensystem. Berechne
y = T ( x ) für die speziellen Werte in der unten aufgeführten Wertetabelle.
Wertetabelle
x
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
y = T(x)
Graph des Polynoms
Trage die errechneten Punkte
P ( x | y ) mit y = T ( x ) in das
y
Koordinatensystem ein.
Versuche die Punkte zu einer
Linie zu verbinden! Welche
5
Schwierigkeiten ergeben sich?
1
11
x
-5
Alle Punkte P ( x | y ) mit
x ∈ R bilden den Graph des
Polynoms.
-10
278
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Graphische Darstellung eines Polynoms
Übung 2
In welchen Quadranten liegen die folgenden Punkte: P1 ( 2 | 5 ) , P2 ( −4 | 5 ) ,
P3 ( 3 | − 7 ) , P4 ( −5 | − 1)
Das kartesische Koordinatensystem (Achsen stehen senkrecht zueinander)
wird durch die x- und y-Achse in vier Quadranten aufgeteilt. Diese werden im
Gegenuhrzeigersinn nummeriert, wobei der 1. Quadrant jener mit den
positiven x- und y-Werten ist.
Wie erkennst du anhand der Koordinaten eines Punktes P, in welchem Quadrant der Punkt P liegt?
7.2.2 Skizzieren eines Polynoms
Ein Polynom mit Hilfe einer Wertetabelle zu skizzieren gelingt nur, wenn sehr
viele Werte mit einem kleinen ∆x berechnet werden. Ein Polynom p(x) kann
von Hand skizziert werden, wenn folgende Eigenschaften bekannt sind:
• Schnittpunkte mit der x-Achse
• Minima, Maxima
• Verhalten für kleine und grosse x-Werte
• Schnittpunkt mit der y-Achse: y ( 0 ) = a0
Beispiel
p ( x ) = −0,5x 3 − x 2 + 2,5x + 3
Schnittpunkt mit der y-Achse: p ( 0 ) = − 0,5 ⋅ 0 3 − 0 2 + 2,5 ⋅ 0 + 3 = 3
Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen): Linearfaktorzerlegung
factor ( − x 3 − 2x 2 + 5x + 6 ) = ( −1) ⋅ ( x − 2 ) ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x + 3 )
Nullstellen: Schnittpunkte mit der x-Achse (y = 0): x = 2 , x = −1, x = −3
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279
DialogMathe
Leitidee Polynome
Minima, Maxima mit Hilfe des Rechners
Minimum: Min ( −2,1| − 2,0 )
;
Maximum: Max ( 0,8 | 4,1)
Verhalten für kleine und grosse x – Werte
Für kleine und grosse x-Werte dominiert die Potenz mit dem grössten
Exponenten.
Für kleine x-Werte (x ist negativ) p ( x ) ≈ − x 3 ist positiv, d.h. die
Punkte liegen im zweiten Quadranten.
Für grosse x-Werte (x ist positiv) p ( x ) ≈ − x 3 ist negativ, d.h. die
Punkte liegen im vierten Quadranten.
Graph des Polynoms
y
5
1
O
280
1
x
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Graphische Darstellung eines Polynoms
7.2.3 Grafisches Verhalten für kleine und grosse x – Werte
Partnerinterview Verhalten für kleine und grosse x – Werte
Zeit: 20 Minuten
Untersuche das Verhalten von Polynomen für kleine und grosse x-Werte.
p(x) = an ⋅ xn + an −1 ⋅ xn −1 + ⋯⋯ + a2 ⋅ x 2 + a1 ⋅ x + a0
Das Verhalten für kleine und grosse x-Werte wird durch den ersten Summand
bestimmt, d.h. durch den Summanden mit dem höchsten Exponent.
Die anderen Summanden können vernachlässigt werden.
p(x) ≈ an ⋅ xn
Der Verlauf ist also vom Exponent n (Grad des Polynoms) und vom
Koeffizient an abhängig.
Diskutiere die in untenstehender Grafik aufgeführten vier Fälle systematisch.
z.B. Fall Q2 / Q1: das Polynom verläuft für kleine x im zweiten Quadranten
und für grosse x im ersten Quadranten.
Überlege:
Welchen Effekt hat der Koeffizient an auf den Graph y = an ⋅ xn .
Unterscheide an positiv oder an negativ!
Welchen Effekt hat der Grad n auf den Graph y = an ⋅ xn .
Unterscheide n gerade oder n ungerade!
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281
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Leitidee Polynome
Gib für jeden der vier Fälle je ein Beispielpolynom an. Skizziere den
ungefähren Verlauf des Polynoms (Graph) mit Hilfe des Rechners.
