Brüche kürzen Aufgabe Lösungscoach

BRÜCHE & DEZIMALZAHLEN | Rechnen mit Brüchen
Lösungscoach
Brüche kürzen
Aufgabe
Kürzen Sie so weit wie möglich:
36
=?
54
Lösungscoach
Durch Kürzen werden Brüche einfacher. Man kann damit schriftliche Divisionsaufgaben vereinfachen oder sich den Anteil besser vorstellen, der durch den Bruch beschrieben wird. Zum
512
Beispiel mag es auf den ersten Blick nicht klar sein, wie viel 1024
von 100 € sind, aber durch
512
Kürzen ergibt sich, dass der Anteil 1024 genau die Hälfte ist, also im Beispiel 50 €.
Das Rechnen mit Brüchen (z. B. bei der Addition und Multiplikation von Brüchen) geht
meistens wesentlich schneller und sicherer, wenn zuerst die beteiligten Brüche in gekürzter
Form vorliegen. Dazu braucht man die Teilbarkeitsregeln der natürlichen Zahlen. Ein Bruch
wird gekürzt, indem Zähler und Nenner durch dieselbe ganze Zahl geteilt werden1 . Zum Beispiel
3
sind 3 und 12 beide durch 3 teilbar: 3 = 1 · 3 und 12 = 4 · 3, deshalb lässt sich der Bruch
12
mit dem Faktor 3 kürzen:
1·3
1·3
1
3
=
=
= ;
12
4·3
4·3
4
man schreibt das auch so:
1
3
1
= .
12
4
4
Zur Lösung dieser Aufgabe werden abwechselnd zwei Schritte durchgeführt: man sucht einen
gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner2 , teilt sowohl Zähler als auch Nenner dann durch
diese Zahl, sucht dann vom neuen Zähler und Nenner wiederum einen Teiler, teilt wieder Zähler
und Nenner durch diese Zahl, und so weiter. Man ist fertig, wenn Zähler und Nenner keine
gemeinsamen Teiler (außer 1) mehr haben.
1
Der Bruch wird vollständig gekürzt, indem durch den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner
geteilt wird.
2
d. h. eine Zahl, durch die sowohl Zähler als auch Nenner des Bruches teilbar sind
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Strategie: Zähler und Nenner durch gemeinsame Teiler teilen
Gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner finden
Um geeignete Faktoren zu finden, gehen wir die gängigsten Zahlen durch und prüfen jeweils,
ob Zähler und Nenner beide durch sie teilbar sind, angefangen mit 2:
Der Zähler ist 36 und 36 ist durch 2 teilbar, weil die letzte Ziffer (6) durch 2 teilbar ist. Der
Nenner (54) ist aus demselben Grund durch 2 teilbar. Als ersten gemeinsamen Teiler nehmen
wir also die 2.
Zähler und Nenner durch gemeinsame Teiler teilen
Es gilt 36 : 2 = 18 und 54 : 2 = 27 (siehe "‘Division ganzer Zahlen"’), daher ist
18
36
54
27
=
18
.
27
Gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner finden
Der neue Zähler (18) ist und wieder durch 2 teilbar, aber nicht der neue Nenner (27). Deshalb
können wir nicht mehr weiter mit dem Faktor 2 kürzen und probieren als nächstes die 3. Der
Zähler (18) ist durch 3 teilbar, weil die Quersumme (1 + 8 = 9) durch 3 teilbar ist. Ebenso ist
der Nenner (27) durch 3 teilbar.
Zähler und Nenner durch gemeinsame Teiler teilen
Es ist 18 : 3 = 6 und 27 : 3 = 9, also
6
18
6
= .
27
9
9
Gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner finden
Zähler und Nenner (6 und 9) sind wieder beide durch 3 teilbar.
Zähler und Nenner durch gemeinsame Teiler teilen
Es ist 6 : 3 = 2 und 9 : 3 = 3, also
2
6
2
= .
9
3
3
Lösung:
36
2
=
54
3
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Bemerkung:
36
mit 18 kürzen, um auf 23 zu kommen. Dazu muss
Man kann auch direkt den Bruch 54
man entweder sehen, dass der Zähler 36 und der Nenner 54 beides Vielfache von 18 sind,
oder man kann die 18 als größten gemeinsamen Teiler (ggT) von 36 und 54 berechnen.
Das erfordert eine Zerlegung von 36 und 54 als Produkt möglichst kleiner Zahlen3 :
36 = 2 · 2 · 3 · 3 und 54 = 2 · 3 · 3 · 3.
Dann sieht man, dass einmal die 2 und zweimal die 3 als gemeinsame Faktoren auftreten,
d. h. der größte gemeinsame Teiler ist
2 · 3 · 3 = 18.
Somit können wir
2
36
54
3
3
36
mit 18 kürzen:
54
2
= .
3
Das ist die sogenannte Primfaktorzerlegung
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