Brüche - Kürzen

Brüche - Kürzen - (g. g. T.)
Kürzen von Brüchen
Warum kürzt man Brüche überhaupt? Das Kürzen von Brüchen hat das Ziel, dass
unterschiedliche Brüche/Verhältnisse mit hohen Zahlen, durch eine gemeinsame Zahl
dividiert werden ( diesen nennt man gemeinsamen Teiler). Hierbei sind der Zähler und der
Nenner eines einzelnen Bruchs zu betrachten.
Beispiel:
3 3(:3) 3 : 3 1
=
=
=
6
6
6:3 2
2 2(:2 ) 2 : 2 1
=
=
=
8
8
8: 2 4
6 6(:2 ) 6 : 2 3
=
=
=
4
4:2 2
4
Hier ist aufgeführt, wie das Kürzen von einzelnen Brüchen durchgeführt wird. Nur der Zähler
und der dazugehörige Nenner werden gekürzt. Zähler und Nenner wurden somit, um den in
Klammern gesetzten Wert/Zahl dividiert. Dieser Schritt hat keine Änderung des Wertes des
Bruchs zur Folge: niemals in der Addition oder Subtraktion über Kreuz kürzen. Im
unteren Beispiel siehst du, was man nicht tun sollte, wenn man Brüche kürzen möchte.
Beispiel:
4 1 4(:2 ) 1 4 : 2
1
+ =
+ =
+
= ...
3 2
3
2
3
2:2
4 3 4 3(:3)
4
3:3
+ = +
=
+
= ...
6:3 5
6 5 6 5
1 6 1 6(:3)
1
6:3
− = −
=
−
= ...
9 5 9 5
9:3 5
Wie bereits bekannt sein sollte, geht Punktrechnung, worunter die Bruchrechnung fällt, vor
Strichrechnung ( der Bruchstrich gilt als Divisionszeichen ÷). Der obere Punkt steht für den
Zähler, der untere für den Nenner und in der Mitte ist der Bruchstrich; siehe auch
Taschenrechner.
Merke: Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen, oder die, die es können!
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g. g. T. (größter gemeinsamer Teiler)
Beim größten gemeinsamen Teiler, kurz g. g. T., werden der Zähler und der Nenner eines
jeweiligen Bruchs betrachtet. Hierbei würden, je größer die Zahlen sind, auch mehrere Teiler
möglich sein. Da aber nur die größte Zahl, als Teiler infrage kommt, erübrigen sich alle
kleineren Teilerzahlen. Auch hier ist bei Addition oder Subtraktion zu beachten, nicht über
Kreuz zu kürzen. Bei den Rechenarten Multiplikation und Division, ergibt das Kürzen sogar
noch mehr Sinn, denn da muss man sich keine Gedanken, um Summen oder Differenzen
machen.
Beispiel:
30 30(:10) 30 :10 3
=
=
=
20
20
20 :10 2
32 32(:8) 32 : 8 4
=
=
=
24
24
24 : 8 3
10 10(:5) 10 : 5 2
=
=
=
15
15
15 : 5 3
Bei den obigen Beispielen haben wir jeweils die höchste Zahl zum Teilen gesucht, und somit
auch gefunden. Denn, bei näherer Betrachtung gibt es, wie z. B. beim ersten Bruch, mehrere
Möglichkeiten, als nur mit 10 zu dividieren. Hier könnte man ebenfalls mit 2 oder 5 kürzen.
Da wir aber unter der Rubrik den g. g. T. suchen, ist ausschließlich die 10 der einzig infrage
kommende Teiler. Und diese Teilerregel wird auch bei den anderen zwei Brüchen
angewendet. Sollten Brüche sehr kleine Zahlen beinhalten oder sollte sich nur eine
Möglichkeit ergeben zu teilen, dann ist dieser Teiler gleichzeitig der größte gemeinsame
Teiler. Weitere Regeln für das Teilen von Brüchen, siehe nachfolgend.