282
an : positiv
negativ
an : positiv
negativ
n : gerade
ungerade
n : gerade
ungerade
an : positiv
negativ
an : positiv
negativ
n : gerade
ungerade
n : gerade
ungerade
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Graphische Darstellung eines Polynoms
7.2.4 Übung: Skizzieren eines Polynoms
Skizziere das folgende Polynom: p ( x ) = − 0,1x 4 − 0,1x 3 + 1,5x 2 + 1, 6x + 1,6
Grad des Polynoms:
Schnittpunkt mit der y-Achse:
Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen): Linearfaktorzerlegung
Minima, Maxima mit Hilfe des Rechners
Minimum:
Maxima:
Verhalten für kleine und grosse x-Werte:
Graph:
y
10
5
1
-5
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O
1
5
x
283
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Leitidee Polynome
7.2.5 Partnerinterview Darstellungsformen für Polynome
Partnerinterview Darstellungsformen für Polynome
Zeit: 15 Minuten
Diskutiere die folgenden Aussagen über Polynome!
Mach dir klar was für dich ein Polynom ist. Einerseits ist ein Polynom für uns
ein Term (speziell ein Term in der Linearfaktorzerlegung), andererseits können wir ein Polynom als Zuordnung (Funktion) auffassen und diese graphisch
als Linie in einem Koordinatensystem (Graph des Polynoms) aufzeichnen.
Term
Zuordnung (Funktion)
Graph
Linearfaktoren
Nullstellen
Schnittpunkte mit x-Achse
Gelingt es uns gedanklich zwischen diesen drei Darstellungsformen hin und
her zu springen, so erhalten wir ein effizientes und mächtiges Werkzeug, um
Problemstellungen aus der Praxis (Technik, Wirtschaft, usw.) zu analysieren
und zu lösen.
Aussagen über Polynome
Aussage über den Graph
Ein Polynom n-ten Grades hat
Der Graph eines Polynoms n-ten
höchsten n Linearfaktoren.
Grades hat höchsten n Nullstellen
(Schnittpunkte mit der x-Achse).
Ist der Grad n eines Polynoms
Ist der Grad n eines Polynoms unge-
ungerade, so hat es mindestens einen rade, so hat der Graph mindestens
Linearfaktor.
eine Nullstelle (einen Schnittpunkt
mit der x-Achse).
Bei Polynomen mit geradem n, kann
Bei Polynomen mit geradem n kann
es sein, dass sie keinen Linearfaktor
es sein, dass der Graph keine
haben (z.B. x 2 + 1 , x 4 + 1 , usw.).
Nullstellen (Schnittpunkte mit der
x -Achse) hat.
284
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Graphische Darstellung eines Polynoms
7.2.6 Doppelt auftretende Linearfaktoren
Bei der Linearfaktorzerlegung eines Polynoms, können Linearfaktoren auch
mehrfach auftreten. Wir wollen nun untersuchen, was es für den Graph eines
Polynoms bedeutet, wenn ein Linearfaktor zweifach auftritt.
Berührung
Ein doppelt auftretender Linearfaktor bedeutet eine Berührung des Graphen
mit der x-Achse.
Beispiel 1:
p ( x ) = ( x − 1)
Beispiel 2: p ( x ) = ( x + 1) ⋅ ( x − 2 )
2
Beispiel 3: p ( x ) = x ⋅ ( x + 3 ) ⋅ ( x − 2 )
2
2
7.2.7 Übungen Linearfaktoren
Übung 1:
Bestimme die Linearfaktorzerlegung der Polynome. Wie viele Linearfaktoren
haben die Polynome? Gib alle Nullstellen der Polynome an, d.h. die Werte x,
so dass p ( x ) = 0 wird. a) –c) ohne Rechner; d) – h) mit Rechner
a)
p ( x ) = x2 − x − 2
b)
p ( x ) = x 2 − 6x + 9
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285
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Leitidee Polynome
c)
p ( x ) = x4 − 1
d)
p ( x ) = x 6 − x 5 + 4x 4 + 2x 3 + 5x 2 − x − 2
e)
p ( x ) = x 6 − 2x 5 + x 4 + x 2 − 2x + 1
f)
p ( x ) = x6 + 1
g)
p ( x ) = x 5 + x 4 − 2x 3 − 2x 2 + x + 1
h)
p ( x ) = x5 − x 4 + x − 1
Übung 2:
Ermittle ein Polynom mit den folgenden Eigenschaften:
Bestimme ein Polynom 4. Grades, so dass
a)
p ( −7 ) = 0 ,p ( −2 ) = 0 ,p ( 1) = 0 ,p ( 5 ) = 0
b)
nur p ( −2 ) = 0 ,p ( 1) = 0 ,p ( 5 ) = 0 ist und keine weitere Zahl x den Wert des Polynoms Null macht.
c)
nur p ( 1) = 0 , p ( 5 ) = 0 ist.
d)
nur p ( 5 ) = 0 ist
e)
p ( x ) ≠ 0 d.h. keine Zahl x den Wert des Polynoms Null macht.
Übung 3:
Ermittle ein Polynom mit den folgenden Eigenschaften:
Bestimme ein Polynom 3. Grades, so dass
a)
p ( −2 ) = 0 , p ( −1) = 0 , p ( 0 ) = 0
b)
nur p ( 2 ) = 0 , p ( 1) = 0 ist
c)
nur p ( −3 ) = 0 ist.
