Mathematische Rechenmethoden 2 Handout

Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
Mathematische Rechenmethoden 2
Handout
Peter van Dongen
Institut für Physik
Johannes Gutenberg-Universität, Mainz
Vorlesung im SS 2009
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
Inhaltsverzeichnis Mathematische Rechenmethoden 2
Merkblatt MRM 2
Merkblatt MRM 2
1. Vektoranalysis
1
2. Elektrodynamik
2
3. Partielle Differentialgleichungen
3
Anhang: Hintergrundinformation, einige Beweise
Anhang: Übungsaufgaben
Anhang
Übung
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
Mathematische
Rechenmethoden
2
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
Kapitel 1: Vektoranalysis
Inhaltsverzeichnis
I
I
I
I
I
1.1 Funktionen mehrerer Variabler
1.2 Vektoranalysis im dreidimensionalen Raum
1.3 Kurvenintegrale im zwei- und dreidimensionalen Raum
1.4 Flächenintegrale im dreidimensionalen Raum
1.1
1.5 Integrationen über orientierte Volumina
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.1 Funktionen mehrerer Variabler
Partielle Ableitungen
Reellwertige Funktionen reeller Variabler
Funktionen einer einzigen Variablen:
ß
f : D→W
Verallgemeinerung!
mit
D⊂R
W ⊂R
(Definitionsbereich)
(Wertebereich)
Funktionen mehrerer Variabler:
ß
f : D→W
mit
D ⊂ Rm
W ⊂ Rn
(Definitionsbereich)
(Wertebereich)
Beispiele:
f (x1 , x2 ) = (x1 )2 e x1 x2
2
Partielle Ableitung!
lim
h→0
2
2
f (x1 , x2 , x3 ) = e −(x1 +x2 +x3 )
,
[ mit (x1 , x2 , . . . , xm ) ≡ x ]
f (x1 + h, x2 , . . . xm ) − f (x)
∂f
=
(x) = (∂x1 f )(x) = (∂1 f )(x) = fx1 (x) = . . .
h
∂x1
Analog:
lim
h→0
f (x1 , x2 + h, x3 , . . . , xm ) − f (x)
∂f
=
(x) = (∂x2 f )(x) = (∂2 f )(x) = fx2 (x)
h
∂x2
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.1 Funktionen mehrerer Variabler
Partielle Ableitungen
Partielle Ableitungen
Partielle Ableitung:
lim
h→0
[ mit (x1 , x2 , . . . , xm ) ≡ x ]
f (x1 + h, x2 , . . . xm ) − f (x)
∂f
=
(x) = (∂x1 f )(x) = (∂1 f )(x) = fx1 (x)
h
∂x1
Höhere Ableitungen!
lim
h→0
(∂x1 f )(x1 , x2 + h, x3 , . . . , xm ) − (∂x1 f )(x)
∂2f
=
(x) = (∂x2 ∂x1 f )(x)
h
∂x2 ∂x1
Beispiele!
[ für f (x1 , x2 ) = (x1 )2 e x1 x2 ]
(∂x1 f )(x) = (2x1 + x12 x2 )e x1 x2
,
(∂x2 f )(x) = x13 e x1 x2
(∂x21 f )(x) = (2 + 4x1 x2 + x12 x22 )e x1 x2
,
(∂x22 f )(x) = x14 e x1 x2
(∂x1 ∂x2 f )(x) = (3x12 + x13 x2 )e x1 x2 = (∂x2 ∂x1 f )(x) = (∂x21 x2 f )(x) = fx1 x2 (x)
Produktregel!
∂x1 (fg ) = (∂x1 f )g + f (∂x1 g ) , etc.
Kettenregel! f = (f1 , f2 , . . . , fm ) : Rk → Rm , g : Rm → R
(g ◦f)(x) ≡ g (f(x))
⇒
[∂x1 (g ◦f)] (x) =
m
X
???
Beweis
(∂fl g )(f(x))(∂x1 fl )(x)
l=1
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.1 Funktionen mehrerer Variabler
Partielle Ableitungen
Produkt- und Kettenregel - Beispiele
Produktregel:
∂x1 (fg ) = (∂x1 f )g + f (∂x1 g ) , etc.
Beispiel:
f (x1 , x2 ) = x1 cos(x2 ) , g( x1 , x2 ) = x1 sin(x2 )
⇒
∂x2 (fg ) = (∂x2 f )g + f (∂x2 g ) = −[x1 sin(x2 )]2 + [x1 cos(x2 )]2 = x12 cos(2x2 )
Kettenregel:
f = (f1 , f2 , . . . , fm ) : Rk → Rm
(g ◦f)(x) ≡ g (f(x))
Beispiel:
g (f) = e
⇒
−(f12 +f22 )
[∂x1 (g ◦f)] (x) =
ß
mit
g : Rm → R
,
m
X
(∂fl g )(f(x))(∂x1 fl )(x)
l=1
f1 (x1 , x2 ) = x1 cos(x2 )
f2 (x1 , x2 ) = x1 sin(x2 )
™
2
⇒ g = e −x1
[∂x1 (g ◦f)] (x) = (∂f1 g )(∂x1 f1 ) + (∂f2 g )(∂x1 f2 )
2
2
2
= −2[f1 (x) cos(x2 ) + f2 (x) sin(x2 )]e −[f1 (x)+f2 (x)] = −2x1 e −x1
[∂x2 (g ◦f)] (x) = (∂f1 g )(∂x2 f1 ) + (∂f2 g )(∂x2 f2 )
2
2
= −2x1 [−f1 (x) sin(x2 ) + f2 (x) cos(x2 )] e −[f1 (x)+f2 (x)] = 0
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.1 Funktionen mehrerer Variabler
Linearisierung von Funktionen mehrerer Variabler
Linearisierung von Funktionen mehrerer Variabler
Lineare Näherung!
f : Rm → R
,
f (a + x) = f (a) + . ?. .
f (a + x) − f (a) = f (a1 + x1 , . . . , am + xm ) − f (a1 , a2 + x2 , . . . , am + xm )
+ f (a1 , a2 + x2 , . . . , am + xm ) − f (a1 , a2 , a3 + x3 , . . . , am + xm )
+ f (a1 , a2 , a3 + x3 , . . . , am + xm ) − f (a1 , a2 , a3 , a4 + x4 , . . . , am + xm )
..
..
.
.
+ f (a1 , . . . , am−1 , am + xm ) − f (a1 , a2 , . . . , am )
∂f
∂f
(a1 , a2 + x2 , . . . , am + xm )x1 +
(a1 , a2 , a3 + x3 , . . . , am + xm )x2
∂a1
∂a2
∂f
+ ··· +
(a1 , a2 , . . . , am )xm + O(x2 )
∂am
Å
ã
f heißt in a
Ergebnis der linearen Näherung:
lokal linear“
”
∂f
∂f
2
f (a + x) − f (a) =
(a)x1 + · · · +
(a)xm + O(x )
∂a1
∂am
=
=
m
X
∂f
l=1
∂al
(a)xl + O(x2 ) =
∂f
(a) · x + O(x2 )
∂a
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.1 Funktionen mehrerer Variabler
Taylor-Entwicklung in mehreren Variablen
Taylor-Entwicklung in mehreren Variablen
Lineare Näherung:
(Nomenklatur: f heißt in a lokal linear“)
”
∂f
2
(a)xl + O(x ) =
(a) · x + O(x2 )
∂al
∂a
m
X
∂f
f (a + x) − f (a) =
l=1
Verallgemeinerungen!
1. Die Taylor-Formel: (f : Rm → R)
f (a + x) = f (a1 + x1 , · · · , am + xm ) =
∞
X
=
∞
X
(∂ak11 f )(a1 , a2 + x2 , · · · )
k1 =0
(∂ak11 ∂ak22 f
k1 , k2 =0
x1k1
k1 !
x1k1 x2k2
)(a1 , a2 , a3 + x3 , · · · )
k1 !k2 !
∞
X
= ··· =
(∂ak11
· · · ∂akmm f
k1 ,··· , km =0
x1k1 x2k2 · · · xmkm
)(a)
k1 !k2 ! · · · km !
Bis zur linearen Ordnung?
m
X
kl = 0, 1
⇒
f (a + x) = f (a) +
l=1
m
X
(∂al f )(a)xl = f (a) +
l=1
∂f
(a) · x
∂a
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.1 Funktionen mehrerer Variabler
Taylor-Entwicklung in mehreren Variablen
Taylor-Entwicklung in mehreren Variablen
1. Die Taylor-Formel: (f : Rm → R, Fortsetzung)
∞
X
f (a + x) =
(∂ak11
· · · ∂akmm f
k1 ,··· ,km =0
Bis zur linearen Ordnung:
f (a + x) = f (a) +
x1k1 x2k2 · · · xmkm
)(a)
k1 !k2 ! · · · km !
m
X
(∂al f )(a)xl = f (a) +
l=1
∂f
(a) · x
∂a
m
Bis zur quadratischen Ordnung?
l=1 kl = 0, 1, 2
m
2
X
X
∂f
x
f (a + x) − f (a) −
(a) · x =
(∂a2l f ) l +
(∂al1 ∂al2 f )xl1 xl2
∂a
2!
P
l1 <l2
l=1
m
=
1
2
X
l1 , l2 =1
daher:
f (a + x) = f (a) +
2
∂2f
1 T∂ f
xl1
(a)xl2 = 2 x
(a)x
∂al1 ∂al2
∂a2
∂f
1 ∂2f
(a) · x + xT 2 (a)x + O(x3 )
∂a
2 ∂a
Funktionalmatrix
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.1 Funktionen mehrerer Variabler
Taylor-Entwicklung in mehreren Variablen
Die Taylor-Entwicklung - eine kompakte Darstellung
1. Die Taylor-Formel: (f : Rm → R, Fortsetzung)
∞
X
f (a + x) =
(∂ak11
· · · ∂akmm f
k1 ,···,km =0
"
#
∞
X
=
k1 ,···,km =0
=
=
=
#
X
K!
ñ∞
X 1
K =0
∞
(x1 ∂a1 )k1 (x2 ∂a2 )k2 · · · (xm ∂am )km
f (a)
k1 !k2 ! · · · km !
"
∞
X
1
K =0
K!
k1 +···+km =K
K!
(x1 ∂a1 )k1 · · · (xm ∂am )km f (a)
k1 !k2 ! · · · km !
ô
(x1 ∂a1 + x2 ∂a2 + · · · + xm ∂am )K f (a)
ñ
X 1 K =0
x1k1 x2k2 · · · xmkm
)(a)
k1 !k2 ! · · · km !
∂
x·
K!
∂a
K ô
Ä
∂
ä
f (a) = e x· ∂a f (a)
Vektoranalysis
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.1 Funktionen mehrerer Variabler
Die Funktionalmatrix
Die Funktionalmatrix
1. Die Taylor-Formel bis zur quadratischen Ordnung: (f : Rm → R)
f (a + x) = f (a) +
∂f
1 ∂2f
(a) · x + xT 2 (a)x + O(x3 )
∂a
2 ∂a
[ f = (f1 , . . . , fn ) : Rm → Rn ]
2. Die Funktionalmatrix:
Für n = 1?
f (a + x) − f (a) =
Für n ≥ 1?
∂f
(a) · x + O(x2 )
∂a
∂fk
(a) · x + O(x2 )
∂a
(f heißt in a lokal linear“)
In Vektornotation?
”
∂f
2
f(a + x) − f(a) =
(a)x + O(x )
∂a
fk (a + x) − fk (a) =
Nomenklatur:
∂f
∂a mit
Ä
ä
∂f
∂a kl
≡
∂fk
∂al
heißt Funktionalmatrix“?
”
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.1 Funktionen mehrerer Variabler
Die Funktionaldeterminante
Die Funktionalmatrix
[ f = (f1 , . . . , fn ) : Rm → Rn ]
∂f
f(a + x) − f(a) =
(a)x + O(x2 )
∂a
Spezialfall m = n:
f = (f1 , . . . , fn ) : Rn → Rn
I Funktionalmatrix ∂f quadratisch (n × n)
∂a
2. Die Funktionalmatrix:
I
Determinante der Funktionalmatrix:
Ñ
det
···
..
.
···
∂f1 /∂a1
..
.
∂fn /∂a1
∂f1 /∂an
..
.
∂fn /∂an
é
Funktional- oder
Jacobi-Determinante
∂f
= det
∂a
≡ J f (a)
f
Transformation von Volumenelementen du −→ dv
Beispiel:
v = f(u)
,
f = (f1 , . . . , fn ) : Rn → Rn
Volumenelement im u-Raum:
du = du1 du2 . . . dun = Vol (ê1 du1 , ê2 du2 , . . . , ên dun )
. . . wird durch f abgebildet auf dv = J f (u)du im v-Raum, denn . . .
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1.1 Funktionen mehrerer Variabler
Die Funktionaldeterminante
Die Funktionaldeterminante
Beispiel:
f
Transformation von Volumenelementen du −→ dv
v = f(u)
,
f = (f1 , . . . , fn ) : Rn → Rn
Volumenelement im u-Raum:
du = du1 du2 . . . dun = Vol (ê1 du1 , ê2 du2 , . . . , ên dun )
. . . wird durch f abgebildet auf dv = J f (u)du im v-Raum:
∂f
∂f
∂f
dv = Vol
du1 ,
du2 , . . . ,
dun
∂u1
∂u2
∂un
∂f
∂f
∂f
= Vol
,...,
du = det
du = J f (u)du
∂u1
∂un
∂u
u + ê3 du3
f
∂f du
v + ∂u
3
3
(n = 3)
u + ê2 du2
u
∂f du
v + ∂u
2
u + ê1 du1
v = f(u)
2
∂f du
v + ∂u
1
1
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.1 Funktionen mehrerer Variabler
Die Funktionaldeterminante
Die Funktionaldeterminante
Volumenelement im u-Raum:
du = du1 du2 . . . dun = Vol (ê1 du1 , ê2 du2 , . . . , ên dun )
. . . wird durch f abgebildet auf dv = J f (u)du im v-Raum
u + ê3 du3
∂f du
v + ∂u
3
3
f
(n = 3)
u + ê2 du2
∂f du
v + ∂u
2
u
2
v = f(u)
u + ê1 du1
∂f du
v + ∂u
1
1
Daher bei Integrationen:
Z
Z
dv F (v) =
du J f (u)F (f(u))
W
D
Jakobi-Determinante bei Transformation auf Polar-/Zylinder-/Kugelkoordinaten?
