Pflichtteil Klausur Nr. 2 - lehrer.uni
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2013-06-06 Klausur Nr. 2 Skalarprodukt, Ebenen und Geraden (Darstellungen und Lage zueinander) Pflichtteil keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersicht- VP liche Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem /2 Bleistift bringen Ihnen bis zu 2 Punkte. 1. Gegeben sind die Vektoren ⃗ und ⃗⃗⃗ mit ⃗ ( ) und ⃗⃗⃗ ( ). /3 a) Berechnen das Skalarprodukt der Vektoren ⃗ und ⃗⃗⃗ und vereinfachen Sie so weit wie möglich. b) Bestimmen Sie so, dass die Vektoren ⃗ und ⃗⃗⃗ linear abhängig sind. /4 2. Geben ist das Dreieck ABC mit A(2|1|1), B(5|5|2) und C(1|7|6). Zeigen Sie, dass es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt und berechnen Sie seinen Flächeninhalt. … bitte wenden! 2013-06-06 3. Gegeben ist die Ebene . mit Beschreiben Sie die Lage der Ebene 4. Gegeben ist die Ebene mit [⃗ VP im Koordinatensystem möglichst exakt. ( )] ( /3 . ) /6 a) Zeichnen Sie die Spurpunkte von in ein Koordinatensystem ein und verbinden Sie sie zu einem Dreieck. b) Erläutern Sie, wie man zeigt, dass mit nicht das von den Spurpunkten der Ebene ⃗ ( ) ( ) gebildete Dreieck schneidet. Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden. 2013-06-06 Klausur Nr. 2 Skalarprodukt, Ebenen und Geraden (Darstellungen und Lage zueinander) Erwartungshorizont Pflichtteil 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersicht- VP liche Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem /2 Bleistift bringen Ihnen bis zu 2 Punkte. 1. Gegeben sind die Vektoren ⃗ und ⃗⃗⃗ mit ⃗ ) und ⃗⃗⃗ ( /3 ( ). a) Berechnen das Skalarprodukt der Vektoren ⃗ und ⃗⃗⃗ und vereinfachen Sie so weit wie möglich. ⃗ ⃗⃗⃗ ( b) Bestimmen Sie ⃗ [1,5 VP] ) ( ) so, dass die Vektoren ⃗ und ⃗⃗⃗ linear abhängig sind. ⃗⃗⃗ gilt bei und für , also ist [1,5 VP] /4 2. Geben ist das Dreieck ABC mit A(2|1|1), B(5|5|2) und C(1|7|6). Zeigen Sie, dass es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt und berechnen Sie seinen Flächeninhalt. Rechtwinkligkeit: Wegen ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) und ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) gilt: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Also hat das Dreieck ABC einen rechten Winkel bei B. [2 VP] Flächeninhalt: |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | √ √ √ √ √( ) . Das Dreieck ABC hat den Flächeninhalt √ . (FE). [2 VP] … bitte wenden! 2013-06-06 3. Gegeben ist die Ebene . mit Beschreiben Sie die Lage der Ebene VP im Koordinatensystem möglichst exakt. Die Ebene steht senkrecht auf der x1x2-Ebene [1 VP] und beinhaltet die x3-Achse. [1 VP] /3 Außerdem bildet sie mit den anderen beiden Koordinatenachsen jeweils einen Winkel von 45°. 4. Gegeben ist die Ebene mit [⃗ [1 VP] ( )] ( . ) /6 a) Zeichnen Sie die Spurpunkte von in ein Koordinatensystem ein und verbinden Sie sie zu einem Dreieck. [0,5 VP] ( | | ) ( | | ) korrekt ( | | ) [1,5 VP] Restliche Zeichnung b) Erläutern Sie, wie man zeigt, dass mit nicht das von den Spurpunkten der Ebene ⃗ ( ) [1 VP] ( ) gebildete Dreieck schneidet. Für alle Punkte des Dreiecks S1S2S3 gilt: [1 VP] Durch Einsetzen der Koordinaten von von und auflösen nach von und in die Koordinatenform kann man den zum Schnittpunkt S gehörenden Parameterwert von Setzt man diesen in