286
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Übung 4:
Graphische Darstellung eines Polynoms
Bestimme die Linearfaktoren der folgenden Polynome mit Hilfe der
Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse.
Was kannst du über den Grad n der Polynome aussagen?
Polynom A
y
1
O
1
x
1
x
1
x
Polynom B
y
1
O
Polynom C
y
1
O
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287
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Leitidee Polynome
7.3 Anwendungen, Übungen, Repetitionstest
7.3.1 Anzahl Lösungen einer Gleichung zweiten Grades
Eine Gleichung zweiten Grades hat höchstens zwei Lösungen.
Überprüfe folgende Fälle für die Anzahl Lösungen einer Gleichung zweiten
Grades.
1. genau zwei Lösungen
2. nur eine Lösung
3. keine Lösung
7.3.2 Anzahl Lösungen einer Gleichung dritten Grades
Eine Gleichung dritten Grades hat höchstens drei Lösungen und
mindestens eine Lösung.
Überprüfe folgende Fälle für die Anzahl Lösungen einer Gleichung dritten
Grades.
1. genau drei Lösungen
2. nur zwei Lösung
3. nur eine Lösung
4. keine Lösung
7.3.3 Satz von Vieta
Für eine normierte quadratische Gleichung x 2 + a1 x + a0 = 0 mit den reellen
Lösungen x1 und x2 gilt:
1. x1 + x 2 = − a1
2. x1 ⋅ x 2 = a0
3. ( x − x1 ) ⋅ ( x − x 2 ) = x 2 + a1 x + a 0
Aufgabenstellung 1: Polynome zweiten Grades: p ( x ) = x 2 + a1 x + a 0
( a2 = 1 )
Zeige, dass der Satz von Vieta gilt.
Aufgabenstellung 2: Übertrage den Satz von Vieta auf ein Polynom dritten Grades:
p ( x ) = x 3 + a 2 x 2 + a1 x + a0
288
( a3 = 1 )
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Anwendungen, Übungen, Repetitionstest
7.3.4 Polynom dritten Grades
Gib ein Polynom dritten Grades p ( x ) = x 3 + a 2 x 2 + a1 x + a0 an, das die
x-Achse bei x1 = 1, x 2 = 2 , x 3 = 3 schneidet.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Zahlen x1 , x 2 , x 3 und der
Zahl a0 des Polynoms?
Welche Bedeutung hat a0 für den Graph des Polynoms?
Spezialfall: Das Polynom schneidet die x-Achse im Ursprung, d.h. x 0 = 0
Zerlegung eines Polynoms dritten Grades
Zeige anhand des untenstehenden Beispiels, dass folgender Satz gilt:
Ist x1 eine Lösung von p ( x ) = x 3 + a 2 x 2 + a1 x + a0 = 0 , so lässt sich im
Polynomterm der Linearfaktor x − x1 abspalten (Polynomdivision), und es
gilt: p ( x ) = x 3 + a 2 x 2 + a1 x + a0 = q ( x ) ⋅ ( x − x1 ) ,
wobei q ( x ) vom Grad 2 ist.
Beispiel: p ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 3 x + 10
Zeige, dass p ( −1) = 0 und somit x1 = −1 .
Spalte den Linearfaktor x − ( −1) = x + 1 von p ( x ) ab, d.h., führe folgende
Polynomdivision aus: p ( x ) : ( x + 1) = q ( x )
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289
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Leitidee Polynome
7.3.5 Polynom vierten Grades
Skizziere das folgende Polynom: y = x 4 − 2x 3 − 13x 2 + 14x + 24
Berechne dazu mit Hilfe des Rechners die speziellen Punkte. Wie viel Mal
schneidet das Polynom die x-Achse? Durch welche einfache Änderung am
Term des Polynoms, kann verhindert werden, dass der Graph die x-Achse
schneidet? Begründe deine Lösungsidee!
Was bedeutet dies für die Linearfaktorzerlegung des Polynoms?
Spezielle Punkte des Polynoms (Maxima, Minima, Nullstellen).
Graph des Polynoms
y
50
10
O
290
1
5 x
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7.3.6 Repetitionstest Polynome
Repetitionstest Polynome
Zeit: 40 Minuten
Aufgabe 1
Gegeben ist das Polynom : p ( x ) = x 2 − 8x + 15
a) Bestimme p ( −1) =
b) Berechne den Wert des Polynoms für x = 2:
c) Bestimme die Werte x, so dass p ( x ) = 0 .
d) Liegt der Punkt P ( 3 | 1) auf dem Graph des Polynoms y = p ( x ) ?
Aufgabe 2
a) Bestimme ein Polynom 5. Grades, so dass nur p ( −2 ) = 0 , p ( 1) = 0 ,
p ( 5 ) = 0 ist und keine weitere Zahl x den Wert des Polynoms Null macht.
b) Gib ein Polynom 6. Grades an, dessen Graph die x-Achse nicht schneidet.