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.1 Funktionen mehrerer Variabler
Die Funktionaldeterminante
Die Funktionaldeterminante - Beispiele
x1
x2
1. Polarkoordinaten:
J f (ρ, ϕ) = det
=
∂f ∂f
,
∂ρ ∂ϕ
Ç å
x1
x2
x3
2. Zylinderkoordinaten:
Ç å
3. Kugelkoordinaten:
Ç
J f (r , ϑ, ϕ) = det
Taylor-Entwicklung
Ç
=
Ç
J f (ρ, ϕ, x3 ) = det
x1
x2
x3
ρ cos(ϕ)
ρ sin(ϕ)
Ç
=
cos(ϕ) sin(ϑ)
sin(ϕ) sin(ϑ)
cos(ϑ)
= f(ρ, ϕ)
ò
∧
v=x
∧
u = (ρ, ϕ)
= det
cos(ϕ)
sin(ϕ)
ρ cos(ϕ)
ρ sin(ϕ)
x3
cos(ϕ)
sin(ϕ)
0
ï
−ρ sin(ϕ)
ρ cos(ϕ)
å
=ρ
ï
= f(ρ, ϕ, x3 )
−ρ sin(ϕ)
ρ cos(ϕ)
0
0
0
1
r cos(ϕ) cos(ϑ)
r sin(ϕ) cos(ϑ)
−r sin(ϑ)
ò
∧
u = (ρ, ϕ, x3 )
å
=ρ
å
r cos(ϕ) sin(ϑ)
r sin(ϕ) sin(ϑ)
r cos(ϑ)
∧
v=x
ï
= f(r , ϑ, ϕ)
∧
v=x
ò
∧
u = (r , ϑ, ϕ)
−r sin(ϕ) sin(ϑ)
r cos(ϕ) sin(ϑ)
0
å
= r 2 sin(ϑ)
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.2 Vektoranalysis im dreidimensionalen Raum
Der Nabla-Operator
Vektoranalysis im dreidimensionalen Raum
Vektorfunktion in R3 ?
f1 (x1 , x2 , x3 )
f2 (x1 , x2 , x3 )
f3 (x1 , x2 , x3 )
f(x) =
Ableitungen in R3 ?
fk (x + ξ) = fk (x) +
!
mit
∂fk
(x) · ξ + O(ξ2 )
∂x
= fk (x) + (∇fk )(x) · ξ + O(ξ2 )
f : R3 → R3
(k = 1, 2, 3)
,
∇≡
Nomenklatur:
I ∇fk heißt der Gradient von fk
∂/∂x1
∂/∂x2
∂/∂x3
!
I ∇ wird als Nabla-Operator bezeichnet
Rechenregeln für ∇-Operator?
[∇(f + g )] (x) = (∇f )(x) + (∇g )(x)
[∇(fg )] (x) = (g ∇f )(x) + (f ∇g )(x)
[∇(g ◦f )] (x) = g 0 (f (x))(∇f )(x)
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.2 Vektoranalysis im dreidimensionalen Raum
Die Divergenz
Gradient und Divergenz
Beispiele:
1. (∇r ) (x) =
∂r /∂x1
∂r /∂x2
∂r /∂x3
!
=
x1 /r
x2 /r
x3 /r
!
mit r (x) ≡ |x| = (x12 + x22 + x32 )1/2
= x/r = x̂
2. [∇(g ◦r )] (x) = g 0 (r )(∇r )(x) = g 0 (r )x/r = g 0 (r )x̂
3. Spezialfall: (∇r ν )(x) = νr ν−1 x̂
4. Skalarprodukt des ∇-Operators mit Vektorfeld f?
( Divergenz“ von f)
”
X ∂fl
∂f1
∂f2
∂f3
(∇ · f)(x) =
(x) +
(x) +
(x) =
(x)
∂x1
∂x2
∂x3
∂xl
3
l=1
Rechenregeln für Divergenz?
[∇ · (f + g)] (x) = (∇ · f)(x) + (∇ · g)(x)
[∇ · (λf)] (x) = (∇λ)(x) · f(x) + λ(∇ · f)(x)
[∇ · (f × g)] (x) =
3
X
j,k,l=1
Å
ã
3
X
∂
∂fk
∂gl
εjkl
(fk gl ) =
εjkl
gl + fk
∂xj
∂xj
∂xj
j,k,l=1
= g(x) · (∇ × f)(x) − f(x) · (∇ × g)(x)
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.2 Vektoranalysis im dreidimensionalen Raum
Die Rotation
Die Rotation
Nomenklatur:
Explizite Form:
∇ × g heißt die Rotation von g
(∇ × g)i = εijk ∂xj gk
∂x2 g3 − ∂x3 g2
∂x3 g1 − ∂x1 g3
∂x1 g2 − ∂x2 g1
∇×g =
∂2 g3 − ∂3 g2
∂3 g1 − ∂1 g3
∂1 g2 − ∂2 g1
!
=
bzw.
(Summationskonvention)
!
(zyklisch!)
Rechenregeln für Rotation?
[∇ × (f + g)] (x) = (∇ × f)(x) + (∇ × g)(x)
[∇ × (λf)] (x) = λ(x)(∇ × f)(x) + (∇λ)(x) × f(x)
[∇ × (f × g)] (x) = [(g · ∇)f + f(∇ · g) − g(∇ · f) − (f · ∇)g] (x)
denn . . .
(mit der Summationskonvention)
[∇ × (f × g)]i = εijk ∂j εklm (fl gm ) = (δil δjm − δim δjl )∂j (fl gm )
= ∂j (fi gj ) − ∂j (fj gi ) = gj ∂j fi + fi ∂j gj − fj ∂j gi − gi ∂j fj
= (g · ∇)fi + fi (∇ · g) − (f · ∇)gi − gi (∇ · f)
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.2 Vektoranalysis im dreidimensionalen Raum
Die Rotation
Divergenz & Rotation - Beispiele
Beispiele:
1. ∇ · x = ∂j xj =
mit r (x) = (x12 + x22 + x32 )1/2 ,
∂xj
j=1 ∂xj
P3
=
∂x1
∂x1
+
∂x2
∂x2
2. (∇ × x)i = εijk ∂j xk = εijk δjk =! 0
+
∂x3
∂x3
⇒
ρ = (x12 + x22 )1/2
=3
∇×x=0
3. ∇ · (r x) = (∇r ) · x + r (∇ · x) = 1r x · x + 3r = 4r
4. ∇ × (r x) = r (∇ × x) + (∇r ) × x = 0 + 1r x × x = 0
Ç
5.
∇×
ñ
6.
å
−x2
x1
0
∇ × ρν
Ç
=
Ç
−∂3 x1
∂3 (−x2 )
∂1 x1 − ∂2 (−x2 )
åô
−x2
x1
0
Ç
= ρν ∇ ×
å
Ç å
=
0
0
2
Ç å Ç
å
−x2
x1
0
= 2ê3
+ νρν−2
x1
x2
0
×
å
−x2
x1
0
= (2 + ν)ρν ê3
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.2 Vektoranalysis im dreidimensionalen Raum
Kombinationen von Gradient, Divergenz, Rotation
Kombinationen von Gradient, Divergenz, Rotation
Wichtige Beispiele!
1. [∇ × (∇λ)]i = (εijk ∂j ∂k )λ =! 0
⇒
∇×∇=0
2. ∇ · (∇ × f) = εijk ∂i ∂j fk =! 0
3. ∇ · (∇λ) = ∂i ∂i λ =
P
3
∂2
i=1 ∂x 2
i
λ = ∆λ
,
∆≡
∂2
i=1 ∂x 2
i
P3
4. ”Doppelte Rotation“:
[∇ × (∇ × f)]i = εijk ∂j εklm ∂l fm = (δil δjm − δim δjl )∂j ∂l fm
= ∂j (∂i fj − ∂j fi )
Nomenklatur:
⇒
∇ × (∇ × f) = ∇(∇ · f) − ∆f
∆ heißt Laplace-Operator
Rechenregeln für Laplace-Operator?
[∆(λ + µ)] (x) = (∆λ)(x) + (∆µ)(x)
∆(λµ) = ∇ · (λ∇µ + µ∇λ) = λ∆µ + µ∆λ + 2(∇λ) · (∇µ)
∆(f · g) = ∆(fi gi ) = ∇ · (fi ∇gi + gi ∇fi ) = fi ∆gi + gi ∆fi + 2(∇fi ) · (∇gi )
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.2 Vektoranalysis im dreidimensionalen Raum
Der Laplace-Operator
Laplace-Operator - Beispiele
Rechenregeln für Laplace-Operator:
[∆(λ + µ)] (x) = (∆λ)(x) + (∆µ)(x)
∆(λµ) = ∇ · (λ∇µ + µ∇λ) = λ∆µ + µ∆λ + 2(∇λ) · (∇µ)
∆(f · g) = ∆(fi gi ) = ∇ · (fi ∇gi + gi ∇fi ) = fi ∆gi + gi ∆fi + 2(∇fi ) · (∇gi )
Beispiele:
mit r (x) = (x12 + x22 + x32 )1/2
,
ρ(x) = (x12 + x22 )1/2
∆r ν = ∇ · (νr ν−2 x) = ν (∇r ν−2 ) · x + r ν−2 (∇ · x)
= ν (ν − 2)r ν−4 x · x + 3r ν−2 = ν(ν + 1)r ν−2
∆
1 !
=0
r
r 6= 0
für
"
∆ρν = ∇ · νρν−2
x1
x2
0
ρν − 1
∆ ln(ρ) = lim ∆
ν→0
ν
!#
= ν (ν − 2)ρν−4 ρ2 + 2ρν−2 = ν 2 ρν−2
= lim
ν→0
1
!
∆ρν = lim νρν−2 = 0
ν→0
ν
für
ρ 6= 0
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.3 Kurvenintegrale im zwei- und dreidimensionalen Raum
Allgemeine Begriffe
Kurvenintegrale im zwei- oder dreidimensionalen Raum
Nomenklatur:
!
Kurvenintegral = Linienintegral = Wegintegral 6= Pfadintegral
Kurve: x : R → Rd
(d = 2, 3)
x(t)
>
t2 > t1
t1
Unterscheide:
1. Skalares Kurvenintegral:
Z
t2
I(t2 , t1 ) =
Z
s2
dt f (x(t)) =
t1
s1
dt
ds
f (x(t)) =
ds
Z
−1
dx
ds f (x(t(s))) (t(s))
dt
s2
s1
Definition: (d = 3)
Spezialfall: die Bogenlänge s(t);
…
−1
dx dx dt
ds ≡ (dx1 )2 + (dx2 )2 + (dx3 )2 =
dt = dt ,
= dt
ds
dt
Z s2
Z t2
Z t2 Å
ã
dx ds
h
äufig:
s=
ds + s(t1 ) =
dt
+ s(t1 ) =
dt + s(t1 )
s(t1 ) = 0
dt
dt
s
t
t
p
1
dx
dt
2
1
1
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.3 Kurvenintegrale im zwei- und dreidimensionalen Raum
Skalares Kurvenintegral
Kurvenintegrale im zwei- oder dreidimensionalen Raum
1. Skalares Kurvenintegral:
Z
[Spezialfall: die Bogenlänge s(t)]
t2
I(t2 , t1 ) =
Z
dt f (x(t))
;
t2
s=
t1
t1
dx dt dt
[s(t1 ) = 0]
x2
a2
x1
a1
0
Parametrisierung:
x1 = a1 cos(t) , x2 = a2 sin(t)
Exzentrizität:
Bogenlänge:
Z
2π
Z
dx dt =
dt
s=
0
Beispiel: Umfang U der Ellipse
(x1 /a1 )2 + (x2 /a2 )2 = 1 (a1 ≥ a2 )
2π
dt
»
a12
a22
sin (t) +
= a1
2π
dt
0
Nomenklatur:
p
1 − ε2 sin2 (t) = 4a1
p
Z
2
cos2 (t)
0
Z
ε≡
= a1
1 − a22 /a12 ≥ 0
2π
dt
p
1 − ε2 cos2 (t)
0
Z
π/2
dt
p
1 − ε2 sin2 (t) = 4a1 E (ε2 )
0
E = vollständiges elliptisches Integral der 2. Art“
”
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.3 Kurvenintegrale im zwei- und dreidimensionalen Raum
Vektorielles Kurvenintegral
Kurvenintegrale im zwei- oder dreidimensionalen Raum
x(t)
>
2. Vektorielles Kurvenintegral:
x(t1 ) = x1
x2
Z
I(t2 , t1 ) =
Beispiele mit x(t) =
Ä
Z
t2
dx · F(x) =
x1
x1 (t)
x2 (t)
ä
=a
Ä
cos(t)
sin(t)
dx
(t) · F(x(t))
dt
dt
ä
t1
dx
dt
,
(i) F(x) = λx ⊥
F(x)
x1
−x2
x1
dx
dt
=
−x2
x1
Z
2π
=
x2
x(t)
I(2π, 0) =
0
−x2
x1
(ii) F(x) = λ
x2
I(2π, 0) =
F(x)
dx
dt
k
2π
Z
dt
0
x1
Z
(Kreis)
⇒
⇒
dx
(t) · F(x(t))
dt
2π
=λ
0
:
dx
(t) · F(x(t)) = 0
dt
dt
0
x(t)
x2 = x(t2 )
dt (x12 + x22 ) = 2πλa2
0
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.4 Flächenintegrale im dreidimensionalen Raum
Allgemeine Begriffe
Flächen(integrale) im dreidimensionalen Raum
Nomenklatur?
