Prüfung 1E Terme

Prüfung
1E
Name
Terme
Punkte
Note
Dauer: 80 Minuten
Hilfsmittel: Taschenrechner, Leeres Notizblatt, Stift.
Viel Glück!
1)
Punkte
Handelt es sich bei den folgenden Termen um Polynome? Falls ja, bring sie in ihre
Normalform! Falls nein, begründe die Antwort!
4
1
− ( − 3)
3
2
a)
Ja.
8
Teilpunkte
2
Teilpunkte
2
Teilpunkte
2
Teilpunkte
2
Normalform: − + 3 √3 − 14
b)
Nein.
Ein Wurzelterm ist kein Polynom.
c)
Nein.
4
− + 12
3
steht im Nenner. Das kann kein Polynom sein.
d)
Ja.
NF:
(3 − 4)(2 − 12 )(8 + 2)
(6 − 36 − 8 + 48 )(8 + 2) =
48 + 12 − 284 − 72 − 48 − 16 + 384 + 96 2)
Punkte
Um welchen Typ von Term (Summe, Differenz, Produkt etc.) handelt es sich bei den
folgenden Ausdrücken? Begründe Deine Antwort!
a)
Division.
(3 − 8): (3 + 4 − (8 + 3) ⋅ 8)
4
Teilpunkte
1
Teilpunkte
1
Teilpunkte
1
Teilpunkte
1
( (3
− 8))
(3
+
4 − (8
+ 3)
: ⋅ 8)
⋅
⋅
:
(2 − 4) ⋅ (3 − 4)(8 − 6)
b)
Produkt.
(3
(8
!2
− 4 " ⋅ −
4) − 6)
$
( )#
⋅ √
⋅
1
− (7 − 3) ⋅ %8(4 − 3)&
2
c)
Differenz.
)
.
1
− (7
− 3)
− 3+
⋅ (8 *4
2
(
'
,
⋅
⋅
Es gilt: Punkt vor Strich!
d)
2 − 3√ ⋅ 8 ⋅ 33 (8 − 3)
8 Summe.
⋅
(150 − 8) + 3
2 − 3√ ⋅ 8 ⋅ 33 (8 − 3)
(150 − 8) + 3
⋅ 8 :
⋅
Es gilt: Punkt vor Strich!
1E
23.01.2008
ME
3)
Punkte
Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich! (Multipliziere aus, falls nötig!)
a)
b)
c)
d)
1E
31 + 67(2 + 1)
31 + 6(72 + 71) = 31 + 422 + 421 = 451 + 422
1
⋅ ( − 3)
2
5
1
3
4
3
3
− + − = − − = −2 −
2
2
2
2
2
2
(−2.5) ⋅ +
Teilpunkte
2
Teilpunkte
2
Teilpunkte
5 ((3) + 3 + 5 )
(9 )
5
+ 3 + 5 = 45 + 15 + 25
5
Teilpunkte
(44 − 1245 + 845 − (25) ) 4 5 2
5
(44 − 1245 + 845 − 85 ) ⋅ 4 5 = 104 8 5 − 304 5 + 204 5 − 204 8 5 2
23.01.2008
8
2
2
ME
4)
Punkte
Faktorisiere Nenner und Zähler der folgenden Brüche und kürze danach.
a)
21 + 9
Teilpunkte
21 + 9 + 219 + 9
21 + 9
21 + 9
21 + 9
1
=
=
=
21 + 9 + 9(21 + 9) (21 + 9) + 9(21 + 9) (21 + 9)(1 + 9) 1 + 9
12
3
Teilpunkte
3
2 + 4 + 2 2 − 2 ( + )
( + )( + ) + 2( + 2 + ) + 2 + =
=
=
=
( + )( − ) ( + )( − ) − 2( − )
−
b)
c)
d)
1E
12 : − 18 8 24 8 6 (2 − 3 ) (2 − 3 )
=
24 8 4 + 9 − 10
− 1
( − 1)( + 10) + 10
=
( + 1)( − 1)
+1
23.01.2008
Teilpunkte
3
Teilpunkte
3
ME
5)
Faktorisiere die folgenden Terme!
1 + 2 + 1 + 2
(1 + 2) + (1 + 2) = (1 + 2)( + 1)
a)
b)
; +
1
−2
;
Punkte
8
Teilpunkte
2
Teilpunkte
2
Teilpunkte
2
1
1 1
1 ; − 2 + = ; − 2 ⋅ ; ⋅ + = >; − ?
<
;
; ;
;
@ − 2@ − 3@
@(@ − 2@ − 3) = @(@ − 3)(@ + 1)
c)
d)
=
Teilpunkte
; − 44 + 1245 − 95 (44 − 1245 + 95 ) = ; − ; −
−
35)
(24
= ; + (24 − 35); + (24 − 35)
.ABCDE.FDGEHI
2
.ABCDE.FDGEHI
= (; + 24 − 35)(; − 24 + 35)
Diese Aufgabe war auch Teil der Testprüfung!!
1E
23.01.2008
ME
6)
a)
Multipliziere aus!
)* −
" +
,
5
Punkte
8
Teilpunkte
3
Teilpunkte
2
Teilpunkte
3
+"
+"
2
+.
* − 2 ⋅ * ⋅ + ) , = * − *+ " +
5
5
5
25
b)
c)
Multipliziere aus!
/ + 0
3 4
1
/ 0 +2⋅ ⋅ +/ 0 =
+ +
3
3 4
4
9 6
16
Multipliziere aus!
+ − − ( ) = − #
1E
23.01.2008
ME
7)
***BONUS***
Punkte
6
Beweise, dass für jede natürliche Zahl @ gilt: @ − @ ist durch 6 teilbar.
(Mache zuerst einige Beispiele und versuche danach den allgemeinen Fall zu beweisen.)
Beispiele:
@ = 3 : 3 − 3 = 27 − 3 = 24 ist durch 6 teilbar.
@ = 15: 15 − 15 = 3375 − 15 = 3360 ist durch 6 teilbar.
Beweis:
@ − @ = @(@ − 1) = @(@ + 1)(@ − 1) = (@ − 1) ⋅ @ ⋅ (@ + 1)
Es werden also drei direkt hintereinander liegende natürliche Zahlen miteinander
multipliziert.
Von drei benachbarten Zahlen ist mindestens eine gerade und somit durch 2 teilbar.
Genau eine Zahl ist zudem auch durch 3 teilbar. Denn die Zahlen der Dreierreihe liegen 3
auseinander. Wenn ich beliebige drei Zahlen, die hintereinander liegen nehme, liegt
immer eine in der Dreiereihe.
Damit ist das Produkt (@ − 1)@(@ + 1) immer durch 2 und durch 3 teilbar. Jede Zahl, die
durch 3 und durch 2 teilbar ist, ist aber sicher auch durch 6 teilbar.
Beweis fertig!
1E
23.01.2008
ME