Aufgabe 3
Ermittle die Koeffizienten der folgenden Polynome!
a) p ( x ) = 3 ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x − 7 )
b) p ( x ) = ( x 2 + 2 )
2
c) p ( x ) = ( x − 1)
3
Aufgabe 4
Bestimme die Linearfaktorzerlegung der folgenden Polynome!
a) p ( x ) = 2x 2 − 8
b) p ( x ) = 4x 2 − 8x + 4
c) p ( x ) = x 2 − 8x + 15
d) p ( x ) = x 4 − 1
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Leitidee Polynome
Aufgabe 5
Ordne die folgenden Polynome A, B, C und D in untenstehender Tabelle den
vier Fällen zu.
Polynom A: p A ( x ) = 7x 5 + 3x 4 − 5x 3 − 15x 2 + 4x + 12
Polynom B: pB ( x ) = −5x 3 − x 2 + 6x − 9
Polynom C: p C ( x ) = 8x 4 − 2x 3 − x 2 + 5x + 2
Polynom D: pD ( x ) = −15x 2 + 3x + 1
Verhalten
für grosse
und kleine
x-Werte
Polynom
Aufgabe 6
Wo schneidet der Graph des Polynoms y = 13 ⋅ ( x + 3 ) ⋅ ( 1 − x ) die y-Achse?
Aufgabe 7
Wo schneidet der Graph des Polynoms y = 3x ⋅ (x + 3) die x-Achse?
Für welchen x-Wert wird y minimal.
Aufgabe 8
Bestimme die Gleichung des Polynoms,
das den nebenstehenden Graph hat.
y
2
O
292
2
x
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Aufgabe 9
Überprüfe folgende Aussagen und kreuze an. Gegeben sind die beiden
Polynome p1 ( x ) = ( x + 4 )( x − 2 ) und p2 ( x ) = ( x + 4 )( 2 − x ) .
• Die beiden Polynome p1 ( x ) und p2 ( x ) haben die
richtig
falsch
gleichen Schnittpunkte mit der x – Achse.
• Die beiden Polynome p1 ( x ) und p2 ( x ) haben den
gleichen Graph.
• p1 ( x ) hat ein Maximum, p2 ( x ) hat ein Minimum.
• Die beiden Polynome p1 ( x ) und p2 ( x ) schneiden
die y-Achse an unterschiedlicher Stelle.
Aufgabe 10
Überprüfe folgende Aussagen und kreuze an.
Gegeben ist das Polynom: y = p ( x ) = ( −1) ⋅ ( x − 5 ) ⋅ ( x + 3 )
Der Graph des Polynoms
• schneidet die y-Achse bei y = 15.
richtig
falsch
• ist eine nach unten geöffnet Parabel.
• schneidet die x-Achse bei x = 3 und x = – 5.
• hat bei x = – 1 ein Minimum
Aufgabe 11
Gegeben ist das Polynom:
p ( x ) = ( x 4 − x 2 ) ⋅ ( x 2 + 2x − 8 ) ⋅ ( x 2 − 6x + 9 ) ⋅ ( x + 1)
Bestimme den Grad n des Polynoms.
Wie viel mal und wo berührt der Graph des Polynoms die x-Achse?
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Leitidee Polynome
7.4 Algebraische Bestimmung von Polynomen
Durch wie viele Punkte wird der Graph eines Polynoms eindeutig bestimmt?
7.4.1 Partnerinterview: Lösen eines Problems durch einen Ansatz
Partnerinterview: Lösen eines Problems durch einen Ansatz
Zeit: 15 Minuten
Überzeuge dich, dass folgende Behauptung zutrifft!
Der Graph eines Polynoms n-ten Grades ist eindeutig bestimmt, wenn wir
n + 1 Punkte vorgeben.
Transformiere das graphische Problem in ein algebraisches:
Ein Polynom n-ten Grades kann durch die Zuordnung
y ( x ) = an ⋅ x n + an −1 ⋅ x n −1 + ⋯⋯ + a 2 ⋅ x 2 + a1 ⋅ x + a0 beschrieben werden.
Diese Gleichung hat n + 1 Unbekannte (Koeffizienten an ,an −1,…… ,a2 ,a1,a0 ).
Um diese zu bestimmen brauchen wir n + 1 Gleichungen.
Jeder gegebene Punkt P ( x | y ) beschreibt eine Zuordnung und liefert daher
eine Gleichung, d.h. zur Bestimmung eines Polynoms n-ten Grades brauchen
wir ein Gleichungssystem ( n + 1 Unbekannte / n + 1 Gleichungen).