Flächenintegral = Oberflächenintegral
Ç
Fläche: x : R2 → R3 ,
Parametrisierung?
x(u) =
x1 (u1 , u2 )
x2 (u1 , u2 )
x3 (u1 , u2 )
å
u ∈ [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] ≡ R ⊂ R2
,
x(u) ∈ F ⊂ R3
b2
R ⊂ R2
↑
u2
a2
a1
F ⊂ R3
ū
u1 →
x(ū)
x(u)
b1
Mikroskopisches Bild nahe u =
u1
u2
?
Ä
∂x
∂x
dx = x(u + du) − x(u) =
du1 +
du2 =
∂u1
∂u2
Definition:
Nomenklatur:
∂x
∂u1 ≡ t1
,
ä
∂x
∂u = Funktionalmatrix
∂x
∂u2 ≡ t2
t1 , t2 heißen Tangentialvektoren
∂x ∂x
∂u1 ∂u2
Å
du1
du2
ã
=
∂x
du
∂u
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.4 Flächenintegrale im dreidimensionalen Raum
Allgemeine Begriffe
Flächen im dreidimensionalen
Raum
Ä
Mikroskopisches Bild nahe u =
u1
u2
∂x
∂x
du1 +
du2 =
dx = x(u + du) − x(u) =
∂u1
∂u2
∂x
∂u1 ≡ t1
Definition:
Nomenklatur:
ä
∂x
∂u = Funktionalmatrix
:
Å
∂x ∂x
∂u1 ∂u2
du1
du2
ã
=
∂x
du
∂u
∂x
∂u2 ≡ t2
,
t1 , t2 heißen Tangentialvektoren
u + ê2 du2
x(u) + t2 du2
u + du
∂x du
x(u) + ∂u
x
u
x(u)
u + ê1 du1
x(u) + t1 du1
Definition: x heißt regulär in u falls
⇔
λ1 t1 + λ2 t2 = 0
λ1 = λ2 = 0
Beispiele?
1. Parametrisierung einer Kugelfläche
2. Parametrisierung eines Paraboloids
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.4 Flächenintegrale im dreidimensionalen Raum
Allgemeine Begriffe
Flächen im dreidimensionalen
Raum - Beispiele
Mikroskopisches Bild nahe u =
∂x
dx =
du =
∂u
u1
u2
:
∂x ∂x
∂u1 ∂u2
Å
[regulär falls (t1 , t2 ) unabhängig]
du1
du2
ã
Å
du1
= (t1 t2 )
du2
ã
Beispiele:
u ∈ [0, 2π] × [0, π]
1. Parametrisierung einer Kugelfläche:
Ç
x(u) =
I
I
cos(u1 ) sin(u2 )
sin(u1 ) sin(u2 )
cos(u2 )
å
⇒
Ç
∂x
=
∂u
− sin(u1 ) sin(u2 )
cos(u1 ) sin(u2 )
0
cos(u1 ) cos(u2 )
sin(u1 ) cos(u2 )
− sin(u2 )
å
Abbildung x(u) regulär falls sin(u2 ) 6= 0
Korrespondenz:
ß 2
™
u2 = konst.
x1 + x22 + x32 = 1, x3 = cos(u2 )
x(u)
Geraden −→ Kreise
u1 = konst.
x12 + x22 + x32 = 1, x2 = x1 tan(u1 )
2. Parametrisierung eines (elliptischen) Paraboloids:
Ç
x(u) =
u1
u2
u12 + u22
å
Ç
⇒
∂x
=
∂u
1
0
2u1
0
1
2u2
å
u ∈ R2
⇒
x(u) regulär
∀ u ∈ R2
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.4 Flächenintegrale im dreidimensionalen Raum
Allgemeine Begriffe
Skalare und vektorielle Flächenintegrale
n̂+
Tangentialvektoren t1,2 = ∂u∂x1,2 −→ Normalvektor n̂:
t1 × t2
n̂ = ±
≡ n̂±
|t1 × t2 |
Volumenelement du:
du = du1 du2 = Vol(ê1 du1 , ê2 du2 )
. . . wird durch x abgebildet auf Flächenelement dS:
x(u) + t2 du2
x(u)
x(u) + t1 du1
n̂−
dS = |Vol(t1 du1 , t2 du2 )| = |Vol(t1 , t2 )|du = |t1 ×t2 |du
dS
Definition des orientierten Flächenelements dS?
dS = n̂dS , |dS| = dS
Unterscheide daher bei Integrationen:
1. Skalares Flächenintegral:
Z
Z
du |t1 × t2 | λ(x(u))
dS λ(x) =
F
R
2. Vektorielles Flächenintegral:
Z
Z
Z
dS · f(x) =
dS (n̂ · f) = ±
F
F
du (t1 × t2 ) · f
R
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.4 Flächenintegrale im dreidimensionalen Raum
Das skalare Flächenintegral
Das skalare Flächenintegral
Berechnung der Fläche |F| von F:
Z
(analog zur Bogenlänge)
Z
|F | =
du |t1 × t2 |
dS =
F
R
Partitionierung einer Fläche?
F=
n
[
i=1
Z
Fi
⇒
dS λ(x) =
F
n Z
X
i=1
dS λ(x)
,
|F | =
Fi
!
1
0
|t1 × t2 | = ×
∂z/∂u1
0
1
∂z/∂u2
und
Flächen x(u) =
|F | =
du
R
p
u1
u2
z(u1 , u2 )
!
:
! !
−∂
z
1
p
= −∂2 z = 1 + (∂1 z)2 + (∂2 z)2
1
. . . & daher für die Fläche |F |:
Z
|Fi |
i=1
Spezialfälle skalarer Flächenintegrale?
1. Mit u ∈ [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] = R
n
X
1 + (∂z/∂u1 )2 + (∂z/∂u2 )2
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.4 Flächenintegrale im dreidimensionalen Raum
Das skalare Flächenintegral
Spezialfälle skalarer Flächenintegrale
2. Mantelfläche eines Rotationskörpers: Für
ρ(u2 ) cos(u1 )
ρ(u2 ) sin(u1 )
u2
x(u) =
!
ρ(u2 ) ≥ 0
,
u ∈ [0, 2π] × [a, b] ≡ R
,
gilt:
!
0
−ρ(u2 ) sin(u1 ) !
ρ
(u
)
cos(u
)
2
1
|t1 × t2 | = ρ(u2 ) cos(u1 ) × ρ0 (u2 ) sin(u1 ) 0
1
ρ(u2 ) cos(u1 ) !
p
= ρ(u2 ) sin(u1 ) = ρ(u2 ) 1 + [ρ0 (u2 )]2
−ρ(u2 )ρ0 (u2 ) (erste Guldin’sche Regel)
Berechnung der Fläche des Mantels“:
”
Z b
|F | = 2π
du2 ρ(u2 )
p
1+
Z
[ρ0 (u2 )]2
= 2π ds ρ(u2 )
a
ds ≡
2
2
2
(dx1 ) + (dx2 ) + (dx3 ) p
u1 fest
∂x du2
= ∂u2 Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.4 Flächenintegrale im dreidimensionalen Raum
Das skalare Flächenintegral
Das skalare Flächenintegral - Beispiele
Z
Bisherige Ergebnisse:
p
1. |F | = du 1 + (∂z/∂u1 )2 + (∂z/∂u2 )2
R
b
Z
2.
|F | = 2π
du2 ρ(u2 )
p
1 + [ρ0 (u2 )]2
a
(i) Berechnung der Fläche einer Einheitskugel:
I
Zu 1:
z(u) =
p
1 − u12 − u22
Z
|F | = 2
du
Z
1 + (u1 /z)2 + (u2 /z)2 = 2
Neue (Polar-)koordinaten
|F | = 2
1
Z
dρ ρ
0
I
Zu 2:
0
ρ(u2 ) =
p
Z
|F | = 2π
p
R
Z
u ∈ R = u12 + u22 ≤ 1
,
2π
u1
u2
dϕ p
1 − u22
,
=ρ
1
1 − ρ2
cos(ϕ)
sin(ϕ)
du2 ρ
−1
p
R
î p
u2 ∈ [−1, 1]
1 + (u2
1−
ρ2
ó1
0
⇒
Z
/ρ)2
1
z(u)
−→
= 4π −
1
du
= 2π
1
du2 = 4π
−1
= 4π
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.4 Flächenintegrale im dreidimensionalen Raum
Das skalare Flächenintegral
Das skalare Flächenintegral - Beispiele
Bisherige Ergebnisse:
Z
|F | =
1.
du
R
Z
1 + (∂z/∂u1 )2 + (∂z/∂u2 )2
b
|F | = 2π
2.
p
du2 ρ(u2 )
p
1 + [ρ0 (u2 )]2
a
(zu 2.)
(ii) Berechnung der Fläche eines Torus:
ρ± (u2 ) = a ±
p
R 2 − u22
ρ0± (u2 ) = ∓ p
⇒
(a > R)
[u2 ≡ R sin(ϕ)]
Wegen F = F+ ∪ F− gilt:
Z
R
|F | = |F+ | + |F− | = 2π
du2 [ρ+ (u2 ) + ρ− (u2 )]
1+
−R
R
Z
= 4πa
du2 p
−R
Z
R
R2
−
u22
u2
R 2 − u22
u22
R 2 − u22
π/2
dϕ = 4π 2 aR
= 4πaR
−π/2
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.4 Flächenintegrale im dreidimensionalen Raum
Das vektorielle Flächenintegral
Das vektorielle Flächenintegral
Definition:
(Orientierung von F)
Normalvektor n̂± definiert Orientierung von
n
F±
∂F±
o
mittels Korkenzieherregel
Positive/negative Orientierung von R:
<
b2
∨
(positiv)
↑
u2
a2
a1
∧
>
>
b2
R+ ⊂ R2
u1 →
b1
R− ⊂ R2
∧
(negativ)
↑
u2
∨
<
a2
a1
u1 →
b1
Definition:
(Für Parametrisierung x der Fläche F)
x heißt eine Parametrisierung der orientierten Fläche F falls x(R+ ) = F+
Definition:
[Integral von f(x) über orientierte Fläche F+ mit Parametrisierung x(u)]
Z
Z
dS · f(x) ≡
dS [n̂+ · f(x)] = +
F+
Nomenklatur:
Z
F
R
du (t1 × t2 ) · f(x(u))
R
dS · f heißt Fluss von f durch F±
F±
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.4 Flächenintegrale im dreidimensionalen Raum
Das vektorielle Flächenintegral
Das vektorielle Flächenintegral -Bemerkungen
mit Normalvektor n̂+
u ∈ [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ]
1. Falls x(u) Parametrisierung von F+
I
x− (u) ≡ x(a1 + b1 − u1 , u2 ) Parametrisierung von F−
x− (u) → Normalvektor n̂−
I
R
I
R
dS · f = −
F−
⇒
dS · f
F+
2. Partitionierung von F+ :
n
[
F+ =
Fi+
dS · f =
⇒
F+
i=1
3. Nomenklatur:
∂F = ∅
⇔
ê1 T23 + ê2 T31 + ê3 T12 = t1 × t2 =
i=1
R
F
dS · f(x):
∂u1 x2 ∂u2 x3 − ∂u1 x3 ∂u2 x2
∂u1 x3 ∂u2 x1 − ∂u1 x1 ∂u2 x3
∂u1 x1 ∂u2 x2 − ∂u1 x2 ∂u2 x1
∂x
∂x
×
=
∂u1
∂u2
mit
T23
∂ x
≡ det u1 2
∂u1 x3
∂u2 x2
∂u2 x3
, T31
dS · f
Fi+
F heißt geschlossen
4. Geometrische Interpretation von
n Z
X
Z
∂ x
≡ det u1 3
∂u1 x1
∂u2 x3
∂u2 x1
, T12
∂ x
≡ det u1 1
∂u1 x2
!
∂u2 x1
∂u2 x2
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.4 Flächenintegrale im dreidimensionalen Raum
Das vektorielle Flächenintegral
Das vektorielle Flächenintegral - Bemerkungen
R
1. x(a1 + b1 − u1 , u2 ) Parametrisierung von F− :
R
2. Partitionierung von F+ möglich:
3. Nomenklatur:
∂F = ∅
⇔
dS · f =
R
F
dS · f(x):
Z
F+
i=1
R
dS · f
F+
dS · f
Fi+
F heißt geschlossen
t1 × t2 = ê1 T23 + ê2 T31 + ê3 T12
dS · f(x) =
PFn− R
F+
4. Geometrische Interpretation von
Fazit:
Z
dS · f = −
,
ã
Å
∂(xi , xj )
Tij = det
∂(u1 , u2 )
Z
du (t1 × t2 ) · f(x(u)) =
R
du1 du2 (f1 T23 + f2 T31 + f3 T12 )
R
Z
® ´
mit
Beispiel?