bestimmen. ein, erhält man den Ortsvektor von S. [1 VP] Da (mindestens) eine seiner Koordinaten außerhalb der oben angegebenen Intervalle liegt, ist S außerhalb des Dreiecks. [1 VP] Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden. 2013-06-06 Klausur Nr. 2 Skalarprodukt, Ebenen und Geraden (Darstellungen und Lage zueinander) Wahlteil Verwendung des GTR ist gestattet, bitte alle Lösungen auf den Doppelbogen. Name: VP 5. Für die Bundesgartenschau in Koblenz wurde die größte Seilbahn Deutschlands vom Deutschen Eck zur Festung Ehrenbreitstein errichtet. Bis / 13 Ende 2013 kann man noch in einer der 18 Kabinen die 890m lange Fahrt über den Rhein zurücklegen und dabei etwa 120 Höhenmeter überwinden. Die Seile lassen sich auf einer Teilstrecke durch Geradenabschnitte modellieren. Für die Bergfahrt begrenzen die Punkte K1(-10|10|7) und E1(-60|70|18) diesen Abschnitt, für die Talfahrt die Punkte E2(-62|70|18) und K2(-12|10|7). Die Spur des abgebildeten Containerschiffs auf dem Rhein ergibt sich im gleichen Koordinatensystem, es entsprechen einer Längeneinheit 10m in der Realität: ⃗ ( ) ( ) Bestimmen Sie die Gleichungen für die Geradenabschnitte beider Seile. Woran können Sie erkennen, dass das Schiff rheinabwärts fährt? Welchen Winkel schließen die Kabinenhalterung und eines der Seile ein? In welchem Abstand verlaufen die Seile der Bahn zueinander? Berechnen Sie den Abstand des Bergfahrtseils von der Spur des Schiffes, wenn sich die Kabine direkt über der Schiffsspur befindet. Welchen Mindestabstand haben daher der Boden der Seilbahnkabine und das Dach des Schiffsteuerstands, falls sie sich direkt übereinander befinden? Schätzen Sie sinnvoll! Viel Erfolg! Notenschlüssel siehe Erwartungshorizont siehe http://www.hoeger.org Schule Notengebung http://www.hoeger.org/M11/m11_4_1213_skalarprodukt-ebenen-geraden.pdf Rückgabe am 12. Juni 2013 Note: mündlich: Arithmetisches Mittel: von 31 VP 2013-06-06 Erwartungshorizont Wahlteil Bergfahrt: ⃗ ( ) ( ) [1 VP] Talfahrt: ⃗ ( ) ( ) [1 VP] Das Schiff fährt flussabwärts, da die x3-Komponente des Richtungsvektors von c negativ ist, d.h. es geht „bergab“. [1 VP] Winkel Seil – Kabinenhalterung |( ( ) )( )| √ √ √ [2 VP] Also gilt Abstand Tragseile Abstand paralleler Geraden über Hilfsebene senkrecht zu den Seilen: [⃗ ( )] ( , ) [1 VP] ausmultipliziert: ( ) ( ) ( ) , also [1 VP] Ortsvektor des Schnittpunkts S (auf der Verlängerung von h): ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ( ) √( ( ) ) ( ( ) ) ( Die Seile sind also etwa 15m voneinander entfernt. ) [1 VP] 2013-06-06 Senkrechter Abstand Bergseil Schiffspur Ein Punkt G auf g hat die Koordinaten ( ein Punkt C auf c hat die Koordinaten ( | | | | ), ). Wenn sich Kabine direkt über der Schiffspur befindet, stimmen die x1- und die x2Koordinaten überein: , einsetzen der Koordinaten liefert [1 VP] Umformen liefert Mit Hilfe des GTR: [1 VP] Einsetzen liefert Differenz der x3-Koordinaten: Der gesuchte Abstand beträgt demnach etwa 66m. [1 VP] Mindestabstand Kabinenboden Schiffsdach Abschätzung Kabinenhöhe = Länge der Halterung , daher Abstand Kabinenboden – Seil: ca. 5m. Abschätzung Höhe Containerschiff: Höhe über Wasseroberfläche ca. 3 Containerhöhen à 2,5m: ca. 7,5m. Insgesamt Abstand Kabinenboden – Schiffsdach: 66m – 5m – 7,5m = 53,5m. Der gesuchte Abstand beträgt etwa 54m. [2 VP]