Die Teilbarkeitsregeln
Hier wollen wir die Teilbarkeitsregeln, die nicht nur für Brüche gelten, näher erläutern.
•
Eine Zahl lässt sich in Teiler und Partnerteiler zerlegen.
Beispiel:




Teiler und Partnerteiler von 12: 1; 2;3; 4;6;12 
1 · 12 = 12 ; 2 · 6 = 12 ; 3 · 4 = 12
•
Primzahlen sind Zahlen, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar sind.
Beispiel:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29…etc. (mehr dazu unter der Rubrik: Primzahlen)
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•
Allgemeine Teilermethode: Zerlegung der Zahl in eine „günstige“ Summe unter
Prüfung der einzelnen Summanden auf Teilbarkeit.
Nachfolgend sind die wichtigsten Endstellenregeln aufgeführt.
Eine Zahl ist teilbar durch:
•
•
•
•
•
2, wenn die letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 ist.
4, wenn die Zahl aus den beiden letzten Ziffern durch 4 teilbar ist.
5, wenn die letzte Ziffer 0 oder 5 ist.
10, wenn die letzte Ziffer 0 ist.
25, wenn die Zahl aus den beiden letzten Ziffern durch 25 teilbar ist.
Die Quersummenregeln lauten (Quersumme = Summe aller Ziffern).
Beispiel:
27
2 + 7 = 9 (Quersumme = 9, ein Teiler für 9 ist z. B. 3)
57
5 + 7 = 12 (Quersumme = 12, ein Teiler für 12 ist z. B. 3)
Eine Zahl ist also teilbar durch:
•
•
3, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
9, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Merke: Niemals durch 0 teilen bzw. kürzen, denn dies ist n. l. (nicht lösbar).
Ebenfalls niemals mit 0 erweitern, denn dies ergibt wiederum 0.
Und 0 geteilt durch eine beliebige Zahl, ergibt ebenso 0.
Eine weitere Regel zum Kürzen von Brüchen ist der Vergleich des Zählers und des Nenners.
Beispiel:
24 24(:8) 24 : 8 3
=
=
=
16
16
16 : 8 2
Gerader Zähler
und Nenner!
14 14(:14) 14 :14 1
=
=
=
42
42
42 :14 3
21 21(:3) 21 : 3 7
=
=
=
15
15
15 : 3 5
Ungerader Zähler
und Nenner!
27 27 (:3) 27 : 3 9
=
=
=
33
33
33 : 3 11
12 12(:3) 12 : 3 4
=
=
=
15
15
15 : 3 5
Ein Vielfaches einer Primzahl
im Zähler und im Nenner!
35 35(:5) 35 : 5 7
=
=
=
15
15
15 : 5 3
10 10(:2) 10 : 2 5
=
=
=
2
2
2:2 1
Ein Vielfaches der
kleinsten Primzahl!
16 16(:2) 16 : 2 8
=
=
=
2
2
2:2 1
21 21(:7) 21 : 7 3
=
=
=
7
7
7:7 1
Ein Vielfaches einer
beliebigen Primzahl!
25 25(:5) 25 : 5 5
=
=
=
5
5
5:5 1
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Ein Bruch ist also kürzbar, wenn:
•
•
•
der Zähler und der Nenner entweder gerade oder ungerade Ziffern beinhalten oder ein
Vielfaches einer Primzahl sich im Zähler und Nenner befindet.
keine Primzahl enthalten ist, mit Ausnahme der 2 bzw. ein Vielfaches von 2 ( die
kleinste Primzahl).
die andere Zahl des Bruchs ein Vielfaches der im Bruch bereits enthaltenen Primzahl
ist.
Und zum Abschluss noch die wichtigste Sache zur Wiederholung:
Differenzen und Summen
kürzen nur die Dummen,
oder die,
die es können…!
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