I1
I2
I3
(f1 dx2 dx3 + f2 dx3 dx1 + f3 dx1 dx2 ) ≡ I1 + I2 + I3
=
F
≡ Integral von
® ´
f1
f2
f3
®
über Projektion von F auf
´
(23)
(31) -Ebene
(12)
Integral von f = ê3 über orientierte Fläche
x |x| = 1 , 0 ≤ ϕ ≤ 12 π ,
1
π
6
≤ ϑ ≤ 21 π
mit
n̂ = −x̂
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.4 Flächenintegrale im dreidimensionalen Raum
Das vektorielle Flächenintegral
Das vektorielle Flächenintegral - ein Beispiel
Beispiel: Integral
R
dS · f(x) =
F
R
dx1 dx2 von f = ê3 über orientierte Fläche
F
+
x |x| = 1 , 0 ≤ ϕ ≤ 12 π ,
Parametrisierung:
1
π
6
≤ ϑ ≤ 21 π
n̂ = −x̂
mit
⇒
x(u) = (cos(u1 ) sin(u2 ), sin(u1 ) sin(u2 ), cos(u2 ))
− sin(u1 )
cos(u1 )
0
t1 × t2 = sin(u2 )
= − sin(u2 )x(u)
cos(u1 ) cos(u2 )
sin(u1 ) cos(u2 )
− sin(u2 )
!
×
−→
Normalvektor:
cos(u1 ) sin(u2 )
sin(u1 ) sin(u2 )
cos(u2 )
!
= − sin(u2 )
!
t1 × t2
= −x(u)
|t1 × t2 |
n̂+ =
Ergebnis:
Z
Z
Z
dS · ê3 =
dx1 dx2 =
F
du (t1 × t2 ) · ê3 =
F+
π
=−
4
=−
Z
0
π/2
π
du2 sin(2u2 ) = −
8
π/6
Z
π/2
du1
R
Z
π/2
Z
du2 [− sin(u2 ) cos(u2 )]
π/6
π
π
π
dy sin(y ) = − [− cos(y )] 8
π/3
π/3
Ä π äó
πî
3π
1 + cos
=−
8
3
16
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.4 Flächenintegrale im dreidimensionalen Raum
Der Satz von Stokes für orientierte Flächen
Der Stokes’sche
Satz (fIür orientierte Flächen F)
Z
dS · (∇ × g) =
F
Beweis?
I
dx · g(x)
I
∂x
dx · g(x) =
g(x(u))
du =
∂u
∂F
∂R+
T
I
I
du1 (g · t1 ) +
=
Z
a1
du
R+
∂R+
Z
∂x
g·
∂u1
∂g
tT
2
∂x
I
+
du2
∂R+
∂x
g·
∂u2
u2 =a2 Z b2
u1 =b1
du1 (g · t1 )
+
du2 (g · t2 )
!
du2 [∂u2 (g · t1 ) − ∂u1 (g · t2 )] = −
u2 =b2
u1 =a1
a2
Z
du [t1 · (∂u2 g) − t2 · (∂u1 g)]
R+
a2
b1
a1
b2
du1
Z
=
du1
∂R+
b1
=−
I
du2 (g · t2 ) =
∂R+
Z
(Satz von Stokes)
∂F
t1 −
∂g
tT
1
∂x
t2
(∂u21 u2 x)(u)
!
=
Z
Z
du (t1 × t2 ) · (∇ × g) =
R+
dS · (∇ × g)
F
wegen (∂u2 t1 )(u) =
= (∂u1 t2 )(u) und
∂g
∂g
tT
t1 − tT
t2 = t2k (∂j gk )t1j − t1j (∂k gj )t2k = (δjl δkm − δjm δkl )t1j t2k (∂l gm )
2
1
∂x
∂x
= εijk t1j t2k εilm (∂l gm ) = (t1 × t2 ) · (∇ × g)
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.4 Flächenintegrale im dreidimensionalen Raum
Der Satz von Stokes für orientierte Flächen
Konsequenzen des Stokes’schen Satzes
Satz von Stokes:
I
Z
dS · (∇ × g) =
dx · g(x)
F
∂F
Konsequenzen des Stokes’schen Satzes:
1. Integraldarstellung der Rotation:
1
|F |
n̂ · (∇ × g)(x0 ) = lim
F →x0
I
dx · g(x)
∂F
Anwendung?
Berechnung von ∇ × g in beliebigen orthogonalen Koordinatensystemen
2. Integrale über orientierte geschlossene Kurven:
3
X
I
dx =
∂F
I
dx · êi =
êi
3
X
∂F
i=1
Z
êi
!
dS · (∇ × êi ) = 0
F
i=1
3. Integrale von ∇ × g über orientierte geschlossene Flächen:
Z
I
dS · (∇ × g) =
F
(∂F = ∅)
!
dx · g(x) = 0
∂F
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.4 Flächenintegrale im dreidimensionalen Raum
Der Satz von Stokes für orientierte Flächen
Der Stokes’sche Satz - ein BeispielÇ
Z
I
dS · (∇ × g) =
F
dx · g(x)
1
g(x) =
2
,
∂F
−x2
x1
0
å
,
(∇ × g)(x) = ê3
x(u) = (cos(u1 ) sin(u2 ), sin(u1 ) sin(u2 ), cos(u2 ))
Orientierte Fläche?
F = x(u) 0 ≤ u1 ≤ 21 π , 16 π ≤ u2 ≤ 12 π
mit n̂(u) = −x̂(u)
∂F =
x(u) (u1 , u2 ) ∈ (0, π2 ) → (0, π6 ) → ( π2 , π6 ) → ( π2 , π2 ) → (0, π2 )
Berechnung des rechten Gliedes des Stokes’schen Satzes?
u2 =π/6 Z π/2
u1 =π/2
∂x
dx · g(x) =
du1 (g · t1 )
+
du2 (g · t2 )
, ti =
∂ui
u2 =π/2
u1 =0
∂F
0
π/6
Ç
å Ç
å
Z π/2
− sin(u1 )
− sin(u1 ) u2 =π/6
1
cos(u1 )
cos(u1 )
=
du1 sin2 (u2 )
·
2 0
u2 =π/2
0
0
Ç
å Ç
å
Z π/2
cos(u1 ) cos(u2 )
− sin(u1 ) u1 =π/2
1
cos(u1 )
+
du2 sin(u2 ) sin(u1 ) cos(u2 ) ·
I
π/2
Z
2
1
=
2
Z
0
π/2
î
π/6
Äπä
du1 sin2
6
Ä π äó
− sin2
2
− sin(u2 )
3π
=−
16
0
ï
R
F
u1 =0
linkes Glied?
R (s. vorher) 3π
dS · ê3 =
dx1 dx2 = − 16
F
ò
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.4 Flächenintegrale im dreidimensionalen Raum
Der Satz von Stokes für orientierte Flächen
Der Stokes’sche Satz - ein Gegenbeispiel“?
”
Ç
å
Z
I
−x2
dS · (∇ × g) =
dx · g(x)
F
,
g(x) =
∂F
Orientierte Fläche?
λ
ρ2
x1
0
,
ρ(x) =
x2
g(x)
F = { x | |x| ≤ a , x3 = 0}
n
x(a, u2 ) = a
Einerseits, wegen g(x) =
I
Z
Z
2π
=
0
Andererseits:
λ
ρ2
Ä−x2 ä
x1
0
0
x(a, u2 )
x1
cos(u )o
0
2
sin(u2 )
0
∂x
k ∂u
=
2
2π
dx · g(x) =
∂F
x12 + x22
[mit n̂(x) = ê3 ]
x(u) = (u1 cos(u2 ), u1 sin(u2 ), 0)
∂F =
p
Ä−x2 ä
x1
0
:
∂x
du2
·g
∂u2
u1 =a
λ
du2 2 (x12 + x22 )
= 2πλ 6= 0
ρ
u1 =a
!
(∇ × g)(x) = 0 !? [ ∀(x1 , x2 ) 6= (0, 0) !! ]
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.5 Integrationen über orientierte Volumina
Parametrisierung eines Integrationsvolumens
Integrationen über orientierte Volumina
Positive/negative Orientierung eines Quaders Q:
Q+
(positive)
b3
(bzw. von ∂Q)
Q−
(negative)
b3
b2
a3
a1
a2
b1
b2
a3
a1
a2
b1
Integrationsvolumen V = x(Q): x : R3 → R3 , x(v) =
x1 (v1 , v2 , v3 )
x2 (v1 , v2 , v3 )
x3 (v1 , v2 , v3 )
Nomenklatur?
I Abbildung x(v) heißt Parametrisierung von V
ß
I Orientierungen von Q und V lokal
gleich
unterschiedlich
™
ß
falls
Jx (v) > 0
Jx (v) < 0
!
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.5 Integrationen über orientierte Volumina
Parametrisierung eines Integrationsvolumens
Parametrisierung eines Integrationsvolumens
Definition:
(Für Parametrisierung x des Volumens V)
x heißt Parametrisierung des orientierten Volumens V falls
x(Q+ ) = V+
[ mit Normalvektor n̂+ = (t1 × t2 )/|t1 × t2 | auf ∂V+ ]
Integrationen über orientierte Volumina?
Z
Z
dx f (x) =
V
dv Jx (v)f (x(v))
Q+
Satz von Gauß für orientierte Volumina V !
Z
I
dx (∇ · f) =
dS · f
V
∂V
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.5 Integrationen über orientierte Volumina
Der Satz von Gauß für orientierte Volumina
Der Satz von Gauß für orientierte Volumina
Satz von Gauß:
(für orientierte Volumina V)
I
Z
dx (∇ · f) =
V
∂V
x(Q+ ) = V , ∂V = x(∂Q+ ) = x̄(R+ )
Beweisidee des Gauß’schen Satzes:
Z
Z
dv Jx (v)(∇ · f)(x(v)) =
Q+
dS · f
I
Z
∂x
∂x
dx (∇ · f) =
dS · f =
du
×
∂u1
∂u2
V
∂V
R+
·f
R+ ⊂ R2
b3 + b1 − a1
2
6
6
b3
3
b2
4
a3 5
a1
v∈
u2
mit
b3
1
a2
b1
Q3
i=1
[ai , bi ] ≡ Q+
a3
a3 − b1 + a1
1
2
5
a2
a2 + a1 − b1
3
4
u1
b2
2b2 + b1 − a2 − a1
b2 + b1 − a1
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.5 Integrationen über orientierte Volumina
Beweis des Gauß’schen Satzes
Beweis des Gauß’schen
Satzes™
ß
™ ß
linke
rechte
Integration über
I
Z
+
Z
dS · f =
dS · f +
∂V
Z
vordere
hintere
2+4
b2
=
+
dS · f +
b3
dv2
dv3
a2
untere
obere
™
Seiten des Quaders:
Z
dS · f
1+3
Z
ß
ßh
a3
Anhang
5+6
∂x
∂x
×
∂v2
∂v3
·f
i
−
h
v1 =b1
∂x
∂x
×
∂v2
∂v3
·f
™
i
v1 =a1
+ (123 → 231) + (123 → 312)
Z
b1
=
Z
b2
dv1
b3
Z
dv2
a1
dv3
a2
n
a3
∂
∂v1
h
∂x
∂x
×
∂v2
∂v3
i
·f
∂
∂x
∂
∂x
∂x
∂x
+
×
·f +
×
∂v2
∂v3
∂v1
∂v3
∂v1
∂v2
Z
h
∂x
∂f
∂x
∂x
∂f
∂x
!
=
dv
×
·
+
×
·
∂v2
∂v3
∂v1
∂v3
∂v1
∂v2
Q+
h
i
h
∂x
∂x
+
×
∂v1
∂v2
∂f
·
∂v3
·f
io
i
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.5 Integrationen über orientierte Volumina
Beweis des Gauß’schen Satzes
Beweis des Gauß’schen Satzes
Bisheriges
I
Z Ergebnis:
dS · f =
dv
h
Q+
∂V
∂x
∂vi ≡ si
Definition:
I
∂x
∂x
×
∂v2
∂v3
Z
∂f
·
+
∂v1
∂x
∂x
×
∂v3
∂v1
∂f
·
+
∂v2
∂x
∂x
×
∂v1
∂v2
i
⇒
(i = 1, 2, 3)
∂f
∂f
∂f
dS · f =
dv (s2 × s3 )
s1 + (s3 × s1 )T
s2 + (s1 × s2 )T
s3
∂x
∂x
∂x
∂V
Q+
h
∂f
·
∂v3
T
i
Z
=
dv s1j s2k s3l (εikl ∂j fi + εilj ∂k fi + εijk ∂l fi )
(s. Übung)
Q+
Z
=
!
dv s1j s2k s3l ∂m fi (εikl δjm + εilj δkm + εijk δlm ) =
Z
Q+
Z
=
Z
dv det(s1 s2 s3 )(∇ · f) =
Q+
Fazit:
dv s1j s2k s3l ∂m fi εjkl δim
Q+
Z
dv Jx (v)(∇ · f) =
Q+
I
dx (∇ · f)
V
Z
dS · f =
∂V
dx (∇ · f)
V
(Gauß’scher Satz)
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.5 Integrationen über orientierte Volumina
Der Gauß’sche Satz - ein Beispiel
Der Gauß’sche Satz - ein Beispiel
Satz von Gauß:
x1 x32
x12 x2 − x33
2x1 x2 + x22 x3
I
Z
dS · f
dx (∇ · f) =
V
,
f(x) =
∂V
!
(∇ · f)(x) = x2
,
Orientiertes Volumen?
n̂(x) = − ê3 auf ∂V1 , n̂(x) = x̂ auf ∂V2
V = { x | |x| ≤ R , x3 ≥ 0 } , ∂V = ∂V1 ∪ ∂V2
∂V1 = { x | |x| ≤ R , x3 = 0 }
∂V2 = { x | |x| = R , x3 ≥ 0 }
,
Berechnung des linken Gliedes des Gauß’schen Satzes?
