Das Rechnen mit Gleichungen

Das Rechnen mit Gleichungen
Operationen mit einer Gleichung: a, b und c sollen beliebige reelle (oder komplexe) Zahlen sein. Das
Rechnen mit Gleichungen wird von den folgenden Regeln beherrscht:
a=b
⇒
a+c=b+c
(Addition)
a=b
⇒
a−c=b−c
(Subtraktion)
a=b
⇒
ac = bc
a
b
=
c
c
1
1
=
a
b
a = b,
c 6= 0
⇒
a = b,
a 6= 0
⇒
(Multiplikation)
(Division)
(Kehrwert)
In Worten:
(i) Zu einer Gleichung darf man links und rechts die gleiche Zahl addieren bzw subtrahieren.
(ii) Eine Gleichung darf man links und rechts mit der gleiche Zahl multiplizieren.
(iii) Eine Gleichung darf man links und rechts durch die gleiche Zahl dividieren.
(iv) Von einer Gleichung darf man den Kehrwert bilden.
Im Falle von (iii) und (iv) hat man zusätzlich darauf zu achten, daß gilt:
Die Division durch null ist verboten!
Operationen mit zwei Gleichungen: Für alle reellen (oder komplexen) Zahlen a, b, c und d gilt:
a = b,
c=d
⇒
a+c=b+d
(Addition zweier Gleichungen)
a = b,
c=d
⇒
a−c=b−d
(Subtraktion zweier Gleichungen)
a = b,
c=d
⇒
a = b,
c = d,
ac = bd
a
b
=
c
d
c 6= 0,
⇒
(Multiplikation zweier Gleichungen)
(Division zweier Gleichungen)
Das Lösen von Gleichungen: Das Lösen der Gleichung
2x + 3 = 7
(1)
bedeuted: Man bestimme eine Zahl, so daß (1) gilt, falls wir x durch diese Zahl ersetzen. Man nennt x eine
Unbestimmte.
Beispiel: Die Gleichung (1) besitzt die eindeutige Lösung x = 2.
Beweis: 1.Schritt: Angenommen, die Zahl x ist eine Lösung von (1). Subtrahieren wir von der rechten und linken
Seite in (1) die Zahl 3, dann erhalten wir
2x = 4.
Division der rechten und linken Seite durch die Zahl 2 liefert
x = 2.
Damit haben wir gezeigt: Falls die Gleichung (1) eine Lösung besitzt, dann muß es die Zahl 2 sein.
2.Schritt: Wir zeigen, daß die Zahl tatsächlich eine Lösung darstellt. Das folgt aus
2 · 2 + 3 = 7.