Beispiele
Anzahl
Grad Ansatz
Anzahl
Unbekannte Punkte
1
y ( x ) = a1 ⋅ x + a0
2
y ( x ) = a 2 ⋅ x 2 + a1 ⋅ x + a0
3
y ( x ) = a3 ⋅ x 3 + a 2 ⋅ x 2 + a1 ⋅ x + a 0
4
y ( x ) = a 4 ⋅ x 4 + a3 ⋅ x 3 + a 2 ⋅ x 2 + a1 ⋅ x + a 0
⋮
n
294
y ( x ) = an ⋅ x n + an −1 ⋅ x n −1 + ⋯ + a1 ⋅ x + a 0
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Algebraische Bestimmung von Polynomen
7.4.2 Gegeben vier Punkte, gesucht Polynom 3. ten Grades
Gesucht ist die Gleichung eines Polynoms 3. Grades durch die folgenden vier
Punkte: P1 ( − 2 | − 38 ) , P2 ( − 1 | − 17 ) , P3 ( 2 | 10 ) , P4 ( 3 | 47 )
Hinweis: Mache einen Ansatz: y = a3 ⋅ x3 + a2 ⋅ x 2 + a1 ⋅ x + a0 und löse das
Problem durch ein Gleichungssystem, durch welches du die Koeffizienten
a3 ,a2 ,a1,a0 bestimmen kannst.
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Leitidee Polynome
7.4.3 Spezielle Punkte
Vom Graph eines Polynoms 2. Grades kennen wir einen Punkt P ( 4 | 6 ) und
die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse N1 ( 6 | 0 ) und N2 ( − 2 | 0 ) .
Bestimme die Gleichung des Polynoms.
Welchen Ansatz wählst du?
7.4.4 Symmetrisches Polynom zur y – Achse
Zeige: Ein zur y-Achse symmetrisches Polynom 4. Grades wird durch drei
Punkte bestimmt.
296
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Dynamische Darstellung von Polynomen
7.5 Dynamische Darstellung von Polynomen
7.5.1 Kurvenscharen statisch und dynamisch
Gegeben ist das Polynom p ( x ) =
1 x4
2
− 4x 2 + a mit dem Parameter a.
Statische Darstellung der Kurvenschar mit Hilfe einer Liste
Dynamische Darstellung der Kurvenschar mit Hilfe eines Schiebereglers
Im Gegensatz zur statischen Darstellung mit einer Liste werden mit Hilfe von
Schiebereglern die Kurven in ihrem dynamischen Verhalten beim Durchlaufen des Parameterbereichs gezeichnet. Da während der Parameteränderung
die Graphen zeitgleich gezeichnet werden, lassen sich in einer Art "Film" die
Auswirkungen der Parameter auf die Graphen "dynamisch" untersuchen. (Es
besteht auch die Möglichkeit den Schieberegler zu animieren.)
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297
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Leitidee Polynome
Damit ergeben sich ganz neuartige Zugänge zu mathematischen Erkenntnissen. Wir können Eigenschaften von Funktionen entdecken oder rechnerische
Ergebnisse bestätigen.
7.5.2 Lernaufgaben mit interaktiven Arbeitsblättern
Aufgabenstellung 1: Vertikale Verschiebung
Gegeben ist das Polynom p ( x ) =
1 x4
2
− 4x 2 + a mit dem Parameter a.
a) Gib das Polynom ein und wähle mit Hilfe des Schiebereglers
für a den Wert 2.
a1) Wo schneidet der Graph des Polynoms die y-Achse?
a2) Wie viele Schnittpunkte hat das Polynom mit der x-Achse?
a3) Welche Symmetrie besitzt der Graph?
b) Verändere den Parameter a. Was kannst du beobachten?
c) Wie muss a gewählt werden, damit
c1) das Polynom und die x-Achse keine gemeinsamen Punkte haben.
c2) das Polynom und die x-Achse drei gemeinsame Punkte haben.
298
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Dynamische Darstellung von Polynomen
Aufgabenstellung 2: Horizontale Verschiebung
Gegeben ist das Polynom p ( x ) = ( x + b ) mit dem Parameter b.
2
Untersuche den Effekt des Parameters b mit Hilfe eines Schiebereglers.
Beispiel 1 Seite 276
p ( x ) = x 4 − 2x 3 − 13x 2 + 14x + 24
Wird der Graph des Polynoms eine halbe Einheit nach links verschoben, so ist
er symmetrisch bezüglich der y-Achse.
p( x )
p( x +
→
1
2
p( x +
) = ( x + 21 )
1
2
4
)
− 2( x +
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)
1 3
2
− 13 ( x +
)
1 2
2
+ 14 ( x +
1
2
) + 24
299
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Leitidee Polynome
Polynome, deren Graphen symmetrisch zur y-Achse sind, bestehen nur aus
Potenzen mit geraden Exponenten.
Aufgabenstellung 3: Symmetrie
Für welche Polynome gilt: p ( −x ) = p ( x )
Beispiel: p ( x ) = x 2 ;
p ( −2 ) = ( −2 ) = 4 und p ( 2 ) = 22 = 4
2
⇒ p ( −2 ) = p ( 2 )
Für welche Polynome gilt: p ( − x ) = − p ( x )
Beispiel: p ( x ) = x 3 ;
p ( −2 ) = ( −2 ) = − 8 und p ( 2 ) = 23 = 8
3
⇒ p ( −2 ) = − p ( 2 )
Überprüfe deine Vermutung mit Hilfe einiger Beispiele.