Z
Z
Z R
2π 5
dx (∇ · f) =
dΩ
dr r 4 =
R
, x(v) = v1
5
V
ϑ≤ π
0
cos(v3 ) sin(v2 )
sin(v3 ) sin(v2 )
cos(v2 )
2
!
Berechnung des rechten Gliedes?
Z
Z
Z
dS · f =
!
dx1 dx2 x1 x2 = 0
dx1 dx2 [−ê3 · f(x1 , x2 , 0)] = −2
|x|≤R
∂V1
Z
Z
dS · f = R
2
dΩ (R
−1
x) · f = R
dΩ
ϑ≤ π
2
ϑ≤ π
2
∂V2
ï
Z
|x|≤R
x12 x32 + (x12 x22 − x33 x2 )
+ (2x1 x2 x3 + x22 x32 )
ò
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.5 Integrationen über orientierte Volumina
Der Gauß’sche Satz - ein Beispiel
Der Gauß’sche Satz - ein Beispiel - Fortsetzung
Berechnung des linken Gliedes:
Z
dx (∇ · f) =
V
Z [ mit x3 = R cos(ϑ) ≡ Ry ]
Berechnung
des
Z
Z rechten Gliedes:
dx1 dx2 [−ê3 · f(x1 , x2 , 0)] = −2
dS · f =
∂V1
Z
dS · f = R
2
dΩ (R
−1
Z
=R
ϑ≤ π
2
π/2
Z
dΩ x12 x32 + x12 x22 + x22 x32
x) · f = R
ϑ≤ π
2
∂V2
dx1 dx2 x1 x2 = 0
|x|≤R
|x|≤R
Z
2π 5
R
5
Z
2π
dϕ R 2 x32 − x34 + R 4 cos2 (ϕ) sin2 (ϕ) sin4 (ϑ)
dϑ sin(ϑ)
0
0
1
Z
= R5
2π
Z
dϕ y 2 − y 4 +
dy
0
1
4
sin2 (2ϕ)(1 − y 2 )2
0
Z
= 2πR
5
= 2πR
5
1
dy
0
1
8
2
4
y −y +
1
(1
8
2 2
−y )
Z
= 2πR
5
dy
0
+
1
4
−
7
40
=
2π 5
R
5
1
1
8
+ 34 y 2 − 78 y 4
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.5 Integrationen über orientierte Volumina
Konsequenzen des Gauß’schen Satzes & Beispiele
Konsequenz des Gauß’schen Satzes & ein Beispiel
Gauß’scher Satz:
Z
I
dx (∇ · f)
dS · f =
V
∂V
Konsequenz:
(Integraldarstellung der Divergenz)
1
(∇ · f)(x0 ) = lim
V→x0 |V|
Z
dS · f
∂V
Anwendung?
Berechnung von ∇·f in beliebigen orthogonalen Koordinaten
qx̂
4πε0 x 2
Gegenbeispiel“: f = E =
”
(elektrisches Feld einer Punktladung)
[ mit V = { x | |x| ≤ a } , n̂ = x̂ ]
I Linkes Glied des Gauß’schen Satzes:
I
dS · f = 4πa2
∂V
qx̂ · x̂
1
= q 6= 0
2
4πε0 a
ε0
I Rechtes Glied des Gauß’schen Satzes?
(Erklärung: S. Kap. 2)
∇·f =0
(∀x 6= 0)
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
1.5 Integrationen über orientierte Volumina
Konsequenzen des Gauß’schen Satzes & Beispiele
Weitere Konsequenzen des Gauß’schen Satzes
1. Integrale über orientierte geschlossene Flächen:
I
dS =
I
3
X
êi
∂V
i=1
dS · êi =
∂V
Z
3
X
êi
dx (∇ · êi ) = 0
V
i=1
Z
I
dx ∇ · (∇ × g) = 0
dS · (∇ × g) =
V
∂V
2. Wähle f = µ∇ν:
Å
folgt auch
aus Stokes“
”
(erster Satz von Green)
Z
Z
dx ∇ · (µ∇ν) =
V
I
dx [(∇µ) · (∇ν) + µ∆ν] =
V
I
dS µ (n̂ · ∇)ν ≡
=
dS µ
∂V
3. Vertauschung µ ↔ ν:
dS · (µ∇ν)
∂V
I
Z
ã
∂V
∂ν
∂n
(zweiter Satz von Green)
I
∂ν
∂µ
dx (µ∆ν − ν∆µ) =
dS µ
−ν
∂n
∂n
V
∂V
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
Kapitel 2: Einführung in die
Elektrodynamik
Inhaltsverzeichnis
I
I
I
I
I
I
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Einführende Bemerkungen
Die Maxwell-Gleichungen
Statische elektromagnetische Felder
Elektromagnetische Wellen und der statische Grenzfall
Elektromagnetische Potentiale
Sind die Maxwell-Gleichungen Galilei-kovariant?
2.0
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.0 Einführende Bemerkungen
Basisprinzipien
Basisprinzipien
Elektrodynamik:
WW
elektromagnetische Felder ←→ geladene materielle Teilchen
Lorentz-Kovarianz:
(SRT, → Kapitel 5 Theorie 1)
Elektrizität + Magnetismus < Elektromagnetismus
Extremalprinzipien:
(→ Theorie 2 & Theorie 5)
Klassische Mechanik für Teilchen
Klassische Feldtheorie für elektromagnetische Felder
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.0 Einführende Bemerkungen
Basisgesetze der Statik
Basisgesetze der Statik: Elektrostatik
Charles-Augustin de Coulomb (1785)
q1 q2
x̂12
4πε0 |x12 |2
F1 =
F2 = −F1
SI-Einheiten
Coulombs Drehwaage
( elektrische Balance“)
”
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.0 Einführende Bemerkungen
Basisgesetze der Statik
Basisgesetze der Statik: Magnetostatik
Jean-Baptiste Biot, Felix Savart ('1820):
dB =
µ0 I d` × x̂
4π x 2
ß
⇒ Magnetfeld eines
B=
B-Feld eines
geraden Stromdrahts
∞ langen
geraden
™
Stromdrahts:
µ0 I
Î × x̂⊥
2πx⊥
( x⊥ ⊥ I ist Relativvektor zum Stromdraht )
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.0 Einführende Bemerkungen
Basisgesetze der Dynamik
Basisgesetze der Dynamik:
I
Hans Christian Ørsted (1820):
Elektrische Ströme → Magnetfelder
I
Michael Faraday (1831):
Zeitlich veränderliche Magnetfelder → Ströme in Stromkreisen
I
James Clerk Maxwell (1864):
Zeitlich veränderliche elektrische Felder → Magnetfelder
Weitere Vorhersage der Maxwell-Theorie:
Existenz elektromagnetischer Wellen
I
(Exp.: Heinrich Hertz, 1887)
Hendrik Antoon Lorentz (1892/95/99, 1906):
Lorentz-Kraft, Entwicklung der SRT, Medium“ ↔ Vakuum“
”
”
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.1 Die Dynamik der Felder
Maxwell-Gleichungen im Vakuum“
”
Maxwell-Gleichungen im Vakuum“
”
1
ρ
II. ∇ · B = 0
ε0
∂B
∂E
III. ∇ × E +
=0
IV. ∇ × B − ε0 µ0
= µ0 j
∂t
∂t
Warum Vakuum“?
Allgemeine Eigenschaften der Maxwell-Theorie?
”
I Logik:
(ρ, j) vorgegeben → (E, B) zu bestimmen
I.
∇·E=
I Falls (E, B)-Felder (∂t ρ , ∂t j) beeinflussen:
⇒
weitere dynamische Gleichungen für (ρ, j) benötigt
I Maxwell-Gln. linear in ρ, j ⇒
I Maxwell-Gln. I + IV
Superpositionsprinzip!
→ Ladungserhaltung:
I Maxwell-Theorie = klassische Feldtheorie
∂ρ
∂t
+∇·j=0
Beweis
[E(x, t), B(x, t) ∈ R3 ]
I Maxwell-Theorie stark von H. A. Lorentz mit geprägt, daher manchmal
Maxwell-Lorentz-Gleichungen“ (A. Einstein)
”
I Maxwell-Theorie invariant unter Lorentz-/Poincaré-Gruppe
⇒ Bestandteil einer relativistischen Elektrodynamik
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.1 Die Dynamik der Felder
Interpretation der Maxwell-Gleichungen
Interpretation der Maxwell-Gleichungen
I
∇·E=
Maxwell-Gleichung I:
Z
1
ε0
Å
Z
D = {x | |x| ≤ r }
ρ(x, t) = q2 δ(x) ,
Coulomb-Gesetz:
E=
∇·B=0
Maxwell-Gleichung II:
dS · E(x, t)
∂D
Å
I
ã
Z
D
⇒
verallgemeinertes
Coulomb-Gesetz
dx ∇ · E(x, t) =
dx ρ(x, t) =
D
Wähle:
1
ε0 ρ
q2
x̂
4πε0 r 2
keine magnetischen
Monopole“
”
ã
Z
dS · B(x, t) = 0
Magnetische Monopole
∂D
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.1 Die Dynamik der Felder
Interpretation der Maxwell-Gleichungen
I
R
= 0 , ΦF ≡ dS · B(x, t) ⇒
Maxwell-Gleichung III: ∇ × E + ∂B
∂t
dΦF
d
=
dt
dt
dS · B(x, t) = −
F
Fazit:
F
dx · E(x, t)
∂F
Zeitliche Änderung des magnetischen Flusses durch F →
Maxwell-Gleichung IV:
Z
µ0
F
Fazit:
I
dS · (∇ × E) = −
Induktionsspannung in Schleife ∂F
I
F
Z
Z
∇ × B − ε0 µ0 ∂E
= µ0 j
∂t
∂E
dS · j + ε0
∂t
( Faraday’sches Induktionsgesetz“)
”
Z
⇒
I
dS · (∇ × B) =
=
F
dx · B
∂F
Elektrische Ströme/zeitlich veränderliche elektrische Felder →
Magnetfelder ( Ampère’sches Durchflutungsgesetz“; Ørsted, Maxwell)
”
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.1 Die Dynamik der Felder
Maxwell-Gleichungen im Medium“
”
Maxwell-Gleichungen im Medium“
”
Herleitung der Maxwell-Gleichungen im Medium“
”
durch räumliche Mittelung der Gleichungen im Vakuum“:
”
1
∇·E=
I.
ρ
ε0
∂B
∇×E+
=0
∂t
III.
II.
IV.
∇·B=0
∇ × B − ε 0 µ0
∂E
= µ0 j
∂t
über Bereiche ' (102 Å)3
ß
Polarisation P
Im Medium: Effekte der Magnetisierung M
Definiere Hilfsfelder! D ≡ ε0 E + P , H ≡
I.
III.
∇·D=ρ
∇×E+
∂B
=0
∂t
1
B
µ0
⇒
−M
II.
∇·B=0
IV.
∇×H−
∂D
=j
∂t
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.1 Die Dynamik der Felder
Materialgleichungen
Materialgleichungen
Polarisation, Magnetisierung in linearen, isotropen Medien?
H = µ10 B − M
D = ε0 E + P
™
mit
M = χm H
,
1
P = χe E
ε0
(χm , χe = magnetische bzw. dielektrische Suszeptibilität)
1
B = (1 + χm )H ≡ µr H
µ0
⇒
,
1
D = (1 + χe )E ≡ εr E
ε0
(relative Permeabilität µr , relative Dielektrizitätskonstante εr )
Beziehung Maxwell-Gleichungen im Medium“ und im Vakuum“?
”
”
Ersetze:
I.
∇·E=
µ0 → µ ≡ µr µ0
1
ρ
ε
,
ε0 → ε ≡ εr ε0
IV.
∇ × B − εµ
⇒
∂E
= µj
∂t
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.2 Statische elektromagnetische Felder
Streng zeitunabhängige Felder
2.2 Statische elektromagnetische Felder
Maxwell-Gleichungen im Vakuum“:
”
I.
III.
1
ρ
ε0
∂B
=0
∇×E+
∂t
∇·E=
II.
IV.
