¨Ubungen zur Elektrodynamik (T3)

Arnold Sommerfeld Center
Ludwig–Maximilians–Universität München
Prof. Dr. Ivo Sachs
SoSe 2017
Übungen zur Elektrodynamik (T3)
Übungsblatt 3
Bearbeitung: Mai 11 - Mai 23, 2017
1 Freie Maxwell-Gleichungen in der Coulomb-Eichung.
(i) Die Maxwell Gleichungen ohne Quellen sind gegeben durch
1
∂t E = 0,
c2
∇ × E + ∂t B = 0.
∇ · E = 0,
∇×B−
∇ · B = 0,
(1)
(2)
Ersetzen Sie in diesen Gleichungen das elektrische und das magnetische Feld durch das Skalarpotential
φ und das Vektorpotential A:
E = −∇φ − ∂t A, B = ∇ × A.
(3)
Zeigen Sie insbesondere, dass die Gleichungen (2) automatisch erfüllt sind.
(ii) Die Gleichungen (3) sind invariant unter den Eichtransformationen (φ, A) 7→ (φ − ∂t Λ, A + ∂Λ). Wir
wollen nun durch eine geschickte Wahl des Eichungparameters Λ um die in (i) gefundenen Gleichungen
vereinfachen. Die sogenannte Coulomb-Eichung ist der Forderung der Divergenzfreiheit des Vektorpotentials: ∇ · A = 0. Zeigen Sie wie sich durch diese Forderung die Gleichungen (1) vereinfachen. Sie
sollten unter anderem folgende Gleichungen finden
∆φ = 0.
Zeigen Sie durch Fourier Transformation von φ, dass lediglich konstante Lösungen bezüglich der
Raumkoordinate diese Gleichung erfüllen. Argumentieren Sie dass eine solche Lösung durch eine
erneute Eichtransformation auf null gesetzt werden kann, ohne dass die ursprüngliche Forderung
∇ · A = 0 verletzt wird. Schlussendlich sollte folgende Gleichung übrig bleiben:
∆A(x, t) −
1 2
∂ A(x, t) = 0.
c2 t
(4)
Um welche Art von Gleichung handelt es sich?
(iii) Zum Lösen der Gleichung (4) betrachten wir die Fouriertransformierte von A(x, t):
Z
j
A(x, t) = d3 kζ α aα (k, t)eikj x .
(5)
Welche Bedingung müssen die Polarisationsvektoren ζ i erfüllen? Wieviele linear unabhängige Polarisationsrichtungen gibt es daher? Welche Gleichung folgt aus (4) für die Moden ai (k, t)? Substituieren
Sie dann die allgemeinste Lösung in Gleichung (5). Eine Superposition welcher Objekte beschreibt
dann (5)?
2 Das elektrostatische Potential einer Punktladung
Das Potential, das von einer Punktladung am Ort x0 erzeugt wird, ist bis auf einen Vorfaktor gegeben als
1
(3)
f (x) = |x−x
(x − x0 ) Q0 . Gehen
0 | . Zeigen Sie, dass ein solches Potential tatsächlich die Gleichung ∆f = −δ
Sie dabei folgendermaßen vor:
1
(i) Zeigen sie zunächst, dass ∆ |x−x
0 | = 0 für r 6= 0.
(ii) Integrieren Sie anschließend über eine kleine Kugel mit Hilfe des Satzes von Gauß und argumentieren
1
(3)
Sie aus dem Ergebnis, dass ∆ |x−x
(x − x0 ). Bestimmen Sie die Proportinalitätskonsante C.
0 | = Cδ
(iii) Wie sieht das Potential für mehrere diskrete Punktladungen aus? Wie sieht es für eine kontinuierliche
Ladungsverteilung ρ(x) aus? Benutzen Sie das Superpositionsprinzip. Prüfen Sie anschließend, dass
tatsächlich
ρ(x)
∆φ(x) = −
0
gilt.
(iv) Betrachte nun die folgende Maxwell Gleichung
∇ × B = µ0 J + µ0 0
∂E
.
∂t
Wir wollen ein statisches Problem betrachten, das heißt ∂E
∂t = 0. Leiten Sie in diesem Fall folgende
Gleichung her:
−∆B = µ0 ∇ × J.
Benutzen Sie das Ergebnis aus Aufgabe (iii) um eine Lösung für B zu finden.
3 Induktionsgesetz
Wir betrachten einen geschlossenen Leiter C, der eine Fläche S umschließt (also ∂S = C). Die elektrische
Spannung in diesem Leiter, die ein elektrisches Feld E induziert, ist gegeben durch
I
U=
ds · E.
C
(Normalerweise wird elektrische Spannung durch eine Potentialdifferenz definiert. Damit jedoch die elektrische Spannung in diesem Fall nicht verschwindet, darf E nicht von einem Potential kommen). Michael
Faraday hat entdeckt, dass eine Änderung des magnetischen Flusses eines Feldes B durch die Fläche S
Z
F =
dA · B
S
eine Spannung im Leiter hervorruft:
dF
.
(6)
dt
(i) Benutzen Sie den Satz von Stokes um eine Differentialgleichung für Gleichung (6) zu finden. Sie sollten
bis auf die Konstante k eine der Maxwellgleichungen finden. Wir wollen nun durch Überlegungen die
Konstante k bestimmen.
U = −k
(ii) Wir betrachten das Problem mit einem bewegten Leiter mit konstanter Geschwindigkeit v in zwei
Bezugssystemen. Der Leiter wird also parametrisiert durch eine Kurvenschar γt (s) die zusätzlich noch
mit der Zeit t bewegt. Im bewegten System, in dem der Leiter ruht, sei das elektrische Feld E 0 . Im
Laborsystem haben wir wie gewohnt E und B. Wir nehmen an, dass B sich im bewegten System
in der nichrelativistischen Näherung nicht ändert. Wir müssen jedoch die Bewegung des Leiters mit
einrechnen. Wenn wir die Ableitung nach der Zeit in (6) berechnen wollen, müssen wir auch nach
dem Parameter t der Kurveschar ableiten. Argumentieren Sie mit der obigen Überlegung, dass für die
totale Zeitableitung dann gilt:
dB
∂B
∂B
=
+ (v · ∇)B =
+ ∇ × (B × v) + v(∇ · B)
(7)
dt
∂t
∂t
(es sind beide Gleichheitszeichen zu zeigen). Benutzen Sie damit das Induktionsgesetz um zu zeigen,
dass
I
Z
∂B
0
ds · [E − k(v × B)] = −k dA ·
.
∂t
C
S
Im Laborsystem gilt hingegen
I
Z
∂B
ds · E = −k dA ·
.
∂t
C
S
Welche Relation sollte demnach zwischen E und E 0 gelten?
(iii) Interpretieren Sie die Gleichung und argumentieren Sie, dass k = 1 gelten muss.
Allgemeine Informationen
Die Vorlesung findet in H030 (Schellingstr. 4) zu den folgenden Terminen statt:
Dienstags von 8:00 bis 10:00 c.t. und
Donnerstags von 14:00 bis 16:00 c.t.
Weitere Informationen finden Sie auf
http://www.physik.uni-muenchen.de/lehre/vorlesungen/sose_17/T3_-Elektrodynamik/index.html