Beispiele für Polynome mit der Eigenschaft: p ( −x ) = p ( x )
Beispiele für Polynome mit der Eigenschaft: p ( − x ) = − p ( x )
Symmetrie
Welche Symmetrien haben die grafischen Darstellungen der Polynome mit
der Eigenschaft:
p ( −x ) = p ( x )
p ( −x ) = − p ( x )
300
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Dynamische Darstellung von Polynomen
Aufgabenstellung 4: Verhalten für kleine und grosse x-Werte
Gegeben ist das Polynom p ( x ) = a ⋅ x b mit den Parametern a und b.
Bestätige das grafische Verhalten für kleine und grosse x-Werte, welches wir
auf Seite 281 / 282 im Partnerinterview erarbeitet haben.
a = an ∈ R und b = n ∈ N
a positiv, b gerade
a negativ, b gerade
a positiv, b ungerade
a negativ, b ungerade
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301
DialogMathe
Leitidee Polynome
Aufgabenstellung 5: Linearfaktorzerlegung
Gegeben ist das Polynom p ( x ) = ( x + a ) ⋅ ( x + b ) ⋅ ( x + c )
mit den Parametern a, b und c.
a) Wähle für a = 1, b = – 3 und c = 0. Wo schneidet der Graph die x-Achse?
b) Verändere den Parameter c mit dem Schieberegler. Beobachte dabei den
Graph, insbesondere bei c = 1 und c = – 3.
c) Wähle für a = b = c = – 3. Erkläre den Verlauf des Graphen.
Aufgabenstellung 6: Grad und Graph des Polynoms
f ( x ) = x 3 + 2x 2 − 5x − 6 = ( x − 2 ) ⋅ ( x + 1 ) ⋅ ( x + 3 )
g ( x ) = x2 + a
h ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) = ( x − 2 ) ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x + 3 ) ⋅ ( x 2 + a )
Wähle a = – 4 und verändere den Parameter in kleinen Schritten bis a = 4.
Beobachte dabei h(x). Welches ist der Grad des Polynoms h(x). Wie viele
Schnittpunkte mit der x-Achse hat es? Unterscheide verschiedene Fälle für
den Parameter a.
302
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Dynamische Darstellung von Polynomen
Aufgabenstellung 7: Scheitelform
Gegeben ist das Polynom p ( x ) = a ⋅ ( x + b ) + c .
2
Welchen Grad hat das Polynom?
Welchen Effekt haben die Zahlen a, b und c auf die grafische Darstellung des
Polynoms?
a
b
c
1
0
0
0,5
0
0
2
0
0
p ( x ) = 21 x 2
p ( x ) = 2x 2
-1
0
0
p ( x ) = − x2
1
2
0
p( x ) = ( x + 2 )
0
p( x ) = ( x − 2 )
2
p ( x ) = x2 + 2
1
–2
p ( x ) = x2
2
2
1
0
1
0
1
1
1
p ( x ) = ( x + 1) + 1
–1
1
1
p ( x ) = − ( x + 1) + 1
1
–3
2
p( x ) = ( x − 3 ) + 2
2
3
–4
–2
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p ( x ) = x2 − 2
2
2
2
p( x ) = 2 ⋅ ( x + 3 ) − 4
2
303
DialogMathe
Leitidee Polynome
7.6 Grafische Darstellung von mathematischen Objekten
Repetition von Problemstellungen unter Verwendung des Funktionsbegriffs.
Funktion = Zuordnung, siehe Lerneinheit 4 funktionales Denken.
7.6.1 Definitionsmenge eines Terms
Bruchterme (Variable befindet sich im Nenner)
Da die Division durch Null nicht definiert ist, müssen wir Zahlen, die den
Nenner Null machen, aus der Grundmenge ausschliessen!
Wurzelterme (Variable befindet sich unter einer Wurzel)
Da die Wurzel aus negativen Zahlen nicht definiert ist, müssen wir Zahlen,
die den Radikand negativ machen, aus der Grundmenge ausschliessen!
Beispiel
Bestimme die Definitionsmenge des Terms T(x), wenn R die Grundmenge ist.
T( x) =
1.
x2 + x − 6
( x 2 + 25 ) ⋅ ( x 2 − 8x + 16 ) ⋅ ( x 2 + 4x − 21)
x2 + x − 6 ≥ 0
p(x) = x 2 + x − 6 = ( x − 2 ) ⋅ ( x + 3 )
Graphische Darstellung der Ungleichung
Polynom 2. Grades, Graph nach oben geöffnete Parabel,
Schnittpunkte mit der x-Achse – 3 und 2 , x-Werte für die der Graph
oberhalb der x-Achse verläuft: R
304
] −3 ;2 [
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Grafische Darstellung von mathematischen Objekten
2.