∇·B=0
∇ × B − ε0 µ0
∂E
= µ0 j
∂t
®
Streng zeitunabhängige Felder E(x), B(x) nur falls
(∇ · E) (x) =
1
ρ(x)
ε0
∇×E=0
&
∇·B=0
∂t ρ = 0
⇒
∂t j = 0
(∇ × B) (x) = µ0 j(x)
&
Viel interessanter:
zeitgemitteltes Verhalten von (E, B) für (ρ, j) räumlich begrenzt
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.2 Statische elektromagnetische Felder
Gleichungen der Statik durch Zeitmittelung
Zeitmittelung:
∂E
1
≡ lim
∂t
T →∞ T
ZT
dt
∂E
E(x, T ) − E(x, 0)
(x, t) = lim
=0
∂t
T
T →∞
0
analog:
∂B
∂t
⇒
=0
Maxwell-Gleichungen:
∇ · E (x) = (∇ · E) (x) =
1
1
ρ(x, t) ≡
ρ̄(x)
ε0
ε0
∂B
=0
∂t
∇·B=∇·B=0
∇×E=∇×E+
∇ × B = ∇ × B − ε0 µ0
Fazit:
∂E
= µ0 j(x, t) ≡ µ0 j̄(x)
∂t
(E, B, ρ̄, j̄) erfüllen Gleichungen der Elektro- bzw. Magnetostatik
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.2 Statische elektromagnetische Felder
Gleichungen der Statik durch Zeitmittelung
Wirbelgleichungen“:
”
Vektoridentität
∇ × (∇ × a) = ∇ (∇ · a) − ∆a →
0 = ∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∆E
∇ × (µ0 j) = ∇ × (∇ × B) = ∇(∇ · B) − ∆B
Daher:
∆E = ∇ ∇ · E
Fazit:
=
1
∇ρ̄
ε0
∆B = ∇ ∇ · B − µ0 ∇ × j = −µ0 ∇ × j
,
(E, B) - Komponenten erfüllen Poisson-Gleichungen:
(∆u)(x) = −q(x)
[ u(x) Feld , q(x) Quelle des Feldes ]
Poisson-Gleichung i. A. nicht eindeutig lösbar:
I u(x) Lösung
(∀ a ∈ R3 , λ ∈ R) auch ũ(x) ≡ u(x) + a · x + λ Lösung
⇒
I Fordere daher:
u(x) → 0
(|x| → ∞)
Explizite Form der Lösung mit u → 0 für |x| → ∞:
1
u(x) =
4π
Z
q(x0 )
|x − x0 |
dx0
(Behauptung)
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.2 Statische elektromagnetische Felder
Gleichungen der Statik durch Zeitmittelung
Lösung von (∆u)(x) = −q(x) mit u → 0 für |x| → ∞:
1
u(x) =
4π
Z
q(x0 )
|x − x0 |
dx0
(Behauptung)
Beweis:
1. Bedingung u → 0 (x → ∞) ist erfüllt:
1
u(x) ∼
4πx
da
Z
Q≡
Z
dx0 q(x0 ) → 0
dx0 q(x0 ) < ∞
2. Es gilt:
1
∆ −
4πx
= δ(x)
,
∆=
[Quellen lokalisiert]
3
X
∂2
i=1
Dirac’sche Deltafunktion:
∆u =
1
4π
Z
R
(x → ∞)
∂xi2
dx0 f (x0 )δ(x0 − x) = f (x)
dx0 q(x0 )∆
1
!
=−
0
|x − x |
Z
(Behauptung)
und daher:
dx0 q(x0 )δ(x − x0 ) = −q(x)
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.2 Statische elektromagnetische Felder
Gleichungen der Statik durch Zeitmittelung
Ä
ä
1
Beweis von ∆ − 4πx
= δ(x):
3
X ∂
1
∆ =
x
∂xi
Für alle x 6= 0 gilt
1 ∂x
− 2
x ∂xi
i=1
3xi ∂x
− 3 + 4
x
x ∂xi
i=1
−
∂xi
i=1
3 X
1
=
=
3
X
∂ Ä xi ä
x3
3
X x2
3
i
=− 3 +3
=0
x
x5
i=1
Außerdem, mit Dε ≡ {x | |x| ≤ ε , ε > 0}:
Z
1
dx ∆ −
4πx
Dε
Z
1
dx ∇ · ∇ −
4πx
=
Dε
Z
dS ·
=
∂Dε
Daher:
Z
x̂
1
=
2
4πx
4πε2
Z
1
dS · ∇ −
4πx
=
∂Dε
Z
dS · x̂ = 1
∂Dε
[ Deltafunktion ist verallgemeinerte Funktion, Funktional ]
1
dx f (x)∆ −
4πx
Z
= lim
ε↓0
Dε
1
dx f (x)∆ −
4πx
Z
1
dx ∆ −
4πx
= f (0) lim
ε↓0
Dε
= f (0) lim 1 = f (0)
ε↓0
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.2 Statische elektromagnetische Felder
Lösung der Gleichungen der Statik
Resultate:
∆E =
1
∇ρ̄
ε0
(∆u)(x) = −q(x)
,
∆B = −µ0 ∇ × j
,
1
u(x) =
4π
Z
dx0
q(x0 )
|x − x0 |
Konsequenzen für E- und B-Felder:
1
E(x) = −
4πε0
⇒
Z
(∇ρ̄)(x0 )
dx0
|x − x0 |
,
µ0
B(x) =
4π
Z
dx0
∇ × j (x0 )
|x − x0 |
allgemeines Problem der Elektro-/Magnetostatik im Prinzip vollständig gelöst!
Partielle Integration:
1
E(x) =
4πε0
µ0
B(x) =
4π
Z
Z
dx0 ρ̄(x0 )
dx0
x − x0
|x − x0 |3
j̄(x0 ) × (x − x0 )
|x − x0 |3
(Coulomb-Gesetz)
(Biot-Savart-Gesetz)
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.2 Statische elektromagnetische Felder
Analogie zum Gravitationsgesetz
Analogie zum Gravitationsgesetz
→
Massendichte ρ(x, t)
Beispiel:
Gravitationskraft
Gravitationskraft auf Punktteilchen der schweren Masse m:
mẍ = mg(x, t)
mit
Z
dx0 ρ(x0 , t)
g(x, t) = G
Z
x0 − x
|x0 − x|3
1
dx ρ(x , t)∇
=G
|x − x0 |
0
=G
0
Z
dx0
(∇ρ)(x0 , t)
|x − x0 |
Einerseits
Z
(∆g)(x, t) = G
dx0 (∇ρ)(x0 , t)∆
Z
= −4πG
1
|x − x0 |
dx0 (∇ρ)(x0 , t)δ(x − x0 ) = −4πG(∇ρ)(x, t)
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.2 Statische elektromagnetische Felder
Analogie zum Gravitationsgesetz
Einerseits
(∆g)(x, t) = −4πG(∇ρ)(x, t)
Andererseits
ï Z
(∇ · g) (x, t) = ∇ · G
Z
= −4πG
Fazit:
1
dx ρ(x , t)∇
|x − x0 |
0
0
Z
=G
dx0 ρ(x0 , t)∆
1
|x − x0 |
dx0 ρ(x0 , t)δ(x − x0 ) = −4πGρ(x, t)
↔
Elektrostatik !
(g, m, G, ρ)
↔
(E, q, −
∆g = −4πG∇ρ
↔
∆E =
∇ · g = −4πGρ
↔
∇·E=
Analogie Gravitationstheorie
[Unterschied:
ò
1
, ρ)
4πε0
1
∇ρ̄
ε0
1
ρ̄
ε0
Zeitabhängigkeit von g(x, t) und ρ(x, t) grundsätzlich beliebig]
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.3 Elektromagnetische Wellen und der statische Grenzfall
Wellengleichungen für das E- und das B-Feld
2.3 Elektromagnetische Wellen und der statische Grenzfall
Maxwell-Gleichungen:
1
ρ
ε0
I. ∇ · E =
∂B
=0
∂t
∂E
IV. ∇ × B − ε0 µ0
= µ0 j
∂t
III. ∇ × E +
II. ∇ · B = 0
Konsequenz für B-Feld?
[ Vektoridentität
∇ × (∇ × a) = ∇ (∇ · a) − ∆a ]
1 ∂2B
∂E
= −ε0 µ0 ∇ ×
= ∇ × (µ0 j − ∇ × B) = µ0 ∇ × j + ∆B
2
2
c ∂t
∂t
Definition des d’Alembert-Operators:
≡
1 ∂2
−∆
c 2 ∂t 2
⇒
B = µ0 ∇ × j
Analog für E-Feld?
1 ∂2E
∂
∂j
=
(∇ × B − µ0 j) = −∇ × (∇ × E) − µ0
2
2
c ∂t
∂t
∂t
∂j
1
1 ∂j
= ∆E − ∇ (∇ · E) − µ0
⇒ E = −
∇ρ + 2
∂t
ε0
c ∂t
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.3 Elektromagnetische Wellen und der statische Grenzfall
Wellengleichungen und der statische Grenzfall
Wellengleichungen und der statische Grenzfall
Streng zeitunabhängige Ladungen und Ströme ⇒
I E, B ebenfalls zeitunabhängig
(falls Anfangsbedingung entsprechend)
I E, B erfüllen Poisson-Gleichungen:
∆E =
Viel interessanter:
1
∇ρ
ε0
,
∆B = −µ0 ∇ × j
langsam in der Zeit variierende Ladungen und Ströme
⇒
I Betrachte räumlich lokalisierte, mit typischer Frequenz ω oszillierende Quelle
I Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen im Vakuum: c
I E, B durch typische Wellenlänge λ =
I Typische Ausdehnung der Quelle: a
2πc
ω
charakterisiert
I Typischer Abstand des Experimentators von der Quelle: x
I Falls ω klein (a λ, x λ) ⇒ Wellennatur des Feldes nicht sichtbar!
I Stattdessen: zeitlich langsam veränderliches Feld einer effektiv statischen
Ladungs- und Stromverteilung!
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.3 Elektromagnetische Wellen und der statische Grenzfall
Wellengleichungen und der statische Grenzfall
Wellengleichungen und der statische Grenzfall
Formal: Wellengleichungen → Poisson-Gleichungen!
(∆E)(x, t) =
1
(∇ρ)(x, t)
ε0
Coulomb-Gesetz?
(∆B)(x, t) = −µ0 (∇ × j) (x, t)
,
[ ρ zeitlich langsam veränderlich ]
1
E(x, t) =
4πε0
Biot-Savart-Gesetz?
Z
x − x0
dx ρ(x , t)
|x − x0 |3
0
0
[ j zeitlich langsam veränderlich ]
µ0
B(x, t) =
4π
Z
j(x0 , t) × (x − x0 )
dx
|x − x0 |3
0
Raumbereich {x | |x| λ}: Nahzone, instantane Wechselwirkungen!
Elektromagnetische Potentiale
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.3 Elektromagnetische Wellen und der statische Grenzfall
Wechselwirkung geladener nicht-relativistischer Teilchen
Wechselwirkung geladener nicht-relativistischer Teilchen
Anwendung:
I zwei geladene nicht-relativistische Teilchen
I Massen m1,2 , Ladungen q1,2 , Ortskoordinaten x1,2 (t)
I Teilchen wechselwirken miteinander mittels (E, B)-Felder
Teilchen 2
→
Ladungs- und Stromdichten:
ρ(x, t) = q2 δ(x − x2 (t))
,
Coulomb- & Biot-Savart-Gesetze
E(x, t) =
q2 [x − x2 (t)]
4πε0 |x − x2 (t)|3
,
j(x, t) = q2 ẋ2 (t)δ(x − x2 (t))
→
B(x, t) =
q2 ẋ2 (t) × [x − x2 (t)]
4πε0 c 2 |x − x2 (t)|3
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.3 Elektromagnetische Wellen und der statische Grenzfall
Wechselwirkung geladener nicht-relativistischer Teilchen
Wechselwirkung geladener nicht-relativistischer Teilchen
Auf Teilchen 1 wirkt im statischen Grenzfall:
I elektrische Kraft:
q1 E (x1 , t) =
I magnetische Kraft:
q1 ẋ1 × B(x1 , t) =
q1 q2 x12 (t)
4πε0 |x12 (t)|3
q1 q2 ẋ1 (t) × [ẋ2 (t) × x12 (t)]
4πε0
c 2 |x12 (t)|3
Analog wirken auf Teilchen 2:
q2 E(x2 , t) =
q1 q2 x21 (t)
4πε0 |x21 (t)|3
,
q2 ẋ2 ×B(x2 , t) =
q1 q2 ẋ2 (t) × [ẋ1 (t) × x21 (t)]
4πε0
c 2 |x21 (t)|3
Fazit: Magnetische Kräfte
I erfüllen das dritte Newton’sche Gesetz nicht
I sind sehr klein, von Ordnung β1 β2 mit β1 ≡ |ẋ1 | und β2 ≡ |ẋ2 |
c
c
I sind daher meist eine meist vernachlässigbare relativistische Korrektur
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.3 Elektromagnetische Wellen und der statische Grenzfall
Wechselwirkung geladener nicht-relativistischer Teilchen
Wechselwirkung geladener nicht-relativistischer Teilchen
Untersuche nun:
magnetische Wechselwirkung eines einzelnen Teilchens mit
makroskopisch vielen anderen geladenen Teilchen
Beispiel:
Draht oder Kabel (stromtragend, metallisch, möglicherweise geladen)
I Nur Leitungselektronen → Strom; Metallionen fest im Kristallgitter
eingebunden
I Evtl. Ladungsdichte ρ(x, t) → makroskopisches elektrisches Feld
I Makroskopischer Strom der Elektronen → makroskopische Stromdichte
j(x, t)
I Makroskopische Stromdichte j(x, t) → makroskopisches Magnetfeld:
I Pro Elektron magnetischer Effekt von O(β1 β2 )
I Makroskopisch viele Elektronen, N = O(1023 )
⇒ magnetische Effekte von O(Nβ1 β2 )
⇒ Magnetismus auch in der nicht-relativistischen Welt möglich!
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.4 Elektromagnetische Potentiale
Existenz elektromagnetischer Potentiale
2.4 Elektromagnetische Potentiale
Maxwell-Gln. II + III →
(E, B) mit Potentialen (Φ, A) darstellbar!
