Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Apl. Prof. Dr. W. Rump, Dr. E. Navayazdani, K. Heil Mathematik II für Informatiker und Softwaretechniker SS 2016 Gruppenübung 7 Aufgabe 1 [ Taylorpolynom ] Bestimmen Sie das quadratische Taylorpolynom T2 für die Funktion f (x, y) = sin(xy) + 2yex an der Stelle (0, π). Aufgabe 2 [ Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung ] Bestimmen Sie den Punkt p des Rotationsparaboloids z = x2 + y 2 − 1, x, y ∈ R, der den kürzesten Abstand von der Ebene durch die drei Punkte a = (1, 1, −8), b = (3, 3, 0), c = (0, 6, 0) hat. Wie gross ist dieser Abstand? Aufgabe 3 [ Integration ] 2 2 Es bezeichne √ B den Bereich in R , der sich zwischen den Graphen der Funktionen y = x und y = x befindet. Skizzieren Sie B und berechnen Sie Z x2 y dxdy. B Aufgabe 4 [ Transformationsformel und Flächeninhalt eines Sektors ] Ein in Polarkoordinaten (r, ϕ) durch ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 , 0 ≤ r ≤ r(ϕ) bestimmter Bereich S des R2 wird als Sektor bezeichnet. a) Es bezeichne F den Flächeninhalt von S. Zeigen Sie mittels Transformationsformel Z 1 ϕ2 2 F = r (ϕ) dϕ. 2 ϕ1 b) Skizzieren Sie den Sektor S : 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ ϕ 1 Termin: Besprechung der Votieraufgaben sowie Abgabe der schriftlichen Aufgaben: 30/31.05.2016 (Hinweis: Der Rand von S besteht aus einer Strecke und der Kurve r = ϕ, eine sogenannte archimedische Spirale.) und berechnen Sie den Flächeninhalt von S. Aufgabe 5 [ schriftlich, 5+5 Punkte ] Gegeben sei die Funktion f (x, y) = y 2 − cos(y 2 − x). a) Bestimmen Sie das quadratische Taylorpolynom T2 für f an der Stelle (0, 0). b) Bestimmen Sie alle Extremstellen der Funktion f im Rechteck √ |x| ≤ 2π, |y| ≤ 2π. Geben Sie zu jeder Extremstelle den zugehörigen Funktionswert und den Typ des Extremums (Maximum oder Minimum) an. Welche sind global (absolut)? Aufgabe 6 [ schriftlich, 2+1+1 Bonuspunkte, Darstellungen einer Fläche ] Ein Torus ist eine Fläche, die erzeugt wird, indem man einen Kreis vom Radius r um eine Gerade rotiert, die in der Ebene des Kreises liegt und einen Abstand a > r vom Mittelpunkt des Kreises hat. a) Zeigen Sie, dass das Bild der folgenden Abbildung ein Torus T ist. F (u, v) := ((a + r cos u) cos v, (a + r cos u) sin v, r sin u)t , 0 ≤ u, v < 2π. Hinweis: Sie können die folgende Drehmatrix (Drehung um den Winkel v um die z-Achse) cos v − sin v 0 sin v cos v 0 0 0 1 und einen geeigneten Kreis in der xz-Ebene verwenden. b) Bestimmen Sie eine Funktion, deren Graph die obere Hälfte des obigen Torus ist. c) Geben Sie eine stetig differenzierbare Funktion g : R3 → R mit T = g −1 ({0}) an. 2 Termin: Besprechung der Votieraufgaben sowie Abgabe der schriftlichen Aufgaben: 30/31.05.2016