( x2 + 25 ) ⋅ ( x2 − 8x + 16 ) ⋅ ( x2 + 4x − 21) ≠ 0
x 2 + 25 = 0
→
nicht möglich
x2 − 8x + 16 = ( x − 4 )
2
→
x 2 + 4x − 21 = ( x − 3 ) ⋅ ( x + 7 )
R
x=4
→
x = 3 ; x = −7
{ −7 ; 3 ; 4 }
Definitionsmenge: D = R
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( ] − 3 ; 2 [ ∪ { −7 ; 3 ; 4 } )
305
DialogMathe
Leitidee Polynome
7.6.2 Anwendung: Betragsungleichung
Gesucht sind die Lösungen der Ungleichung:
1x +1
2
− 2 ≥ 0
Da zum Ermitteln der Lösung der Betragsungleichung der Betrag
weggeschafft werden muss, braucht es eine Fallunterscheidung.
Funktionale Lösung
Diese Fallunterscheidung und auch die möglichen Lösungen erhalten wir sehr
schnell, indem wir die linke Seite der Ungleichung als Funktion interpretieren
und den Graph vom Rechner aufzeichnen lassen.
Der Funktionsgraph ist ein V nach oben geöffnet. Die Fallunterscheidung ist
an der Spitze ( x = −2 ;y = −2 ) ersichtlich x ≥ − 2 und x < − 2 . Die Lösung
erhalten wir durch die x-Werte, bei denen der Funktionsgraph oberhalb der
x-Achse verläuft! Dazu müssen wir die Nullstellen der Funktion bestimmen:
L = ] − ∞; − 6 ] ∪ [ 2;∞ [
x1 = − 6 und x 2 = 2 .
Lösung mit Solve - Befehl
Analytische Lösung von Hand
Fall1: 21 x + 1 ≥ 0
→
1x +1
2
→
x ≥ −2
→
D1 = [ − 2 ; ∞ [
= 21 x + 1
1x +1 − 2 ≥ 0
2
x ≥ 2
→
Fall 2:
→
L1 = [ 2 ; ∞ [ ∩ D1 = [ 2 ; ∞ [
1x +1 < 0
2
1x +1
2
→
x < −2
(
→ D2 = ] −∞ ; − 2 [
)
= − 21 x + 1 = − 21 x − 1
− 21 x − 1 − 2 ≥ 0
x ≤ −6
→
L 2 = ] − ∞ ; − 6 ] ∩ D2 =] − ∞ ; − 6 ]
L = ] − ∞;− 6 ] ∪ [ 2;∞ [
306
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7.6.3
Grafische Darstellung von mathematischen Objekten
Anwendung: Bewegungsaufgaben
Funktionale Behandlung von Bewegungsaufgaben
Beispiel: Wir steigen auf unser Velo und werden angestossen. Mit einer
Anfangsgeschwindigkeit v A = 3ms−1 treten wir in die Pedale und
beschleunigen dadurch unser Velo mit a = 0,5 ms−2 .
Die gleichmässig beschleunigte Bewegung wird durch das folgende
Gleichungssystem beschrieben:
vE = v A + a ⋅ t
s = vA ⋅ t +
a 2
⋅t
2
Wir betrachten nun die Geschwindigkeit vE = v ( t ) und den zurückgelegten
Weg s ( t ) als Funktion der Zeit, d.h. wir ordnen jedem Zeitpunkt t eine
Geschwindigkeit v E und einen Weg s zu.
Geschwindigkeits-Zeit-Funktion
vE = v A + a ⋅ t →
v ( t ) = 3 + 0,5 ⋅ t
→
y = f ( x ) = 21 ⋅ x + 3
Weg-Zeit-Funktion
s = vA ⋅ t +
a 2
⋅t
2
→
s ( t ) = 3 ⋅ t + 0,25 ⋅ t 2
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→
y = f ( x ) = 41 ⋅ x 2 + 3 ⋅ x
307
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Leitidee Polynome
Mit Hilfe dieser Funktionen (Diagrammen) können wir die Geschwindigkeit v
und den zurückgelegten Weg s zu jedem Zeitpunkt t bestimmen. Umgekehrt
können wir zu jeder Geschwindigkeit oder zu jedem Weg die Zeit ermitteln.
Die beiden Funktionen sind gleichbedeutend mit dem Gleichungssystem,
welches wir auf S 258 kennen gelernt haben.
7.7 Repetitionstest Polynome
Repetitionstest Polynome
Zeit: 50 Minuten / 75 Punkte
Aufgabe 1
[6 Punkte]
Ein Polynom ist gegeben durch folgende Koeffizienten:
a3 = 1, a 2 = 0 , a1 = −4 , a0 = 0
a) Schreibe das Polynom p ( x ) auf.
b) Bestimme die Linearfaktorzerlegung des Polynoms.
c) Bestimme p ( −1) =
d) Bestimme alle Werte x, so dass p ( x ) = 0 .
e) Liegt der Punkt P ( −1| −5 ) auf dem Graph des Polynoms y = p ( x ) ?