E = −∇Φ −
∂A
∂t
B=∇×A
,
denn:
⇔
(∇ · B = 0)
I Maxwell-Gleichung II
Z
B = ∇ × dx0
(∇ × B)(x0 , t)
4π |x − x0 |
→
B=∇×A
I Einsetzen von B = ∇ × A in Maxwell-Gleichung III
∇× E+
∂A
∂t
=0
Generell:
⇒
∇×e=0
Z
∇×e=0
⇔
e = −∇ dx0
(∇ × E +
e≡E+
,
(∇ · e)(x0 , t)
4π |x − x0 |
→
∂B
∂t
= 0)
∂A
∂t
e = −∇Φ
1
[Beweis: verwende Identität ∆ − 4πx
= δ(x)]
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.4 Elektromagnetische Potentiale
Helmholtz’scher Satz
Verallgemeinerung für allgemeine Vektorfelder a(x, t)
Satz (Helmholtz 1858, Stokes 1849)
a(x, t) differenzierbar/integrierbar, für |x| → ∞ genügend schnell abfallend
Z
Z
0
0
(∇
·
a)(x
,
t)
0 (∇ × a)(x , t)
a(x, t) = −∇ dx0
+
∇
×
dx
4π |x − x0 |
4π |x − x0 |
Beweis? Z
(∂j0 aj )(x0 )
dx0
+ εijk ∂j εklm
4π|x − x0 |
?
ai (x) = −∂i
Z
= −∂i ∂j
Lemma:
(∂l0 am )(x0 )
4π|x − x0 |
0
= +∂i
=
dx0
aj (x0 ) 0 1
dx
∂j
−(δil δjm − δim δjl )∂j
4π
|x − x0 |
Z
Z
Z
aj (x0 )
dx0
+∂j ∂i
4π|x − x0 |
Å
1
dx ai (x )∆ −
4π|x − x0 |
0
∂j0
Z
ã
0
1
1
= −∂j
0
|x − x |
|x − x0 |
Z
∂i ≡
Z
=
∂
∂
, ∂i0 ≡
∂xi
∂xi0
am (x0 ) 0 1
dx
∂l
4π
|x − x0 |
0
aj (x0 )
dx0
− ∂j ∂j
4π|x − x0 |
Z
dx0
ai (x0 )
4π|x − x0 |
!
dx0 ai (x0 )δ(x − x0 ) = ai (x)
und
1
∆ −
4πx
= δ(x)
⇒
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.4 Elektromagnetische Potentiale
Eichungen
Eichungen
(A, Φ) nicht eindeutig durch (E, B) bestimmt!
Äquivalente Potentiale?
e =A−
A
1
∇Λ
c
,
1 ∂Λ
c ∂t
e =Φ+
Φ
denn:
e !
? e
e − ∂A =
E=E
= −∇Φ
E
∂t
!
? e
e=
B=B
=∇×A
B
,
Bemerkungen:
∧
I Eichinvarianz = Gesetz der Ladungserhaltung
I Oft vorteilhaft:
I Beispiele:
Zusatzbedingung an (A, Φ)
( Eichung“)
”
Coulomb-Eichung, Lorenz-Eichung, ...
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.4 Elektromagnetische Potentiale
Coulomb-Eichung
Beispiel: Coulomb-Eichung (Transversalitätsbedingung)
Zusatzbedingung an (A, Φ) :
∇ · A(x, t) = 0
[Vorteil z. B. bei Fourier-Entwicklung: k · A(k, t) = 0]
Coulomb-Eichung lässt sich immer realisieren!
Z
∇ · Ã 6= 0
⇒
⇒
χ(x, t) = −
definiere
Die neuen Potentiale
A ≡ Ã − c1 ∇χ
I Transversalitätsbedingung ∇ · A = 0
,
c
4π
dx0
(∇ · Ã)(x0 , t)
|x − x0 |
Φ ≡ Φ̃ +
1 ∂χ
c ∂t
erfüllen:
[ verwende ∆ x1 = −4πδ(x) ]
I Poisson-Gleichung ∆Φ = − 1 ρ(x, t)
ε
0
Fordere Φ(x, t) → 0 für |x| → ∞ !
1
Φ(x, t) =
4πε0
Z
ρ(x0 , t)
dx
|x − x0 |
0
(instantanes Coulomb-Potential)
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.5 Sind die Maxwell-Gleichungen Galilei-kovariant?
Transformationsverhalten von Ableitungen
2.5 Sind die Maxwell-Gleichungen Galilei-kovariant?
Lorentz’sche Bewegungsgleichung invariant unter
x0 = σR(α)−1 (x − vα t − ξα )
falls:
,
t0 = t − τ
E0 (x0 , t 0 ) = σR(α)−1 [E(x, t) + vα × B(x, t)]
B0 (x0 , t 0 ) = R(α)−1 B(x, t)
Zu untersuchen:
Ableitungen:
Kovarianz der Maxwell-Gleichungen?
[ x(x0 , t 0 ) = σR(α)x0 + vα (t 0 + τ ) + ξα , t(x0 , t 0 ) = t 0 + τ ]
∂
∂xj ∂
∂
∂t ∂
∂
=
+
= σ [R(α)]ji
= σ R(α)−1 ij
0
0
0
∂xi
∂xi ∂xj
∂xi ∂t
∂xj
∂xj
Daher:
∇0 = σR(α)−1 ∇
und
∂xj ∂
∂
∂t ∂
∂
=
v
·
∇
+
=
+
α
∂t 0
∂t 0 ∂xj
∂t 0 ∂t
∂t
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.5 Sind die Maxwell-Gleichungen Galilei-kovariant?
Kovarianz der homogenen Maxwell-Gleichungen
Kovarianz der homogenen Maxwell-Gleichungen
Bisherige Ergebnisse:
E0 = σR(α)−1 [E + vα × B]
B0 = R(α)−1 B
∇0 = σR(α)−1 ∇
∂
∂t 0
= vα · ∇ +
∂
∂t
Homogene Maxwell-Gleichungen:
?
!
0 = ∇0 · B0 = σR(α)−1 ∇ · R(α)−1 B = σ∇ · B = 0
∂B0
? 0
0
−1
−1
0=∇ ×E +
=
σR(α)
∇
×
σR(α)
[E(x,
t)
+
v
×
B(x,
t)]
α
∂t 0
∂B
+ R(α)−1 0
∂t
n
o
∂B
−1
= R(α)
∇ × [E(x, t) + vα × B(x, t)] +
+ (vα · ∇)B
∂t
h
i
∂B
!
−1
= R(α)
∇×E+
= R(α)−1 0 = 0
∂t
mit:
∇ × (vα × B) = (∇ · B) vα − (vα · ∇) B = − (vα · ∇) B
Fazit: homogene Maxwell-Gleichungen mit Galilei-Kovarianz verträglich!
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.5 Sind die Maxwell-Gleichungen Galilei-kovariant?
Transformationsverhalten der Ladungen und Strömen
Transformationsverhalten der Ladungen und Strömen
Quellen ρ und j:
ρ≡
X
qi δ(x − xi (t))
j≡
,
X
i
qi ẋi (t)δ(x − xi (t))
i
1
| det(A)|
Rechenregel: δ(Ax + b) =
−1
δ(x + A
b)
⇒
δ(x01 − x02 ) = δ σR(α)−1 (x1 − x2 ) = δ(x1 − x2 )
Konsequenzen:
ρ (x , t ) =
X
j0 (x0 , t 0 ) =
X
0
0
0
0
qi δ x −
x0i (t 0 )
i
=
X
qi δ x − xi (t) = ρ(x, t)
i
qi ẋ0i (t 0 ) δ x0 − x0i (t 0 ) =
i
= σR(α)
ñ
X
−1
X
i
= σR(α)
ô
qi ẋi (t) δ x − xi (t) − vα
i
−1
qi σR(α)−1 [ẋi (t) − vα ] δ x − xi (t)
X
qi δ x − xi (t)
i
[ j(x, t) − vα ρ(x, t) ]
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.5 Sind die Maxwell-Gleichungen Galilei-kovariant?
Kontinuitätsgleichung erfüllt?
Kontinuitätsgleichung erfüllt?
Kurz:
ρ0 = ρ
,
j0 = σR(α)−1 (j − vα ρ)
Orthogonale Transformation (vα = 0 , ξα = 0) ⇒
®
ρ Skalar
j echter Vektor
Kontinuitätsgleichung:
? ∂ρ0
0=
+ ∇0 · j0 =
0
∂t
∂
+ vα · ∇ ρ + σR(α)−1 ∇ · σR(α)−1 (j − vα ρ)
∂t
∂ρ
=
+ vα · (∇ρ) + ∇ · j − vα · (∇ρ)
∂t
∂ρ
!
=
+∇·j=0
∂t
Fazit:
Konzept von
®
LadungsStrom-
´
dichten an sich mit Galilei-Kovarianz verträglich!
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.5 Sind die Maxwell-Gleichungen Galilei-kovariant?
Kovarianz der inhomogenen Maxwell-Gleichungen?
Kovarianz der inhomogenen Maxwell-Gleichungen?
Transformation der inhomogenen Maxwell-Gleichungen:
1 0 ? 0 0 ρ = ∇ · E = σR(α)−1 ∇ · σR(α)−1 (E + vα × B)
ε0
= ∇ · (E + vα × B) = ∇ · E − vα · (∇ × B)
=
! 1
1
ρ − vα · (∇ × B) 6= ρ0
ε0
ε0
und:
∂E0
? 0
0
µ0 j = ∇ × B − ε0 µ0 0 = σR −1 ∇ × R −1 B
∂t
∂
−1
− ε0 µ0 σR
+ vα · ∇ (E + vα × B)
∂t
h
i
∂
−1
= σR
∇ × B − ε0 µ 0
+ vα · ∇ (E + vα × B)
∂t
n
h
io
∂B
−1
= σR
µ0 j − ε0 µ0 vα ×
+ (vα · ∇)E + (vα · ∇)(vα × B)
∂t
0
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
2.5 Sind die Maxwell-Gleichungen Galilei-kovariant?
Kovarianz der inhomogenen Maxwell-Gleichungen?
Kovarianz der inhomogenen Maxwell-Gleichungen?
Transformation der inhomogenen Maxwell-Gleichungen:
! 1
1 0 ? 0 0
1
ρ = ∇ · E = ρ − vα · (∇ × B) 6= ρ0
ε0
ε0
ε0
und
ß
[ verwende j = σR(α)j0 + vα ρ ]
ï
∂E0
∂B
? 0
0
µ0 j = ∇ × B − ε0 µ0 0 = σR −1 µ0 j − ε0 µ0 vα ×
+
∂t
∂t
0
ï
= µ0 j0 + ε0 µ0 σR −1
ò™
+(vα · ∇)E + (vα · ∇)(vα × B)
1
vα ρ + vα × (∇ × E)
ò
ε0
!
− (vα · ∇)E − (vα · ∇)(vα × B) 6= µ0 j0
Fazit: Inhomogene Maxwell-Gleichungen unverträglich mit Galilei-Kovarianz!
Gesucht: Konstruktion einer einheitlichen Theorie von Teilchen und Feldern
Gefunden: Spezielle Relativitätstheorie! (S. Theorie 1, Kapitel 5)
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
Anhang
SI-Einheiten
SI-Einheiten
Dielektrizitätskonstante des Vakuums:
ε0 ≡
1
µ0 c 2
Permeabilität des Vakuums:
kg m
A2 s2
µ0 ≡ 4π × 10−7
Lichtgeschwindigkeit:
c ≡ 299 792 458 m/s
»µ
0
Wellenwiderstand“ des Vakuums:
”
ε0
' 376, 73 Ω
Basisgesetze der Statik
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
Anhang
Funktionen mehrerer Variabler - ein Beispiel
Funktionen mehrerer Variabler - ein Beispiel
Funktionen von Funktionen mehrerer Variabler:
x ∈ Rk
,
f = (f1 , f2 , . . . , fm ) : Rk → Rm
,
(g ◦f)(x) ≡ g (f(x))
g : Rm → R
Physikalisches Beispiel mit k = 4 und m = 6?
!
I Wähle x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (xOrt , t)
I Wähle
f = (f1 , f2 ) mit f1 ≡ E , f2 ≡ cB
I Wähle
g (f) = 12 ε0 f 2 = 12 ε0 (f12 + f22 )
⇒
g (f) = 12 ε0 (E2 + c 2 B2 ) ≡ ρE
PDGl.:
I Weitere Beispiele?
(Energiedichte)
∂ρE
+ ∇ · S = −E · j
∂t
g (f) =
f12
−
f22
(Leistungsdichte)
Å
oder g (f) = f1 · f2
Physikalisches Beispiel mit k = 4, m = 6 und g : Rm → Rn ?
1
1
g(f) =
f1 × f2 =
E×B≡S
cµ0
µ0
Å
LorentzInvarianten
!!!!
Poynting-Vektor
Energiestromdichte
ã
ã
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
Anhang
Herleitung der Kettenregel
Herleitung der Kettenregel“ für m = 1
”
Standardkettenregel:
f=f ∈R , x=x ∈R
(g ◦f )0 (x) = lim
=
1
h→0 h
lim 1
h→0 h
[(g ◦f )(x + h) − (g ◦f )(x)] = lim
1
h→0 h
= lim
zurück zum Haupttext
1
h→0 h
g (f (x) + hf 0 (x)) − g (f (x))
[g (f (x + h)) − g (f (x))]
g (f (x)) + hg 0 (f (x))f 0 (x) − g (f (x))
Verallgemeinerung (x ∈ Rk ):
= g 0 (f (x))f 0 (x)
[∂x1 (g ◦f )] (x) = g 0 (f (x))(∂x1 f )(x)
x = (x1 , x2 , . . . xk ) = (x1 , x>1 ) mit x>1 ≡ (x2 , . . . xk )
f (x1 + h, x2 , . . . xk ) − f (x)
f (x1 + h, x>1 ) − f (x)
(∂x1 f )(x) = lim
= lim
h→0
h→0
h
h
f = f ∈ R , x = (x1 , x2 , . . . xk ) ∈ Rk
Herleitung der Kettenregel für m = 1!
Partielle Ableitung:
1
h
h→0
[∂x1 (g ◦f )] (x) = lim
[(g ◦f )(x1 + h, x>1 ) − (g ◦f )(x)]
1
h
h→0
[g (f (x1 + h, x>1 )) − g (f (x))] = lim
1
h→0 h
= lim
= lim
1
h
h→0
[g (f (x) + h(∂x1 f )(x)) − g (f (x))]
g (f (x)) + hg 0 (f (x))(∂x1 f )(x) − g (f (x))
= g 0 (f (x))(∂x1 f )(x)
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
Anhang
Herleitung der Kettenregel
Herleitung der Kettenregel“ für m = 2
” f = (f , f , . . . , f ) : Rk → Rm ,
Kettenregel:
1
(g ◦f)(x) ≡ g (f(x))
Daher für m = 2:
2
⇒
m
[∂x1 (g ◦f)] (x) =
Pm
l=1
g : Rm → R
(∂fl g )(f(x))(∂x1 fl )(x)
f = (f1 , f2 ) ∈ R2
I fl (x1 + h, x>1 ) = fl (x) + h(∂x1 fl )(x) + O(h2 )
I g (f1 + h0 , f2 ) = g (f) + h0 (∂f1 g )(f) + O(h02 )
(l = 1, 2)
[ analog für g (f1 , f2 + h0 ) ]
I g (f1 (x), f2 (x) + h0 ) = g (f(x)) + h0 (∂f2 g )(f(x)) + O(h02 )
I g (f1 (x), f2 (x) + h(∂x1 f2 )(x)) ∼ g (f(x)) + h(∂x1 f2 )(x)(∂f2 g )(f(x)) + O(h2 )
Herleitung der Kettenregel für [∂x1 (g ◦f)] (x) !
1
h
[(g ◦f)(x1 + h, x>1 ) − (g ◦f)(x)] =
1
h
zurück zum Haupttext
[g (f1 (x1 + h, x>1 ), f2 (x1 + h, x>1 ))
−g (f1 (x), f2 (x1 + h, x>1 )) + g (f1 (x), f2 (x1 + h, x>1 )) − g (f(x))]
∼
1
h
[h(∂x1 f1 )(x)(∂f1 g )(f1 (x), f2 (x1 + h, x>1 )) + h(∂x1 f2 )(x)(∂f2 g )(f(x))]
∼ (∂x1 f1 )(x)(∂f1 g )(f(x)) + (∂x1 f2 )(x)(∂f2 g )(f(x))
(h → 0)
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
Anhang
Herleitung der Kettenregel
Verallgemeinerung für m ∈ N
Analog:
f = (f1 , . . . , fm ) = (f<l , fl , f>l )
f<l ≡ (f1 , . . . , fl−1 ) , etc.
mit
I fl (x1 + h, x>1 ) = fl (x) + h(∂x1 fl )(x) + O(h2 )
I g (f<l , fl + h0 , f>l ) = g (f) + h0 (∂fl g )(f) + O(h02 )
I g (f<l (x), fl (x) + h0 , f>l (x)) = g (f(x)) + h0 (∂fl g )(f(x)) + O(h02 )
I g (f<l (x), fl (x) + h(∂x1 fl )(x), f>l (x)) ∼ g (f(x)) + h(∂x1 fl )(x)(∂fl g )(f(x))
Herleitung der Kettenregel für [∂x1 (g ◦f)] (x):
1
h
(g ◦f)(x1 + h, x>1 ) − (g ◦f)(x)] =
1
[g (f(x1
h
+ h, x>1 )) − g (f1 (x), f>1 (x1 + h, x>1 ))
+ g (f1 (x), f≥2 (x1 + h, x>1 )) − g (f≤2 (x), f>2 (x1 + h, x>1 ))
..
..
.
−
.
+g (f<m (x), fm (x1 + h, x>1 )) − g (f(x))
∼
1
h
∼
Pm
h (∂x1 fl )(x)(∂fl g )(f(x)) + h (∂x1 fl )(x)(∂fl g )(f(x)) + · · · + h (∂x1 fl )(x)(∂fl g )(f(x))
l=1
(∂fl g )(f(x))(∂x1 fl )(x)
(h → 0)
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
Anhang
Zum Satz von Gauß für orientierte Volumina
Zum Satz von Gauß für orientierte Volumina
Parametrisierung der Seitenflächen?
I Fläche 1:
I Fläche 2:
I Fläche 3:
I Fläche 4?
I Fläche 5:
I Fläche 6:
x(v) = x(u1 + b1 − a2 , a2 , u2 ) ≡ x̄(u)
x(v) = x(b1 , u1 , u2 ) ≡ x̄(u)
x(v) = x(−u1 + b2 + b1 , b2 , u2 ) ≡ x̄(u)
x(v) = x(a1 , 2b2 + b1 − a1 − u1 , u2 ) ≡ x̄(u)
x(v) = x(u2 + b1 − a3 , u1 , a3 ) ≡ x̄(u)
x(v) = x(−u2 + b1 + b3 , u1 , b3 ) ≡ x̄(u)
u2
R+ ⊂ R2
b3 + b1 − a1
b3
2
6
3
b2
4
a3 5
a1
v∈
6
b3
1
a2
b1
Q3
i=1 [ai , bi ]
≡ Q+
a3
a3 − b1 + a1
1
2
5
a2
a2 + a1 − b1
3
4
u1
b2
2b2 + b1 − a2 − a1
b2 + b1 − a1
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
Anhang
Zum Satz von Gauß für orientierte Volumina
Zum Satz von Gauß für orientierte Volumina
I Fläche 2:
x(v) = x(b1 , u1 , u2 ) = x̄(u)
I Fläche 4:
x(v) = x(a1 , 2b2 + b1 − a1 − u1 , u2 ) = x̄(u)
Ä
Beiträge der Flächen 2 & 4:
Zb2
Z
dS · f =
2+4
a2
Z
du1
du2
a3
Zb2
Zb3
dv2
dv3
a2
a3
Zb1
Zb2
=
dv1
a1
∂x
∂x
×
∂v2
∂v3
ßh
Zb3
·f −
dv2
a2
∂x
∂x
×
∂v2
∂v3
∂
dv3
∂v1
h
Zb3
Z
du1
du2
b2 +b1 −a1
a2
=
a3
2b2 +b1 −a2 −a1
b3
Z
du2 (t1 × t2 ) · f
du1
b2 +b1 −a1
a3
b2
Zb3
Z
du2 (t1 × t2 ) · f +
du1
=
ti =
2b2 +b1 −a2 −a1
Zb3
·f
ä
∂x̄
∂ui
i
−
·f
∂x
∂x
×
∂v2
∂v3
·f
a3
h
v1 =b1
∂x
∂x
×
∂v2
∂v3
∂x
∂x
×
∂v2
∂v3
i
·f
™
i
v1 =a1
Beweis von Gauß“
”
a3
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
Anhang
Zum Satz von Gauß für orientierte Volumina
Zum Satz von Gauß für orientierte Volumina
I Fläche 1:
x(v) = x(u1 + b1 − a2 , a2 , u2 ) = x̄(u)
I Fläche 3:
x(v) = x(−u1 + b2 + b1 , b2 , u2 ) = x̄(u)
Beiträge der Flächen 1 & 3:
Za2
Z
dS · f =
1+3
a2 +a1 −b1
du2
dv1
dv3
a1
a3
Zb1
Zb2
=
dv1
a1
∂x
∂x
×
∂v1
∂v3
·f −
du1
du2
b2
ßh
Zb3
dv2
a2
Zb3
Z
a3
Zb3
Zb1
=
b2 +b1 −a1
Zb3
du1
(analog)
a3
∂x
∂x
×
∂v1
∂v3
∂
dv3
∂v2
h
·f
∂x
∂x
×
∂v1
∂v3
·f
a3
i
−
h
v2 =a2
∂x
∂x
×
∂v3
∂v1
·f
i
∂x
∂x
×
∂v1
∂v3
·f
™
i
v2 =b2
Beweis von Gauß“
”
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
Anhang
Zum Satz von Gauß für orientierte Volumina
Zum Satz von Gauß für orientierte Volumina
I Fläche 5:
x(v) = x(u2 + b1 − a3 , u1 , a3 ) = x̄(u)
I Fläche 6:
x(v) = x(−u2 + b1 + b3 , u1 , b3 ) = x̄(u)
Beiträge der Flächen 5 & 6:
Zb2
Z
dS · f =
5+6
Za3
du1
du2
=
dv1
dv2
a1
a2
Zb1
Zb2
dv1
b3 +b1 −a1
Zb2
·f −
Z
du1
a2
Zb2
Zb1
a1
∂x
∂x
×
∂v2
∂v1
a3 −b1 +a1
a2
=
(analog)
ßh
Zb3
dv2
a2
dv3
∂x
∂x
×
∂v2
∂v1
∂
∂v3
h
·f
du2
∂x
∂x
×
∂v2
∂v1
·f
b3
i
h
−
v3 =a3
∂x
∂x
×
∂v1
∂v2
·f
∂x
∂x
×
∂v2
∂v1
i
·f
™
i
v3 =b3
Beweis von Gauß“
”
a3
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
Anhang
Beweis der Ladungserhaltung
Beweis der Ladungserhaltung
Inhomogene Maxwell-Gleichungen:
I.
∇·E=
1
ρ
ε0
IV.
Kontinuitätsgleichung:
∂
? ∂ρ
+∇·j=
ε0 ∇ · E + ∇ ·
0=
∂t
∂t
Ladung:
q(t) ≡
dq
=
dt
Fazit:
R
∂ρ
dx
=−
∂t
3
R
Ladungserhaltung!
ã
=0
Satz von Gauß →
Z
Z
dx ∇ · j = −
R3
∂E
= µ0 j
∂t
1
∂E
∇ × B − ε0
µ0
∂t
⇒
dx ρ(x, t)
Z
Å
∇ × B − ε 0 µ0
dS · j = 0
∂R3
Allgemeine Eigenschaften
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
Anhang
Maxwell-Gleichungen im Vakuum
Warum im Vakuum“?
”
Maxwell-Gleichungen im Vakuum“ ?
1 ”
∇·E=
I.
ε0
∂B
∂t
∇×E+
III.
II.
ρ
=0
IV.
⇒
. . . beschreiben Punktteilchen
ρ(x, t) ≡
X
qi δ(x − xi (t))
,
∇·B=0
= µ0 j
∇ × B − ε0 µ0 ∂E
∂t
Quellen ρ und j ?
j(x, t) ≡
X
i
i
Dirac’sche Deltafunktion:
R
dx0
f (x0 )δ(x0
− x) = f (x)
Definition der 1-dimensionalen Deltafunktion δ(x)?
Z
qi ẋi (t)δ(x − xi (t))
,
δ(ξ) = δ(ξ1 )δ(ξ2 )δ(ξ3 )
verallgemeinerte Funktion
Distribution
∞
dx f (x) δ(x − a) = f (a)
[ a ∈ R , f (x) genügend glatt ]
−∞
Insbesondere:
R
dx f (x) δ(x) = f (0)
und
R a+ε
a−ε
dx δ(x − a) = 1
(ε > 0)
Mögliche Konstruktion der 1-dimensionalen Deltafunktion?
!
1
∆n (x) ≡ n θ( 2n
− |x|) ⇒
lim ∆n (x) = δ(x)
n→∞
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
Anhang
Maxwell-Gleichungen im Vakuum
Warum im Vakuum“?
”
Zur Konstruktion der 1-dimensionalen Deltafunktion:
?
f (0) =
1
∆n (x) ≡ n θ( 2n
− |x|)
1/2n
1
!
dx f (x) = lim n f (0) = f (0)
dx f (x) lim ∆n (x) = lim n
n→∞
n→∞
n→∞ n
−1/2n
Z
Z
Wirkung der 3-dimensionalen Deltafunktion δ(ξ) = δ(ξ1 )δ(ξ2 )δ(ξ3 )?
Z
Z
dx f (x) δ(x − a) =
R3
=
Z
Z
Z
dx1 dx2 dx3 f (x1 , x2 , x3 ) δ(x1 − a1 )δ(x2 − a2 )δ(x3 − a3 )
Z
Z
dx1 dx2 f (x1 , x2 , a3 ) δ(x1 − a1 )δ(x2 − a2 ) =
dx1 f (x1 , a2 , a3 ) δ(x1 − a1 ) = f (a)
Quellen ρ und j :
ρ(x, t) ≡
Konsistenz:
X
qi δ(x − xi (t))
i
,
j(x, t) ≡
X
i
qi ẋi (t)δ(x − xi (t))
Allgemeine Eigenschaften
∂ X
? ∂ρ
0=
+∇·j=
qi δ(x − xi (t)) + ∇ · j
∂t
∂t
=
X
i
qi
3 h
X
l=1
i
∂
−ẋil (t)
δ(x − xi (t)) + ∇ · j = −∇ · j + ∇ · j = 0
∂xl
i
Mathematische Rechenmethoden 2: Handout
Anhang
Maxwell-Gleichungen im Vakuum
Magnetische Monopole
Maxwell-Gleichungen im Vakuum“ mit magnetischen Ladungen/Strömen?
”
I. ∇ · E = ε10 ρe
II. ∇ · B = ρm
III.
∇×E+
∂B
= −jm
∂t
IV.
∇ × B − ε 0 µ0
∂E
= µ0 je
∂t
Maxwell-Gleichung II
Ladungserhaltung:
∂
∂B
∂ρm
+ ∇ · jm =
∇ · B + ∇ · −∇ × E −
=0
∂t
∂t
∂t
Dirac (1931): Streuung einer elektrischen Ladung qe am Feld einer magnee qm
=n∈Z ⇒
tischen Ladung qm 6= 0 → Konsistenzbedingung q2π~
Konsequenzen?
I Quantisierung der elektrischen Ladung: qe = n 2π~
q
m
qe = |e| , n = n1 ⇒ qm = n1 2π~
|e|
magnetische Feinstrukturkonstante:
I Streuung einer Elementarladung:
αm
2
(n1 )2 4πε0 ~c
(n1 )2
qm
=
=
1
≡
4
e2
4αe
4πµ0 ~c
⇒