Aufgabe 2
[5 Punkte]
Ermittle die Koeffizienten der folgenden Polynome!
a) p ( x ) = ( −1) ⋅ x ⋅ ( 7 − x )
a2 =
; a1 =
b) p ( x ) = ( x 2 − 2 )
308
; a0 =
2
a4 =
;
a3 =
a2 =
;
a1 =
;
a0 =
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Aufgabe 3
Repetitionstest Polynome
[6 Punkte]
Bestimme die Linearfaktorzerlegung der folgenden Polynome!
a) p ( x ) = x 2 − 7x − 18
b) p ( x ) = 21 ⋅ x 2 + 4x + 8
c) p ( x ) = x 4 − 2x 2 + 1
Aufgabe 4
[6 Punkte]
Gegeben ist das Polynom: pa ( x ) = ( −2x ) ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x + 2 ) + a
2
2
Für a = 0 gibt uns der Rechner den untenstehenden Graph.
Wie viele gemeinsame Punkte hat das Polynom pa ( x ) mit der
x-Achse wenn
Anzahl gemeinsame Punkte mit der x-Achse
a = 2 ist?
a = 1 ist?
a = − 1 ist?
a = − 8 ist?
a = −10 ist?
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309
DialogMathe
Leitidee Polynome
Aufgabe 5
[4 Punkte]
Graph 1
Graph 2
Graph 3
Ordne das Polynom p(x) = −0,1 ⋅ x5 − 0,2 ⋅ x 4 + 1,3 ⋅ x 3 + 1,4 ⋅ x 2 − 2, 4 ⋅ x
einem der drei Graphen zu. Begründe deine Wahl kurz!
Graph 1
Graph 2
Graph 3
Aufgabe 6
[6 Punkte]
Gegeben ist das Polynom p(x) = x 3 + 1 . Bestimme die Koeffizienten der
folgenden Polynome: p A (x) = p(x) − 1
a3 =
a2 =
a1 =
a0 =
a2 =
a1 =
a0 =
pB (x) = p(x − 1)
a3 =
310
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Aufgabe 7
Repetitionstest Polynome
[4 Punkte]
Richtig oder falsch?
richtig falsch
Der Graph des Polynoms p(x) = x − 3x + 5x − 1
schneidet die x-Achse nicht.
3
2
Der Graph des Polynoms p(x) = ( x + 2 ) ⋅ ( x − 2 )
2
schneidet die x-Achse bei x = 2 und berührt die
x-Achse bei x = – 2.
Der Graph des Polynoms p(x) = x 4 − 2x 2 + 1 ist
symmetrisch zur y-Achse.
Aufgabe 8
[6 Punkte]
Gegeben ist das Polynom zweiten
Grades:
p(x) = x 2 − 3x − 10
a) Ordne das Polynom einem
der drei Graphen zu.
Graph 1
Graph 2
Graph 3
Graph 2
Graph 1
Graph 3
b) Für welche x-Werte gilt: x 2 − 3x − 10 ≤ 0
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DialogMathe
Leitidee Polynome
Aufgabe 9
[4 Punkte]
Welches Polynom wird durch
den nebenstehenden Graph
dargestellt.
p(x) = x 3 − 3x 2 + 4
p(x) = x3 + 5x 2 + 8x + 4
Begründe kurz!
Aufgabe 10
[5 Punkte]
Wo schneidet der Graph des Polynoms p(x) = ( x 2 − 1) ⋅ ( x 2 + 3x − 10 )
a) die x-Achse
b) die y-Achse
Aufgabe 11
[6 Punkte]
Bestimme ein Polynom ersten Grades, dessen Graph durch die Punkte
P1 ( −4 | 3 ) und P2 ( 2 | 6 ) geht.
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DialogMathe
Aufgabe 12
Repetitionstest Polynome
[6 Punkte]
Bestimme ein Polynom mit den folgenden Eigenschaften:
• Grad n = 2
• Der Graph des Polynoms schneidet die x-Achse bei x1 = −1 und
x2 = 3 .
• Der Graph des Polynoms schneidet die y-Achse bei y = −1
Aufgabe 13
[5 Punkte]
Der Graph des Polynoms
p(x) = x 2 wird 20 Einheiten
nach rechts und 50 Einheiten
nach oben verschoben.
a) Bestimme den Term p(x) ,
welcher den Graph des
verschobenen Polynoms
beschreibt.
b) Für das Polynom des verschobenen Graphen gilt:
p(x min ) = yminimal
Gib xmin und yminimal an.
xmin =
yminimal =
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DialogMathe
Leitidee Polynome
Aufgabe 14
[6 Punkte]
Das Polynom
p(x) = − x 2 − 5x + 50 hat den
nebenstehenden Graph.
a) Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse.
b) Bestimme die Definitionsmenge des Terms T(x) =
c) Für welche x-Werte ist der Term T(x) =
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1
.
p(x)
p(x) definiert?
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